6.3.2 二项式系数的性质 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

6.3二项式定理 第六章 计算原理 课时2 二项式系数的性质 新知探究 探究一：杨辉三角 情境设置 下面是历史上的杨辉三角. 问题1: 各行的数字有什么关系？ 问题2: 第1、第2、第3、第4、第5、第6行的数字之和各是多少？由此你能猜出第𝑛 行的数字之和吗？ 问题3: 试写出第行、第行的数字，并探讨与，之间有什么关系. 2 新知生成 知识点一 杨辉三角的特点 杨辉三角的特点 (1)每行两端都是1，在同一行中与这两个1等距离的项的系数相等. (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和，即 . 3 一、杨辉三角 例题1 (多选题)我国南宋数学家杨辉在其1261年所著的《详解九章算法》中给出了著名的“杨辉三角”，由此可见我国古代数学的成就是非常值得我们自豪的.以下关于杨辉三角的说法正确的有( ). A.第9行中从左到右第6个数是126 B. C.第7行从左到右第5个数与第6个数的比为 D.由“第𝑛行所有数之和为 ”猜想 【解析】第9行从左到右第6个数是 ，A正确；由组合数的性质可得 ，B正确； 第7行从左到右第5个数与第6个数的比为 ，C错误；由组合数的性质得 ，D正确.故选 . ABD 4 反思感悟 方法总结 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察：根据题目要求对杨辉三角横看、竖看、隔行看、连续看，多角度进行观察. (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间、行与行的数据之间的规律. 5 新知运用 跟踪训练1 如图，在“杨辉三角”中，从左到右第3斜行的数构成一个数列：1,3,6,10,15, ⋯ .那么该数列的前10项的和为( ). A.66 B.120 C.165 D.220 【解析】由题意可知第3斜行的前10项分别为,,, , ， 则 ， 所以该数列的前10项的和为220. D 6 新知探究 探究二：二项式系数的性质 情境设置 问题1：二项式系数何时取得最大值？ 问题2：二项式系数有什么性质？ 7 新知生成 知识点二 二项式系数的性质 1.对称性 在的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 2.最值与增减性 (1)增减性：当时，二项式系数随的增加是逐渐增大的； 当时，二项式系数随𝑘 的增加是逐渐减小的. (2)最大值：当为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值； 当𝑛 为奇数时， 中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值. 8 二、二项式系数的性质 例题2 若 的展开式共有8项，则下列有关该展开式的说法正确的是( ). A.𝑛=8 B.各二项式系数的和为128 C.二项式系数最大的项有2项 D.第4项与第5项的系数相等且最大 【解析】因为的展开式共有8项，所以 ，所以A错误；根据二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为 ，所以B正确；根据二项式系数的性质，可得中间两项的二项式系数最大，即第4项和第5项的二项式系数最大，所以C正确； 因为的展开式的第4项为 ，第5项为 ，所以展开式中第4项与第5项的系数不相等，所以D错误.故 选 . BC 9 反思感悟 方法总结 1.二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对中的𝑛进行讨论： (1)当𝑛为奇数时，中间两项的二项式系数最大； (2)当𝑛为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 2.展开式中系数最大的项的求法 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数 的正、负变化情况进行分析.如求的展开式中系数最大的项，一般 采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为，，，，且第项最大， 应用解出，即可得出系数最大的项. 10 新知运用 跟踪训练2 已知的展开式. (1)求二项式系数最大的项. (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项与系数最小的项. 【解析】的展开式的通项为 . (1)二项式系数最大的项为中间项，即第5项，故 . (2)设第项系数的绝对值最大，则即整理得 所以或 .故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. (3)由(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，又第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为 , 11 新知探究 探究三：赋值法 情境设置 问题1：如何求 的展开式的二项式系数和的？ 问题2：什么是赋值法？ 12 新知生成 知识点三 赋值法 二项展开式中系数和的求法： (1)对形如，的式子求其展开 式的各项系数之和，常用赋值法，只需令𝑥=1 即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令 即可. (2)一般地，若，则展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为 ，偶数项系数之和为 . 13 三、赋值法 例3 设 . (1) 求的值； (2)求的值； (3) 求的值； (4) 求的值； (5) 求的值. (6) 求的值. 【解析】(1)令，得 . (3)令，得 ， 结合（1）得 ， . (的展开式的通项为 ， ， ， . 14 反思感悟 方法总结 赋值法 15 新知运用 跟踪训练3 (多选题)已知 ，则( ). A. B. C.二项式系数和为256 D. 【解析】由，令，得 ，A正确；令 ，得，所以 ，B错误；二项 式系数和为，C正确；由 ，两边求导 得，令 ,得 ，D正确.故选 . ACD 16 四、二项式整除形式 例4 (1) 除以100的余数是几？ (2) 除以100的余数是几？ 17 随堂检测 1. 设，则 ( ). A. B.0 C.1 D.2 2.设 ，则 的值为( ). A. B.1 C.2 D. 3. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就之一，如图,这是由 “杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 为图中所选数1,1,2,3,6,10,20, 构成的数列的第项，则的值为_____. A B 18 随堂检测 4. 已知的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数 最大的项的系数. 【解析】由，得，解得或 （舍去），则第5项的二项式系数最大， ，故该展开式中 二项式系数最大的项的系数为 . 19 课堂小结 1.知识清单： (1)杨辉三角； (2)二项式系数的性质； (3)赋值法. 20 $$