专题04 平行四边形的九大几何模型专项（9大题型+15道拓展培优题）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题04 平行四边形的九大几何模型专项（9大题型+15道拓展培优题） 【题型目录】 题型一 平行四边形的旋转模型 题型二 平行四边形的翻折模型 题型三 平行四边形的轴对称模型 题型四 平行四边形的平移问题 题型五 平行四边形的最值问题 题型六 平行四边形的动点问题 题型七 平行四边形的新定义问题 题型八 平行四边形与一次函数综合 题型九 平行四边形综合 【经典例题一 平行四边形的旋转模型】 【例1】（2024·福建厦门·二模）如图1，在平面直角坐标系中，等边的顶点A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上．已知等边的边长为6，点D是x轴上一点，连接． (1)点A坐标为 ； (2)如图2，当点D在点B左侧时，将线段绕点A逆时针旋转角度得到线段，连接，． ①当时，恰好平分，若点D坐标为，求的长； ②如图3，当时，设点D坐标为，记的面积为S，求S关于x的函数表达式． 1．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转100°得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：四边形是平行四边形． 2．（23-24八年级下·河南周口·期中）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张全等的三角形胶片△ABC和△DEF，将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O． （1）当△DEF旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，AF与CD的数量关系是_______； （2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 3．（23-24八年级下·四川内江·期中） [回顾课本]苏教版八年级下册数学教材“9.5三角形的中位线"一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请根据分析完成证明过程． 已知：如图1，是的中位线，求证：，． 分析：因为E是的中点，可以考虑以点E为中心，把按顺时针方向旋转，得到，这样就需要证明四边形是平行四边形…… [探究发现] 如图2，等边的边长为2，点D，E分别为，边中点，点F为边上任意一点（不与B，C重合），沿，剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转恰好能与①拼成平行四边形，求平行四边形周长的最小值． [拓展作图] 如图3，已知四边形，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明． 【经典例题二 平行四边形的翻折模型】 【例2】（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在□ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′C，B′D，B′C交AD于点E． （1）证明：B′D∥AC ； （2）若∠B=45°，AB＝，BC＝3，求△AEC的面积． 1．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）已知，在平行四边形ABCD中，BD＝BC，E为AD边的中点，连接BE； （1）如图1，若AD⊥BD，，求平行四边形ABCD的面积； （2）如图2，连接AC，将△ABC沿BC翻折得到△FBC，延长EB与FC交于点G，求证：∠BGC＝∠ADB． 2．（2024·四川攀枝花·一模）如图1，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC． （1）求证：△ACE≌△DBF； （2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，如图2,连接BE和CG． 求证：四边形BGCE是平行四边形． 3．（23-24八年级下·重庆·期末）在中，，，将绕点B顺时针旋转一定度数得线段，连接，，将绕点D逆时针旋转得线段，连接、． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点D在的内部，恰好经过的中点F，求证：； (3)若，点D在的外部，当线段取得最大值时，在平面内将沿直线翻折得到，其中交于点F，连接，，请直接写出的面积． 【经典例题三 平行四边形的轴对称模型】 【例3】（23-24八年级下·四川资阳·期末）【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点． 【操作发现】 （1）如图1，无论点在什么位置，图中都会有一条线段与相等，请猜想与相等的线段，并说明理由． 【问题延伸】 （2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，求线段的长． 1．（2024·四川简阳·一模）如图甲，已知ED是△FBC的中位线，沿线段ED将△FED剪下后拼接在图乙中△BEA的位置． （1）从△FED到△BEA的图形变换，可以认为是（填平移或轴对称或旋转）变换； （2）试判断图乙中四边形ABCD的形状，并证明你的结论． 2．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．    (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)如图2，将反比例函数的图象在第一象限中的部分关于x轴对称，得到新的反比例函数的图象．点P在新的图象上，连接，，，．设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q在反比例函数图象上，点M在y轴上，连接，，，，若的面积等于的面积，，求点M的坐标． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）阅读与理解： 我们曾做过“折纸与证明”的数学活动.折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在中，（如图），怎样证明呢？ 分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 感悟与应用： （1）如图（a），在中，，，平分，试判断和之间的数量关系，并说明理由； （2）如图（b），在四边形中，平分，，，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图（c），在四边形中，，，，若，，，求四边形的边长． 【经典例题四 平行四边形的平移问题】 【例4】（23-24八年级下·四川遂宁·期末）综合与实践 已知线段AD向下平移m个单位后，再向右平移n个单位至线段BC，点A，D的对应点分别为点B、C，连接AB、CD、AC、BD，AC与BD交于O点． (1)如图1，求证：OB=OD． (2)如图2，过D点作DM⊥BC于M，N为CD的中点，连接MN，若∠ADB=45°，，MN=4，求的值． (3)在（2）的条件下，H在BC上移动，当为等腰三角形时，请直接写出HC的长． 1．（23-24八年级下·四川乐山·期末）在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． (1)如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． (2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 2．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图1有两条长度相等的相交线段AB、CD，它们相交的锐角中有一个角为60°，为了探究AD、CB与CD（或AB）之间的关系，小亮进行了如下尝试： （1）在其他条件不变的情况下使得AD∥BC，如图2，将线段AB沿AD方向平移AD的长度，得到线段DE，然后连接BE，进而利用所学知识得到AD、CB与CD（或AB）之间的关系：　 　；（直接写出结果） （2）根据小亮的经验，请对图1的情况（AD与CB不平行）进行尝试，写出AD、CB与CD（或AB）之间的关系，并进行证明； （3）综合（1）、（2）的证明结果，请写出完整的结论：　 　． 3．（23-24八年级下·四川资阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于、两点，动点C在线段OA上（不与O、A重合），将线段CB绕着点C顺时针旋转得到CD，当点D恰好落在直线AB上时，过点D作轴于点E. （1）求证：； （2）如图2，将沿x轴正方向平移得，当直线经过点D时，求点D的坐标及平移的距离； （3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由. 【经典例题五 平行四边形的最值问题】 【例5】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，平行四边形，，E、F分别是边上的两个动点，且满足． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． (3)的周长是否存在最小值，若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 1．（23-24八年级下·四川简阳·期中）如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，连接 CP，将绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到，连接 PQ． (1)求证：是等边三角形； (2)如图②，当点 P 在线段 EB 上运动时，的周长是否存在最小值？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由； 2．（23-24八年级下·四川巴中·期末）在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点，的对应点分别是点，． （1）当点恰好在上时，如图．求的大小； （2）若时，点是边的中点，如图．求证：四边形是平行四边形； （3）当时，连接，，设的面积为．在旋转过程中，是否存在最大值？若存在，请直接写出的最大值；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级下·四川简阳·阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 　 　cm2． (2)如图2，在中，，且，求线段的最小值． (3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积． 【经典例题六 平行四边形的动点问题 】 【例6】（23-24八年级下·四川遂宁·期中）已知中，一动点在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点停止运动时点也停止，设运动时间为，若，当t为多少秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． (3)在（1）的条件下，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，直接写出：的面积为． 1．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在四边形中，，，连接，，，动点P从点A出发，沿线段匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段匀速运动．当P，Q其中一点到达顶点，另一点也停止运动．设运动的时间为．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当四边形为平行四边形时，求t的值． 2．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，等边的边长为8，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动．    (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？请画出对应的图形，并求出时间t和的值． 3．（2024·四川巴中·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【经典例题七 平行四边形的新定义问题】 【例7】（23-24八年级下·福建厦门·期末）定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线．例如：如图1，在凸四边形中，若，则四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线．    (1)【概念理解】下列图形中，属于对等四边形的是___________． A．有一对邻边相等的四边形    B．对角线互相垂直的四边形 C．有一对邻角相等的四边形    D．平行四边形 (2)【探究升级】请你通过探究，写出对等四边形的一条性质，并利用定义证明； (3)【综合应用】如图2，在平面直角坐标系中，，若平面内存在一动点C，使得四边形为对等四边形，求点C的运动轨迹构成的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 1．