第2章 方程（组）与不等式（组） 第2节 一元二次方程及其应用-【王睿中考】2025年河南中考总复习一本通数学课件PPT

1 第二章 方程（组）与不等式（组） 第2节 一元二次方程及其应用 2 以题代讲抓考点 考点一 一元二次方程及其解法 考点讲前练 题目1 已知关于的一元二次方程 ，请完成下列问题： （1） 的取值范围是______； （2）若一元二次方程的一个根为，则 的值为___； 5 3 （3）当 时，请用适当的方法解方程； 解:当时， , . . , . 4 （4）当 时，一元二次方程的根的情况是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 （5）若方程没有实数根，则 的取值范围是______. 5 考点链接 1.一元二次方程 只含有①____个未知数（元），并且未知数的最高次数是②___的整式方 程叫做一元二次方程.能化成一般形式③______________________________ __________． 一 2 ，，为常数， 6 2.一元二次方程的解法 解法 适用情况 步骤 直接 开平 方法 （1）当方程缺少一次项 时，即 ； （2）形如 的 方程 将方程化为或 的 形式，再利用平方根的定义求解 注意：开方后所取值前记得加“ ”号 7 解法 适用情况 步骤 因式 分解 法 一元二次方程的一边化为 0后，另外一边易于分解 成两个一次因式的乘积， 即 分别令每个一次因式为0，得到两个一 元一次方程；这两个一元一次方程的解 就是一元二次方程的两个解 注意：等式两边不能同时约去含有相同 未知数的因式 续表 8 解法 适用情况 步骤 公式 法 适用于所有一元二次方 程，求根公式为 ④_ _______________ 将一元二次方程化为一般式 ，确定，， 的 值，利用求根公式求出方程的根 注意：确定，， 的值时要带符号； 判别式，且 续表 9 解法 适用情况 步骤 配方 法 适用于所有一元二次方 程，一般来说，当方程的 二次项系数是1、一次项 系数是偶数时，利用配方 法比较简便 将一元二次方程化为 的形 式，可得方程的解为 注意：配方时，方程两边可以同时加上 一次项系数一半的平方 续表 10 3.根的判别式 关于的一元二次方程，，为常数， 的根的判 别式为⑤_________，通常用希腊字母“ ”表示． 判别式与根的关系： 方程有⑥____________的实数根； 方程有⑦__________的实数根； 方程⑧______实数根． 两个不相等 两个相等 没有 11 根的判别式的两种应用 （1）不解方程，直接判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况，确定某个未知系数的值（或取值范围）. 4.根与系数的关系（2022年课标调整为考查内容） 若关于<m></m>的一元二次方程<m></m>的根为<m></m>，<m></m>，则 <m></m>，<m></m>.以两个数<m></m>，<m></m>为根的一元二次方程（二次项系 数为1）是<m></m>． 12 【考点巩固练】 已知，是关于的方程 的两个实数根，且 ，则 的值等于____. 13 考点二 一元二次方程的实际应用 考点讲前练 题目2 如图，小明同学用一张长，宽 的矩形纸板制作一个底面 积为 的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的 正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为 ， 则可列出关于 的方程为______________________． 14 考点链接 1.一般步骤：审、设、列、解、验、答.（检验时既要检验所求结果是否为 所列方程的解，还要检验是否为原问题的解） 2.常考类型 （1）增长率问题： 增长率 . 设为基础数量，为平均增长（降低）率，为增长（降低）后的量， 为增长（降低）的次数，则或 . . . 15 （2）面积问题： 图1 ①如图1，若矩形的长为、宽为，设空白宽为 ， 则 ⑨________________. 16 图2 ②如图2，若矩形的长为、宽为，设空白宽为 ， 则 ⑩________________. 17 图3 ③如图3，若矩形的长为、宽为，设阴影宽为 ， 则 ⑪______________. 图4 ④如图4，若矩形的长为、宽为，设阴影宽为 ， 则 ⑫______________. 18 （3）循环问题： 单循环球赛：单循环球赛总场数<m></m>为参赛球队总数<m></m>； 握手：握手总次数<m></m>为参与握手的总人数<m></m>； 互赠礼物：互赠礼物总份数<m></m>为参与互赠礼物的总人数<m>．</m> . . . . . . 19 多向思维解真题 命题点一 解一元二次方程 1.（2024贵州）一元二次方程 的解是( ) B A.， B.， C.， D.， 2.（2024凉山）若关于的一元二次方程 的一个 根是，则 的值为( ) A A.2 B. C.2或 D. 1 2 20 一题多变 1.（2024河北，含应用）淇淇在计算正数的平方时，误算成 与2的积， 求得的答案比正确答案小1，则 ( ) C A.1 B. C. D.1或 1 3 4 5 21 命题点二 一元二次方程根的判别式（10年10考） 3.（2023河南）关于的一元二次方程 的根的情况是 ( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.（2022河南）一元二次方程 的根的情况是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根 5.（2021河南）若方程没有实数根,则 的值可以是( ) D A. B.0 C.1 D. 1 3 4 5 22 一题多变 2.（2024泸州，结合函数）已知关于的一元二次方程 无实数根，则函数与函数 的图象交点个数为( ) A A.0 B.1 C.2 D.3 6.（2020河南）定义运算: .例如: .则方程 的根的情况为( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 2 6 7 8 9 10 23 7.（2024河南）若关于的方程有两个相等的实数根，则 的值为__． 2 6 7 8 9 10 24 解题讲易错 根据方程根的情况求字母参数范围时的 注意事项 （1）若二次项系数含有字母，则不要忽视二次项系数不为0的隐含条件； （2）若一元二次方程有实数根，则分为两种情况：有两个相等的实数根， 有两个不相等的实数根，即<m></m>，注意不要漏写等号； （3）若所给方程未指出方程类型，需要分二次项系数为0和不为0两种情 况讨论，即方程是一元一次方程或一元二次方程. 命题点三 一元二次方程的实际应用（2020年考查） 8.（2020河南）国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017 年至2019年我国快递业务收入由5 000亿元增加到7 500 亿元.设我国2017 年至2019年快递业务收入的年平均增长率为 ,则可列方程为( ) C A. B. C. D. 2 6 7 8 9 10 26 9.（2024内江）某市2021年底森林覆盖率为 ，为贯彻落实“绿水青山就 是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆 盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为 ，则符合题 意的方程是( ) B A. B. C. D. 2 6 7 8 9 10 27 10.（2024通辽）如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边 靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留 一个宽的门（由其他材料制成），则 长为( ) C A.或 B.或 C. D. 2 6 7 8 9 10 28 对应配套练习见进阶训练卷P6 $$