专题02 计数原理（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（吉林专用）

专题02 计数原理 题型概览 题型01分类、分步计数原理 题型02排列数、组合数 题型03排列组合 题型04二项式定理 ( 题型01 ) 分类、分步计数原理 1.（23-24高二下·吉林·期中）用3种不同颜色给下图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（ ）种不同的涂色方案． A．243 B．32 C．48 D．1280 2.（23-24高二下·吉林·期中）某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．7种 D．14种 3.（23-24高二下·吉林·期中）5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、排球队，每人限报其中的一个运动队、不同报法的种数为（    ） A．15 B．8 C． D． 4.（23-24高一下·吉林四平·期中）在落实“绿水青山就是金山银山”的工作中，吉林省走在了全国前列，工作落实到位，产生的效果也非常好，受到了群众的一致认可，同时也吸引了很多的旅游爱好者前来．现南京有4个家庭准备在2023年五一小长假期间选择吉林、白山、四平三个城市中的一个城市旅游，则这4个家庭共有多少种不同的安排方法（　　） A．24种 B．6种 C．64种 D．81种 5.（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是（    ） A．144 B．96 C．72 D．60 ( 题型0 2 ) 排列数、组合数 1.（23-24高二下·吉林·期中）（    ） A．30 B．40 C．50 D．70 2.（23-24高二下·吉林松原市·期中）已知，则x的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．3或9 3．（23-24高二下·吉林白城市·期中）已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4.（23-24高二下·吉林辽源市·期中）（多选）下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高一下·吉林四平·期中）（多选）若，则m的值可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6.（23-24高二下·吉林·期中）已知，则 ． ( 题型0 3 ) 排列组合 1.（23-24高二下·吉林通化·期中）已知甲、乙，丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有（    ） A．4种 B．12种 C．18种 D．24种 2．（23-24高二下·吉林·期中）柜子里有6双不同的鞋子，从中取出两只，若取出的两只鞋子不是同一双，则不同的取法共（    ） A．30种 B．55种 C．60种 D．66种 3．（23-24高二下·吉林长春·期中）若一个四位数的各位数字之和为4，则称该四位数为“F数”，这样的“F数”有（    ） A．17个 B．19个 C．20个 D．21个 4．（22-23高二下·吉林长春·期中）A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为（    ） A．48 B．96 C．144 D．288 5.（23-24高二下·吉林·期中）（多选）下列说法正确的为（    ） A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法； B．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有540种不同的分法； C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法； D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法． 6．（23-24高二下·吉林·期中）（多选）某场晚会共有2个小品类节目，4个舞蹈类节目和5个歌唱类节目，下列说法正确的是（    ） A．晚会节目不同的安排顺序共有种 B．若5个歌唱类节目各不相邻，则晚会节目不同的安排顺序共有种 C．若第一个节目为舞蹈类节目，且最后一个节目不是歌唱类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种 D．若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种 7．（23-24高一下·吉林四平·期中）（多选）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实．同年8月，国务院教育督导委员会办公室印发专门通知，拟对各省“双减”工作落实进度每半月通报一次．2021年10月，全国人大表示：“双减”拟明确入法，避免加重义务教育阶段学生负担．11月3日，市场监管总局等八部门发布《关于做好校外培训广告管控的通知》．坚决杜绝地铁、公交站台等所属广告牌、广告位刊发校外培训广告．在“双减”政策的推动下，四平市教育局提出了教师轮岗制度，让更多的学生享受到更好更优质的教师师资，充分体现了教育的公平性．现从四平市某中学调8名不同科目的教师到另一所中学的4个不同班级．要求每个班级至少分配1名教师．至多分配3名老师，则（　　） A．将8名教师平均分配到4个不同班级，有种分配方法 B．有两个班级分配一名教师，另两个班级分配三名教师，有种分配方法 C．