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则________； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 2．（2024八年级下·河南周口·专题练习）定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数（，、为常数）的衍生函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则　 　； (2)如图，一次函数（，、为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于四点，其中点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，、为常数），其中满足．若一次函数（，为常数）的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点，求的取值范围． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，过点A的直线与边相交于点，连接，点P为线段上的一个动点，点Q与点B关于点P成中心对称，设点P的横坐标为m． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)①点Q的坐标为______（用含m的代数式表示）； ②当点Q在的内部运动时（不包括边界），求m的取值范围； (3)取的中点M，的中点N，连接，，在点P运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若改变，请说明理由． 【经典例题八 平行四边形与一次函数综合 】 【例8】（23-24八年级下·四川内江·期末）【问题情境】我们定义：如图a，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）在图2和图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为______； ②如图3，当，时，则长为______． 【猜想论证】 （2）如图1，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 1．（2024·四川眉山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，轴，点的坐标为，将向下方平移，得到，且点的对应点落在反比例函数的图象上，点的对应点落在轴上，连接．      (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求反比例函数的表达式； (3)求平移的距离及线段扫过的面积． 2．（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，已知点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，设直线的解析式为，连接，． (1)求反比例函数的表达式和点E的坐标； (2)点为轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点的坐标； (3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B．点D在x轴正半轴上，且，以、为边作平行四边形．    (1)点A的坐标______，点B的坐标______； (2)请求出直线的函数解析式； (3)如图2，点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴正方向移动，记点E运动时间为t秒．点F是线段的中点，连接EF并延长交直线于点H，请直接写出：当t为何值时，四边形为平行四边形； (4)点Q是直线上的一个动点，在y轴上找一点P，连接，，，当是以为斜边的等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【经典例题九 平行四边形综合】 【例9】（23-24八年级下·四川简阳·期末）如图①为某街道的部分示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，，点，，在一条直线上，且为的中点．    (1)求证：； (2)从村步行至村，小明选择的路线是，小亮选择的路线是．请比较两条路线的长度并说明理由； (3)请直接写出线段，，之间的数量关系． 1．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明； 【模型应用】 如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值； 【模型拓展】 如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示） 2．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (3)如图4，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． (4)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）【模型建构】 如图1，已知线段所在直线交于点，其所夹锐角为． 小明在学习了平移之后，将图1中的线段其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到以点其中三个点为顶点（另一个顶点在平面内）的多个平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，点D，E分别在、延长线上，且，求证：． 方法一：过点作，且，连接将证明，转化为证明； 方法二：过点作，且，连接将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程； （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己放思路解答下面问题： 如图5，在中，为上一点，为延长线上一点，且，连接交于点，求的度数； 【学以致用】 （3）如图6，在中，分别是边上的点，且于点，若，求的长． 1．（2025·四川巴中·一模）如图，在平行四边形中，点将对角线分成两段，且，连接，并延长至点，使得，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南新乡·一模）如图，在中，，相交于点，，，记的长为，的长为，则下列各式正确的是（   ）    A． B． C． D． 3．（2025·四川内江·一模）如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建龙岩·一模）如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·山西长治·期中）要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①在纸片的一边上取线段； ②用圆规在另一边上截取，使； ③用圆规比较和的长度，若，则． ①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F； ②用圆规比较的长度，若，则． 对于两个方案，说法正确的是（   ） A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行 C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行 6．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形周长等于 ． 7．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，若点在反比例函数上，的面积为3，点坐标为，则 ． 8．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在▱ABCD中，，以点A为圆心，为半径作弧，交于另一点F，再分别以点D，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点E，若，则的度数为 ． 9．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为 ． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 11．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知 的对角线相交于点 O ，E ，F 分别是 的中点，连接． (1)如图 1 ，求证：； (2)如图 2 ，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中的所有与面积相等的钝角等腰三角形． 12．（24-25八年级下·四川眉山·阶段练习）已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数； (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形； (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 13．（2025·四川宜宾·一模）阅读与思考 下面是小宇同学证明三角形中位线定理的过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 如图，在中，点、分别是、的中点，连接．求证：，． 证明：如图，延长到点，使，连接，，． 点是的中点， ， 四边形是平行四边形．（依据1）， ，． 点是的中点， ， ． 又， 四边形是平行四边形． ，，（依据2） ，． 任务： (1)直接写出上面证明中的“依据1”和“依据2”； (2)小宇继续探究，如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，，．求证：； (3)我们还学过证明一条线段是另一条线段的一半的数学定理，请你再写出一条与上面内容不同的数学定理： ． 14．（23-24八年级下·四川内江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴于点，交y轴于点B，直线与y轴交于点D，与直线交于点，点M是线段上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线，交直线于点N．设点M的横坐标为m． (1)求a的值和直线的函数表达式． (2)以线段，为邻边作，直线与x轴交于点E． ①当时，设线段的长度为l，求l与m之间的关系式； ②连接，，当的面积为3时，请求出m的值． 15．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）【综合与实践】 问题情境：活动课上，小强同学以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D、E分别是点B、C的对应点），旋转角为，设线段交于点P，线段分别交、于点F、Q，如图2． 特例分析：当旋转到时，则旋转角的度数为___________； 探究规律：在绕点A逆时针旋转的过程中，小强同学发现线段始终等于线段，请你帮小强同学证明这一结论． 拓展延伸： （1）在绕点A逆时针旋转的过程中，直接写出当是等腰三角形时旋转角α的度数． （2）在图3中，作射线、交于点M，四边形的面积记为，的面积记为，是否存在四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时旋转角α的度数，及此时的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行四边形的九大几何模型专项（9大题型+15道拓展培优题） 【题型目录】 题型一 平行四边形的旋转模型 题型二 平行四边形的翻折模型 题型三 平行四边形的轴对称模型 题型四 平行四边形的平移问题 题型五 平行四边形的最值问题 题型六 平行四边形的动点问题 题型七 平行四边形的新定义问题 题型八 平行四边形与一次函数综合 题型九 平行四边形综合 【经典例题一 平行四边形的旋转模型】 【例1】（2024·福建厦门·二模）如图1，在平面直角坐标系中，等边的顶点A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上．已知等边的边长为6，点D是x轴上一点，连接． (1)点A坐标为 ； (2)如图2，当点D在点B左侧时，将线段绕点A逆时针旋转角度得到线段，连接，． ①当时，恰好平分，若点D坐标为，求的长； ②如图3，当时，设点D坐标为，记的面积为S，求S关于x的函数表达式． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）等边三角形的性质结合勾股定理即可求解； （2）①过点作于点，先证，再利用等边三角形性质、角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可求得答案； ②线段与线段的交点为G，在上截取一点N，使得，连接，．