8.3 向量的坐标表示（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020） 必修第二册 第八章 平面向量 8.3向量的坐标表示 共线向量定理: 方向：当时，的方向与的方向相同； 当时， 的方向与的方向相反； 当时，,方向任意 长度： 向量与非零向量共线 复习引入 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.我们可以通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的分力。 类似地，我们能否将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢? 平面向量基本定理 问题1：已知非零向量，那么所有与共线的向量，都能用表示吗？如何表示？ 能， 问题2：可以只用这个非零向量来表示这一平面上的任意一个向量吗？ 不能，只能表示与共线的向量 问题3：要表示平面上的任意一个向量，至少需要几个向量？ 需要两个不共线的向量 探究：如图，设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量. 将按，的方向分解，你有什么发现？ O M N 思考1：平面内所有的向量都能被其线性表示吗？再给出另外一个，还能这样表示吗？ 能 O C B A 思考2：与，共线的向量，能这样表示吗？ 思考3：能这样表示吗？ 能， 思考4：如果给定的两向量共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？ 不能，此时与，共线，当向量与它们不共线时，则无法表示. 只有不共线时，才可以用来表示平面内的任一向量，即若不共线，则对，都存在，，使得 思考5：若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？ 由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2， ∵e1与e2不共线， ∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0， ∴λ1＝μ1，λ2＝μ2． 也就是说，有且只有一对实数，使. 同一平面内任一向量都可以由同一基(底)唯一表示. 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使. 定义 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基(底). 定义 判断正误. (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基（底）. （ ） (2)零向量可以作为基（底). （ ） (3)若是同一平面内两个不共线的向量，则(为实数)可以表示该平面内所有向量. （ ） × × √ 基（底）有的特征： ①基（底）不唯一 ②基（底）是两个不共线的向量 ③零向量不能作为基底 ④同一向量在选择不同基底时，可能相同也可能不同 O 图6.3-7 向量的正交分解与坐标表示 如图， 是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量， 对于平面内的任一个向量 ，由平面向量基本定理可知，则有且只有一对实数x，y，使得： 我们把有序数对(x，y)叫做向量 的坐标，记作： 思考： 已知a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 即 同理可得 向量线性运算的坐标表示 已知 ，如何求 的坐标？ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量数乘的坐标表示 向量共线的坐标表达式 如果 ， 共线的充要条件是 已知 ， 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 已知a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),怎样用a,b的坐标表示a·b呢？ 向量的数量积与夹角的坐标表示 思考： 已知a,b都是非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a,b的坐标表示a与b的夹角θ呢？ 特殊情形： 类型1　平面向量的坐标表示 【例1】已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°， (1)求向量的坐标； (2)若B(，－1)，求的坐标． [解]　(1)设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，所以＝(2，6)． (2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)． 题型归纳 反思领悟　求点、向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标． [跟进训练] 1．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，并求出它们的坐标． [解]　由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2)． 类型2　平面向量的坐标运算 【例2】　(1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝ (　　) A．(－7，－4)　　 B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) A　[法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A． 法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)， ＝＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A．] √ (2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标． [解]　a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)． 反思领悟　平面向量坐标(线性)运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算． (3)向量的坐标(线性)运算可类比数的运算进行． [跟进训练] 2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求的坐标． [解]　法一：∵＝(－2，10)，＝(－8，4)， ＝(－10，14)， ∴＝(－2，10)＋(－8，4)＝(－10，14)， ＝(－8，4)－(－10，14)＝(2，－10)． 法二：∵＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)， ∴＝＝(－10，14)，＝＝－＝(2，－10)． 类型3　平面向量坐标运算的应用 【例3】　已知点O(0，0)，A(1，2)． (1)若点B(3t，3t)，＝，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ [解]　＝＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t)， 若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－． 若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－． 若点P在第二象限，则 ∴－<t<－． (2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由． [解]　＝(1，2)，＝＝(3－3t，3－3t)． 若四边形OABP为平行四边形，则＝， ∴ 该方程组无解． 故四边形OABP不能成为平行四边形． 反思领悟　向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标． [跟进训练] 3．已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点． [解]　设点D的坐标为(x，y)， 当平行四边形为ABCD时，由＝(1，2)，＝(3－x，4－y)，且＝，得D(2，2)； 当平行四边形为ACDB时，由＝(1，2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4，6)； 当平行四边形为ACBD时，由＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)，且＝，得D(－6，0)， 故点D的坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0)． 类型4　平面向量数量积的坐标运算 【例4】　 (1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10　　　 B．－10　 　 C．3　 　 D．－3 B　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．故选B． √ 31 (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝______． 　建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)， 因为＝2， 所以F． 所以＝(2，1)， ＝－(2，0)＝， 所以·＝(2，1)·＝2×＋1×2＝． 反思领悟　数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解． [跟进训练] 4．(1)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则·＝(　　) A．2 B．－2 C．4 D．无法确定 √ C　以B为原点，以的方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图． 则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)． 所以＝(－2，0)，＝(－2，y)， 得·＝(－2，0)·(－2，y)＝4． (2)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影向量长度为______． 　由已知得＝(2，1)，＝(5，5)，因此在方向上的投影向量长度为＝＝． 类型5　向量模的坐标表示 【例5】　若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求： (1)向量a的模； [解]　∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝＝5． (2)与a平行的单位向量的坐标； [解]　与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)， 即坐标为或． (3)与a垂直的单位向量的坐标． [解]　设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝． 又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1， 解得 或 ∴e＝或e＝． 反思领悟　求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝． [跟进训练] 5．已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)． (1)求a－2b及其模的大小； (2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|． [解]　(1)a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)， |a－2b|＝＝． (2)a·b＝(3，5)·(－2，1)＝3×(－2)＋5×1＝－1， ∴c＝a－(a·b)·b＝(3，5)＋(－2，1)＝(1，6)， ∴|c|＝＝． 类型6　向量的夹角与垂直问题 【例6】　已知a＝(3，1)，b＝，求k为何值时： (1)a∥b； [解]　因为a∥b， 所以3k－1×＝0，解得k＝－． (2)a⊥b； [解]　因为a⊥b， 所以3×＋1×k＝0，解得k＝． (3)a与b的夹角为钝角． [解]　因为＜〈a，b〉＜π，所以cos 〈a，b〉＜0， 则由向量夹角余弦公式可得 3×＋1×k＝－＋k＜0， 解得k＜． 由(1)知，k＝－时，a∥b，即a，b共线，此时〈a，b〉＝π． 所以k＜且k≠－时，a，b的夹角为钝角． 反思领悟　利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． (2)求模．利用|a|＝计算两向量的模． (3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值． (4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值． 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING $$