培优专题01 分式及其基本性质和分式的运算（7考点+20题型+2易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

培优专题 分式及其基本性质和分式的运算 分式的概念 形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子（或者说被除数），B叫做分式的分母（或者说除数）。 下列各式： 中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：在中， 是分式，共3个， 故选：C． 特别注意： 判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母（或者说除数）中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。 分式方程的条件 1.分式有意义条件：分母（或者说除数）不为0。 2.分式值为0条件：分子（或者说被除数）为0且分母不为0。 3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。 4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。 5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。 关于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式的值为 C．当时，分式没有意义 D．当时，分式的值为 【答案】B 【详解】解：、当时，，分式有意义，该选项说法正确，不合题意； 、当时，，有可能等于，故分式可能无意义，该选项说法错误，符合题意； 、当时，，分式没有意义，该选项说法正确，不合题意； 、当时，，，分式的值为，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为： 其中A、B、C为整式，C≠0 下列运算中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、把分式分子分母同时乘以，即可得到分式，即，A选项运算正确， B、把分式分子分母同时乘以，得，即，B选项运算错误， C、分式，C选项运算正确， D、分式分子分母同时乘以10得：，D选项运算正确， 故选：B． 【特别注意】 分式有意义的条件常结合二次根式、0次幂进行考查，需要熟悉以上两种方法： 1.二次根式有意义的条件：被开方数≥0； 2.0次幂有意义的条件：底数不为0 分式的通分 分式通分的步骤如下 1.‌分解分母因式：将每个分式的分母分解为质因数或因式乘积形式。 2.‌确定最简公分母：①取各分母系数的最小公倍数；②对分母中的因式部分，取所有出现因式的最高次幂。3.‌变形分式：将每个分式的分子和分母同时乘以“最简公分母÷原分母”的商。 4.‌保持等价性：通分后的分式需与原分式等价，即分子分母同乘的整式不能为 0，且运算过程中需注意符号和分配律。 通分： (1)，，； (2)，． 【详解】（1）解：，，的最简公分母是 ， ， ； （2），的最简公分母是， ， ． 【特别注意】 ①若分母是多项式，需优先完成因式分解。‌②通分后可能需要对结果进行约分或化简。③涉及多个变量时，需确保所有因式均被覆盖。‌ 分式加减运算 分式的加减运算：如果分式中各个分母相同，则直接分母不变，分子相加减；如果分式中各个分母不同，则需要先根据通分化为同分母后，在分母不变，分子想加减； 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 分式的约分 根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式步骤： 1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。 2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。 约分： (1) (2) (3) 【答案】(1)(2)m(3) 【详解】（1）＝= （2）＝=m； （3）＝=． 提醒：通分操作注意事项 1.多项式分式必须先分解因式：当分子或分母为多项式时，需先进行因式分解(如提取公因式、公式法分解 等)； 2.分解需彻底：若因式分解不彻底，可能导致遗漏公因式，约分不完全。 分式乘除运算 分式的乘法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为： 分式的除法：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘： 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 判断是否为分式 例1．在代数式，，，中，属于分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题思路:首先观察分子分母是否都是整式，其次观察分母是否含有字母即可。 【答案】B 【详解】解：、分母中含有字母，故是分式，，分母中不含有字母，故不是分式， 故属于分式的有2个， 故选：B． 【变式1-1】下列各式，，，，是分式的有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：由题意得，分式有，，，共3个． 故选：C． 【变式1-2】下列各式中：，，，，0，，，其中分式共有 个． 【答案】3 【详解】解：，，，，0，，中，分式有，，共3个； 故答案为：3． 【变式1-3】有下列各式∶①；②；③；④．其中是分式有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：①，是分式； ②，是分式； ③，不是分式； ④，是分式； 故答案为：①②④ 分式的值为0的条件 例2．若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B．1 C． D．2 解题关键：分式的值为0的条件是：分子为0的同时分母不为0. 【答案】D 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得． 故选：D． 【变式2-1】若分式的值为0，则x的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：若分式的值为0， 则且， 解得， 故选：A． 【变式2-2】若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ． 【答案】 2 或2/2或 2 【详解】解：若的值为0，即，即． 若代数式的值为0，则或，解得：或． 若代数式的值为0，则或，又使得分式有意义即，故只有当时，代数式的值为0， 故答案为：2；2或；2 【变式2-3】若分式的值为0，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解得：， 故答案为：． 分式有（无）意义的条件 例3．要使分式有意义，则x的取值范围是（  ） A．x B．x C．x D．x 解题思路：分式有意义的条件是分母不为0.分式无意义的条件是分母为0. 【答案】D 【详解】根据题意得， ∴． 故选：D． 【变式3-1】下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、 ， ，则，无论 取何值，分式都有意义，故此选项符合题意； B、当时，分式分母，分式无意义，故此选项不符合题意； C、当时，分式分母，分式无意义，故此选项不符合题意； D、当时，分式分母，分式无意义，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式3-2】已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 【答案】 【详解】解：时，分式没有意义， 时，分式的值为零， ． 【变式3-3】当x 时，分式有意义；当x 时，分式没有意义． 【答案】 【详解】解：当时，分式有意义， 所以； 当时，分式没有意义． 所以． 故答案为：；． 分式的实际应用 例4．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 解题思路：先由题意得出该汽车在其它路段行驶的平均速度，再由时间路程速度即可得出汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间． 【答案】C 【详解】解：依题得：该汽车在海底隧道行驶的平均速度为， 则该汽车在其它路段行驶的平均速度为， 汽车通过海底隧道所用的时间为小时，汽车通过其他路段所用的时间为小时， 该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为小时． 故选：． 【变式4-1】某校12月组织a名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动．租用的旅游车每辆可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的旅游车的辆数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵人刚好坐满， ∴租用的旅游车的辆数为：， 故选：A． 【变式4-2】春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天， 这些消毒液提前天用完． 故选：C． 【变式4-3】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．若克糖水中含克糖，则该糖水的甜度为，若再加入克糖，此时糖水的甜度为 ，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．由此我们可以得到一个不等式 ；（请用含、、的式子表示） 【答案】 【详解】解：加入克糖，此时糖水的甜度为； 由糖水更甜了可得：； 故答案为：， 已知代数式的值，求分式的值------配凑法 例5．已知，则的值等于 ． 解题思路：首先将变形为，然后求出，，然后代入求解即可． 【答案】4 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式5-1】已知，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式5-2】已知，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，； ∴； 故答案为：. 已知代数式的值，求分式的值-------设K法 例6．已知，，且．则 ． 解题思路：首先利用，设，，，进而代入求出即可． 【答案】2 【详解】解：∵，且， ∴设，，， ∴． 故答案为：2． 【变式6-1】已知，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：∵， ∴令，，， ∴． 故选：D． 【变式6-2】已知求的值． 【答案】 【详解】解：令，则，，． 原式． 【变式6-3】已知，求分式的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 设，则，，， ∴原式； 另解：∵， ∴，． 将，代入， 得 ． 已知代数式的值，求分式的值-------整体带入法 例7．已知，则 ． 【答案】 【详解】解：， ， ，， 原式． 故答案为： ． 【变式7-1】已知，求分式的值． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 【变式7-2】已知，求的值． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴， 故原式． 【变式7-3】已知，求分式的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式7-4】已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 已知代数式的值，求分式的值-------其他题型 例8．已知，则 ． 【答案】 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 【变式8-1】若，求 ． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴，则， 两边平方，得，则， ∵． 故答案为：3． 【变式8-2】已知，，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：设，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：1． 【变式8-3】已知实数a、b、c满足；则 ． 【答案】8或/或8 【详解】解：设， 则 得，， 当，则， 当，则， ， 故答案是：8或． 分式的值为正（负）的时候未知数的值 例9．已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 解题思路：根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 【变式9-1】若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 【变式9-2】当 时，分式的值是非负数． 【答案】 【详解】解：∵ 又分式的值是非负数 ∴ 解得： 故答案为： 使分式的值为整数时未知数的值 例10．使得为整数的自然数的个数为 个． 解题思路：将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【答案】6 【详解】解： ， ∵分式的值为整数且x为自然数， ∴或2或3或4或6或12， ∴或1或2或3或5或11， 共6个， 故答案为：6． 【变式10-1】已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 【答案】1或3或5 【详解】解：∵， ∴为，时，的值为整数， ∴解得或3或5或， ∵， ∴，， ∴x可取的值是1，3，5． 故答案为：1或3或5． 【变式10-2】如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为 ． 【答案】或或0或1 【详解】解：， 若原分式的值为整数，那么，，1，2 由得，； 由得，； 由得，； 由得，； 或或0或1， 故答案为：或或0或1． 【变式10-3】若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 【答案】 【详解】解：∵及都是正整数， ∴， 即， 解得：， 故当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故所有满足条件的的值有：、、， ∴所有满足条件的的值的和是． 故答案为：． 判断变形是否正确 例11．下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A．B． C． D． 解题思路：根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，依次分析各个选项，即可求出答案． 【答案】A 【详解】解：A、，变形正确，符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、的分子和分母不能约分，，变形错误，不符合题意； 故选：A． 【变式11-1】根据分式的基本性质对分式变形，下列等式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误； B． ，故原选项错误； C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确； D．