先证，再证四边形为平行四边形，从而求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵等边的边长为6，且， ∴，， ∴， ∴点A坐标为； （2）解：①过点作于点，如图， 由题意得点B坐标为，点C坐标为，点A坐标为， 又点D坐标为， 由旋转的性质知， 由题意得， 又， ∴， ∴， ， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴； ②如图所示，线段与线段的交点为G，在上截取一点N，使得，连接，． ∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∴，， ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴， ∴， 又由四边形为平行四边形可得，点B和点E到的距离相等，都为， ∵点D坐标为， ∴， ∴， ∴的面积为， 即S与x的函数关系式为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，含的直角三角形和勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段． 1．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转100°得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)40° (3)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，证△ABD≌△ACE（SAS），即可得证结论； （2）根据等腰三角形的性质求出度数即可； （3）同理（2）求出∠AEF的度数，根据平行线的判定得出AEBF，ABEF即可得证结论． 【详解】（1）证明：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=100°， ∵AB=AC， ∴AB=AD=AC=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； （2）解：由（1）知，AB=AD，∠BAD=100°， ∴△ABD是等腰三角形， ∴∠ABD=（180°-∠BAD）÷2=（180°-100°）÷2=40°， 即∠ABD的度数为40°； （3）证明：由（2）知，∠ABD=40°， 同理可得，∠AEF=40°， ∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=40°+100°=140°， ∴∠BAE+∠ABD=140°+40°=180°， ∴AEBF， 同理∠AEF+∠BAE=180°， ∴ABEF， ∴四边形ABFE是平行四边形． 【点睛】本题主要考查图形的旋转，平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质等知识，是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河南周口·期中）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张全等的三角形胶片△ABC和△DEF，将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O． （1）当△DEF旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，AF与CD的数量关系是_______； （2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）AF＝CD；（2）成立，理由见解析． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和图形得出AB=DE，DF=AC，∠ABC=∠DEF，根据SAS证△ABC≌△DEF，推出BF=EC即可； （2）根据全等三角形的性质推出AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，求出∠ABF=∠DEC，根据SAS证△ABF≌△DEC，即可推出答案． 【详解】解：（1）AF=CD， 理由是：∵四边形是平行四边形， ∴∠ABC=∠DEF，BF=EC， 在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴BF=EC， ∵AB=DE， ∴AF=CD， 故答案为：AF=CD． （2）成立， 理由是：∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF， ∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC， ∴∠ABF=∠DEC， ∵在△ABF和△DEC中 ， ∴△ABF≌△DEC（SAS）， ∴AF=CD． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中． 3．（23-24八年级下·四川内江·期中） [回顾课本]苏教版八年级下册数学教材“9.5三角形的中位线"一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请根据分析完成证明过程． 已知：如图1，是的中位线，求证：，． 分析：因为E是的中点，可以考虑以点E为中心，把按顺时针方向旋转，得到，这样就需要证明四边形是平行四边形…… [探究发现] 如图2，等边的边长为2，点D，E分别为，边中点，点F为边上任意一点（不与B，C重合），沿，剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转恰好能与①拼成平行四边形，求平行四边形周长的最小值． [拓展作图] 如图3，已知四边形，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明． 【答案】[探究发现] ；[拓展作图] 作图见解析，说明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质等知识，理解题意是解决问题的关键． [探究发现] 由旋转及平行四边形的性质可知，，，要使得平行四边形周长最小，则只需要最小，即：最小即可，亦即当时，取得最小值，当时，，利用含的直角三角形即可求解； [拓展作图]取，，，边中点，，，，再根据旋转和平移即可求解． 【详解】解：[探究发现] ∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， 由旋转可知，，，， 则在平行四边形中，，， 要使得平行四边形周长最小，则只需要最小， 即：最小即可，亦即当时，取得最小值， 当时，，则， ∴， ∴的最小值为， 此时平行四边形周长的最小，最小为； [拓展作图] 方法一：如图，点，，，分别为，，，边中点，沿，剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，③分别绕点，旋转至④，⑥，再将②平移至⑤，恰好能与⑦拼成平行四边形； 方法二：点，，，分别为，，，边中点，沿，剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，②分别绕点，旋转至④，⑤，再将②平移至⑥，恰好能与⑦拼成平行四边形． 【经典例题二 平行四边形的翻折模型】 【例2】（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在□ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′C，B′D，B′C交AD于点E． （1）证明：B′D∥AC ； （2）若∠B=45°，AB＝，BC＝3，求△AEC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）． 【详解】试题分析：根据平行四边形得出AD∥BD，∠DAC=∠ACB，根据折叠可得∠ACB′=∠ACB，从而得出∠DAC =∠ACB′，AE=CE，根据平行四边形得出AD=BC，折叠得出B′C=BC，则B′C=AD，B′E=DE，则∠CB′D=∠ADB′，根据∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD得出∠ADB′=∠DAC，即得出平行；作AF⊥BC于F，作CG⊥AD于G，根据∠B=45°，AB的长度得出AF=BF=1，CG=DG=1，根据BC得出AG，设AE=CE=x，则EG=2﹣x，根据Rt△ECG的勾股定理得出x的值，然后计算△AEC的面积． 试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC  ∴∠DAC =∠ACB  ∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C ∴∠ACB′=∠ACB   ∴∠DAC =∠ACB′      ∴AE=CE   ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC   ∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∵B′C=BC   ∴B′C=AD    ∴B′E=DE ∴∠CB′D=∠ADB′   ∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD ∴∠ADB′=∠DAC   ∴B′D∥AC （2）作AF⊥BC于F，作CG⊥AD于G， ∵∠B=45°，AB= ∴AF=BF=1， CG=DG=1      ∵BC=3  ∴AG=2， 设AE=CE=x，则EG=2﹣x， ∵CG2+EG2=CE2， ∴12+（2﹣x）2=x2， 解得x= ∴AE= ∴△AEC的面积=AE•CG=××1=； 考点：折叠图形的性质、勾股定理、平行四边形的性质． 1．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）已知，在平行四边形ABCD中，BD＝BC，E为AD边的中点，连接BE； （1）如图1，若AD⊥BD，，求平行四边形ABCD的面积； （2）如图2，连接AC，将△ABC沿BC翻折得到△FBC，延长EB与FC交于点G，求证：∠BGC＝∠ADB． 【答案】（1）4；（2）证明见解析． 【分析】（1）先推出∠ADB＝90°，设AE＝DE＝a，则BD＝AD＝2a，根据勾股定理得出a2+4a2＝5，解出a＝1或﹣1（舍弃），可得AD＝DB＝2，即可求出S平行四边形ABCD； （2）延长BE到M，使得EM＝BE，连接AM，先证明四边形ABDM是平行四边形，然后证明△BDM≌△CBF，得出∠DBM＝∠BCF，根据AD∥BC，得出∠GBC＝∠BED，根据∠BGC+∠GCB+∠GBC＝180°，∠ADB+∠EBD+∠BED＝180°，即可证明∠BGC＝∠ADB． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵BD＝BC ∴DA＝DB， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， 设AE＝DE＝a，则BD＝AD＝2a， ∵BE＝， ∴a2+4a2＝5， ∴a＝1或﹣1（舍弃）， ∴AD＝DB＝2， ∴S平行四边形ABCD＝AD•BD＝4； （2）证明：延长BE到M，使得EM＝BE，连接AM， ∵AE＝DE，EM＝EB， ∴四边形ABDM是平行四边形， ∴DM＝AB， 由翻折的性质可知：BA＝BF，∠ABC＝∠CBF， ∴DM＝BF， ∵CD∥AB， ∴∠ABC+∠DCB＝180°， ∴∠CBF+∠DCB＝180°， ∵BD＝BC， ∴∠DCB＝∠CDB， ∵∠BDM+∠CDB＝180°， ∴∠BDM＝∠CBF， ∴△BDM≌△CBF（SAS）， ∴∠DBM＝∠BCF， ∵AD∥BC， ∴∠GBC＝∠BED， ∵∠BGC+∠GCB+∠GBC＝180°，∠ADB+∠EBD+∠BED＝180°， ∴∠BGC＝∠ADB． 【点睛】本题考查了求平行四边形的面积，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，翻折的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 2．（2024·四川攀枝花·一模）如图1，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC． （1）求证：△ACE≌△DBF； （2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，如图2,连接BE和CG． 求证：四边形BGCE是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】(1)直接利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可； (2)利用翻折变换的性质得出∠DBG=∠DBF，再利用平行线的判定方法得出CE∥BG，进而求出四边形BGCE是平行四边形 【详解】（1）如图1， ∵OB＝OC， ∴∠ACE＝∠DBF， 在△ACE和△DBF中， ， ∴△ACE≌△DBF（AAS）； （2）如图2， ∵∠ACE＝∠DBF，∠DBG＝∠DBF， ∴∠ACE＝∠DBG， ∴CE∥BG， ∵CE＝BF，BG＝BF， ∴CE＝BG， ∴四边形BGCE是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质和翻折变换(折叠问题)，综合利用判定的性质是解题关键 3．（23-24八年级下·重庆·期末）在中，，，将绕点B顺时针旋转一定度数得线段，连接，，将绕点D逆时针旋转得线段，连接、． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点D在的内部，恰好经过的中点F，求证：； (3)若，点D在的外部，当线段取得最大值时，在平面内将沿直线翻折得到，其中交于点F，连接，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3)2 【分析】（1）由已知可得出，由由旋转的性质可得出，，由等边对等角得出，等量代换可得出，利用证明，进而可得出，结合已知条件可得出． （2）延长至点G，使得，连接，先证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，，，进而可得出，再利用证明，利用全等的性质可得出，结合已知条件判定为等腰直角三角形，即可证明． （3）结合题意可得出点D的轨迹是以B为圆心，为半径的圆上，由旋转的性质可得出，即可得出当最大时，最大，是延长线与圆B的交点，由已知条件可得出，进而可得出，即可得出． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∵由旋转的性质可得出：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）证明：延长至点G，使得，连接，如图， ∵F为中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， 同（1）可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）点D的轨迹是以B为圆心，为半径的圆上， 由旋转的性质可得出：， ∴当最大时，最大， ∴是延长线与圆B的交点， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定以及性质，等腰直角三角形的判定以及性质，旋转的性质等知识，正确作出辅助线和找到点D的轨迹是解题的关键． 【经典例题三 平行四边形的轴对称模型】 【例3】（23-24八年级下·四川资阳·期末）【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点． 【操作发现】 （1）如图1，无论点在什么位置，图中都会有一条线段与相等，请猜想与相等的线段，并说明理由． 【问题延伸】 （2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，求线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）线段的长为或或． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，图形的翻折，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，翻折的特征是解题的关键． （1）根据点在边上的不同位置，画出图形，进行分类讨论，情况①，当射线与相交于点，点在线段上，根据平行四边形的性质，翻折的特征，可得，利用等角对等边，即可证明；当点在边上其他位置时，同理可证得； （2）根据，利用垂线段最短，可得当时，最短，故此时取得最小值，利用勾股定理即可求解； （3）根据点在边上的不同位置，当时，，以及当点与点重合时，分情况讨论，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：（1），理由如下， 情况①，当射线与相交于点，点在线段上，如图， 四边形是平行四边形， ， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ． 情况② 当射线与相交于点，点在线段延长线上，如图， 同理可得，， ． 情况③ 当点在如图位置，延长线与相交于点， 四边形是平行四边形， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，， ， ， ． 综上，无论点在什么位置，都有． （2），根据垂线段最短， 当时，最短，故此时取得最小值，如图所示， ，，， 根据勾股定理得， ， 线段的最小值为． （3）情况① 当时，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ，即， 是以为一条直角边的直角三角形， 根据第（2）结果，， ． 情况②，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，，，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，，，，， ，， ， 是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，， ， ， 在中，， ． 情况③ 当点与点重合时，即将四边形沿翻折得到四边形， ，根据翻折特征，可得， ， 是以为一条直角边的直角三角形， 此时，． 综上，当是以为一条直角边的直角三角形，线段的长为或或． 1．（2024·四川简阳·一模）如图甲，已知ED是△FBC的中位线，沿线段ED将△FED剪下后拼接在图乙中△BEA的位置． （1）从△FED到△BEA的图形变换，可以认为是（填平移或轴对称或旋转）变换； （2）试判断图乙中四边形ABCD的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）旋转变换；（2）四边形ABCD是平行四边形，见解析 【分析】（1）由拼接后发现对应点分别是为B与F，A与D，E与E，所以可以得到答案． （2）利用旋转的性质得到ED=EA，结合中位线的性质得到AD∥BC，AD=BC可以得出结论． 【详解】解：(1)拼接后，B与F是对应点，A与D是对应点，E与自身对应，所以是旋转对称关系，即旋转变换. (2)四边形ABCD是平行四边形 证明:∵△FED到△BEA是旋转变换, ∴ED=EA.∴AD=2ED. ∵ED是△FBC的中位线, ∴ED∥CB，CB=2DE, ∴AD∥BC，AD=BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 【点睛】本题考查旋转变换是点对称的特点，同时考查平行四边形的判定，掌握旋转变换的特征与平行四边形的判定方法是解决本题的关键． 2．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．    (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)如图2，将反比例函数的图象在第一象限中的部分关于x轴对称，得到新的反比例函数的图象．点P在新的图象上，连接，，，．设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q在反比例函数图象上，点M在y轴上，连接，，，，若的面积等于的面积，，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数性质，三角形面积，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握反比例函数的性质及平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）运用待定系数法求得反比例函数和一次函数的表达式，联立方程组求解即可求得点B的坐标； （2）设，过点P作轴，交直线于点K，交直线于点，运用三角形面积公式可得：，，据题意建立方程求解即可求得答案； （3）设，分两种情况：当点Q在第一象限时，当点Q在第三象限时，再运用平行四边形的判定和性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为： ∵一次函数的图象经过点 ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 联立反比例函数和一次函数解析式得，， 解得：， ∴； （2）解：由题意得，在第一象限中关于x轴对称的新比例函数解析式为， 设，过点P作轴，交直线于点K，交直线于点，    ∵， ∴设直线解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴点P的坐标为； （3）解：设， 当点在第一象限时，如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分，即与的中点重合 ∴， 解得：， ∴； 当点在第三象限时，如图，连接，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分，即与的中点重合 ∴， 解得： ∴ 综上所述：点的坐标为或． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）阅读与理解： 我们曾做过“折纸与证明”的数学活动.折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在中，（如图），怎样证明呢？ 分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 感悟与应用： （1）如图（a），在中，，，平分，试判断和之间的数量关系，并说明理由； （2）如图（b），在四边形中，平分，，，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图（c），在四边形中，，，，若，，，求四边形的边长． 【答案】（1），利用见解析；（2）；（3） 【分析】（1）在上截取，连接，先证明，得，根据在中，推出，即可得出结论； （2）在上截取，连接，过点作，易证明，得，，，设，在和中，由勾股定理得即可求出的长； （3）分别沿着和折叠得到，，在中，，在中，，根据，得到，即，证明四边形为平行四边形，得到，，，，在中，求出，利用，求出，在中，求出，推出，即可求出． 【详解】解：（1）， 如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∴，即， （2）如图，在上截取，连接， 同（1）证明得，， ∴，， ∵， ∴， 过点作， ∴， 设，在和中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， （3）分别沿着和折叠得到，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ， ∴，同理，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴，， 在中，， 又∵，即， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的特征、折叠的性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【经典例题四 平行四边形的平移问题】 【例4】（23-24八年级下·四川遂宁·期末）综合与实践 已知线段AD向下平移m个单位后，再向右平移n个单位至线段BC，点A，D的对应点分别为点B、C，连接AB、CD、AC、BD，AC与BD交于O点． (1)如图1，求证：OB=OD． (2)如图2，过D点作DM⊥BC于M，N为CD的中点，连接MN，若∠ADB=45°，，MN=4，求的值． (3)在（2）的条件下，H在BC上移动，当为等腰三角形时，请直接写出HC的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)HC的长为8或或 【分析】（1）先判定四边形为平行四边即可得证 （2）先证明△BMD为等腰直角三角形，再求MB比MC即可 （3）要根据HC作底边，CD作底边，DH作底边三种等腰三角形的情况求解HC 【详解】（1）证明：由平移的性质，得，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD （2）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠ADB=∠CBD．，． ∵∠ADB=45°，DM⊥BC， ∴△BDM为等腰直角三角形，∴BM=MD=6． ∵△CMD为直角三角形，N为CD的中点，，∴CD=2MN=8． 在中，由勾股定理，得，∴． （3）①当HC=DC=8时，如图构成等腰三角形 ②当HD=HC时，如图构成等腰三角形 此时设HM为x ∵ ∴ 解得： ∴HC=x+MC= ③当DH=DC时，如图构成等腰三角形： 此时HC=2MC= 故HC长度为：8或或． 【点睛】本题考查平行四边形判定，平行四边形性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握如上知识和方法才能正确解题． 1．（23-24八年级下·四川乐山·期末）在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． (1)如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． (2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③ (2)11 【分析】（1）①根据，得出，即可证明． ②由①得，得出，结合，即可证明四边形为平行四边形； ③根据，，得出，根据平行四边形的性质得出，证出是的垂直平分线，即可得，根据等腰三角形的性质得出，根据，，求出，再根据即可求解． （2）根据平行四边形的性质可得，，根据，得出，由折叠知，，即可得出， ，在中，勾股定理求出，在中，求出 ， 即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴，   ②证明：由①得， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； ③解：∵，， ∴， 由②得：四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴． 在中， ，， ∵，即， ∴， ∵在中， ， ∴ ， ∴． 【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图1有两条长度相等的相交线段AB、CD，它们相交的锐角中有一个角为60°，为了探究AD、CB与CD（或AB）之间的关系，小亮进行了如下尝试： （1）在其他条件不变的情况下使得AD∥BC，如图2，将线段AB沿AD方向平移AD的长度，得到线段DE，然后连接BE，进而利用所学知识得到AD、CB与CD（或AB）之间的关系：　 　；（直接写出结果） （2）根据小亮的经验，请对图1的情况（AD与CB不平行）进行尝试，写出AD、CB与CD（或AB）之间的关系，并进行证明； （3）综合（1）、（2）的证明结果，请写出完整的结论：　 　． 