专题07 正方形（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题07 正方形 题型概览 【经典基础题】 题型01用正方形的性质求角度 题型02用正方形性质求线段长 题型03正方形的判定 题型04 正方形与一线三垂直 题型05 正方形的折叠问题 【优选提升题】 题型01 十字模型 题型02动点最值问题 题型03根据对角线性质构造辅助线 ( 题型01 )用正方形的性质求角度 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，为边上一点，且，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 用正方形性质求线段长 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）正方形的边长为3，则对角线的长度为（　　） A． B．6 C． D．9 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，正方形的边长为5，点，分别在，上，且，与交于点，若四边形的面积为4，则 ． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，则线段的长度为 ． ( 题型03 ) 正方形的判定 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建宁德·期中）在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是 ． 3．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE=AF，于点G． (1)求证：． (2)求证：四边形ABCD是正方形． ( 题型04 ) 正方形与一线三垂直 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，点E在正方形的边上，且，过点F作，垂足为M． (1)求证：； (2)延长至点N，使得求证：四边形是正方形． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，易得结论：． 【初步应用】 如图1，若，则_______； 如图2，，点的坐标为，则点的坐标为_______． 【探究迁移】 如图3，若在四边形中，，点是边上一点，且．若，请你判断的形状，并说明理由． 【扩展应用】 请你运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，求的长． ( 题型0 5 ) 正方形的折叠问题 1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，正方形的边长为，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ． 2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再沿折叠，使点落在上的点处．下列结论：①；②；②；④．其中正确结论是 ．（填序号）    3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）按照国际标准，A系列纸为矩形纸．如图①，将纸沿长边对开便成了两张纸，将纸沿长边对开便成了两张纸；……，将纸沿长边对开便成了两张纸……．将一张纸按如图②所示的方式进行折叠：第一步：将边折叠到边上，折痕为，点B落在点处．第二步：再将折叠到边上，折痕为，此时与恰好重合，点C落在点处． (1)求纸的长宽之比； (2)利用图②，求证：是等腰直角三角形； (3)按照国际标准，纸的长宽之比是 _______．（填空） ( 题型01 )十字模型 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）问题背景：如图1，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接，，与相交于点．    (1)探索发现：探索线段与的数量关系和位置关系，并证明； (2)拓展提高：如图2，延长至P，连接，若，求线段的长． 2．（23-24八年级下·福建南平·期中）已知，如图，在正方形中，点，分别是边上的动点．    (1)如图1，若垂足为，求证：； (2)如图2，点是边上一点，且，垂足为．判断与是否相等？并说明理由 (3)如图3，若是的中点．，求出线段的长． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，点分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长． ( 题型02 )动点最值问题 1．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）在正方形中，，E，F分别为边上的点，且始终保持，连接和交于点P，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，正方形边长为8，点在对角线上运动，为上一点，，则长的最小值为 ．    3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，正方形的边长为，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度移动，点从点出发，向点以每秒个单位长度的速度沿线段移动（不与点A重合）设点E，F 同时出发移动t秒． (1)当时，求的长； (2)在点E，F移动过程中，连接，，，请判断的形状并说明理由； (3)如图2，点G，H，分别在边，上，且，连接，交于点P，当与的夹角为，求t的值． 4．（23-24八年级下·福建泉州·期中）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，，P为对角线上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角． (1)的最小值为_______，最大值为________； (2)求证：点M在射线上； ( 题型03 ) 根据对角线性质构造辅助线 1．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为 ． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在正方形中，点是对角线上一点（）． (1)求证：； (2)若， ，求的长度． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 正方形 题型概览 【经典基础题】 题型01用正方形的性质求角度 题型02用正方形性质求线段长 题型03正方形的判定 题型04 正方形与一线三垂直 题型05 正方形的折叠问题 【优选提升题】 题型01 十字模型 题型02动点最值问题 题型03根据对角线性质构造辅助线 ( 题型01 )用正方形的性质求角度 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，为边上一点，且，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据正方形的性质可得出，进而得出，则，进而求出． 【详解】解：连接，如图所示：   四边形是正方形， ，，， ， ，而， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的邻边相等，等边三角形的各边相等，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 本题考查的是正方形，等边三角形，等腰三角形的性质来解决． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了作图——基本作图，等边三角形的性质，正方形的性质，正确得到是等边三角形是解题的关键． 根据条件可以得到是等边三角形，然后利用正方形的性质和等边三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：连接、， ， 是等边三角形， ， 在正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：A． 4．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形内角和定理，由正方形的性质并结合题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，得到，，进而得到，又因为，推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 故选：B． ( 题型02 ) 用正方形性质求线段长 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）正方形的边长为3，则对角线的长度为（　　） A． B．6 C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，正方形对角线的长的平方等于其相邻两边的长的平方和，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，四边形是边长为3的正方形，则， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，正方形的边长为5，点，分别在，上，且，与交于点，若四边形的面积为4，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．根据正方形的性质得到，，再根据全等三角形的判定与性质得到，，最后利用直角三角形的性质及勾股定理即可解答． 