，故原选项错误； 故选：C． 【变式11-2】下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，等式错误，不符合题意； B、，等式正确，符合题意； C、，等式错误，不符合题意； D、，等式错误，不符合题意； 故选：B． 【变式11-3】下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. ，可能为0，此选项错误，不符合题意；     B. ，此选项正确，符合题意；     C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 利用分式的基本性质判断分式的变化 例12．如果把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．缩小 D．不变 解题关键：分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以一个不为0的数（式子），分式的值不变。 【答案】A 【详解】解：∵把分式中的和都扩大3倍后， 得：， ∴分式的值扩大了3倍． 故选：A． 【变式12-1】若把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．缩小倍 B．扩大倍 C．缩小 D．不变 【答案】C 【详解】解：， 故选：C 【变式12-2】如果分式中的都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的3倍 B．变为原来的9倍 C．变为原来的 D．不变 【答案】A 【详解】解：分式中的都扩大为原来的3倍得， ∴分式中的都扩大为原来的3倍分式的值变为原来的3倍， 故选：A． 【变式12-3】把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】D 【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的倍可得， 即该分式的值不变， 故选：D． 将分式的分子分母最高项化为正数 例13．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 解题关键：考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【答案】B 【详解】解：． 故选B． 【变式13-1】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式13-2】不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）． （2）． （3）． 【变式13-3】不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 将分式的分子分母各项系数化为整数 例14．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式14-1】不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式14-2】不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 【变式14-3】不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）． （2）． 最简分式的判断 例15．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 解题关键：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念判断即可． 【答案】D 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意． 故选：D． 【变式15-1】下列各分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、=，故该项不是最简分式； B、，故该项不是最简分式； C、=，故该项不是最简分式； D、分子分母没有公因式，故该项是最简分式； 故选：D． 【变式15-2】下列分式中，不是最简分式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A． 是最简分式，不符合题意； B． 是最简分式，不符合题意； C． 是最简分式，不符合题意； D． 不是最简分式，符合题意； 故选：D． 【变式15-3】给出下列分式：．其中不是最简分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】最简分式有：，，不是最简分式的有：， 即有3个不是最简分式 故选：B 含乘方的分式的乘除运算 例16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式16-1】计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式=； （2）解：原式= 【变式16-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：， （2）解：； （3）解：． 【变式16-3】计算： (1) ； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 已知分式的恒等式，确定分子或分母 例17．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【变式17-1】若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 【答案】D 【详解】由题意可得，，则， ∴， 故选：D． 【变式17-2】将公式（均不为零，且）变形成求的式子，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以． 故选：A． 【变式17-2】若恒成立，则的值是 ． 【答案】 【详解】解： 恒成立， ， 故答案为：． 【变式17-3】已知，其中为常数，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 分式的加减混合运算 例18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 【变式18-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)2；(3)． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式18-2】化简： 【答案】 【详解】解： 【变式18-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 分式的化简求值问题（考试常考题型） 例19．化简求值：，其中，． 解题核心：本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握分式的化简求值法则计算是解题的关键； 【答案】， 【详解】解：原式 当，时，原式 【变式19-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果：；求值结果： 【详解】解：， ， ， ， ， 将代入得． 【变式19-2】先化简，再求值：，其中是最小的正整数． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ∵是最小的正整数， ∴， ∴原式． 【变式19-3】先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ∵ ∴， ∴，， ∴，， ∴原式． 分式综合中定义新运算（分式中的压轴题型） 例20．