根据班级实际情况，现（1）班需要1名教师，（2）班和（3）班均需要2名教师，（4）班需要3名教师，有种分配方法 D．根据教学经验分析，甲、乙、丙三名教师必须搭配一个班级，可达到教学效果最优化，种分配方法 8．（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）A、B、C、D、E、F六个人并排站在一起，则下列说法正确的是（    ） A．若A、B相邻，有120种排法 B．若A、B相邻，有240种排法 C．若A、B不相邻，有480种排法 D．若A、B不相邻，有960种排法 9.（23-24高一下·吉林四平·期中）某中学预计在“五•四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生．学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．根据不同的要求，求本次活动的安排方法． (1)三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ (2)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？ (3)往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？（结果用数字作答） ( 题型0 4 ) 二项式定理 1.（23-24高二下·吉林·期中）的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．12 D．24 2．（23-24高一下·吉林四平·期中）的展开式中所有有理项系数之和为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知二项式展开式的二项式系数和为，则展开式中的常数项为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·吉林长春·期中）的展开式中，的系数等于（    ） A． B． C．10 D．45 5．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 6.（23-24高二下·吉林·期中）（多选）二项式的展开式中（    ） A．前三项系数之和为22 B．二项式系数最大的项是第4项 C．常数项为15 D．所有项的系数之和为0 7．（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）若且，则实数m的值可以为（    ） A． B． C．0 D．1 8.（23-24高二下·吉林长春·期中）在的展开式中，的系数为 . 9．（23-24高二下·吉林长春·期中）的展开式中，记项的系数为，则 ． 10.（23-24高二下·吉林长春·期中）（1）若在的展开式中，求的系数.(用数字作答) （2）二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，求其展开式中的常数项. 11．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，若. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求的值. 1.（23-24高二下·吉林四平·期中）三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有 种. 2.（23-24高一下·吉林四平·期中）从甲地去乙地有5班高铁，从乙地去丙地有4班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有 种． 3.（23-24高二下·吉林长春·期中）六个节目制成一个节目单，其中游戏不安排在第一个，唱歌和跳舞相邻，则不同的节目单顺序有 种.（结果用数字作答） 4．（23-24高二下·吉林·期中）从6件不同的礼物中选出3件送给3位同学，每人1件，不同的选法种数是 . 5．（23-24高二下·吉林·期中）某市教育局计划将甲、乙、丙、丁4名教师安排到三个乡镇支教，每个乡镇至少安排一名教师，则甲、乙不在同一个乡镇支教的安排方法共有 种． 6．（23-24高二下·吉林白山·期中）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有 个“十全十美数”. 7．（23-24高三下·吉林通化·期中）在的展开式中，有理项的个数为 ． 8．（23-24高二下·吉林长春·期中）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射. “神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙. 为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务. (1)若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 9．（23-24高二下·吉林·期中）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的站法总数. (1)全体站成一排，女生必须站在一起. (2)全体站成一排，男生互不相邻. 10．（23-24高二下·吉林·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值．（参考数据：） 11．（23-24高一下·吉林四平·期中）已知二项式的展开式中共有10项． (1)求展开式的第5项的二项式系数； (2)求展开式中的常数项． 12．（3-24高二下·吉林长春·期中）已知，该展开式二项式系数和为32. (1)求n的值； (2)求的值. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 计数原理 题型概览 题型01分类、分步计数原理 题型02排列数、组合数 题型03排列组合 题型04二项式定理 ( 题型01 ) 分类、分步计数原理 1.（23-24高二下·吉林·期中）用3种不同颜色给下图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（ ）种不同的涂色方案． A．243 B．32 C．48 D．1280 【答案】C 【详解】从左到右依次涂色，第一个图形可以涂3种颜色，第二、三、四、五个图形可以涂2种颜色，共有种不同的涂色方案. 故选：C. 2.（23-24高二下·吉林·期中）某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．7种 D．14种 【答案】D 【详解】由题意进入商场的不同方式共有种. 故选：D. 3.（23-24高二下·吉林·期中）5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、排球队，每人限报其中的一个运动队、不同报法的种数为（    ） A．15 B．8 C． D． 【答案】C 【详解】因为每名同学都有3种不同的报名方法，故不同报法的种数为. 故选：C 4.（23-24高一下·吉林四平·期中）在落实“绿水青山就是金山银山”的工作中，吉林省走在了全国前列，工作落实到位，产生的效果也非常好，受到了群众的一致认可，同时也吸引了很多的旅游爱好者前来．现南京有4个家庭准备在2023年五一小长假期间选择吉林、白山、四平三个城市中的一个城市旅游，则这4个家庭共有多少种不同的安排方法（　　） A．24种 B．6种 C．64种 D．81种 【答案】D 【详解】由题意可知，每一个家庭有3种选择方式， 则4个家庭共计有3×3×3×3＝81种选择方式． 故选：D． 5.（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是（    ） A．144 B．96 C．72 D．60 【答案】D 【详解】解：将6串香蕉编号为1，2，3，4，5，6． 把“2，3，4，5，6”取完，方法为23456，24356，24536，24563，42356，42536，42563，45263，45623，45236，共10种，再把1插入其中，每个有6种插法．共有60种方法， 故选：D． ( 题型0 2 ) 排列数、组合数 1.（23-24高二下·吉林·期中）（    ） A．30 B．40 C．50 D．70 【答案】D 【详解】由排列数与组合数的计算公式，可得. 故选：D. 2.（23-24高二下·吉林松原市·期中）已知，则x的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．3或9 【答案】A 【详解】由， 得或， 解得或， 当时，，不符合组合数的定义，所以舍去. 故选：A. 3．（23-24高二下·吉林白城市·期中）已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】，即，故，故. 故选：C 4.（23-24高二下·吉林辽源市·期中）（多选）下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，，，A正确； ，B错； ，，C正确； ，，D正确． 故选：ACD． 5.（23-24高一下·吉林四平·期中）（多选）若，则m的值可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【详解】∵， ∴或， ∴m＝4或3． 故选：AB． 6.（23-24高二下·吉林·期中）已知，则 ． 【答案】720 【详解】由，得，则， 即，解得，所以. 故答案为：720 ( 题型0 3 ) 排列组合 1.（23-24高二下·吉林通化·期中）已知甲、乙，丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有（    ） A．4种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】D 【详解】由题意可得不同的采访顺序有种． 故选：D 2．（23-24高二下·吉林·期中）柜子里有6双不同的鞋子，从中取出两只，若取出的两只鞋子不是同一双，则不同的取法共（    ） A．30种 B．55种 C．60种 D．66种 【答案】C 【详解】先从柜子里的6双不同的鞋子，从中取出两双，再从每一双中各取出一支鞋子， 共有种不同的取法. 故选：C. 3．（23-24高二下·吉林长春·期中）若一个四位数的各位数字之和为4，则称该四位数为“F数”，这样的“F数”有（    ） A．17个 B．19个 C．20个 D．21个 【答案】C 【详解】由题意，可得， 当四位数为由构成时，共有1种情况； 当四位数为由构成时，共有种情况； 当四位数为由构成时，共有种情况； 当四位数为由构成时，共有种情况； 当四位数为由构成时，共有1种情况, 由分类计数原理，可得共有种不同的“F数”. 故选：C. 4．（22-23高二下·吉林长春·期中）A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为（    ） A．48 B．96 C．144 D．288 【答案】C 【详解】由于A，B相邻，所以先将A,B看作一个整体捆绑起来与E,F进行全排列， 然后将C，D插入到已排好队的两两之间以及首尾的空隙中即可， 故共有, 故选：C 5.（23-24高二下·吉林·期中）（多选）下列说法正确的为（    ） A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法； B．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有540种不同的分法； C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法； D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法． 【答案】AC 【详解】对于A，6本不同的书中，先取本给甲，再从剩余的本中取本给乙， 最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确； 对于B，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有1种不同的分法，故B错误； 对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种，故C正确； 对于D，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组， 最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人， 共有种，故D错误； 故选：AC. 6．（23-24高二下·吉林·期中）（多选）某场晚会共有2个小品类节目，4个舞蹈类节目和5个歌唱类节目，下列说法正确的是（    ） A．晚会节目不同的安排顺序共有种 B．若5个歌唱类节目各不相邻，则晚会节目不同的安排顺序共有种 C．若第一个节目为舞蹈类节目，且最后一个节目不是歌唱类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种 D．若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目，则晚会节目不同的安排顺序共有种 【答案】AC 【详解】A选项，晚会节目不同的安排顺序共有种，A正确； B选项，若5个歌唱类节目各不相邻，先安排2个小品类节目，4个舞蹈类节目，有种选择， 6个节目共有7个空，选择5个空进行插空，故有种选择， 则晚会节目不同的安排顺序共有种，B错误； C选项，若第一个节目为舞蹈类节目， 则从4个舞蹈节目中选择1个安排在第一个节目，有种安排， 最后一个节目不是歌唱类节目，则除了第一个和最后一个位置外， 剩余的9个位置选择5个安排歌唱类节目，有种选择， 剩余的5个节目，剩余的5个位置，进行全排列，有种选择， 则晚会节目不同的安排顺序共有种，C正确； D选项，若两个小品类节目相邻，且第一个或最后一个节目为小品类节目， 先将两个小品进行全排列，有种选择，再从第一个或最后一个节目选择1个位置， 再将剩余的9个节目和9个位置进行全排列， 则晚会节目不同的安排顺序共有种，D错误. 故选：AC 7．（23-24高一下·吉林四平·期中）（多选）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实．同年8月，国务院教育督导委员会办公室印发专门通知，拟对各省“双减”工作落实进度每半月通报一次．2021年10月，全国人大表示：“双减”拟明确入法，避免加重义务教育阶段学生负担．11月3日，市场监管总局等八部门发布《关于做好校外培训广告管控的通知》．坚决杜绝地铁、公交站台等所属广告牌、广告位刊发校外培训广告．在“双减”政策的推动下，四平市教育局提出了教师轮岗制度，让更多的学生享受到更好更优质的教师师资，充分体现了教育的公平性．现从四平市某中学调8名不同科目的教师到另一所中学的4个不同班级．要求每个班级至少分配1名教师．至多分配3名老师，则（　　） A．将8名教师平均分配到4个不同班级，有种分配方法 B．有两个班级分配一名教师，另两个班级分配三名教师，有种分配方法 C．根据班级实际情况，现（1）班需要1名教师，（2）班和（3）班均需要2名教师，（4）班需要3名教师，有种分配方法 D．根据教学经验分析，甲、乙、丙三名教师必须搭配一个班级，可达到教学效果最优化，种分配方法 【答案】ACD 【详解】对于A：将8名教师平均分配到4个不同班级，有种分配方法，故A正确； 对于B：有两个班级分配一名教师，另两个班级分配三名教师，有种分配方法，故B错误； 对于C：（1）班需要1名教师，（2）班和（3）班均需要2名教师，（4）班需要3名教师，有种分配方法，故C正确； 对于D：甲、乙、丙3名教师必须搭配一个班级，可达到教学效果最优化， 故剩余5名教师可按1，2，2和1，1，3两种情况分类，有种分配方法，故D正确． 故选：ACD． 8．（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）A、B、C、D、E、F六个人并排站在一起，则下列说法正确的是（    ） A．若A、B相邻，有120种排法 B．若A、B相邻，有240种排法 C．若A、B不相邻，有480种排法 D．若A、B不相邻，有960种排法 【答案】BC 【详解】A，，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻， 则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，，自由排列即可， 则方法总数为（种）.则选项B判断正确；选项A判断错误； A，，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻， 则先让，，，自由排列，再让A，去插空即可， 则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误. 故选：BC 9.