【详解】解：正方形的边长为5， ，， ， ， ，， ， ， 四边形的面积为4 ， ． ． 在中，， ． ． ，， ， 故答案为：3． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，正方形的性质，矩形的判定与性质；构造三角形是破解本题的关键．根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可． 【详解】解：连接，， 点，分别是，的中点， 四边形是矩形， 是的中点， 在正方形中，，， ， 在中，由勾股定理得， ， 在三角形中，是的中点，是的中点， 是三角形的中位线， ． 故答案为：． ( 题型03 ) 正方形的判定 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，正方形的判定等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用正方形的判定等． 先判断四边形是矩形，由正方形的判定可直接判断D正确． 【详解】解：在四边形中， ， 四边形为矩形， 而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形， 故D正确， 故选：D． 2．（23-24八年级下·福建宁德·期中）在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 依据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：； 故添加的条件为：或． 3．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE=AF，于点G． (1)求证：． (2)求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，从而可得，再根据垂直可得，从而可得，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据正方形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在和中，， ． （2）证明：由（1）已证：， ， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定、三角形全等的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键． ( 题型04 ) 正方形与一线三垂直 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定及性质、正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 如图，过点A作轴，交于点N，过点C作轴，交y轴于点M，根据垂线的定义得出，再根据余角的定义得出，然后根据正方形的性质及等量代换得出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，最后根据点A的坐标即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作轴，交于点N，过点C作轴，交y轴于点M 四边形为正方形 ， 在和中 ， 点A的坐标为， ， 点的坐标为 故选C． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，点E在正方形的边上，且，过点F作，垂足为M． (1)求证：； (2)延长至点N，使得求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）先根据正方形的性质以及已知条件证明可得，然后根据线段的和差即可解答； （2）先证明可得，再证明可得四边形是平行四边形，再结合、即可证明结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴,, ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴,即． （2）证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴, ∵, ∴， ∴, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，易得结论：． 【初步应用】 如图1，若，则_______； 如图2，，点的坐标为，则点的坐标为_______． 【探究迁移】 如图3，若在四边形中，，点是边上一点，且．若，请你判断的形状，并说明理由． 【扩展应用】 请你运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，求的长． 【答案】初步应用：；； 探究迁移：是等边三角形，理由见解析； 扩展应用：的长为． 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 初步应用：根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； 如图2，证明，得，，进而可得结论； 探究迁移：根据已知条件得到根据全等三角形的判定定理即可得到结论； 扩展应用：如图4，过作于，的延长线于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】解：直线，直线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：； 如图所示，过作轴于，过作轴于， ， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ∴，， 故答案为：； 探究迁移： 解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ，， 是等边三角形； 扩展应用： 解：如图4，过作于，的延长线于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， 同理，，， ， ， ， ， 的长为 ( 题型0 5 ) 正方形的折叠问题 1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，正方形的边长为，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理．由翻折知，得点在以为圆心，为半径的圆上运动，可知当点、、三点共线时，最小，再利用勾股定理可得的长，继而解题． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∵点G是边的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点、、三点共线时，最小， 由勾股定理得，, ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再沿折叠，使点落在上的点处．下列结论：①；②；②；④．其中正确结论是 ．（填序号）    【答案】①②④ 【分析】①根据正方形性质得出，，根据折叠得出垂直平分，，即可证明判定①正确； ②证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形得出，求出，即可判断②正确； ③根据折叠得出，，根据直角三角形性质得出，即可判断③错误； ④先求出，根据直角三角形性质得出，即可判断④正确． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知，垂直平分，， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③根据折叠可知，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴，故③错误； ④∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，折叠性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）按照国际标准，A系列纸为矩形纸．如图①，将纸沿长边对开便成了两张纸，将纸沿长边对开便成了两张纸；……，将纸沿长边对开便成了两张纸……．将一张纸按如图②所示的方式进行折叠：第一步：将边折叠到边上，折痕为，点B落在点处．第二步：再将折叠到边上，折痕为，此时与恰好重合，点C落在点处． (1)求纸的长宽之比； (2)利用图②，求证：是等腰直角三角形； (3)按照国际标准，纸的长宽之比是 _______．（填空） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可知四边形为正方形，，再结合勾股定理即可求出，即纸的长宽之比为； （2）由折叠可知，．根据正方形的性质可求出，从而可求出，进而可求出，即可证是等腰直角三角形； （3）由将纸沿长边对开便成了两张纸，得出的宽为纸的长，纸的宽为长的一半，再结合纸的长宽之比为，即得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ∴． 第二次折叠，得出， ∴，即纸的长宽之比为； （2）证明：由第二次折叠可知，． 由（1）可知四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：∵将纸沿长边对开便成了两张纸， ∴的宽为纸的长，纸的宽为长的一半．　 ∵纸的长宽之比为， ∴纸的长宽之比为． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的性质是解题关键． ( 题型01 )十字模型 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）问题背景：如图1，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接，，与相交于点．    (1)探索发现：探索线段与的数量关系和位置关系，并证明； (2)拓展提高：如图2，延长至P，连接，若，求线段的长． 【答案】(1)，且，见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理： （1）根据正方形的性质及可得，进而可得，，再证得，即可求解； （2）过点B作于点H，利用勾股定理得，可得，再根据等面积法求得，进而可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，且， 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且． （2）如图，过点B作于点H，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级下·福建南平·期中）已知，如图，在正方形中，点，分别是边上的动点．    (1)如图1，若垂足为，求证：； (2)如图2，点是边上一点，且，垂足为．判断与是否相等？并说明理由 (3)如图3，若是的中点．，求出线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）作于，则，，由证明，即可得出结论； （3）设，则，，可得，，由，可得，，结合，求解，再进一步可得答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ； （2）；理由如下： 作于，如图2所示： 则，， ， ， ， ， 在和中，， ， ； （3）∵正方形，是的中点， ∴设，，， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 如图，连接， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用．二次根式的除法运算等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，点分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由四边形为正方形，可得，推得，由，可得，可证即可； （2）、为、中点，可得为的中位线，可证，，由点、、、分别是、、、的中点，可得是的中位线，为的中位线，为的中位线，可证，，，，，，可证四边形为平行四边形．再证四边形为菱形，最后证即可； （3）延长交于点，由对称性可得，，，由勾股定理可求，可得，设，在中，，解得，在中，可求． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：四边形为正方形，理由如下： ∵、为、中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵点、、、分别是、、、的中点， ∴是的中位线，为的中位线，为的中位线，， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． （3）解：延长交于点， 由对称性可知，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查正方形性质与判定，等角的余角性质三角形全等判定与性质，三角形中位线判定与性质，勾股定理，根据勾股定理建构方程，解拓展一元一次方程等知识，掌握以上知识是解题关键． ( 题型02 )动点最值问题 1．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）在正方形中，，E，F分别为边上的点，且始终保持，连接和交于点P，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接，则（不变）， 根据两点之间线段最短得、、三点共线时线段的值最小， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 2．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，正方形边长为8，点在对角线上运动，为上一点，，则长的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解答此题的关键．由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接交于点，即为所求在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接，交于，连接， ∴， ∴， ∴即为所求的点，    ∴的长即为的最小值， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴长的最小值为； 故答案为：． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，正方形的边长为，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度移动，点从点出发，向点以每秒个单位长度的速度沿线段移动（不与点A重合）设点E，F 同时出发移动t秒． (1)当时，求的长； (2)在点E，F移动过程中，连接，，，请判断的形状并说明理由； (3)如图2，点G，H，分别在边，上，且，连接，交于点P，当与的夹角为，求t的值． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)2 【分析】（1）根据题意得到，得到，，利用勾股定理即可求解； （2）通过证明得到，，则易推知是等腰直角三角形； （3）如图3，连接，，与交于．根据四边形是平行四边形，则其对边相等：．所以在中，由勾股定理得到：，故． 【详解】（1）解：根据题意当时：， 正方形的边长为， ，， 在中， ； （2）解：等腰直角三角形．理由如下： 如图1，在正方形中，，． 依题意得：． 在与中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图3，连接，，与交于，与交于点．    由（1）得， 又， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，得， ． 【点睛】本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．解答该类题目时，要巧妙的作出辅助线，构建几何模型，利用特殊的四边形的性质（或者全等三角形的性质）得到相关线段间的数量关系，从而解决问题． 4．（23-24八年级下·福建泉州·期中）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，，P为对角线上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角． (1)的最小值为_______，最大值为________； (2)求证：点M在射线上； 【答案】(1)4， (2)见解析 【分析】（1）当点P运动到对角线的中点时，值最小；当点P运动到点A或点C时，最大； （2）分点P在线段与两种情况讨论，连接，过M作于E，证明，可得出，进而求出，然后证明B、C、M在同一条直线上即可． 【详解】（1）解：由于点P运动到与垂直时，根据“垂线段最短”可知最短，则最短，此时与对角线重合，与重合， ∴． 由于点P运动到点A或点C时，斜线段最长，因此最长，此时：， 则， 故答案为：4，； （2）证明：连接，连接交于点，过M作于E， ①如图，当点在线段上时， ∵正方形， ∴，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴B、C、M三点共线， ∴点在线段的延长线上． ②如图，当点在线段上时，    同理， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ ∴B、C、M三点共线， ∵点在线段上． 综上所述，点在射线上上． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等相关知识点，解题的关键是掌握以上知识点． ( 题型03 ) 根据对角线性质构造辅助线 1．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点作于，则，由正方形的性质可得，，进而可得四边形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 【答案】(1)见解析； (2)6． 【分析】（1）如图，作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得即可解决问题． 【详解】（1）如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ， ∵于，于， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在正方形中，点是对角线上一点（）． (1)求证：； (2)若， ，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数等等知识， （1）连接交于点，由四边形为正方形，得出为线段的垂直平分线，所以得出； （2）先由正方形的性质得，，，再由，得，再由直角三角形的性质得，再由勾股定理得，再由即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点， 四边形为正方形， 直线为线段的垂直平分线， 又点在上， ； （2）解：四边形为正方形，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 2 / 13 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