专题01 一元函数的导数及其应用（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（吉林专用）

专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01平均变化率、瞬时变化率 题型02导数的概念及几何意义 题型03导数的运算 题型04用导数研究函数的单调性 题型05函数的极值和最值 ( 题型01 ) 平均变化率、瞬时变化率 1.（23-24高二下·吉林长春峰·期中）某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（　　） A．从时刻到物体的平均速度 B．从时刻到位移的平均变化率 C．当时刻为时该物体的速度 D．该物体在时刻的瞬时速度 2.（23-24高二下·吉林四平·期中）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二下·吉林长春·期中）某运动物体的位移与时间满足，则它在时的瞬时速度等于（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 导数的概念及几何意义 1.（23-24高二下·吉林长春·期中）设是可导函数，且，则（   ） A． B． C．0 D．1 2.（24-25高二下·吉林白山市·期中）若函数在处可导，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·吉林四平·期中）若是函数的导数，且，则（    ） A．－2 B． C． D．2 4.（23-24高二下·吉林·期中）已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·吉林四平·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（    ） A． B． C．2 D．1 6.（23-24高二下·吉林长春·期中）已知曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为1，则实数的值为（    ） A．0或1 B．1或 C．0或 D．或 7．（23-24高二下·吉林四平·期中）函数的图象在点处的切线斜率为1，则（    ） A．1 B． C． D．2 8．（23-24高二下·吉林辽源·期中）已知函数在处的切线方程为，求 ． 9．（22-23高二下·吉林长春·期末）已知，为正实数，函数在处的切线斜率为，则的最小值为 . ( 题型03 ) 导数的运算 1.（23-24高二下·吉林长春·期中）函数的导函数是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·吉林辽源市·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南昭通·期中）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·吉林通化市·期中）已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 5.（23-24高二下·吉林·期中）（多选）下列函数求导正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·吉林白城市·期中）（多选）下列函数求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7.（23-24高二下·吉林白山·期中）已知函数是的导函数，则 . 8．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数，则 ． ( 题型04 ) 用导数研究函数的单调性 1.（23-24高二下·吉林·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·吉林四平·期中）若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二下·吉林·期中）定义新运算.已知函数，，，则下列区间中，单调递增的为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 5．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（    ） A．B．C． D． 6．（23-24高二下·吉林长春·期中）下列函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 7.（23-24高二下·吉林延边·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 8.（23-24高二下·吉林四平市·期中）已知函数． (1)若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若有两个零点，求a的取值范围． 9.（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的零点； (2)讨论的单调区间. ( 题型05 ) 函数的极值和最值 1.（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 2．（23-24高二下·吉林·期中）（多选）已知函数，若的零点为，极值点为，则（    ） A． B． C．的极小值为 D．最小值为 3．（23-24高二下·吉林四平·期中）（多选）已知函数,则下列说法正确的是（    ） A．有且仅有一个极值点 B．有且仅有两个极值点 C．当时，的图象位于轴下方 D．存在，使得 4.（23-24高二下·吉林·期中）若函数在区间上有极值，则a的取值范围为 . 5.（23-24高二下·吉林延边·期中）已知函数． (1)当时（为大于0的常数），求的最大值； (2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围． 6.（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数，，且． (1)当m＝1时，求函数在x＝1处的切线方程； (2)若恒成立，在上存在最小值，求的取值范围． 7.（23-24高二下·吉林·期中）已知函数. (1)讨论函数的单调区间并求出极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围. 8．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数，，在处的切线与直线平行. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 9．（23-24高二下·吉林四平·期中）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 1.（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 2．（23-24高二下·吉林·期中）若，则（    ） A．0 B．2 C． D． 3．（23-24高二下·吉林·期中）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 5．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·吉林长春·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则函数在处无切线 B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点 C．曲线在处的切线方程为，则当时， D．已知函数，则函数在处的切线方程为 8．（23-24高二下·吉林·期中）（多选）已知为方程的根，为方程的根，则（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二下·吉林长春·期中）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·吉林·期中）（多选）已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（    ） A． B． C．1 D． 11．（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A． B．既有极大值又有极小值 C．若方程有4个根，则 D．若，则 12．（23-24高二下·吉林四平·期中）已知某物体运动的位移是时间的函数，且时，；时，.则该物体在时间段内的平均速度为 ；估计时的位移为 m． 13．（23-24高二下·吉林通化·期中）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 14．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 15．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：方程至多只有一个实数解． 16．（23-24高二下·吉林白城·期中）已知函数. (1)当时，求曲线上在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求实数m的取值范围. 17．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 18．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. 19．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围； (3)设是函数的两个极值点，证明： 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01平均变化率、瞬时变化率 题型02导数的概念及几何意义 题型03导数的运算 题型04用导数研究函数的单调性 题型05函数的极值和最值 ( 题型01 ) 平均变化率、瞬时变化率 1.（23-24高二下·吉林长春峰·期中）某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（　　） A．从时刻到物体的平均速度 B．从时刻到位移的平均变化率 C．当时刻为时该物体的速度 D．该物体在时刻的瞬时速度 【答案】D 【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度. 故选：D. 2.（23-24高二下·吉林四平·期中）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以，故B正确. 故选：B 3.（23-24高二下·吉林长春·期中）某运动物体的位移与时间满足，则它在时的瞬时速度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 故，即物体在时的瞬时速度等于， 故选：B ( 题型02 ) 导数的概念及几何意义 1.（23-24高二下·吉林长春·期中）设是可导函数，且，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】， 所以. 故选：D 2.（24-25高二下·吉林白山市·期中）若函数在处可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，. 故选：D 3．（23-24高二下·吉林四平·期中）若是函数的导数，且，则（    ） A．－2 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由导数的定义可得， 则. 故选：B 4.（23-24高二下·吉林·期中）已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由导数的几何意义可知，表示曲线在处的切线斜率， 表示曲线在处的切线斜率， 表示，两点连线的斜率， 由图可知，当从0变化到1时，切线斜率越来越大， 所以，对比选项可知，D正确. 故选：D. 5．（23-24高二下·吉林四平·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】设，点，则， 由在点处的切线与直线垂直可得， 即，又，. 故选：D 6.（23-24高二下·吉林长春·期中）已知曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为1，则实数的值为（    ） A．0或1 B．1或 C．0或 D．或 【答案】B 【详解】由函数，可得， 则且， 所以曲线在处的切线方程为， 取，可得；取，可得， 因为在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为1，可得， 解得或. 故选：B. 7．（23-24高二下·吉林四平·期中）函数的图象在点处的切线斜率为1，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以，解得. 故选：A． 8．（23-24高二下·吉林辽源·期中）已知函数在处的切线方程为，求 ． 【答案】5 【详解】因为函数在处的切线斜率为，又在处的切线方程为， 所以，因为函数在处的切点为，且切点也在切线上， 所以． . 故答案为：5 9．（22-23高二下·吉林长春·期末）已知，为正实数，函数在处的切线斜率为，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题，则， 因为，为正实数， 则， 当且仅当时取到等号. 故答案为：. ( 题型03 ) 导数的运算 1.（23-24高二下·吉林长春·期中）函数的导函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 2.（23-24高二下·吉林辽源市·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为,所以错, 因为,所以对, 因为,所以错, 因为,所以错. 故选：B 3．（23-24高二下·云南昭通·期中）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误. 故选：B. 4．（23-24高二下·吉林通化市·期中）已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 5.（23-24高二下·吉林·期中）（多选）下列函数求导正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为，，所以，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：BC 6．（23-24高二下·吉林白城市·期中）（多选）下列函数求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，，故选项A错误； 对于B，，故选项B错误； 对于C，，故选项C正确； 对于D，，故选项D正确； 故选：CD. 7.（23-24高二下·吉林白山·期中）已知函数是的导函数，则 . 【答案】 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得， 则，所以. 故答案为：. 8．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数，则 ． 【答案】 【详解】因为 ，所以， 所以，解得， 所以. 故答案为： ( 题型04 ) 用导数研究函数的单调性 1.（23-24高二下·吉林·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得，所以函数的单调递增区间是. 故选：B 2．（23-24高二下·吉林四平·期中）若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 当时，，不符合题意； 当时，令，解得， 在区间内存在单调减区间， ，解得. 实数的取值范围是. 故选：. 3.（23-24高二下·吉林·期中）定义新运算.已知函数，，，则下列区间中，单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以，令，则 即，所以，所以， 所以，所以， 所以单调递增区间为. 故选：B. 4．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为函数在上单调递增， 所以恒成立， 则，解得， 所以的最大值为. 故选：C. 5．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】观察图象知，当时，先单调递减，再单调递增， 则先为负数，再为正数， 在当时，先单调递增，再单调递减，最后单调递增， 所以先为正数，再为负数，最后为正数， 故只有B选项符合. 故选：B. 6．（23-24高二下·吉林长春·期中）下列函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：，则，则在定义域上单调递减，故A错误； 对于B：，则，所以当时，当时， 即函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C：，则，当时，所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D：，则，当时，当时， 即函数在上单调递减，在上单调递增，故D错误； 故选：C 7.（23-24高二下·吉林延边·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，得， ，则， 所以切线方程为：，即. （2）由题其定义域为R，可得， 当时，，，在上单调递减， ，，在上单调递增， 当时，由，解得， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时，在区间上，； 在区间上，； 所以在上单调递增；在上单调递减； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以在上单调递增；在上单调递减. 8.（23-24高二下·吉林四平市·期中）已知函数． (1)若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上为减函数， 当时，在上是减函数，在上是增函数． (3) 【详解】（1）由，求导得， 直线的斜率为， 又函数在点处的切线与直线垂直， 所以，即，解得． （2）因为，， 所以当时，，所以在上单调递减； 当时，， 令，解得，当，解得，当，解得， 所以时，单调递减，时，单调递增． 综上，可知：当时，在上为减函数， 当时，在上是减函数，在上是增函数． （3）①若，由（2）可知：最多有一个零点， ②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，， 由于均为上单调递增函数，所以函数在单调递增， 当时，，故当时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，，， 由，故在有一个零点， 假设存在正整数，满足，则， 由，所以，因此在上有一个零点． 综上，的取值范围为． 9.（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的零点； (2)讨论的单调区间. 【答案】(1)2和； (2)答案见解析 【详解】（1）令，即. 因为，所以. 又，所以，解得，. 所以函数有且只有两个零点2和. （2），令，即， 解得或. 若，则，恒成立，单调递减区间为，无增区间. 当，列表得： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，①若，则，列表得 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ②若，则，列表得 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 综上，当，单调递减区间为，无增区间， 当时，单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为，； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为，. ( 题型05 ) 函数的极值和最值 1.（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 【答案】BC 【详解】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点， 设这些点的横坐标依次为，满足，其中. 由图可知，当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减， 当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减. 综上所述，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值, 即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误； 因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能否取得， 但因函数分别在时取得极大值， 故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误. 故选：BC. 2．（23-24高二下·吉林·期中）（多选）已知函数，若的零点为，极值点为，则（    ） A． B． C．的极小值为 D．最小值为 【答案】BC 【详解】当时，，此时函数无零点， 当时，，函数的零点为，所以，故A错误； 当时，， 由得，由，得， 所以在为减函数，在为增函数， 即函数在处取得极小值，极小值点为，极小值为， 当时，为递增函数，此时无极值，也无最大值， 所以，所以，故BC正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 3．