（23-24高一下·吉林四平·期中）某中学预计在“五•四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生．学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．根据不同的要求，求本次活动的安排方法． (1)三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ (2)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？ (3)往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？（结果用数字作答） 【答案】(1)14400 (2)30960 (3)20160 【详解】（1）解：根据题意，分2步进行分析： ①先排列三个发言以外节目，全排列，有种情况，排好后有6个空位， ②在6个空位中任选3个，安排三个发言节目，有种情况， 则三个发言不能相邻的排法有＝14400种； （2）励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个，方法数为：种情况， 励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在第一个与最后一个，方法数为：种情况， 共有：＝30960种情况． （3）根据题意，五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．共有8个的先后位次；往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，8个位置选2个，有种方法，其它位置，任意排列， 共有的方法数：＝20160种情况． ( 题型0 4 ) 二项式定理 1.（23-24高二下·吉林·期中）的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【详解】的展开式的通项公式为， 令的幂指数，求得，故展开式中的系数为， 故选：C 2．（23-24高一下·吉林四平·期中）的展开式中所有有理项系数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的展开式的通项为， 要使为有理项，需， 又因为的展开式的通项为， 则两个二项式的展开式的系数相等， 所以问题可以转化为求的展开式的所有偶数项的系数之和， 令， 令，则①， 令，则②， 则①+②可得：， 则的展开式中所有有理项系数之和为. 故选：C． 3．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知二项式展开式的二项式系数和为，则展开式中的常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】二项式展开式的二项式系数和为，可得， 所以，二项式展开式的通项为， 令，可得，则展开式中常数项为. 故选：D. 4．（23-24高二下·吉林长春·期中）的展开式中，的系数等于（    ） A． B． C．10 D．45 【答案】B 【详解】的展开式为， 令，解得：， 故， 所以的系数等于-10. 故选：B 5．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，令可得，A正确；对于B，令可得， 令可得，则，B正确； 对于C，令可得，又由上知，则，C错误； 对于D，对两边同时求导得：， 令可得，D正确. 故选：C. 6.（23-24高二下·吉林·期中）（多选）二项式的展开式中（    ） A．前三项系数之和为22 B．二项式系数最大的项是第4项 C．常数项为15 D．所有项的系数之和为0 【答案】BCD 【详解】二项式展开式的通项为： ； 对于选项A，前三项的系数之和为：，A错误； 对于选项B，二项式系数中最大的是，恰好是第4项，B正确； 对于选项C，常数项时，通项公式中满足，得，即，C正确； 对于选项D，将代入，可得所有项的系数之和，结果为，D正确； 故选：BCD. 7．（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）若且，则实数m的值可以为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】AD 【详解】因为， 令可得， 所以，所以或， 解得或. 故选：AD 8.（23-24高二下·吉林长春·期中）在的展开式中，的系数为 . 【答案】240 【详解】，其展开式中含的项为，展开式中含的项为， 所以的系数为． 故答案为：240. 9．（23-24高二下·吉林长春·期中）的展开式中，记项的系数为，则 ． 【答案】30 【详解】含有的项为，则； 含有的项为，则； 则. 故答案为：30. 10.（23-24高二下·吉林长春·期中）（1）若在的展开式中，求的系数.(用数字作答) （2）二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，求其展开式中的常数项. 【答案】（1）-20；（2）-20 【详解】（1） 令，得， 所以的系数为-20. （2）因为二项式系数最大的项是第4项，所以，或，或 通项公式： 当时，令，得，不存在常数项． 当时，令，得，常数项为． 当时，令，得，不存在常数项． 所以展开式中的常数项为-20 11．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，若. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求的值. 