专题05 点线面位置关系（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（吉林专用）

专题05 点、线、面位置关系 题型概览 题型01异面直线 题型02直线与平面平行 题型03平面与平面平行 题型04直线与平面垂直 题型05平面与平面垂直 ( 题型01 ) 异面直线 1.（24-25高一下·吉林长春·期中）已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当点位于位置时，证明与直线相交，A错误； 对于D，当点位于位置时，证明与直线相交，D错误； 对于B，当点位于的中点时，如图， 因为四边形为平行四边形， 所以也为的中点， 因为，所以四点共面， 所以与共面，B错误； 对于C，直线平面，直线平面， 点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，C正确； 故选：C. 2.（24-25高一下·吉林四通·期中）已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，对于命题： ①若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交； ②若，，是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交． 则下列结论中正确的是（   ）． A．①为真命题②为真命题 B．①为真命题②为假命题 C．①为假命题②为假命题 D．①为假命题②为真命题 【答案】B 【详解】对于命题①假若既不与相交，也不与相交，由于，都在内，故，平行， 同理，平行，根据平行公理得到，平行，与已知，为异面直线矛盾， 所以必与或相交，命题①正确 如图所示， ，，是异面直线，上下两个平面，是分别通过，中的一条而与另一条平行的平面， 直线与这两个平面都相交，交点，都不在直线，上. 在直线上任取一点不同于，的点， 由于，异面，所以，则直线与点确定一个平面， 由面面平行性质定理可得该平面与平面的交线与直线平行， 而直线，为异面直线， 所以这平面与直线相交，设交点为， 连接的直线与直线必然相交（否则，这条线必在平面内)， 由于点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与，，都相交，命题②错误， 故选：B. 3.（23-24高一下·吉林·期中）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C．直线与异面 D．直线与异面 【答案】AD 【详解】根据题意，画出该正方体的直观图， 对于A，易得，A正确； 对于B，与异面，B错误； 对于C，直线与相交，C错误； 对于D，直线与异面，D正确. 故选：AD. 4.（23-24高一下·吉林长春·期中）在正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【详解】连接， 因为∥，且， 可知四边形为平行四边形，则∥， 则异面直线与所成角为（或其补角）， 由题意可知：，即为等边三角形，则， 所以异面直线与所成角为. 故答案为： 5.（23-24高一下·吉林白山·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. ( 题型0 2 ) 直线与平面平行 1.（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 【答案】D 【详解】A选项，当时，在直线上，除了之外，其余点有无数个都不在内，故A选项错误； B选项，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，B选项错误； C选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，C选项错误； D选项，若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行，D选项正确. 故选：D 2.（23-24高一下·吉林松原·期中）若直线在平面外，则（    ） A． B．与至多有一个公共点 C．与没有公共点 D．与至少有一个公共点 【答案】B 【详解】直线在平面外，包含两种情况：一是；二是与相交，此时与有一个公共点. 综上，与至多有一个公共点. 故选：B 3.（23-24高一下·吉林辽源·期中）已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成个部分 【答案】D 【详解】对于选项A，若，，则与可能相交、平行或异面，故选项A错误； 对于选项B，若，，则或，故选项B错误； 对于选项C，若，，且，，因为直线，未必相交，所以与不一定平行，故选项C错误； 对于选项D，，，三个平面两两垂直时，可将空间分割成个部分，故选项D正确． 故选：D. 4.（23-24高一下·吉林四平·期中）已知直线、及平面，直线平面，则“直线直线”是“直线平面”的（   ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】如图：直线平面，直线平面， 所以直线直线，但是直线平面， 所以直线直线不能推出直线平面， 所以“直线直线”不是“直线平面”的充分条件，    如图直线平面，直线平面， 过直线作平面，平面平面， 因为直线平面，直线平面， 所以直线直线，又直线平面，直线平面， 所以直线直线，又直线直线， 所以直线直线， 即直线平面可推出直线直线， “直线直线”是“直线平面”的必要条件，    所以“直线直线”是“直线平面”的必要不充分条件. 故选：B. 5.（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接, 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2）分别是的中点， ， 平面，平面， 平面， 若平面平面， 又平面， 所以. 6．（23-24高一下·吉林白城·期中）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． (1)求证：平面． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，连接． 点为的中点，且点为的中点 为的中位线，即． 又平面平面 平面 （2）为矩形 又平面平面 点到平面的距离为1，即棱锥的高为1． 