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”． (1)填空：分式___________分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式是分式的“分裂分式”．求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． (3)若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，求的值． 【答案】(1)是(2)时，；时，；时，(3) 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“分裂分式”； 故答案为：是； （2）解：∵分式是分式A的“分裂分式”， ∴， ∴， ∴ ； ∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，； （3）解：设关于的分式的“分裂分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“分裂分式”， ∴， 整理得：， 解得：． 【变式20-1】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)(2)最大值是5(3)2＋，当时，分式运算的结果是整数 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 【变式20-2】定义：如果一个分式能化成的形式（m，n都是常数，A是整式），那么称这个分式为系数为m的分式．如，所以是系数为1的分式；，所以是系数为2的分式． (1)请你再写出一个系数为2的分式（写最简分式，不能与相同） (2)将化成的形式（m，n都是常数，A是整式）． (3)当分式的值为整数，且x也是整数时，求所有x的值． 【答案】(1)见解析(2)(3)1或0或4或 【详解】（1）解：答案不唯一，根据题意， 故分式为． （2）解：原式． （3）解：根据题意，得， 由分式的值为整数，且x也是整数， 得或或或， 解得或或或． 【变式20-3】定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)若分式，，请判断是否为的“雅中式”？若是，请求出关于的“雅中值”；若不是，请说明理由． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为，试用含的式子表示． 【答案】(1)为的“雅中式”，关于的“雅中值”为，理由见详解(2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴为的“雅中式”，关于的“雅中值”为 （2）解：∵是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 易错题1：当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ 错解：，所以当x≠5时，分式有意义，x=5时，分式无意义。 正确解法： 【详解】解：当有意义时：，（不能约分后在求解） ∴且； 当无意义时：， ∴或． 易错题2：先化简再求值：，其中． 错解： 正确解法： 【详解】解：易错步骤：括号外是减号需要变号。 ， 当时，原式． 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，都是整式，是分式， 故选：B． 2．将分式中的，的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来的一半 B．扩大为原来的2倍 C．无法确定 D．保持不变 【答案】D 【详解】解：∵， ∴将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值不变， 故选：D． 3．下列式子中，从左往右变形错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，此选项正确，但不符合题意； B、，此选项错误，符合题意； C、，此选项正确，但不符合题意； D、，此选项正确，但不符合题意． 故选：B． 4．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 故选：B． 5．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 6．打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，得：第二天她打字用的时间是：（分钟）； 故选B 7．（1）；（2），括号内依次填入( )，( ) 【答案】 【详解】解：由与分母乘以x，则分子也需乘x，即； 由与分子乘以30，则分母也需乘30，即． 故答案为：，． 8．若分式的值为，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得：， ， 解得：或， ， 且， ． 故答案为：． 9．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 10．已知数列，，……，，设，则与 最接近的整数为 ． 【答案】 【详解】解： ， 同理， ， ， ， 当时，， 故答案为：． 11．已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． 13．以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式…………第一步 …………第二步 ………………………………第三步 …… (1)上面的运算过程中，第________步出现了错误． (2)请你写出完整的解答过程，并从，1，2中选择一个合适的数，作为的值代入求值． 【答案】(1)三(2)取，原式，完整过程见解析 【详解】（1）解：上面的运算过程中第三步出现了错误，错误的原因是没有添括号， 故答案为：三； （2）解：原式 ， ∵式子中的不能为，2， ∴当时，原式． 14．先化简，再从中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式的值为 【详解】解：； 由分式有意义的条件可知， ， ∴不能取，可取， 当时，原式． 15．阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵，且， ∴，即 ∴ ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； ∴． （3）解：∵，且 ∴ ∴ ∵ ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 分式及其基本性质和分式的运算 分式的概念 形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子（或者说被除数），B叫做分式的分母（或者说除数）。 下列各式： 中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 特别注意： 判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母（或者说除数）中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。 分式方程的条件 1.分式有意义条件：分母（或者说除数）不为0。 2.分式值为0条件：分子（或者说被除数）为0且分母不为0。 3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。 4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。 5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。 关于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式的值为 C．