七年级数学下册期中培优卷七年级数学下学期新教材沪科版

2024-2025学年七年级数学下册期中培优卷 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（      ） A． B． C． D． 4．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”是清代袁枚写的诗．苔花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．设n为正整数，且，则n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 8．已知关于x的不等式 的解都是不等式 的解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若，，，则a、b、c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 10．若整数a使关于x的方程的解为非负数，且使关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．分解因式： 12．= ； 13．若是关于x的一元一次不等式，则n的值为 ． 14．小明学习了“实数”这一章的知识后，设计了一个如图示的运算程序．    按照上述运算程序，当时， ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（1）已知的立方根是3，的算术平方根是5．求的平方根． （2）分解因式：． 16．（1）； （2）解不等式组：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．计算： (1) (2) (3)运用乘法公式计算： (4) 18．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．5时代的到来，将给人类生活带来巨大改变，现有，两种型号的5手机，进价和售价如表所示： 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进，两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． (1)营业厅购进，两种型号手机各多少部？ (2)若营业厅再次购进，两种型号手机共30部，其中型手机的数量不多于型手机数量的2倍，且两种手机总利润不低于13800元，问有几种购进方案？ 20．在幂的运算中规定：若（且是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含m的代数式表示n． 六、（本题满分12分） 21．先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 七、（本题满分12分） 22．对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 八、（本题满分 14 分） 23．数形结合是一种将抽象的数学概念与直观的图形相结合，帮助理解和解决数学问题的重要思想方法，在《整式的乘法与因式分解》这一章中，我们利用数形结合思想，体验并理解了整式乘法法则、平方差公式及完全平方公式等的几何意义．年级数学兴趣小组的同学们课后继续进行了如下的探究： 【探究一】如图，卡片①是边长为的正方形，卡片②是边长为的正方形，卡片③是长和宽分别为，的长方形． （1）若已经选取张卡片①，张卡片③，则还应选取____________张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是____________（用含，的式子表示）； （2）选取4张卡片③在纸上按图2的方式进行拼图，可以得到中间阴影部分为正方形．若将阴影部分正方形的面积用两种不同的方法表示，则可验证等式：____________； 【探究二】如图3，该几何体由个大小不同的长方体（如图）组成，其中第一个长方体中，，，第二个长方体中，．第三个长方体中，． （3）将图3的几何体的体积用两种不同的方法表示，由此可以得一个多项式的因式分解为：____________． （4）利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下册期中培优卷 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是指将一个多项式表示为几个整式乘积的形式． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 是多项式相乘，故该选项不符合题意； B． 右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； C． 是因式分解，故该选项符合题意； D． 右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式，运用相关知识解答各选项即可得出结论． 【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ,计算正确，符合题意； D. ，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．已知，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由，可得，原式变形正确，不符合题意； B、由，可得，原式变形正确，不符合题意； C、由，可得，原式变形正确，不符合题意； D、由，可得，原式变形错误，符合题意； 故选：D． 4．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”是清代袁枚写的诗．苔花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故选：D． 5．在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】此题考查了无理数的定义和求算术平方根，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义进行解答即可． 【详解】解：在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数有，，共2个， 故选：D 6．设n为正整数，且，则n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质．熟练掌握无理数的估算是解题的关键．由，可得出，由不等式的性质可得出，进而得出n的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含项，得出与的关系即可． 【详解】解：原式 展开的结果中不含有项 ． 故选：C． 8．已知关于x的不等式 的解都是不等式 的解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的求法是解题的关键． 先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可． 【详解】解：解不等式 得，， 解不等式 得，， 关于x的不等式 的解都是不等式 的解， ， 解得：， 故选：； 9．若，，，则a、b、c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握负指数幂和零指数幂是解题的关键． 根据分式运算的法则，先求出、的值，再与比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 10．若整数a使关于x的方程的解为非负数，且使关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查根据不等式组解情况求参数，解题的关键是正确解出不等式根据解情况得到新的不等式．根据方程的解为非负数，得出，解出两个不等式，根据不等式组无解可得出，即可得到答案． 【详解】解∶解方程，得， ∵整数a使关于x的方程的解为非负数， ∴， ∴， ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的值为，0，1，2，3，4， ∴所有满足条件的整数a的值的和为， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．分解因式： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，利用平方差公式进行分解即可 【详解】解： 故答案为： 12．