又为的中点，且 ． 7．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，是四棱锥的高，且是的中点；    (1)求证平面； (2)求四棱锥和三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【详解】（1）连结交于，连结. ∵四边形是正方形，∴是的中点. 又∵是的中点，∴.            平面平面 ∴平面.                          （2）∵是四棱锥的高， ∴， 即四棱锥的体积为. 同理，∵是四棱锥的高，∴是四棱锥的高 法一∴； ∴    法二∴ 8．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图.在正四棱台中，分别在棱上，且.    (1)证明：平面. (2)证明：直线交于同一点. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）在正四棱台中，连接，连接， 平面平面，平面平面，平面平面， 则，而，又，则， 因此四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面.    （2）连接，依题意，，则，且， 于是四边形是梯形，交于一点，令交点为， 则，而平面，平面， 因此平面，平面，又平面平面， 所以，即直线交于同一点. ( 题型0 3 ) 平面与平面平行 1.（23-24高一下·吉林长春·期中）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】A选项：如图：    在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误； B选项：如图：    在正方体中，，此时，B选项错误； D选项：如图：    在正方体中：，此时，D选项错误； C选项：如图：    过作平面，使得，，∵，∴，则， 又∵，∴，∴，C选项正确. 故选：C. 2.（23-24高一下·吉林白山·期中）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对于A，由，，，得或是异面直线，A错误； 对于B，由，，得或，B错误； 对于C，由，，得与相交或，C错误； 对于D，由，得存在过的平面与相交，令交线为，则， 而，，于是，又，，则，因此，D正确. 故选：D 3.（23-24高一下·吉林松原市·期中）如图所示：在长方体中，，，E、F分别是面，中心，G，H分别是，的中点. (1)证明：面面； (2)证明：面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接，，则F，E分别为，的中点， 则，又面，面， 所以面， ，又面，面， 所以面， 又，，面， 所以面面. . （2）连接，，G，F分别是AD，AC的中点， ，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又面，面， 所以面. . 4.（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵在梯形中，，，∴， 又G为的中点，∴，∴， 故四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. ∵分别是，的中点， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. （2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h. 故， 由，可得， ∴. 又∵，， ∴. 故， ∴. 在中，. 故圆台的侧面积. 5．（23-24高一下·吉林白城市·期中）如图，在正方体中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点. (1)求证：平面平面； (2)若正方体棱长为2，请在正方体的表面完整做出过A，E，三点的截面，写出作图过程，并求出截面的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析， 【详解】（1）连接BH，且FG为的中位线，∴， ∵面，面，∴面， ∵，面，面，∴面， ∵，EF，FG都在平面EFG内，∴平面平面. （2）如图，四边形为所求截面. 取的中点N，连接，NE， ∴，， 取的中点M，连接AM，， ∴，， ∴，， ∴平行四边形为过A，E，三点的截面， 又，则四边形为菱形， ∴. ( 题型0 4 ) 直线与平面垂直 1.（23-24高一下·吉林白城市·期中）已知直线与平面，则能使成立的充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【详解】对于A，若，，则可能平行或相交，A错误； 对于B，若，，则可能平行或相交，B错误； 对于C，若，则在平面内必存在一条直线，使得， ，，又，，充分性成立，C正确； 对于D，在如下图所示的钝二面角中，，，，无法得到，D错误. 故选：C. 2.（23-24高一下·吉林通化市·期中）（多选）已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【详解】A选项，由于，，所以，故A正确； B选项，若，，则，故B正确； C选项，若，，则，可能平行、相交或异面，故C错误； D选项，若，，则或，故D错误. 故选：AB. 3.（23-24高一下·吉林辽源·期中）（多选）已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，若，，则或者异面，或者相交，故A错误， 对于B，若，，则，故B正确， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：BD 4.（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）    连接，交于点，连接， ∵是正方形对角线交点，∴为的中点， 由已知为线段的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面； （2），为线段的中点，， ∵平面，平面，， 在正方形中，，又，平面， 平面，又平面， ，又，平面， 平面； 5.（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点 (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)若点为的中点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）∵平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面， ∵，点为中点， ∴， ∵平面平面，平面， ∴平面. （2） 取中点，连接，， ∵，，，点为中点， ∴四边为平行四边形，∴， ∴直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等， ∵平面， ∴为直线与平面所成的角， ∵点为中点，， ∴，，， ∴，又，所以， 所以直线与平面所成角为. （3）如图，连结和， 由，，，且平面， 所以,， ，，, 所以是等边三角形，， 设点到平面的距离为， 则，即，得 所以点到平面的距离为 ( 题型0 5 ) 平面与平面垂直 1.（23-24高一下·吉林·期中）设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】如图，长方体中，记平面为.    A项，若，则或. 如：图中设为直线，为直线， 则，但，不满足，故A不正确； B项，由，且，不一定垂直. 如：设图中平面为平面，设为直线，为直线， 则，且，但，不满足，故B不正确； C项，若，，则或， 如：设图中平面为平面，设为直线，为直线， 则，但，不满足，故C不正确； D项，若，，， 由线面平行的性质定理可得，所以D正确. 故选：D. 2．（23-24高一下·吉林白山·期中）设有直线，，和平面，，下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系可以相交，异面，平行，故A错； 对B：分别与两个平行平面平行的直线的位置关系可以相交，异面，平行，故B错； 对C：两个平面互相垂直，其中一个平面的任一直线和另一平面的位置关系可以相交，平行，故C错； 对D：两个平面互相垂直，其中一个平面的垂线与另一个平面平行或在另一平面内，又明确知道直线不在另一平面内，所以直线和另一平面平行，故D正确. 故选：D 3.（23-24高一下·吉林·期中）在四面体ABCD中，平面平面BCD，，且，则四面体ABCD的体积为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 因为，，所以， 又， 所以四面体的体积， 故选：C. 4.（23-24高一下·吉林白山·期中）（多选）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 【答案】BCD 【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设为直线为直线， 四边形所在的平面为，四边形所在的平面为， 显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，A错误； 对于B，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线， 则，由 知，从而；B正确 对于C，由平面与平面平行的定义知，如果，那么C正确； 对于D，由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确． 故选：BCD． 5.（23-24高一下·吉林长春·期中）（多选）如图，在五边形中，四边形为正方形，，，F为AB中点，现将沿折起到面位置，使得，则下列结论正确的是（    ）    A．平面平面 B．若为的中点，则平面 C．折起过程中，点的轨迹长度为 D．三棱锥的外接球的体积为 【答案】ABD 【详解】对于A：由题意得，所以，即， 而已知，且注意到，，平面，平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故A正确； 对于B：因为为的中点，所以，又，所以， 又平面，平面，所以平面，故B正确；    对于C：    因为四边形为正方形，，，所以， 过点作交于点，则， 所以折起过程中，点的轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 所以点的轨迹长为，故C错误； 对于D：连接，则，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又四边形为边长为的正方形，则三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球， 又四边形外接圆的直径为，， 设四棱锥的外接球的半径为，则，即， 所以， 所以外接球的体积， 即三棱锥的外接球的体积为，故D正确. 故选：ABD    6.（23-24高一下·吉林白城·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵平面，平面，∴. ∵,平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） 取中点，连接，过点作于点，连接. ∵点分别为的中点，∴，， ∴平面， ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴为二面角的平面角， 在直角梯形中，. ∵，∴， ∴，即二面角的正切值为. 7.（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四面体中，，，为的中点，为上一点.    (1)求证：平面平面BDF； (2)若，，. （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）,（ⅱ）． 【详解】（1）在四面体中，，，为的中点，则，， 而，,平面，得平面， 又平面，所以平面平面； （2）（ⅰ）依题意，，，为的中点，则，，故即为二面角的平面角， 由于，又，则， 又，则， 在中，，所以， 故二面角的余弦值为 （ⅱ）由于，故， ， 由（1）得，， 因，即， 则， 设点到平面的距离为，则，解得， 即点到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，所以， 因为，所以， 故当时，最短， 此时，正弦值最大为． 1．（23-24高一下·贵州·期中）若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（    ） A．