专题08 压轴题专练（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题08 压轴题专练 题型概览 题型01二次根式压轴题 题型02勾股定理压轴题 题型03四边形压轴题 ( 题型01 )二次根式压轴题 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子 的最小值为 ； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    (3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    【答案】(1)6 (2)20米 (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目． （1）根据材料提供的信息解答即可． （2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可． （3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6． （2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为20， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． （3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为， 又∵、的面积分别是6和12， ∴，， ∴， ∴ ∵． ∴当且仅当时，取等号，即的最小值为， ∴四边形面积的最小值为． ( 题型02 ) 勾股定理压轴题 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图所示，等腰与等腰中，，，，则（    ） A．9 B．11 C．10 D．12 【答案】C 【分析】连接CD，BE，证明△CAD≌△BAE从而得到CD⊥BE，根据勾股定理可得结论； 【详解】如图：连接CD，BE ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAD＝∠BAE， 在△CAD和△BAE中， ∵ ∴△CAD≌△BAE（SAS）， ∴CD＝BE； ∴∠ADC＝∠AEB， ∴∠EOD＝∠EAD＝90°， ∴∠EOD＝∠EOC＝∠BOC＝∠BOD＝90°， ∴，， ∵AB＝2，AD＝1， ∴，， ∴； 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键． 2．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形的，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案． 【详解】解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）在四边形中，，，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，射线交边于点G． (1)如图1，求证：； (2)当时． （i）如图2，若四边形的面积为24，且当点G与D重合时，，求的长； （ⅱ）在边上取一点H，连接，使得，若的面积是的面积的2倍，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)（i）；（ⅱ） 或 【分析】（1）根据折叠得出，根据平行线的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出； （2）（i）根据四边形的面积为24得出，求出，设，则，，根据勾股定理得出，即，求出即可得出答案． （ⅱ）证明，得出，根据的面积是的面积的2倍，，，得出，设，则，分两种情况：当点H在点E的左侧时，当点H在点E的右侧时，画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）证明：根据折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（i）∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 设，则， ∴， 根据折叠可知，，， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． （ⅱ）根据题意得：，，， 由（1）得：， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的2倍，，， ∴， 设，则， 当点H在点E的左侧时，如图所示： ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴； 当点H在点E的右侧时，如图所示： ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴； 综上分析可知，当的面积是的面积的2倍时，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论． 4．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，分别垂直平分，交线段于的延长线交于点F，设O为中点，连接． (1)求的度数； (2)证明：； (3)连接，若的周长为12，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，整体代换的数学思想，等腰三角形三线合一的性质，三角形三边关系定理，利用两点之间，线段最短定理求最小值，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得出，，从而得出角相等，再结合三角形内角和定理得出，即可求解； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质得出，，证出，再根据点是的中点，即可求解； （3）根据的周长为12，结合，，得出．在四边形中，根据四边形内角和算出，从而证明，同理，．即可算出，，根据直角三角形性质和勾股定理得出，，根据，即可解答； 【详解】（1）解：分别垂直平分， ，， ，， ， ． ． 又， ． （2）连接． 分别垂直平分， ，． ． 在线段的垂直平分线上． 又点是的中点， ． （3）的周长为12， ． 由（1）知，，． ． 即． 在四边形中，， ，， ． 即． ，， ． 同理，． 则 ， 是中点，且， ． ， ． ， ， 解得． 则． ， 且当在延长线上时，上式等号成立． 的最小值为． ( 题型03 ) 四边形压轴题 1．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作交于H，利用证明可得， ，证得是等腰直角三角形可得，由，可得，运用勾股定理可得，再证明是等腰直角三角形，可得，进而证得，再运用直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：过点F作交于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，, '∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， '∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选:A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，添加辅助线、构造全等三角形是解题大键． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，为边的中点，为边上一动点（不与点重合），点是菱形内的一点，且点点与关于直线对称，连接，当为直角三角形时，的长为 ．    【答案】3或 【分析】分为三种情况讨论，① 当时， 设的中点为点R，连接，由直角三角形的性质可得，证明四边形是平行四边形，根据，可得点P、E、R三点共线，可证得，由轴对称的性质可得，，证得是等边三角形，可得；②当，连接，证明P、C、E三点共线，过点E作于点F，设，由含30度角直角三角形的性质和勾股定理，由三线合一得，构造方程求解；③当时，点E在菱形外部，不合题意． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，与均为等边三角形， 当时，如图所示，    设的中点为点R，连接， ∵，R为的中点 ∴， ∵点P为边的中点， ∴， 由点点与关于直线对称可得，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴点P、E、R三点共线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由点点与关于直线对称可得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当，如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵为等边三角形，点P为边的中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴P、C、E三点共线， 过点E作于点F，设， 由点点与关于直线对称可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， ∵ ∴ 解得：，即， 当时，点E在菱形外部，不合题意， 综上，的长为3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、菱形的性质、三点共线、平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质；本题综合性强，注意分类讨论． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，点在正方形的边上（不与点，重合），是对角线，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为，连接，． (1)根据题意补全图形，并证明； (2)①求证：； ②探究线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)图形见解析，证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质可知，即可证明结论； （2）①连接，，首先证明，得，再证明，得，，得出是等腰直角三角形，从而得出答案； ②连接，首先利用，证明四边形是平行四边形，得，则，在中，利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：补全图形如图， 证明：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）①证明：如图，连接，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②解：． 证明：连接， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，，，平分交延长线于点N，连接，． (1)求的度数；（用含的式子表示） (2)求证：是等腰三角形； (3)求线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，得，由菱形的性质可得，再证，即可得的度数． （2）在中，先求出，再证，则可得，，进而可得为等边三角形，则可得，．再证，则可得，又由得，由此可证是等腰三角形； （3）延长至点，使得，连接，根据可得，则，过点A作于点，由（2）得，则可得，，，由可得． 【详解】（1）解：，， ． 四边形是菱形， ， ， ， ； （2）证明：由（1）得， 平分， ， ． ，， ， ，， ， 为等边三角形， ，． 四边形是菱形， ，， ， ， ， ． ，， ， ， ，， ， 是等腰三角形； （3）解：延长至点，使得，连接． ，， ， ， ， ， ． 过点A作于点，则，， 由（2）得， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质、等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理以及“直角三角形中角所对的边等于斜边一半”．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知，在正方形中，点，分别为上的两点，连接、，并延长交于点，连接，为上一点，连接、，. (1)如图1，若为的中点，，且，求线段的长； (2)如图2，若，过点作于点，求证：； (3)如图3，若，为线段（包含端点、）上一动点，连接，过点作于点，将沿翻折得，为直线上一动点，连接，当面积最大时，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)的最小值为． 【分析】（1）根据正方形的性质，求得，，在中，根据勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； （2）过点作于点，证明是等腰直角三角形，，进而证明是等腰直角三角形，根据即可得证； （3）取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，根据直角三角形中斜边上的中点等于斜边的一半可得，则当时，的面积最大，由，可得当三点共线时，取得最小值，证明四边形是矩形，可得，即的最小值为． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，∴，， 在中，， ∵为的中点， ∴； （2）证明：如图，过点作于点， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即； （3）证明：如图甲所示，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形， ， ， 是直角三角形， 将沿BC翻折得， 是直角三角形， ， 当时，的面积最大， 是的中点， 是等腰直角三角形， 则也是等腰直角三角形， ， 此时如图乙所示，则点与重合， ∵， ，，三点共线时，取得最小值， ， ，， 则四边形是矩形， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 压轴题专练 题型概览 题型01二次根式压轴题 题型02勾股定理压轴题 题型03四边形压轴题 ( 题型01 )二次根式压轴题 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子 的最小值为 ； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    (3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    ( 题型02 ) 勾股定理压轴题 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图所示，等腰与等腰中，，，，则（    ） A．9 B．11 C．10 D．12 2．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是 ． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）在四边形中，，，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，射线交边于点G． (1)如图1，求证：； (2)当时． （i）如图2，若四边形的面积为24，且当点G与D重合时，，求的长； （ⅱ）在边上取一点H，连接，使得，若的面积是的面积的2倍，求的长． 4．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，分别垂直平分，交线段于的延长线交于点F，设O为中点，连接． (1)求的度数； (2)证明：； (3)连接，若的周长为12，求的最小值． ( 题型03 ) 四边形压轴题 1．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，为边的中点，为边上一动点（不与点重合），点是菱形内的一点，且点点与关于直线对称，连接，当为直角三角形时，的长为 ．    3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，点在正方形的边上（不与点，重合），是对角线，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为，连接，． (1)根据题意补全图形，并证明； (2)①求证：； ②探究线段，，之间的数量关系． 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，，，平分交延长线于点N，连接，． (1)求的度数；（用含的式子表示） (2)求证：是等腰三角形； (3)求线段，，之间的数量关系． 5．（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知，在正方形中，点，分别为上的两点，连接、，并延长交于点，连接，为上一点，连接、，. (1)如图1，若为的中点，，且，求线段的长； (2)如图2，若，过点作于点，求证：； (3)如图3，若，为线段（包含端点、）上一动点，连接，过点作于点，将沿翻折得，为直线上一动点，连接，当面积最大时，直接写出的最小值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$