= ； 【答案】 【分析】此题主要考查了积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把原式变形为，再由积的乘方逆运算求解． 【详解】解：， 故答案为：． 13．若是关于x的一元一次不等式，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：， 故答案为：． 14．小明学习了“实数”这一章的知识后，设计了一个如图示的运算程序．    按照上述运算程序，当时， ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数的运算，根据运算程序确定出输出结果即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：当时， 得：， ∴． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（1）已知的立方根是3，的算术平方根是5．求的平方根． （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，立方根，平方根，算术平方根，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根的定义求出字母的值，再计算式子的值，最后求平方根即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）， ， ； ， ， 又 把：，代入得： ， 的平方根是：． （2）原式， ． 16．（1）； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组． （1）利用乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂计算即可； （2）求出每个不等式的解集，取公共部分即可． 【详解】解：（1） ． （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．计算： (1) (2) (3)运用乘法公式计算： (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． （1）利用完全平方公式化简，再按运算顺序求解即可； （2）运用平方差及完全平方公式求解即可； （3）运用乘法平方差公式简化运算； （4）先算单项式乘以单项式，再算单项式除以单项式即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ． 18．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）根据长方形的周长是即可得出的值；由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ， 空白部分的面积为， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．5时代的到来，将给人类生活带来巨大改变，现有，两种型号的5手机，进价和售价如表所示： 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进，两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． (1)营业厅购进，两种型号手机各多少部？ (2)若营业厅再次购进，两种型号手机共30部，其中型手机的数量不多于型手机数量的2倍，且两种手机总利润不低于13800元，问有几种购进方案？ 【答案】(1)营业厅购进型号手机部，型号手机部 (2)有三种购进方案 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式组． （1）根据题意和表中的数据，设出未知数，列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意设出未知数，列出关于两种型号手机数量的关系式，并根据利润列出不等式，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设营业厅购进型号手机部，型号手机部，根据题意，得： ， 解方程组，得 ∴营业厅购进型号手机部，型号手机部． （2）解：设营业厅购进型号手机部，型号手机部，根据题意，得： 解不等式组得 ∴可取整数10,11,12 即有三种购买方案： 方案一：购买型号手机部，型号手机部 方案二：购买型号手机部，型号手机部 方案三：购买型号手机部，型号手机部 ∴有三种购买方案． 20．在幂的运算中规定：若（且是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含m的代数式表示n． 【答案】(1)3 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方的法则进行运算即可； （2）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （3）利用幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ 六、（本题满分12分） 21．先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 七、（本题满分12分） 22．对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)①56；②2 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，化简后代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据， 得． 故答案为：． （2）解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． 故答案为：． （3）解：①根据定义，得 ， 当时， 原式． ②解：根据题意，得 ． 又图中阴影部分的面积为45，， 故， 解得． 【点睛】本题考查了实数的新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． 八、（本题满分 14 分） 23．数形结合是一种将抽象的数学概念与直观的图形相结合，帮助理解和解决数学问题的重要思想方法，在《整式的乘法与因式分解》这一章中，我们利用数形结合思想，体验并理解了整式乘法法则、平方差公式及完全平方公式等的几何意义．年级数学兴趣小组的同学们课后继续进行了如下的探究： 【探究一】如图，卡片①是边长为的正方形，卡片②是边长为的正方形，卡片③是长和宽分别为，的长方形． （1）若已经选取张卡片①，张卡片③，则还应选取____________张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是____________（用含，的式子表示）； （2）选取4张卡片③在纸上按图2的方式进行拼图，可以得到中间阴影部分为正方形．若将阴影部分正方形的面积用两种不同的方法表示，则可验证等式：____________； 【探究二】如图3，该几何体由个大小不同的长方体（如图）组成，其中第一个长方体中，，，第二个长方体中，．第三个长方体中，． （3）将图3的几何体的体积用两种不同的方法表示，由此可以得一个多项式的因式分解为：____________． （4）利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4）． 【分析】（）根据即可得解； （2）图2中阴影部分的面积的两种表示方法，即可得解； （3）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积或个长方体的体积之和，即可求解； （）由，，得，又，然后代入求值即可； 本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键． 【详解】解：（）∵， ∴若已经选取张卡片①，张卡片③，则还应选取张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是， 故答案为：，； （2）图中阴影部分的面积可看作是边长为的小正方形的面积，图中阴影部分的面积也可看作是边长为的大正方形面积减去个长方形的面积． ∴可以得一个多项式的因式分解为：， 故答案为：； （3）由几何体的体积为大正方体的体积减小正方体的体积得到的几何体的体积为， 由几何体的体积为个长方体的体积之和，且个长方体的高都可以看作，底面积分别看作、、， ∴该几何体的体积为 ∴， 故答案为：； （4）∵，， ∴，即 ∴， ∴ ， ． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$