内存在与平行的直线 B．内所有直线都与异面 C．与有公共交点 D．内所有直线都与相交 【答案】C 【详解】由直线不平行于平面，且直线，得直线与平面相交，则与有公共交点，C正确； 平面内不存在直线与平行，否则，与已知矛盾，因此内所有直线都与异面或相交，ABD错误. 故选：C 2．（23-24高一下·吉林长春·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若直线l平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； C．若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线 D．若直线，和平面满足，；则 【答案】C 【详解】选项A中缺少l在平面外这一条件，A错误； 选项B，若直线a，b相交，b，c相交，则a，c异面、平行、相交都有可能，B错误； 选项C，若四点中恰有三点共线，则直线和直线外一点，确定一个平面；若四点共线，则四点一定共面；若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，故C正确； 选项D，缺少b不在平面内，D错误． 故选：C． 3．（23-24高一下·吉林辽源·期中）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，，则或，A错误； 对于B，，则或，B错误； 对于C，，则直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，C错误； 对于D，由线面平行的性质知，D正确. 故选：D 4．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，且取EF中点为O，则在这个空间图形中必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，平面，则平面， 而平面，因此，而不重合，C正确，A错误； 显然，B错误； 若，而，平面， 则平面，又平面，于是， 在中，为斜边的中点，，矛盾，D错误. 故选：C 5．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）（多选）下列是基本事实的是（    ） A．过三个点有且只有一个平面 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】BCD 【详解】对于A，基本事实1是过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，故A错误； 对于B，“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4，故B正确； 对于C，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2，故C正确； 对于D，“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本事实3，故D正确. 故选：BCD 6．（24-25高一下·吉林长春·期中）（多选）若直线l与平面α相交，则下列结论正确的是（   ） A．平面α内存在无数条直线和直线l异面； B．平面α内任意直线都和直线l不平行； C．平面α内有且仅有一条直线和直线l相交； D．平面α内任意直线都与直线l相交. 【答案】AB 【详解】因为直线l与平面α相交，所以平面α内的直线与直线l的关系相交或异面， 对于A:平面α内存在无数条直线和直线l异面，故A正确； 对于B:平面α内任意直线都和直线l不平行，故B正确； 对于C:平面α内有无数条直线和直线l相交，故C错误； 对于D:平面α内任意直线都与直线l相交或异面，故D错误. 故答案为：AB. 7．（23-24高一下·吉林四平·期中）（多选）正方体的棱长为a，M，N分别是正方形，的中心（如图所示）.则下列结论正确的是（    ） A． B．AB与共面 C．平面与该正方体所得的截面面积为． D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为 【答案】BCD 【详解】在正方体中，过作分别交于，连接，则， 对于A，平面，点平面，点， 又点平面， 因此是异面直线，A错误； 对于C，四边形是矩形，且是平面截该正方体所得的截面，而为正方形的中心， 则是的中点，，矩形的面积，C正确； 连接，矩形是正方体的对角面，则， 由为正方形的中心，得点为中点，因此， 点共面，则与共面，B正确； 对于D，，延长交于点，连接交于点， 延长交于，连接，令直线交于，连接， 则四边形是平面截正方体所得截面， 由分别为正方形，的中心，得， 连接， 多面体的体积， 而正方体的体积，因此平面将正方体分成前后两部分的体积比为，D正确. 故选：BCD 8．（23-24高一下·吉林辽源·期中）（多选）若直线不平行于平面，且，则下列结论错误的是（    ） A．内的所有直线与是异面直线 B．内不存在与平行的直线 C．内存在唯一一条直线与平行 D．内的所有直线与都相交 【答案】ACD 【详解】因为直线不平行于平面，且，则与平面相交， 设交点为，则平面内所有过点的直线与直线相交，即共面， 平面内所有不过点的直线与直线异面，故A错误，D错误； 显然内不存在与平行的直线，故B正确，C错误. 故选：ACD 9．（23-24高一下·吉林·期中）（多选）在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），则下列结论正确的是（    ） A．直线与异面 B．直线与平面所成的角为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【详解】如图1，由四棱台可知，，即四边形为等腰梯形，则与相交，则A选项错误； 设，分别是和的中点， 则是四棱台的高， 作，垂足为， 由题中数据可知，则直线与平面所成的角为， ，则，故B选项正确； 如图2，把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 易知的最小值就是展开图中的长， 过点作，则，又，所以， 故在中，，，则， 即的最小值为，故C选项正确； 在中，由余弦定理可得，则，， ， 从而， 由图可知，则D选项错误； 故选：BC. 10．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，为中点，证明见解析. 