第6章 圆 第1节 圆的基本性质-【王睿中考】2025年河南中考总复习一本通数学课件PPT

1 第六章 圆 第1节 圆的基本性质 2 以题代讲抓考点 考点一 圆的相关概念 考点讲前练 题目1 如图，是的直径，点，，是上的动点（不与点 ， 重合），点是内的定点，交于点 . 3 （1）下列说法中，对的打“√”，错的打“×”. ①是 的弦( ) √ ②与 是等弧( ) × ③过点 可以作无数条直径( ) × ④若点是的中点，则， ( ) √ ⑤ ( ) √ 4 （2）若 ，则____,____, ____, ____; （3）若， ，则的度数为____, 的度数为 ____. 5 考点链接 1.圆的定义：如图，在一个平面内，线段 绕它固定的一 个端点旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫做①___． 其固定的端点叫做②______，线段 叫做③______． 圆 圆心 半径 6 2.圆的有关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做④_____． 如图，，是弦， 是直径． （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做 ⑤______（用三个点表示，如图中的 ），小于半圆的弧叫做⑥______ （如图中的 ）． 直径 优弧 劣弧 7 （3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都 叫做半圆． （4）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆． （5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． （6）圆心角：顶点在⑦______的角叫做圆心角． （7）圆周角：顶点在⑧____上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 圆心 圆 8 3.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4.圆的性质 （1）对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称 轴．圆是⑨__________图形，⑩______是它的对称中心． （2）旋转不变性：把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图 形重合． 中心对称 圆心 9 【考点巩固练】 1.下列说法错误的是( ) B A.三角形的三个顶点一定在同一个圆上 B.平行四边形的四个顶点一定在同一个圆上 C.矩形的四个顶点一定在同一个圆上 D.正 边形的各个顶点一定在同一个圆上 10 考点二 垂径定理及其推论（2022年课标调整为考查内容） 考点讲前练 题目2 判断下列结论，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）平分弦的直径垂直于弦( ) × （2）在圆中，若弦垂直弦，则弦平分 ( ) × （3）垂直于一条弦的直径平分这条弦( ) √ （4）在圆中，若弦垂直平分弦，则弦 是该圆的直径( ) √ 11 考点链接 1.垂径定理：垂直于弦的直径⑪______弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （3）平分弦所对的一条弧的直径⑫______于弦，并且平分弦所对的另一 条弧． （4）圆的两条平行弦所夹的弧相等． 平分 垂直 12 1.如图1，根据圆的对称性，在以下5个结论中：（1） ；（2） ；（3）不是直径；（4）；（5） 是直 径.只要满足其中两个结论，另外三个结论就一定成立，即“知二推三”. 13 2.有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边的 直角三角形，利用勾股定理求解．如图2， . 图1 图2 14 【考点巩固练】 2.如图，在中，半径垂直弦于点， ， ，则 长为( ) A A. B. C. D.2 15 考点三 圆周角定理及其推论 考点讲前练 题目3 如图，已知是的直径，,是 上两点. （1）若 ，则____， _____， ____； （2）若于点， ，则 ____； 若 ，，则 的长为_____. 4 16 考点链接 1.弧、弦、圆心角之间的关系 （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑬______，所对的 弦也相等． 相等 17 （2）推论 ①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑭______， 所对的弦也相等． ②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对 的优弧和劣弧分别相等． ③弧的度数等于它所对圆心角的度数． 相等 18 2.圆周角定理及其推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半，即 （如图）． （2）推论 ①同弧或等弧所对的圆周角相等，即 ． ②半圆（或直径）所对的圆周角是⑮______， 的圆周角所对的弦是直 径，即 . 直角 19 1.注意利用半径相等构造等腰三角形； 2.有直径求角度时，注意利用直径所对圆周角等于 构造直角三角形； 3.一条弦对着两条弧，其中一条弧所对的圆周角与另一条弧所对的圆周角 互补；一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角. 20 【考点巩固练】 3.如图，在中，，是 的外接圆， 是的直径，点在上，连接交于点 ，连 接.若 ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 21 考点四 圆内接四边形及其性质 考点讲前练 题目4 如图，是半圆的直径，是圆心，是半圆上的点，是 上一 点.若 ，则____， ______. 22 考点链接 1.定义：四边形的四个⑯______都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内 接四边形． 2.性质 顶点 （1）圆内接四边形的对角⑰______，即 ， （如图）. 互补 （2）圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对 角，即 （如图）. 23 多向思维解真题 命题点一 圆周角定理及其推论（10年4考） 第1题图 1.（2023河南）如图，点，，在上.若 ， 则 的度数为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 2.（2024临夏）如图，是的直径， ，则 ( ) D 第2题图 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25 第3题图 3.（2024云南）如图，是的直径，点，在 上．若， ，则 ( ) B A. B. C. D. 第4题图 4.（2024牡丹江）如图，四边形是 的内接四边 形，是的直径.若 ，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 26 5.（2024苏州）如图，是的内接三角形.若 ，则 ____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 27 命题点二 垂径定理及其推论 6.（2024通辽）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点， 为 拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心.若， ， 则拱门所在圆的半径为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 28 第7题图 7.（2024重庆B卷）如图，是的弦，交 于 点，点是上一点，连接，．若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 第8题图 8.（2024北京）如图，的直径平分弦 （不是直径）. 若 ，则____ . 55 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 29 命题点三 圆内接四边形及其性质（2016年考查） 第9题图 9.（2024吉林）如图，四边形内接于，过点 作 ，交于点．若 ，则 的度数 是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 30 第10题图 10.（2024广元）如图，已知四边形是 的内接四边 形，为延长线上一点， ，则 等于 ( ) A A. B. C. D. 11.（2024青海）如图，四边形是 的内接四边 形．若 ，则 的度数是______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 31 命题点四 与圆基本性质有关的证明与计算 12.（2024无锡）如图，是的直径，内接于，， ，的延长线相交于点，且 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 32 （1）求证： ； 证明: ， . ， . . 又， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 33 （2）求 的度数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 34 解：如图，连接 . 为直径， . 设 ， . 由（1），知，. 四边形 是圆的内接四边形， ， 即 ，解得 . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 35 13.（2024安徽）如图，是的外接圆， 是直径 上一点，的平分线交于点，交 于另一点 ， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 36 （1）求证： ； 证明： ， . 与都是所对的圆周角， . ， . 平分， . 是直径， . . ，即 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2）设，垂足为，若，求 的长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 38 解：由（1），知， . 又，， ， . . . 在中，，， , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 39 对应配套练习见进阶训练卷 $$