【答案】 AD+CB=AB 【详解】分析：(1)、根据图形得出线段之间的关系；(2)、将线段AB沿AD方向平移AD的长度，得到线段DE,根据平行四边形的性质、等边三角形的性质以及三角形三边之间的关系得出答案；(3)、根据两个结论得出答案即可． 详解：（1）AD+CB=AB   （2）补全图形正确， 结论： 理由：如图：将线段AB沿AD方向平移AD的长度，得到线段DE, 连接BE、CE，且可得且，∴四边形A、B、E、D是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵,， ∴是等边三角形∴，由于AD与CB不平行，所以C、B、E构成三角形， ∴ ， ∴； （3） 点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及三角形三边之间的关系，属于中等难度的题型．通过平移构造平行四边形是解决这个问题的关键． 3．（23-24八年级下·四川资阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于、两点，动点C在线段OA上（不与O、A重合），将线段CB绕着点C顺时针旋转得到CD，当点D恰好落在直线AB上时，过点D作轴于点E. （1）求证：； （2）如图2，将沿x轴正方向平移得，当直线经过点D时，求点D的坐标及平移的距离； （3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1），见解析；（2）D（3，1），平移的距离是个单位，见解析；（3）存在满足条件的点Q，其坐标为或或，见解析. 【分析】（1）根据AAS或ASA即可证明； （2）首先求直线AB的解析式，再求出出点D的坐标，再求出直线B′C′的解析式，求出点C′的坐标即可解决问题； （3）如图3中，作CP∥AB交y轴于P，作PQ∥CD交AB于Q，则四边形PCDQ是平行四边形，求出直线PC的解析式，可得点P坐标，点C向左平移1个单位，向上平移个单位得到P，推出点D向左平移1个单位，向上平移个单位得到Q，再根据对称性可得Q′、Q″的坐标. 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ （2）∵直线AB与x轴，y轴交于、两点 ∴直线AB的解析式为 ∵， ∴，设，则 把代入得到， ∴ ∵， ∴直线BC的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得到 ∴直线的解析式为， ∴， ∴ ∴平移的距离是个单位. （3）如图3中，作CP∥AB交y轴于P，作PQ∥CD交AB于Q，则四边形PCDQ是平行四边形， 易知直线PC的解析式为y=-x+， ∴P（0，）， ∵点C向左平移1个单位，向上平移个单位得到P， ∴点D向左平移1个单位，向上平移个单位得到Q， ∴Q（2，）， 当CD为对角线时，四边形PCQ″D是平行四边形，可得Q″， 当四边形CDP′Q′为平行四边形时，可得Q′， 综上所述， 存在满足条件的点Q，其坐标为或或 【点睛】本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用平移、对称等性质解决问题，属于中考压轴题． 【经典例题五 平行四边形的最值问题】 【例5】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，平行四边形，，E、F分别是边上的两个动点，且满足． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． (3)的周长是否存在最小值，若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形；理由见解析 (3)存在；最小值为 【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件，证明，得出和都为等边三角形，证明，再根据证明即可； （2）根据，得出，，根据，得出，即可证明是等边三角形； （3）根据为等边三角形，得出当最小时，周长最小，根据垂线段最短求出的最小值，即可得出的最小值． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴和都为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形； （3）解：的周长存在最小值， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴当最小时，的周长最小， 过点B作于点M， ∵垂线段最短， ∴当点E在点时，最小， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 则周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，解题的关键是根据平行四边形的性质，结合已知条件证明和都为等边三角形． 1．（23-24八年级下·四川简阳·期中）如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，连接 CP，将绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到，连接 PQ． (1)求证：是等边三角形； (2)如图②，当点 P 在线段 EB 上运动时，的周长是否存在最小值？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)（2＋）cm． 【分析】（1）根据旋转的性质，证明△PCE≌△QCB，然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可； （2）利用平行四边形的性质证得△BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到△PBQ的周长为2+CP，然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可； 【详解】（1）证明：∵绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到， ∴△PCE≌△QCB， ∴CP=CQ，∠PCE =∠QCB， ∴△CPQ是等腰三角形， ∵∠BCD=120°，CE平分∠BCD， ∠DCE＝∠BCE＝∠BCD＝60°， ∴∠PCQ=∠PCE＋∠ECQ＝∠BCQ＋∠ECQ＝∠BCE＝∠BCD＝60°， 即∠PCQ＝60°， ∴△PCQ为等边三角形. （2）存在 ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE=， ∵在平行四边形ABCD 中， ∴ABCD， ∴∠ABC=180°﹣120°=60°， ∴△BCE为等边三角形， ∴BE=CB=2cm，∠CBE＝60°， ∵绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到， ∴△PCE≌△QCB， ∴EP=BQ， ∴△PBQ的周长＝PB＋BQ＋PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=2+CP， ∴CP⊥AB时，△PBQ周长最小， 当CP⊥AB时，∠CPB＝90°， ∴∠BCP＝180°－∠CPB－∠CBE＝30°， ∴PB＝BC＝1cm， ∴CP＝cm， ∴△PBQ周长最小为（2＋）cm． 【点睛】此题主要考查了旋转图形变化的应用、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·四川巴中·期末）在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点，的对应点分别是点，． （1）当点恰好在上时，如图．求的大小； （2）若时，点是边的中点，如图．求证：四边形是平行四边形； （3）当时，连接，，设的面积为．在旋转过程中，是否存在最大值？若存在，请直接写出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）75°；（2）见解析；（3）存在， 【分析】（1）由旋转得AD=AC，通过等腰三角形及直角三角形导出∠CDE； （2）由旋转及点F为斜边中线得DE=BF，再添加辅助线证明DE//BF从而得到四边形BFDE是平行四边形； （3）线段DE为定值，点C到DE距离最大时△CDE的面积取最大值． 【详解】解：（1）解：如图，绕点顺时针旋转得到，点恰好在上， ，，， ， （2）证明：如图， 点是边中点，在中，， ， 在中，， 为等边三角形， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ，为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （3）的最大值为． 线段为定值， 点到的距离最大时，的面积有最大值． 当点，，共线时，有最大值． ，， ，， 在中，， ． 当点，，共线时，， ， 的面积有最大值． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，解题关键是掌握斜边上的中线长度等于斜边长度的一半，30°所对直角边长度为斜边长度的一半． 3．（23-24八年级下·四川简阳·阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 　 　cm2． (2)如图2，在中，，且，求线段的最小值． (3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积． 【答案】(1)12.5 (2) (3)不是，， 【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形的面积，从而可以得到四边形的面积； （2）由勾股定理可得，由配方法可求解； （3）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理可求，由配方法可求的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 则的面积， 即四边形的面积为， 故答案为：12.5； （2）解：， ， ， ， 当时，取最小值，最小值为2； （3）解：如图，过点B作于H， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 当时，有最小值，即的最小值为， 此时：，， 是等边三角形， ． 综上可知，不是定值，的最小值为，此时平行四边形的面积为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． 【经典例题六 平行四边形的动点问题 】 【例6】（23-24八年级下·四川遂宁·期中）已知中，一动点在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点停止运动时点也停止，设运动时间为，若，当t为多少秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． (3)在（1）的条件下，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，直接写出：的面积为． 【答案】(1) (2)4.8秒或8秒或9.6秒 (3) 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定及性质，等积转换，平行四边形的判定等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． （1）可证，从而可证，即可求解； （2）当时，四边形是平行四边形，进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，即可求解； （3）设边上的高为，边上的高为，，可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． （2）解：， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ①时， ， 解得：（不合题意，舍去）； ②时， 当， 解得：； ③时， ， 解得：； ④， 当时， 解得：； 综上所述：为4.8秒或8秒或9.6秒； （3）解：如图，设边上的高为，边上的高为， ，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 1．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在四边形中，，，连接，，，动点P从点A出发，沿线段匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段匀速运动．当P，Q其中一点到达顶点，另一点也停止运动．设运动的时间为．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当四边形为平行四边形时，求t的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的判定证明，再利用平行四边形的判定即可得证； （2）由题意可知，，，由勾股定理得，再由平行四边形的性质得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， 四边形是平行四边形， ，， 由题意可知，，， 当四边形是平行四边形时，点在线段上时，此时，， ， ， 解得：． 