【详解】（1）. 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 12．（23-24高一下·吉林通平·期中）如图：在正方体中，棱长，M为的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)若为线段上的动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，理由见解析 【详解】（1）因为 故三棱锥的体积为． （2）证明：连接，设，连结， 因为，分别是和的中点， 所以， 平面，平面， 所以平面； （3）存在点为的中点时，使平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面，且平面， 且，平面， 所以平面平面, 若，则平面， 所以平面 所以线段上存在中点，使平面. 13．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点． (1)证明，是直角三角形； (2)若，，求直线AB与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由是⊙O的直径，是圆周上不同于的一动点，得， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，因此，所以是直角三角形． （2）过作于，    由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 于是是直线与平面所成的角， 在中，， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 14．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，，平面平面，，点在棱上，且平面 (1)求的长； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于平面，平面，平面平面， 所以，由于是中点，所以是的中点， 平面平面，且两平面交线为， 又，，故，平面， 由面面垂直的性质知平面，平面，故， 由于底面是菱形，，，故, 所以, 因此. （2）由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半， 所以. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 点、线、面位置关系 题型概览 题型01异面直线 题型02直线与平面平行 题型03平面与平面平行 题型04直线与平面垂直 题型05平面与平面垂直 ( 题型01 ) 异面直线 1.（24-25高一下·吉林长春·期中）已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·吉林四通·期中）已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，对于命题： ①若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交； ②若，，是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交． 则下列结论中正确的是（   ）． A．①为真命题②为真命题 B．①为真命题②为假命题 C．①为假命题②为假命题 D．①为假命题②为真命题 3.（23-24高一下·吉林·期中）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C．直线与异面 D．直线与异面 4.（23-24高一下·吉林长春·期中）在正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 5.（23-24高一下·吉林白山·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. ( 题型0 2 ) 直线与平面平行 1.（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 2.（23-24高一下·吉林松原·期中）若直线在平面外，则（    ） A． B．与至多有一个公共点 C．与没有公共点 D．与至少有一个公共点 3.（23-24高一下·吉林辽源·期中）已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成个部分 4.（23-24高一下·吉林四平·期中）已知直线、及平面，直线平面，则“直线直线”是“直线平面”的（   ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5.（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点. (1)证明：平面. (2)若平面平面，证明：. 6．（23-24高一下·吉林白城·期中）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． (1)求证：平面． (2)求三棱锥的体积． 7．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，是四棱锥的高，且是的中点；    (1)求证平面； (2)求四棱锥和三棱锥的体积． 8．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图.在正四棱台中，分别在棱上，且.    (1)证明：平面. (2)证明：直线交于同一点. ( 题型0 3 ) 平面与平面平行 1.（23-24高一下·吉林长春·期中）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（23-24高一下·吉林白山·期中）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3.（23-24高一下·吉林松原市·期中）如图所示：在长方体中，，，E、F分别是面，中心，G，H分别是，的中点. (1)证明：面面； (2)证明：面. 4.（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积. 5．