第3章 函数 第5节 二次函数的图象与性质-【王睿中考】2025年河南中考总复习一本通数学课件PPT

1 第三章 函数 第5节 二次函数的图象与性质 2 以题代讲抓考点 考点一 二次函数的图象与性质 考点讲前练 题目1 已知抛物线 . （1）若该抛物线经过点， ，则其对称轴为__________. 直线 （2）已知抛物线的解析式为 . ①抛物线的对称轴为____________； ②当时，有最____值;当时，随 的增大而______； 直线 大 增大 3 ③当时，的最小值为1，则 的值为____； ④若抛物线经过点，则当时，_______;当时， 的取 值范围是____________； ⑤若，，是抛物线上的点，则，， 的大小关 系为_____________； ⑥若，是抛物线上两点，且，则实数 的取值范 围是________________. 13 或1 或 4 考点链接 1.二次函数的概念 一般地，形如，，是常数， 的函数叫做二次 函数，其中是自变量，，， 分别是函数解析式的二次项系数、 ①____________和常数项．特别地，当,时， 是二 次函数的特殊形式. 一次项系数 5 2.二次函数的图象与性质 （1）二次函数 的图象是对称轴平行于 （包括重合）轴的抛物线，其一般形式为 ，由 配方法可化成的形式，其中②_ ____， ③ _ ______. 6 （2）二次函数或 的图 象与性质 图象 __________________________________________ __________________________________________ 开口方向 向上 向下 7 对称轴 或 顶点坐标 或 最值 当时，取最小值 ；或 当时， 取最小值 当时，取最大值 ；或 当时， 取最大值 续表 8 增减性 在对称轴左侧，随 的增大而 ④______；在对称轴右侧， 随 的增大而⑤______ 在对称轴左侧，随 的增大而 ⑥______；在对称轴右侧， 随 的增大而⑦______ 减小 增大 增大 减小 续表 9 （3）二次函数的图象与系数，， 符号的关系 决定抛物线的 开口方向 开口向上 开口向下 ， 共同决定抛 物线对称轴的位 置 ⑧___0 对称轴为 轴 对称轴在 轴左 侧 左同右异 对称轴在 轴右 侧 10 决定抛物线与 轴交点的位置 经过⑨______ 与 轴正半轴相交 与 轴负半轴相交 决定抛 物线与 轴的交 点个数 与 轴有唯一交点（即顶点） 与 轴有⑩______交点 与 轴没有交点 原点 两个 续表 11 特殊关系 当时， 当时， 若，则当时， 若，则当时， 续表 12 考点二 二次函数解析式的确定 考点讲前练 题目2 已知抛物线 . （1）若抛物线与轴交于点, ,则抛物线的解析 式为__________________； （2）若抛物线经过点, ,则抛物线的解析式为 ___________________； 13 （3）若抛物线与轴交于点 ,抛物线的对称轴为直 线 ,则抛物线的解析式为_______________；若将此抛物线向右平移1 个单位长度，则平移后的抛物线解析式为_______________； （4）若抛物线经过点, ,则抛物线的解析式为 _ __________________. 14 考点链接 1.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：<m></m>，<m></m>，<m></m>为常数，<m></m>. （2）顶点式：<m></m>，<m></m>，<m></m>为常数，<m></m>，其中<m></m>是 抛物线的顶点坐标. （3）交点式（双根式）：<m></m>，<m></m>，<m></m>是抛物线 与<m></m>轴两交点的横坐标<m></m>． . . . . . . 15 2.二次函数解析式的确定 方法 待定系数法 具体 求法 （1）顶点在原点，设 ； （2）对称轴是轴（或顶点在轴上），设 ； （3）顶点在轴上，设 ； （4）抛物线过原点，设 ； （5）已知顶点时，设 ； （6）已知抛物线与轴的两交点坐标为， ，或已知对 称轴及与轴的一个交点坐标 时，利用对称轴求出另一个交 点坐标，设交点式 16 方法 待定系数法 步骤 （1）设二次函数解析式； （2）代入点的坐标：用待定系数法将图象上的点的坐标代入所设 解析式中，得到关于待定系数的方程（组）； （3）求解：解方程（组），求得待定系数的值，将其代回所设解 析式中 续表 17 3.二次函数图象的平移 平移前的解析 式 平移方向及距 离 平移后的解析式 口诀 顶点坐标 向左平移 个 单位长度 左“ ” 向⑪____平移 个单位长度 右“-” 右 18 平移前的解析 式 平移方向及距 离 平移后的解析式 口诀 顶点坐标 向上平移 个 单位长度 上“ ” 向⑫____平移 个单位长度 下“-” 平移前后 值不变 下 续表 19 考点三 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 考点讲前练 题目3 已知抛物线与直线交于点, , 回答下列问题： （1）关于的方程的解为 _______; （2）关于的不等式 的解集为____________. 或4 20 考点链接 1.二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程 的解是二次函数 的图象与轴（即 ）交点的横坐标． （1）当时，抛物线与 轴有两个交 点，方程 有⑬____________的实数根． （2）当时，抛物线与 轴有一个交 点，方程 有⑭__________的实数根． （3）当时，抛物线与 轴没有交点， 方程 ⑮______实数根． 两个不相等 两个相等 没有 21 2.二次函数与不等式的关系 （1）不等式的解集为函数的图象位于 轴⑯______对应的点的横坐标的取值范围． （2）不等式的解集为函数的图象位于 轴⑰______对应的点的横坐标的取值范围. 上方 下方 22 多向思维解真题 命题点一 二次函数的图象与性质（10年9考） 1.（2023河南）二次函数 的图象如图所示， 则一次函数 的图象一定不经过( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 23 2.（2024凉山）抛物线经过，， 三 点，则，， 的大小关系正确的是( ) A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解题讲方法 利用二次函数的性质比较函数值大小的方法 1.代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将各点的横坐标代入解析式， 求出各点的纵坐标，继而比较大小. 2.增减性比较法：利用二次函数图象的对称性，将已知点转化到对称轴的 同侧，再利用二次函数的增减性比较大小. 3.距离比较法：根据点到对称轴的距离比较大小，具体如下： 对于二次函数 ①当 时，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的函数值越小， 如图1； 图1 图2 ②当 时，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大， 如图2. 图1 图2 3.