第6章 圆 第2节 与圆有关的位置关系-【王睿中考】2025年河南中考总复习一本通数学课件PPT

1 第六章 圆 第2节 与圆有关的位置关系 2 以题代讲抓考点 考点一 点、直线与圆的位置关系 考点讲前练 题目1 如图，在中，点为的中点，连接 ，已知 ，，以点为圆心， 为半径画圆. 3 （1）若，则点与 的位置关系是___________ ___，直线与 的位置关系是______； 点在外 相离 （2）若，则点与的位置关系是_____________，直线与 的位置关系是______； （3）若，则点与的位置关系是_____________，直线与 的位置关系是______. 点在上 相切 点在内 相交 4 考点链接 1.点与圆的位置关系 设的半径为，点到圆心的距离 . （1）点在圆外①___ ； （2）点在圆上②___ ； （3）点在圆内③___ . 5 2.直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为 ，则直线与圆的位置关系如下 表所示． 6 位置关系 示意图 交点个数 与 的关系 相交 ______________________________ 2 ④___ 相切 ______________________________ 1 ⑤___ 相离 ______________________________ 0 ⑥___ 7 考点二 切线的性质与判定 考点讲前练 题目2 如图，已知是的直径，与相切于点 ， 交于点 . （1）若 ，则____， ____； （2）若，，连接，则___， ___， __. 5 8 考点链接 1.切线的性质与判定 （1）定义：直线与圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切， 这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． （2）性质:圆的切线⑦______于过切点的半径. 垂直 9 （3）判定 ①经过半径的外端并且⑧______于这条半径的直线是圆的切线；（判定定理） ②和圆有且只有⑨___个公共点的直线是圆的切线；（定义） ③到圆心的距离⑩______半径的直线是圆的切线. 垂直 1 等于 10 （1）当公共点确定时，常连接圆心与公共点，证所连半径与直线垂直； （2）当公共点不确定时，通常利用角平分线的性质或者全等三角形的性 质，来证明所作垂线等于半径. 11 2.切线长 （1）定义：如图，过圆外一点有两条直线 ， 分别与 相切，经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线 长． （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切 相等 线，它们的切线长⑪______，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 12 【考点巩固练】 1.如图，为的直径，为弦，射线与相切于点，过点 作 交于点，连接.求证：是 的切线. 13 证明：如图，连接 . 与相切于点 ， . ， ， . ， . . 14 又，， . ，即 . 又是 的半径， 是 的切线. 考点三 三角形的内心与外心 考点讲前练 题目3 如图，已知的内切圆与边相切于点，连接 ， ．若 ，则 的度数是____. 16 考点链接 三角形的外心 三角形的内心 概念 三角形外接圆的圆心 三角形内切圆的圆心 位置 三角形三边垂直平分线的交点 三角形三条角平分线的交点 示意图 _______________________________________ ___________________________________________________ 17 三角形的外心 三角形的内心 性质 三角形的外心到三角形 ⑫______ ____的距离相等，即 三角形的内心到三角形⑬ ______的距离相等，即 三个顶点 三边 续表 18 如图，直角三角形三边与其内切圆半径 之间的关系： ； ② . 19 【考点巩固练】 第2题图 2.如图，点是外接圆的圆心，点是 的内心， 连接，．若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 第3题图 3.如图，在中， ，， ， 则的内切圆的半径 是( ) A A.2 B.3 C.4 D.无法判断 20 多向思维解真题 命题点 与切线有关的证明与计算（10年10考） 1.（2023河南）如图，与相切于点，交于点，点在 上，且．若，，则 的长为___． 1 2 3 4 5 21 2.（2022河南）为弘扬民族传统体育 文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入 了校运动会的比赛项目．滚铁环器材 由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的 启动阶段进行了研究.如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点 ， 推杆与铅垂线的夹角为，点，，，， 在同一平面 内．当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点 传递到铁 环上，会有较好的启动效果． 1 2 3 4 5 22 （1）求证： ； 1 2 3 4 5 23 证明：如图，过点作，分别交 ， 于点， ． 与相切于点， ． ， ． ， . ， . 为的切线， ． . 1 2 3 4 5 24 . 1 2 3 4 5 （2）实践中发现，切点 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳 启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离 最小，测 得．已知铁环的半径为，推杆的长为 ，求 此时 的长． 1 2 3 4 5 26 解：在 中， ， ， ． 由（1）知，， . 在中，， . 由勾股定理，得 ． , ． ， 四边形 为矩形. . ． 1 2 3 4 5 27 3.（2021河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在 磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮 食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发 设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”， 的连接点在上，当点在上转动时，带动点， 分别在射线 ，上滑动，.当与相切时，点恰好落在 上，如 图2. 1 2 3 4 5 28 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证： ； 1 2 3 4 5 29 证明：如图，连接，设交于点 . 是 的切线， . ， . . 1 2 3 4 5 30 . 又， . 1 2 3 4 5 （2）若的半径为5，，求 的长． 解：的半径为5， . 在中， ， 由勾股定理,得 . 如图，过点作于点 . 由（1），可知，且 ， . 1 2 3 4 5 32 . . ， . 在 中，由勾股定理,得 . 的长为 . 1 2 3 4 5 4.（2020河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作 图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可 能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角 器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且 的 长度与半圆的半径相等；与垂直于点， 足够长． 使用方法如图2所示，若要把 三等分，只需适当放置三分角器，使 经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边 恰好相切， 切点为，则，就把 三等分了． 1 2 3 4 5 34 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的 “已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，点，，， 在同 一直线上，，垂足为 ， ___________________________． 求证：____________________． ，切半圆于点 ，三等分 1 2 3 4 5 证明：如图，连接 . ， . 又， ， . 1 2 3 4 5 36 . 切半圆于点 ， . 又, ， 平分 . ,三等分 . 1 2 3 4 5 5.（2019河南）如图，在中，， .以 为直径 的半圆交于点，点是 上不与点，重合的任意一点，连接 交于点，连接并延长交于点 . （1）求证： ； 1 2 3 4 5 38 证明：， ， . 为半圆 的直径， . . . 和都是 所对的圆周角， . . 1 2 3 4 5 39 （2）填空： 1 2 3 4 5 40 ①若，且点是 的中点，则 的长为________； 解： 点是 的中点， . 是半圆 的直径， . 又 , . 1 2 3 4 5 . ， ， . . . 由（1）,知 , . . 1 2 3 4 5 ②取的中点，当的度数为____时，四边形 为菱形． [解析] 四边形为菱形， . ， 为等边三角形. . 1 2 3 4 5 43 对应配套练习见进阶训练卷 $$