（23-24高二下·吉林四平·期中）（多选）已知函数,则下列说法正确的是（    ） A．有且仅有一个极值点 B．有且仅有两个极值点 C．当时，的图象位于轴下方 D．存在，使得 【答案】AC 【详解】由题意知，,令,, 易得在上单调递减,又,， 所以,使得， 所以当时,，当时,， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以有且仅有一个极值点.故A正确,B错误; 当时,，,所以,故C正确; 所以,故D错误. 故选:AC. 4.（23-24高二下·吉林·期中）若函数在区间上有极值，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由求导可得，， 因函数在区间上有极值， 则方程在区间上有实根， 故须使，（若，得，此时，函数在上无极值） 解得或 且方程在区间上有实根， 也即函数与在区间上有交点. 因在上递减，在上递增，且，， 故，即，解得，又或， 故a的取值范围为. 故答案为：. 5.（23-24高二下·吉林延边·期中）已知函数． (1)当时（为大于0的常数），求的最大值； (2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 当时，，所以； 当时，在上单调递减，所以． （2）当时，不等式， 即恒成立， 令，则，可知在上单调递减， 可得，即恒成立， 易知在内单调递减，所以，可得， 所以的取值范围为. 6.（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数，，且． (1)当m＝1时，求函数在x＝1处的切线方程； (2)若恒成立，在上存在最小值，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）当m＝1时，，定义域为：， ，所以切点坐标为：， 而，所以切线的斜率为：， 故切线的方程为：，即. （2）因为，所以， ， ， 因为，所以，所以. 所以，， 令，则或， 当时，，所以为增函数； 当时，，所以为减函数； 当时，，所以为增函数. 所以当时，有极小值为：， 因为在上存在最小值， 所以，所以. 恒成立，即恒成立， 所以恒成立， 令，定义域为：，， 若，则，所以为增函数，而， 所以当时，，所以不可能恒成立； 若，令得：. 时，，所以为增函数； 时，，所以为减函数. 所以，由于要恒成立， 所以只需，又因为，所以 所以. 所以. 故的取值范围为：. 7.（23-24高二下·吉林·期中）已知函数. (1)讨论函数的单调区间并求出极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2). 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，无极大值， 所以当时，的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，无极大值． （2）不等式， 令，依题意，在上恒成立， 求导得，令，求导得， 函数，即在上单调递减，， 因此函数在上单调递减，，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 8．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数，，在处的切线与直线平行. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值 【详解】（1）由题意可知，， ； （2）， ； 即函数在上单调递增，在上单调递减； 故函数的极大值为，无极小值. 9．（23-24高二下·吉林四平·期中）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【详解】（1）函数的定义域为，， ①当时，解得，解得， 此时函数的减区间为，增区间为， ②当时，解得，解得， 此时函数的增区间为，减区间为； （2）不等式可化为， 由恒成立，取，有，可得， 又由可化为， 令，有， 令解得，解得 此时函数的减区间为，增区间为， 有，可得， 可得， 下面证明，即证明， 令，有， 令解得，解得， 可得函数的减区间为，增区间为， 有， 可得不等式成立， 所以若恒成立，则实数的取值范围为. 1.（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【详解】. 故选：B. 2．（23-24高二下·吉林·期中）若，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由，求导得，则， 所以. 故选：B 3．（23-24高二下·吉林·期中）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，可得，则， 即曲线在点处的切线的斜率为. 故选：B. 4．（23-24高二下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【详解】由题意可得 ， 故选：A. 5．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以且，则， 故，令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，则，即的取值范围是. 故选：C． 6．（22-23高二下·吉林长春·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知函数的定义域为，在x<0时，f（x)>0,故AB错误； 当时，，所以 所以函数在上单调递增，故D错误. 故选：C 7．（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则函数在处无切线 B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点 C．曲线在处的切线方程为，则当时， D．已知函数，则函数在处的切线方程为 【答案】BCD 【详解】对于A，若，则函数在处的切线斜率为0，故选项A错误； 对于B，函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数， 在处的切线为，与函数的图象还有一个公共点，故选项B正确； 对于C，因为曲线在处的切线方程为，所以 又，故选项C正确； 对于D，因为函数的导数，所以，又， 所以切点坐标为，斜率为，所以切线方程为， 化简得，故选项D正确. 故选：BCD. 8．（23-24高二下·吉林·期中）（多选）已知为方程的根，为方程的根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】设， 由知均在上单调递增. 由，可得，则， 整理得，A不正确； 由，可得，则， 从而，B正确； 由，可得．因为，所以， 则，即，即，则，C正确； 令，则，当时，单调递增， 因为，且，所以，即， 从而，D正确. 故选：BCD 9．（22-23高二下·吉林长春·期中）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意，，，因此的增区间是， 因此ABD正确，C错误． 