（23-24高一下·吉林白城市·期中）如图，在正方体中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点. (1)求证：平面平面； (2)若正方体棱长为2，请在正方体的表面完整做出过A，E，三点的截面，写出作图过程，并求出截面的面积. ( 题型0 4 ) 直线与平面垂直 1.（23-24高一下·吉林白城市·期中）已知直线与平面，则能使成立的充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 2.（23-24高一下·吉林通化市·期中）（多选）已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3.（23-24高一下·吉林辽源·期中）（多选）已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4.（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 5.（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点 (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)若点为的中点，求点到平面的距离． ( 题型0 5 ) 平面与平面垂直 1.（23-24高一下·吉林·期中）设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，，则 D．若，，，则 2．（23-24高一下·吉林白山·期中）设有直线，，和平面，，下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 3.（23-24高一下·吉林·期中）在四面体ABCD中，平面平面BCD，，且，则四面体ABCD的体积为（    ） A．2 B．6 C． D． 4.（23-24高一下·吉林白山·期中）（多选）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 5.（23-24高一下·吉林长春·期中）（多选）如图，在五边形中，四边形为正方形，，，F为AB中点，现将沿折起到面位置，使得，则下列结论正确的是（    ）    A．平面平面 B．若为的中点，则平面 C．折起过程中，点的轨迹长度为 D．三棱锥的外接球的体积为 6.（23-24高一下·吉林白城·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 7.（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四面体中，，，为的中点，为上一点.    (1)求证：平面平面BDF； (2)若，，. （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 1．（23-24高一下·贵州·期中）若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（    ） A．内存在与平行的直线 B．内所有直线都与异面 C．与有公共交点 D．内所有直线都与相交 2．（23-24高一下·吉林长春·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若直线l平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； C．若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线 D．若直线，和平面满足，；则 3．（23-24高一下·吉林辽源·期中）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，且取EF中点为O，则在这个空间图形中必有（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）（多选）下列是基本事实的是（    ） A．过三个点有且只有一个平面 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 6．（24-25高一下·吉林长春·期中）（多选）若直线l与平面α相交，则下列结论正确的是（   ） A．平面α内存在无数条直线和直线l异面； B．平面α内任意直线都和直线l不平行； C．平面α内有且仅有一条直线和直线l相交； D．平面α内任意直线都与直线l相交. 7．（23-24高一下·吉林四平·期中）（多选）正方体的棱长为a，M，N分别是正方形，的中心（如图所示）.则下列结论正确的是（    ） A． B．AB与共面 C．平面与该正方体所得的截面面积为． D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为 8．（23-24高一下·吉林辽源·期中）（多选）若直线不平行于平面，且，则下列结论错误的是（    ） A．内的所有直线与是异面直线 B．内不存在与平行的直线 C．内存在唯一一条直线与平行 D．内的所有直线与都相交 9．（23-24高一下·吉林·期中）（多选）在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），则下列结论正确的是（    ） A．直线与异面 B．直线与平面所成的角为 C．的最小值为 D．的最小值为 10．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 12．（23-24高一下·吉林通平·期中）如图：在正方体中，棱长，M为的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)若为线段上的动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 13．（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点． (1)证明，是直角三角形； (2)若，，求直线AB与平面所成角的正弦值． 14．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，，平面平面，，点在棱上，且平面 (1)求的长； (2)求三棱锥的体积. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$