（2024陕西A卷）已知一个二次函数的自变量与函数 的几组对应值如下表: … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( ) D A.图象的开口向上 B.当时，的值随 的值增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 28 4.（2024东营）已知抛物线 的图 象如图所示，则下列结论正确的是( ) D A. B. C. D.为任意实数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 29 5.（2024达州）抛物线与 轴交于两点，其中一个交点的 横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 6.（2024贵州）如图，二次函数的部分图象与 轴的一个 交点的横坐标是，顶点坐标为 ，则下列说法正确的是( ) D 第6题图 A.二次函数图象的对称轴是直线 B.二次函数图象与 轴的另一个交点的横坐标是2 C.当时，随 的增大而减小 D.二次函数图象与 轴的交点的纵坐标是3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31 7.（2024辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴相交于点，，点的坐标为.若点在抛物线上，则 的长 为___． 4 第7题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 32 命题点二 二次函数图象的平移 8.（2024包头）将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线 的顶点式为( ) A A. B. C. D. 9.（2024牡丹江）将抛物线 向下平移5个单位长度后，经 过点，则 ___． 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 解题讲方法 确定平移后抛物线的解析式的方法 1.平移顶点法 （1）将抛物线的解析式化成顶点式<m></m>,得到顶点坐标<m></m>; （2）将点<m></m>平移,得到平移后抛物线的顶点; （3）利用顶点式，确定平移后抛物线的解析式. 2.平移任意两点法 先求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,再利用待定系数法，确定抛物线 的解析式. 3.直接平移法 利用“左加右减，上加下减”的平移规律，直接将一般式进行平移 （注意：左右平移变自变量，上下平移变常数项）.如将抛物线 <m></m>向右平移<m></m>个单位,得到抛物线 <m></m>，向下平移<m></m>个单位长度,得到抛物线 <m></m>. . . 命题点三 二次函数综合题（10年7考） 10.（2021河南）如图，抛物线 与直线 交于点和点 . （1）求和 的值； 解： 抛物线经过点 ， . 直线经过点 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 （2）求点 的坐标，并结合图象写出不等式 的解集； 解：由（1），得抛物线的解析式为 ，直线的解 析式为 ， 当时，， . 将代入，得 ， 点的坐标为 . 结合图象可知，不等式的解集为 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点 .若 线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标 的取值范围． 解：或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 11.（2020河南）如图，抛物线与 轴正半 轴、轴正半轴分别交于点，，且，点 为抛物 线的顶点． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 （1）求抛物线的解析式及点 的坐标； 解： 抛物线与轴正半轴交于点 ， 点的坐标为， . ，且点在 轴正半轴上， 点的坐标为 . 抛物线经过点 ， ，解得（舍去）， . 抛物线的解析式为 . ， 抛物线顶点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）点，为抛物线上两点（点在点 的左侧），且到对称轴的距离 分别为3个单位长度和5个单位长度，点为抛物线上点， 之间 （含点，）的一个动点，求点的纵坐标 的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 解：由（1），可知抛物线 的对称轴为直 线 . 点， 到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长 度， 点的横坐标为或4，点的横坐标为 或6. 点的纵坐标为，点的纵坐标为 . 又 点在点 的左侧， 当点的坐标为时，点的坐标为，此时 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 当点的坐标为时，点的坐标为 ，此时 . 综上所述，点的纵坐标的取值范围是 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.（2024临夏）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交 于，两点，与轴交于点，作直线 ． 图1 图2 （1）求抛物线的解析式； 解： 抛物线与轴交于， 两点， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作 ， 垂足为 ，请问 线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点 的坐标；若不 存在，请说明理由； 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 解：存在. ， . ， . . 设直线的解析式为 ， 把代入，得 ， . 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 如图，过点作轴，交于点 ，设 ，则 . . ， . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 47 当最大时， 最大. ， 当时，的最大值为，此时最大为 . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段 （点在直线下方），已知，若线段 与抛物线有交点，请直 接写出点的横坐标 的取值范围． 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 49 解：设，则 . 当点恰好在抛物线上时， ， . 当时， ， 解得， . 线段 与抛物线有交点， 点的横坐标的取值范围是或 ． 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 对应配套练习见进阶训练卷 $$