故选：ABD． 10．（23-24高二下·吉林·期中）（多选）已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以， 所以可化为， 即；令， 则有对于定义域内任意，都有， 所以在上单调递减，所以在上，； 因为，所以，即， 因为，所以，即； 令，，当时，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 可化为，，因为所以； 由，可知当时，，当时，， 根据在上的单调性以及的正负情况， 有：若，则在上恒成立，所以， 即在上恒成立；令，则， ，解得，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递增减， 所以时，取得最大值，，所以； 因为，，均满足题意，不合题意，所以ACD正确，B错误. 故选：ACD. 11．（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A． B．既有极大值又有极小值 C．若方程有4个根，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A中，由，所以，所以A正确； 对于B中，由函数，可得其定义域为， 且， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，无极大值，所以B错误； 对于C中，由B项知，函数的最小值为， 当时，；当时，， 把的图象关于轴对称翻折到的左侧，即可得到的图象，如图所示， 方程有4个根等价于函数和的图象有4个交点， 可得，即实数的取值范围为，所以C正确； 对于D中，由， 若，由图象可知，，或， 所以，所以D正确. 12．（23-24高二下·吉林四平·期中）已知某物体运动的位移是时间的函数，且时，；时，.则该物体在时间段内的平均速度为 ；估计时的位移为 m． 【答案】 1.94 【详解】由题意得，， 经过点的直线方程为， 当时，， 故答案为：15.6，1.94． 13．（23-24高二下·吉林通化·期中）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）设切点为，则，切线方程为， 因为切线经过原点，故，所以， 故，切点为，切线方程为， 即过原点的切线方程为. 14．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)递增区间为，递减区间为； (2). 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间为，递减区间为. （2）函数，求导得， 不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 而，当且仅当时取等号，于是， 所以实数m的取值范围是. 15．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：方程至多只有一个实数解． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为函数，， 所以， 当时，，单调递减； 当时，由，得，解得，单调递增； 由，得，解得，单调递减； 当时，由，得无解； 由，得恒成立，单调递减；； 当时，，单调递减； 当时，由，得，解得； 由，得，解得， 综上：当时，在上单调递增；在上单调递减； 当时，在R上是减函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，由于，故不满足恒成立； 当时，单调递减，又，故不满足恒成立； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 要使得恒成立，则， 即， 所以，解得， 综上，实数的取值范围为； （3）设， 则， ①当时，恒成立，令得， 则时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以， 此时函数无零点，即方程无实根； ②当时，令得，， （i）当时，恒成立，所以在上单调递增， 又，此时函数有唯一的零点， 即方程唯一的根； （ii）当时，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 则函数在区间上无零点，在上至多只有一个零点， 所以方程至多只有一个实数解； （iii）当时，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 则函数在区间上无零点，在上至多只有一个零点， 故至多只有一个实数解； 综上，方程至多只有一个实数解. 16．（23-24高二下·吉林白城·期中）已知函数. (1)当时，求曲线上在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 则， 则， 所以曲线上在点处的切线方程为； （2）， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 因为在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 所以， 所以. 17．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）因为函数，， 所以， 当时，，单调递减； 当时，由，得，解得，单调递增； 由，得，解得，单调递减； 综上：当时在R上是减函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，单调递减，又，故不满足恒成立； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 要使得恒成立，则， 即， 所以，解得， 综上，实数的取值范围为； 18．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得极小值， 由，解得或（舍去）. 故的值为。 （2）由题意可知，方程有两个不同的正实数根，即有两个不同的实数根. 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 验证可知，， 由得，所以. 当时，方程，即方程，则有两个不同的正实数根. 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. 不妨设，则. 令， 则， 所以在上单调递增，则当时，， 所以 又，函数在上单调递减， 所以，则， 因为，故. 19．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围； (3)设是函数的两个极值点，证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，， 则，， 所以的图象在处的切线方程为：，即. （2）， 因为函数存在单调递减区间，所以在上有解， 因为，设，则， 所以只需或，解得或， 故实数a的取值范围为. （3）由题意可知，， 因为有两个极值点， 所以是的两个根，则且， 所以 ， 所以要证，即证， 即证，即证，即证， 令，则证明，令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以原不等式成立. 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$