【答案】(1)1 (2)56 (3)2 【详解】（1）因为， 令，可得，解得； （2）由（1）可知：，为一次项系数， 由于， 故一次项为，所以， （3）由（1）可知：，且， 令，可得， 则， 所以. 1.（23-24高二下·吉林四平·期中）三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有 种. 【答案】8 【详解】依题意，可由三名学生依次选修课程，故分三步完成， 由分步乘法计数原理知，不同的选法有（种）. 故答案为：8. 2.（23-24高一下·吉林四平·期中）从甲地去乙地有5班高铁，从乙地去丙地有4班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有 种． 【答案】20 【详解】由分步计数乘法原理可得， 从甲地去丙地可选择的出行方式有种． 故答案为：20． 3.（23-24高二下·吉林长春·期中）六个节目制成一个节目单，其中游戏不安排在第一个，唱歌和跳舞相邻，则不同的节目单顺序有 种.（结果用数字作答） 【答案】192 【详解】先将唱歌和跳舞进行捆绑看作一个与除游戏外的三个进行全排，则有种排法， 然后将游戏插入这4个排好的空中（不排第一个），有种， 由于唱歌和跳舞的位置可以互换，所以不同的节目单顺序有种， 故答案为：. 4．（23-24高二下·吉林·期中）从6件不同的礼物中选出3件送给3位同学，每人1件，不同的选法种数是 . 【答案】120 【详解】由题意得，先从6件礼物中任选3件，共有不同的方法， 然后选出3件送给3位同学，每人1件，共有不同的方法， 所以由分步乘法原理可知共有不同的方法， 故答案为：120 5．（23-24高二下·吉林·期中）某市教育局计划将甲、乙、丙、丁4名教师安排到三个乡镇支教，每个乡镇至少安排一名教师，则甲、乙不在同一个乡镇支教的安排方法共有 种． 【答案】30 【详解】先计算四名老师中有两名分在一所乡镇的种数， 可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全排列共有种， 再排除甲乙被分在同一所学校的情况共有种， 所以不同的安排方法种数是 故答案为：30． 6．（23-24高二下·吉林白山·期中）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有 个“十全十美数”. 【答案】54 【详解】构成“十全十美数”有3类办法， 有一位数字是0的“十全十美数”有个； 不含0但有相同数字的“十全十美数”有个； 不含0无相同数字的“十全十美数”有， 所以符合要求的“十全十美数”有个. 故答案为：54 7．（23-24高三下·吉林通化·期中）在的展开式中，有理项的个数为 ． 【答案】7 【详解】展开式中的第项为， 当时为有理项，共7项． 故答案为：7. 8．（23-24高二下·吉林长春·期中）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射. “神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙. 为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务. (1)若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【答案】(1)68；(2)2520. 【详解】（1）由题意，分成3种情况讨论： 有1名女性，3名男性，共有种选法， 有2名女性，2名男性，共有种选法， 有3名女性，1名男性，共有种选法， 所以共有16+36+16=68种选法， 即参加此次航天任务有男性也有女性的选法，共有68种选法； （2）由题意，先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室， 共有种方法. 所以每个实验室至少一名航天员，共有2520种选派方式. 9．（23-24高二下·吉林·期中）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的站法总数. (1)全体站成一排，女生必须站在一起. (2)全体站成一排，男生互不相邻. 【答案】(1)576 (2)1440 【详解】（1）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法， 再将女生全排列，有种方法，共有种； （2）先排女生，有种方法， 再在女生中间及首尾个空位中任选个空位安排男生，有种方法， 故共有种. 10．（23-24高二下·吉林·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值．（参考数据：） 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）令得，， 再令得，，所以， （2）令得，， 所以， 所以 11．（23-24高一下·吉林四平·期中）已知二项式的展开式中共有10项． (1)求展开式的第5项的二项式系数； (2)求展开式中的常数项． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得， 所以展开式的第5项的二项式系数为； （2）展开式的通项公式为， 其中， 令，得， 所以展开式中的常数项为. 12．（3-24高二下·吉林长春·期中）已知，该展开式二项式系数和为32. (1)求n的值； (2)求的值. 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）由题意，结合二项式系数的性质可得，，解得. （2）在展开式中令，得， 即. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$