2．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，等边的边长为8，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动．    (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？请画出对应的图形，并求出时间t和的值． 【答案】(1)经过秒钟两点第一次相遇 (2)或时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，或 【分析】（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程点N运动的路程列方程求解即可； （2）分四种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：设经过t秒钟两点第一次相遇，由题意得： ， 解得：， ∴经过秒钟两点第一次相遇； （2）解：①当时，点M、N、D的位置如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即：，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴； ②当时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形； ③时，点M、N、D的位置如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：， ， ∵，， ∴为等边三角形， ∴； ④当时，点M、N、D的位置如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 此时M、N重合，不能构成平行四边形． 综上分析可知：运动了秒或秒时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，或． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 3．（2024·四川巴中·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 【经典例题七 平行四边形的新定义问题】 【例7】（23-24八年级下·福建厦门·期末）定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线．例如：如图1，在凸四边形中，若，则四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线．    (1)【概念理解】下列图形中，属于对等四边形的是___________． A．有一对邻边相等的四边形    B．对角线互相垂直的四边形 C．有一对邻角相等的四边形    D．平行四边形 (2)【探究升级】请你通过探究，写出对等四边形的一条性质，并利用定义证明； (3)【综合应用】如图2，在平面直角坐标系中，，若平面内存在一动点C，使得四边形为对等四边形，求点C的运动轨迹构成的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)D (2)在对等四边形中，对等对角线平分另一条对角线；证明见解析 (3)的轨迹是线段；或的轨迹是射线； 【分析】（1）根据对等四边形的定义结合平行四边形的性质可得结论； （2）先写出性质：在对等四边形中，对等对角线平分另一条对角线；再画图，结合定义与全等三角形的判定与性质可得结论； （3）分两种情况讨论：如图，当对角线为对等对角线时，如图，当为对等对角线时，再结合对等四边形的性质可得答案． 【详解】（1）解：根据对等四边形的定义可得： 平行四边形是对等四边形；其余选项的四边形都不是对等四边形； （2）解：在对等四边形中，对等对角线平分另一条对角线； 已知四边形是对等四边形，对等对角线为，； 求证：； 证明：如图，过作于，过作于， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，当对角线为对等对角线时，    ∵，，， ∴在直线上， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 当时，， 解得：， ∴此时的横坐标范围为； 如图，当为对等对角线时， 由（2）可得，平分，    ∴过的中点， 同理可得：直线为：， ∴的轨迹是射线； 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的几何应用，点的轨迹问题，难度较大，理解新定义是含义是解本题的关键． 1．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则________； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)①平行四边形，详见解析；② 【分析】本题是四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用这些知识． （1）根据邻余四边形的定义即可求解； （2）根据垂直平分线的定义可得，，根据勾股定理可得，进而求出，再根据勾股定理的逆定理可得，推出，即可证明； （3）①由，可得，推出，根据邻余四边形的定义得到，进而得到，推出，证明，得到，即可证明；②延长到点，使，连接，，证明，得到，，根据邻余四边形的定义分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：在邻余四边形中，，且，， ， ， 故答案为：； （2）证明：垂直平分， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 四边形是邻余四边形； （3）①四边形是平行四边形，证明如下： ， ， ， ， ， ， 在邻余四边形中，， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 由， 四边形是平行四边形； ②如下图，延长到点，使，连接，， 为中点，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ，， 在邻余四边形中，， 可分两种情况讨论： 当时， 则， ； 当时， 则， ，与矛盾， 此种情况不存在； 综上，的长为． 2．（2024八年级下·河南周口·专题练习）定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数（，、为常数）的衍生函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则　 　； (2)如图，一次函数（，、为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于四点，其中点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，、为常数），其中满足．若一次函数（，为常数）的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或且 【分析】（1）将点E的坐标代入衍生函数求值即可； （2）根据点的坐标得出；根据衍生函数分别求出M，N，Q三点的坐标，再根据面积的关系求出k的值，然后求出一次函数的解析式即可； （3）根据k和b的关系得出，即可得出定点坐标，根据题意得出当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，求出此时的b和k的值，然后分情况讨论符合条件的b的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，把点在一次函数得： 解得：； 当，把点在一次函数得： 解得：； （2）解：连接， ∵过， ∴，则， ∴， 设，，， ∵，，，， ∴，，， 把代入得：， 整理得：， 把，代入得： ， 整理得：， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ （3）解：∵，满足， ∴，则 ∴当时，，即过定点， ∴一次函数的衍生函数过点和， ∴且点在内， 设衍生函数图象与y轴的交点为G， 点G沿y轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点， 将代入得：， 解得，， ∴时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意． 点G沿y轴轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，∴且时，图象与有两个交点，符合题意． 综上：或且时，图象恰好与有两个交点． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题型，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，平移的性质，以及正确理解题目所给“衍生函数”的定义是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，过点A的直线与边相交于点，连接，点P为线段上的一个动点，点Q与点B关于点P成中心对称，设点P的横坐标为m． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)①点Q的坐标为______（用含m的代数式表示）； ②当点Q在的内部运动时（不包括边界），求m的取值范围； (3)取的中点M，的中点N，连接，，在点P运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)①② (3)的面积不变， 【分析】（1）根据平行四边形的性质推出，再用待定系数法求函数表达式即可； （2）①先求直线表达式，根据中心对称可求Q坐标；②利用边界值计算即可，当Q在边上时求m的值，当Q在边上时求m的值，即可得出m的范围； （3）的面积是否发生变化可以看底和高是否变化，其中底是是定值，因为Q所在直线与平行，根据平行线之间是等距的，所以高是定值，所以面积不发生变化，再根据题干条件求出高即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设直线函数表达式为：，将D，E代入可得出： ， 解得∶ ∴直线的函数表达式为． （2）①设解析式为，将、坐标代入得 ， 解得： ∴解析式为， ∵P在线段上，P的横坐标为m， ∴， ∵B、Q关于点P中心对称， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： ②当Q在边上时，此时，即， ∴， 当Q在边上时，此时点Q在直线上， ∴， 解得， ∵不包含边界， ∴ （3）的面积不变，的面积为6． 理由如下： ∵，， ∴， ∵M是中点，N是中点， ∴， ∴， ．∵， ∴点Q所在直线l的解析式为：， 设l与x轴交于点K，则， ∴， 由(2)知解析式为：， ∴， 过A作于点G，作于点H，则四边形是矩形， 由题易知，为等腰直角三角形， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、求一次函数的交点坐标、平行四边形的性质以及两点之间的距离，中心对称等等基础知识，掌握相关知识是解题的关键． 【经典例题八 平行四边形与一次函数综合 】 【例8】（23-24八年级下·四川内江·期末）【问题情境】我们定义：如图a，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）在图2和图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为______； ②如图3，当，时，则长为______． 【猜想论证】 （2）如图1，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②8；（2）结论：，详见解析 【分析】（1）①根据含30度的直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：8； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 1．（2024·四川眉山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，轴，点的坐标为，将向下方平移，得到，且点的对应点落在反比例函数的图象上，点的对应点落在轴上，连接．      (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求反比例函数的表达式； (3)求平移的距离及线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)5，24 【分析】（1）利用平移的性质，可得出，由轴且在轴上，可得出，结合，可得出，由，可得出，再利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可证出四边形为平行四边形； （2）连接，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出，结合，可得出三点共线，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出的长，结合，可得出点的坐标，再利用反比例函数系数的几何意义，可求出的值，进而可得出反比例函数的表达式； （3）连接，在中，利用勾股定理，可求出的长，由此可得出平移的距离为，由，可得出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质及三角形的面积公式，即可求出线段扫过的面积． 【详解】（1）证明：由平移的性质，得：， 轴，且在轴上， ， ． ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：连接，如图所示．       四边形为平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 三点共线． 轴，在轴上，， 四边形是平行四边形， ． 点的坐标为， ， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （3）解：连接，如图所示．      在中，， ， 平移的距离为 ， 四边形是平行四边形， ， 线段扫过的面积为． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、反比例函数系数的几何意义、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：由平移的性质及平行线的性质，找出及；（2）利用平移的性质及平行四边形的性质，找出点的坐标；（3）利用勾股定理及平行四边形的性质，求出的长及平行四边形的面积． 2．（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，已知点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，设直线的解析式为，连接，． (1)求反比例函数的表达式和点E的坐标； (2)点为轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点的坐标； (3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据矩形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的表达式，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）分为平行四边形的边、为平行四边形的对角线两种情况，根据平行四边形的性质计算即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为：， 由题意得，点的横坐标为4， 则点的纵坐标为：， 点的坐标为； （2）解：设点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ， 由题意得：， 解得：， 的面积等于的面积时，点的坐标； （3）解：当为平行四边形的边时，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的纵坐标为0， 点的纵坐标为， 当时，（不合题意，舍去） 当时，， 则点的坐标为， 当为平行四边形对角线时， 点的坐标为，点的坐标为， 的中点坐标为， 设点的坐标为，点的坐标为， 则， 解得：， 点的坐标为， 综上所述：以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质、平行四边形的性质以及三角形的面积计算，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论思想． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B．点D在x轴正半轴上，且，以、为边作平行四边形．    (1)点A的坐标______，点B的坐标______； (2)请求出直线的函数解析式； (3)如图2，点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴正方向移动，记点E运动时间为t秒．点F是线段的中点，连接EF并延长交直线于点H，请直接写出：当t为何值时，四边形为平行四边形； (4)点Q是直线上的一个动点，在y轴上找一点P，连接，，，当是以为斜边的等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点；点 (2)直线的函数解析式为 (3)当秒时，四边形为平行四边形 (4)点或 【分析】（1）把与分别代入一次函数，可得答案； （2）先求解，设直线的解析式为．将，代入，从而可得答案； （3）证明当时，四边形为平行四边形，再证明，可得，再建立方程求解即可； （4）如图，设，，当在正半轴时，过作轴于，为等腰直角三角形，证明，可得，，当在负半轴时，过作轴于，同理可得：，，再结合一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B． ∴当时，则， ∴， 当时，， ∴． （2）∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为． 将，代入， 得，解得 ∴直线的函数解析式为． （3）∵， ∴， ∴， 当时，四边形为平行四边形， 而为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴当秒时，四边形为平行四边形； （4）如图，当在y轴正半轴时，∵点Q是直线上的一个动点， 设，，    过作轴于，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 当在负半轴时，过作轴于， 同理可得：，， ∴，解得：， ∴， ∴， 综上：当是以为斜边的等腰直角三角形时，点或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【经典例题九 平行四边形综合】 【例9】（23-24八年级下·四川简阳·期末）如图①为某街道的部分示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，，点，，在一条直线上，且为的中点．    (1)求证：； (2)从村步行至村，小明选择的路线是，小亮选择的路线是．请比较两条路线的长度并说明理由； (3)请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)两条路线长度相等，理由见解析； (3)． 【分析】（1）连接与交于点，证明四边形为平行四边形，推出为的中位线，进而得到，即可； （2）根据平行四边形的对边相等，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线与点，证明四边形为平行四边形，推出，得到，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接与交于点． ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵为中点， ∴为的中位线． ∴，又点，，，共线，即． ∵，即， ∴，即．    （2）两条路线长度相等．理由如下： 由（1）知，，， ∴垂直平分． ∴． 由（1）知，四边形为平行四边形， ∴，． 由题意，得小明的路线长，小亮的路线长， ∴，即两条路线长度相等． （3）过点作，交的延长线与点，    由（1）知， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质．添加辅助线构造平行四边形和全等三角形，是解题的关键． 1．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明； 【模型应用】 如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值； 【模型拓展】 如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示） 【答案】[模型建立]详见解析 [模型应用] [模型拓展] 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和应用，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． [模型建立]方法一，利用平行线间的距离相等，结合平行四边形面积公式和三角形的面积公式即可得解；方法二，如图1，过点作交于点，利用平行四边形对角线将平行四边形分为面积相等的两个三角形的性质，进行等量代换即可得解； [模型应用]如图2，过作交的延长线于点，连，由[模型建立]的结论可得出，再利用三角形面积公式即可得解； [模型拓展]如图3中，连接，利用前面的结论进行恒等变形即可得解． 【详解】[模型建立] 解：方法一，设平行四边形的高为（与之间的距离）， ∵平行四边形， ∴， ∴以为底，高就是平行四边形的高， ∴根据三角形面积公式可得， 同理可得，， ∵， ∴； 方法二，如图1，过点作交于点， ∵， ， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∵， ∴； [模型应用] 解：如图2，过作交的延长线于点，连， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴； [模型拓展] 如图3中，连接， 在中，点是的中点， 可设， 同理，， ， ， ， ∵， ∴． 2．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (3)如图4，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． (4)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2) (3) (4)4.8秒或8秒或9.6秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题； （3）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案； （4）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为； （3）解：如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ； （4）解：四边形是平行四边形， ， ， 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，， 分以下四种情况： ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三解形面积公式，一元一次方程的应用． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）【模型建构】 如图1，已知线段所在直线交于点，其所夹锐角为． 小明在学习了平移之后，将图1中的线段其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到以点其中三个点为顶点（另一个顶点在平面内）的多个平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，点D，E分别在、延长线上，且，求证：． 方法一：过点作，且，连接将证明，转化为证明； 方法二：过点作，且，连接将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程； （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己放思路解答下面问题： 如图5，在中，为上一点，为延长线上一点，且，连接交于点，求的度数； 【学以致用】 （3）如图6，在中，分别是边上的点，且于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到；方法一：如图1，过点作，且，连接证明四边形是平行四边形．得到，，再证明，，进而证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得到即可． 方法二：如图2，过点作，且，四边形是平行四边形．证明得到再证明是等边三角形得到即可． （2）方法一：如答图3，过点作，且，连接证明四边形是平行四边形，得到，，再证明得到即可得结论； 方法二：如答图4，过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形得到，，再证明 得到，进而求得即可； （3）如答图5，过点B作，且，连接作于点，证明四边形是平行四边得到，，进而，则，在中，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：（1）证明：， 方法一：如图1，过点作，且，连接 四边形是平行四边形． ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． ． 方法二：如图2，过点作，且， 连接 四边形是平行四边形． ． ，即． ． 是等边三角形． ． （2）方法一：如图3，过点作，且，连接 四边形是平行四边形． ，， 方法二：如图4，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形． ，， （3）如图5，过点B作，且． 连接作于点， 四边形是平行四边形． ，， 在中，由勾股定理，得． 于点， ． 中，有． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质应用和全等三角形的性质，“一题多解”的方法运用是解答的关键． 1．（2025·四川巴中·一模）如图，在平行四边形中，点将对角线分成两段，且，连接，并延长至点，使得，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．连接，过点作交于点G，连接，证明，则，证明四边形和是平行四边形，可设，则，，得到,即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作交于点G，连接， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴是平行四边形， ∴ ∵， ∴可设，则， ∴， ∴, ∴， 故选：A 2．