当时，分式没有意义 D．当时，分式的值为 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为： 其中A、B、C为整式，C≠0 下列运算中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【特别注意】 分式有意义的条件常结合二次根式、0次幂进行考查，需要熟悉以上两种方法： 1.二次根式有意义的条件：被开方数≥0； 2.0次幂有意义的条件：底数不为0 分式的通分 分式通分的步骤如下 1.‌分解分母因式：将每个分式的分母分解为质因数或因式乘积形式。 2.‌确定最简公分母：①取各分母系数的最小公倍数；②对分母中的因式部分，取所有出现因式的最高次幂。3.‌变形分式：将每个分式的分子和分母同时乘以“最简公分母÷原分母”的商。 4.‌保持等价性：通分后的分式需与原分式等价，即分子分母同乘的整式不能为 0，且运算过程中需注意符号和分配律。 通分： (1)，，； (2)，． 【特别注意】 ①若分母是多项式，需优先完成因式分解。‌②通分后可能需要对结果进行约分或化简。③涉及多个变量时，需确保所有因式均被覆盖。‌ 分式加减运算 分式的加减运算：如果分式中各个分母相同，则直接分母不变，分子相加减；如果分式中各个分母不同，则需要先根据通分化为同分母后，在分母不变，分子想加减； 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 分式的约分 根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式步骤： 1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。 2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。 约分： (1) (2) (3) 提醒：通分操作注意事项 1.多项式分式必须先分解因式：当分子或分母为多项式时，需先进行因式分解(如提取公因式、公式法分解 等)； 2.分解需彻底：若因式分解不彻底，可能导致遗漏公因式，约分不完全。 分式乘除运算 分式的乘法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为： 分式的除法：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘： 计算： (1)； (2)． 判断是否为分式 例1．在代数式，，，中，属于分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题思路:首先观察分子分母是否都是整式，其次观察分母是否含有字母即可。 【变式1-1】下列各式，，，，是分式的有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-2】下列各式中：，，，，0，，，其中分式共有 个． 【变式1-3】有下列各式∶①；②；③；④．其中是分式有 ．（填序号） 分式的值为0的条件 例2．若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B．1 C． D．2 解题关键：分式的值为0的条件是：分子为0的同时分母不为0. 【变式2-1】若分式的值为0，则x的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式2-2】若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ． 【变式2-3】若分式的值为0，则的值是 ． 分式有（无）意义的条件 例3．要使分式有意义，则x的取值范围是（  ） A．x B．x C．x D．x 解题思路：分式有意义的条件是分母不为0.分式无意义的条件是分母为0. 【变式3-1】下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为 ． 【变式3-3】当x 时，分式有意义；当x 时，分式没有意义． 分式的实际应用 例4．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 解题思路：先由题意得出该汽车在其它路段行驶的平均速度，再由时间路程速度即可得出汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间． 【变式4-1】某校12月组织a名师生到红旗渠风景区开展红色教育活动．租用的旅游车每辆可乘坐b人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的旅游车的辆数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．若克糖水中含克糖，则该糖水的甜度为，若再加入克糖，此时糖水的甜度为 ，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．由此我们可以得到一个不等式 ；（请用含、、的式子表示） 已知代数式的值，求分式的值------配凑法 例5．已知，则的值等于 ． 解题思路：首先将变形为，然后求出，，然后代入求解即可． 【变式5-1】已知，则的值为 ． 【变式5-2】已知，则 ． 【变式5-3】已知，则的值为 ． 已知代数式的值，求分式的值-------设K法 例6．已知，，且．则 ． 解题思路：首先利用，设，，，进而代入求出即可． 【变式6-1】已知，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式6-2】已知求的值． 【变式6-3】已知，求分式的值． 已知代数式的值，求分式的值-------整体带入法 例7．已知，则 ． 【变式7-1】已知，求分式的值． 【变式7-2】已知，求的值． 【变式7-3】已知，求分式的值． 【变式7-4】已知，则的值为 ． 已知代数式的值，求分式的值-------其他题型 例8．已知，则 ． 【变式8-1】若，求 ． 【变式8-2】已知，，则的值为 ． 【变式8-3】已知实数a、b、c满足；则 ． 分式的值为正（负）的时候未知数的值 例9．已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 解题思路：根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【变式9-1】若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】当 时，分式的值是非负数． 使分式的值为整数时未知数的值 例10．使得为整数的自然数的个数为 个． 解题思路：将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【变式10-1】已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 【变式10-2】如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为 ． 【变式10-3】若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 判断变形是否正确 例11．下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A．B． C． D． 解题思路：根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，依次分析各个选项，即可求出答案． 【变式11-1】根据分式的基本性质对分式变形，下列等式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 利用分式的基本性质判断分式的变化 例12．如果把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．缩小 D．