（2025·河南新乡·一模）如图，在中，，相交于点，，，记的长为，的长为，则下列各式正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，再进一步利用勾股定理可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F，    ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴， 解得：， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 3．（2025·四川内江·一模）如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，，，由等边对等角可得，，进而可得，，由内错角相等两直线平行可得，由此可证得四边形是平行四边形，于是可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可得： ，，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，内错角相等两直线平行，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 4．（2025·福建龙岩·一模）如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果． 【详解】解：反比例函数的图象经过点 ， ， 反比例函数， 经过原点O， 设的解析式为， 经过点， 则， ， 的解析式为， 反比例函数经过点C， 设，且， 四边形是平行四边形， ，， 点B的纵坐标为， 的解析式为， ∴， ∴ ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 点B的坐标是， 故选：A． 5．（23-24八年级下·山西长治·期中）要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①在纸片的一边上取线段； ②用圆规在另一边上截取，使； ③用圆规比较和的长度，若，则． ①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F； ②用圆规比较的长度，若，则． 对于两个方案，说法正确的是（   ） A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行 C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判断，解题关键是准确理解题意，选择恰当方法证明，然后判断即可． 【详解】解：甲方案根据两组对边分别相等，可判定四边形是平行四边形，所以，方案可行； 乙方案由折叠可知， ∵， ∴， ∴， ∴； 方案可行； 故选：C． 6．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形周长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的角平分线，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握性质定理是解题的关键． 由平行四边形得到，，，再根据角平分线的定义得出，然后根据等角对等边及线段的和差得出，即可求出、的长，就能求出答案． 【详解】解：解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ，， ， ∴， ∴，， ∴平行四边形的周长是． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，若点在反比例函数上，的面积为3，点坐标为，则 ． 【答案】 【分析】主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质．如图，过作轴于，由平行四边形的性质可得，，，可得，，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵的面积为3，点坐标为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 8．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在▱ABCD中，，以点A为圆心，为半径作弧，交于另一点F，再分别以点D，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点E，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作垂线，根据平行四边形的性质，推出，作图可知，三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 由作图可知， ∴， ∴． 故答案为： 9．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先利用平行四边形的性质求出，，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】∵四边形是平行四边形，周长为20， ， ， 在和中， ， ， ， 则四边形的周长， ， 故答案为：14． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 11．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知 的对角线相交于点 O ，E ，F 分别是 的中点，连接． (1)如图 1 ，求证：； (2)如图 2 ，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中的所有与面积相等的钝角等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质和三角形全等的证明方法求解即可； （2）根据等边三角形的判定与性质证明是等边三角形，再三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ， 点分别为的中点， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ，F 分别是的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 同理，与面积相等的钝角等腰三角形还有 综上所述，所有与面积相等的钝角等腰三角形有． 12．（24-25八年级下·四川眉山·阶段练习）已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数； (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形； (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 【答案】(1) (2)秒或秒或秒 (3)8 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形是平行四边形， ， ． 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：秒或秒或秒； （3）如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 13．（2025·四川宜宾·一模）阅读与思考 下面是小宇同学证明三角形中位线定理的过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 如图，在中，点、分别是、的中点，连接．求证：，． 证明：如图，延长到点，使，连接，，． 点是的中点， ， 四边形是平行四边形．（依据1）， ，． 点是的中点， ， ． 又， 四边形是平行四边形． ，，（依据2） ，． 任务： (1)直接写出上面证明中的“依据1”和“依据2”； (2)小宇继续探究，如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，，．求证：； (3)我们还学过证明一条线段是另一条线段的一半的数学定理，请你再写出一条与上面内容不同的数学定理： ． 【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查三角形中位线定理的证明及其应用，平行四边形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过添加辅助线，利用平行四边形的判定定理，即对角线互相平分的四边形是平行四边形，构造出平行四边形，得，，从而证明四边形是平行四边形，进而得出结论； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得．因为点是的中点，即，得出．根据三角形中位线定理，得，进而证明结论； （3）答案不唯一，合理即可．如平行四边形的对角线互相平分，或在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】（1）解：依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形， 依据：平行四边形的对边平行且相等； （2）点、分别是、的中点， ， ，点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ； （3）答案不唯一，合理即可．如平行四边形的对角线互相平分；在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半． 14．（23-24八年级下·四川内江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴于点，交y轴于点B，直线与y轴交于点D，与直线交于点，点M是线段上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线，交直线于点N．设点M的横坐标为m． (1)求a的值和直线的函数表达式． (2)以线段，为邻边作，直线与x轴交于点E． ①当时，设线段的长度为l，求l与m之间的关系式； ②连接，，当的面积为3时，请求出m的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据直线的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①用含m的代数式表示出的长，再根据得出结论即可； ②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式的出m的值． 【详解】（1）点在直线上， ， 一次函数的图象过点和点， ， 解得， 直线的解析式为； （2）①点在直线上，且的横坐标为， 的纵坐标为：， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 点，线段的长度为， ， ， ， 即； ②的面积为， ， 即， 解得， 由①知，， ， 解得， 即的值为或． 【点睛】本题考查一次函数和几何综合，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 15．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）【综合与实践】 问题情境：活动课上，小强同学以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D、E分别是点B、C的对应点），旋转角为，设线段交于点P，线段分别交、于点F、Q，如图2． 特例分析：当旋转到时，则旋转角的度数为___________； 探究规律：在绕点A逆时针旋转的过程中，小强同学发现线段始终等于线段，请你帮小强同学证明这一结论． 拓展延伸： （1）在绕点A逆时针旋转的过程中，直接写出当是等腰三角形时旋转角α的度数． （2）在图3中，作射线、交于点M，四边形的面积记为，的面积记为，是否存在四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时旋转角α的度数，及此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】特例分析：；探究规律：证明见解析；拓展延伸：（1）或；（2）存在，． 【分析】特例分析：由等边对等角和三角形内角和定理，得到，根据三线合一的性质，得到，再根据旋转角的定义求解即可； 探究规律：由旋转的性质易证，即可得出结论； 拓展延伸：（1）根据三角形内角和定理得到，，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，利用等边对等角的性质列方程分别求解即可； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质，得到，，再根据平行四边形两种对边分别平行，求出，设直线与直线的距离为，分别表示出和，即可求出的值． 【详解】解：特例分析：，， ， ， ， ， 点D是点B的对应点， 旋转角， 故答案为：； 探究规律：由旋转的性质可知，， ，，， ，即， 点D、E分别是点B、C的对应点 ， 在和中， ， ， ； 拓展延伸：（1），， ， ， ， 若是等腰三角形， ①当时，， 则， 解得：； ②当时，， 则， ③当时，， 则， 解得：（舍去）， 综上可知，当是等腰三角形时旋转角α的度数为或； （2）存在四边形是平行四边形，，理由如下： ，， ，， 若四边形是平行四边形，则，， ，， ， ， 设直线与直线的距离为， 则四边形的面积，的面积， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$