不变 解题关键：分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以一个不为0的数（式子），分式的值不变。 【变式12-1】若把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．缩小倍 B．扩大倍 C．缩小 D．不变 【变式12-2】如果分式中的都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的3倍 B．变为原来的9倍 C．变为原来的 D．不变 【变式12-3】把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 将分式的分子分母最高项化为正数 例13．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 解题关键：考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【变式13-1】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 【变式13-2】不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 【变式13-3】不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数： (1)； (2)． 将分式的分子分母各项系数化为整数 例14．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【变式14-1】不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【变式14-2】不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【变式14-3】不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 最简分式的判断 例15．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 解题关键：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念判断即可． 【变式15-1】下列各分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】下列分式中，不是最简分式是（） A． B． C． D． 【变式15-3】给出下列分式：．其中不是最简分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 含乘方的分式的乘除运算 例16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式16-1】计算： (1) (2) 【变式16-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式16-3】计算： (1) ； (2)． 已知分式的恒等式，确定分子或分母 例17．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式17-1】若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 【变式17-2】将公式（均不为零，且）变形成求的式子，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】若恒成立，则的值是 ． 【变式17-3】已知，其中为常数，则 ． 分式的加减混合运算 例18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式18-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式18-2】化简： 【变式18-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 分式的化简求值问题（考试常考题型） 例19．化简求值：，其中，． 解题核心：本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握分式的化简求值法则计算是解题的关键； 【变式19-1】先化简，再求值：，其中． 【变式19-2】先化简，再求值：，其中是最小的正整数． 【变式19-3】先化简，再求值：，其中满足． 分式综合中定义新运算（分式中的压轴题型） 例20．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”． (1)填空：分式___________分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式是分式的“分裂分式”．求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． (3)若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，求的值． 【变式20-1】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【变式20-2】定义：如果一个分式能化成的形式（m，n都是常数，A是整式），那么称这个分式为系数为m的分式．如，所以是系数为1的分式；，所以是系数为2的分式． (1)请你再写出一个系数为2的分式（写最简分式，不能与相同） (2)将化成的形式（m，n都是常数，A是整式）． (3)当分式的值为整数，且x也是整数时，求所有x的值． 【变式20-3】定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)若分式，，请判断是否为的“雅中式”？若是，请求出关于的“雅中值”；若不是，请说明理由． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为，试用含的式子表示． 易错题1：当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ 错解：，所以当x≠5时，分式有意义，x=5时，分式无意义。 正确解法： 【详解】解：当有意义时：，（不能约分后在求解） ∴且； 当无意义时：， ∴或． 易错题2：先化简再求值：，其中． 错解： 正确解法： 【详解】解：易错步骤：括号外是减号需要变号。 ， 当时，原式． 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．将分式中的，的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来的一半 B．扩大为原来的2倍 C．无法确定 D．保持不变 3．下列式子中，从左往右变形错误的是（　　） A． B． C． D． 4．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A． B． C． D． 7．（1）；（2），括号内依次填入( )，( ) 8．若分式的值为，则 ． 9．已知，则代数式的值为 ． 10．已知数列，，……，，设，则与 最接近的整数为 ． 11．已知，求代数式的值． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式…………第一步 …………第二步 ………………………………第三步 …… (1)上面的运算过程中，第________步出现了错误． (2)请你写出完整的解答过程，并从，1，2中选择一个合适的数，作为的值代入求值． 14．先化简，再从中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 15．阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$