专题03 全等三角形10大经典必考模型专项训练（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题03 全等三角形10大经典必考模型专项训练（10大题型+15道拓展培优） 经典必考模型一 平移模型 经典必考模型二 轴对称模型 经典必考模型三 旋转模型 经典必考模型四 一线三等角模型 经典必考模型五 垂直模型 经典必考模型六 手拉手模型 经典必考模型七 半角模型 经典必考模型八 倍长中线模型 经典必考模型九 对角互补模型 经典必考模型十 角平分线模型 注：本讲义有部分题型可用勾股定理来作答：a²+b²=c²； 【经典模型一 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 【例1】 （23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，现将线段向上平移9个单位长度，得到对应线段，连接，，．，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿做匀速运动，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿做匀速运动，点从点出发沿向点匀速运动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设运动时间为秒．在运动过程中，若与全等，则的值为（    ） A． B． C． D．以上都可以 1．（24-25八年级上·北京海淀·阶段练习）在图中，，，．有下列结论： ①沿直线翻折，可得到； ②把沿线段的垂直平分线翻折，可得到； ③把沿射线方向平移与相等的长度，可得到． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是 ． 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）一、知识回顾 （1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分． （2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等． 二、知识应用 如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．    （1）若，求的度数． （2）若点为的中点，的面积为8． ①求证：点是的中点． ②求的面积． 三、知识拓展 （3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积． 【经典模型二 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 【例2】 （23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，，垂足分别为E，F，且，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，点在一条直线上，，，那么添加一个条件后，可以判定，有下列几种添法：①  ②  ③  ④，其中添加正确的是 ．（填序号） 3．（23-24·安徽合肥·三模）与关于直线对称，点，分别是边，上的点，且．    (1)如图1，若为直角，求证：； (2)若为钝角如图2，为锐角如图3，是否还成立？请分别写出你的结论，并选择其中一个结论解答．若成立，请补全图形并证明；若不成立，请画出反例（画反例时保留作图痕迹）． 【经典例题三 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 【例3】（23-24八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，过点C作，垂足为点F，当时，BF的长为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 2．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知点，一个以为顶点的角绕点旋转，角的两边分别交轴正半轴，轴负半轴于、，连接．当△直角三角形时，点的坐标是 ． 3．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P． ①求证：； ②求证：． 【经典例题四 一线三等角模型】 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 【例4】（23-24八年级上·重庆渝中·自主招生）如图，中，，，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，为了测量学校的教学楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．测得视线与地面夹角，测得视线与地面夹角，量得米，米，则的高度为（    ）米．    A．36 B．46 C．56 D．10 2．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）小明利用一根长的竿子来测量路灯杆的高度，方法如下：如图，在地面上选一点，使，并测得，然后把在的延长线上左右移动，使，此时测得． （1）此时的度数为 ； （2）路灯杆的高度为 3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）在学习“利用三角形全等测距离”之后，张老师给同学们布置作业，测量校园内池塘A，B之间的距离（无法直接测量）． 小颖的方案是：先过点A作的垂线，在上找一看得见B的点C，连接，过点C作，且，过点D作，垂足为E，则所测得的长度即为的长度． (1)小颖设计的方案你同意吗？并说明理由； (2)如果利用全等三角形去解决这个问题，请你写出和小颖依据不同的方案，并画出图形． 【经典例题五 垂直模型】 【例5】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．在延长线上取一点G，连结，使．有以下四个结论： ①； ②若点A为中点，则； ③若，则； ④的面积是面积的2倍． 以上结论中正确的为 ．（只填写序号） 3．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）【探究与证明】 【问题呈现】如图①所示，已知在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点． 【问题提出】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【尝试探究】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，即可得，该结论正确吗？请说明理由； 【经典例题六 手拉手模型】 模型.手拉手模型（三角形） 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 【例6】（23-24八年级上·山西吕梁·期中）把△ABC和△ADE如图放置，B，D，E正好在一条直线上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．则下列结论：①△BAD≌△CAE；②BE＝CE＋DE；③∠BEC＝∠BAC；④若∠ACE＋∠CAE＋∠ADE＝90°，则∠AEC＝135°．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知点C为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F，将图1中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在、中的一条线段上），如图2，则与α的数量关系为（　　）    A． B． C． D．    2．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，已知，，，B、D、E三点在一条直线上．若，，则的度数为 ． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）已知点C是线段上一点，在线段的同侧作和，直线和相交于点F，．    (1)如图1，若，则__________； (2)如图2，若，则等于多少（用含α式子表示），并说明理由． (3)如图3，将图①中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在、中的一条线段上），试探究与α的数量关系，并说明理由． 【经典例题七 半角模型】 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.半角模型（90°-45°型） 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【例7】（23-24·山东烟台·八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____． 1．（23-24·广东河源·八年级阶段练习）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，若，则的长为______． 2．（23-24春·江苏·八年级期中）请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： (1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； (2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 3．（23-24·江苏南京·八年级专题练习）（1）阅读理解：如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常会想到：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．易证△AEF≌_______，得出线段BF，DE，EF之间的数量关系为____________； （2）类比探究：如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求线段DE的长；（3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，请直接写出BD：CE的值． 【经典例题八 倍长中线模型】 【例8】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图中，是中线，，，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D．    1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 3．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：； (2)如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 【经典例题九 对角互补模型】 模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【例9】（23-24八年级上·山东青岛·期末）在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段和之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明； （2）观察线段、和之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明； 1．（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交于点，与交于点．(1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系(2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积． 2．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：CD＝CE． 理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，… 请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分． （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． （3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°． ①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系． 3．（23-24·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____． 【经典例题十 角平分线模型】 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 【例10】（23-24·北京·模拟预测）如图，在中，平分若则____． 1．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为 ． 3．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图．已知线段，分别过线段的两个端点作射线，使，点E为平分线上的一点，且，垂足为E，若，请解答下列问题：    (1)求的度数； (2)过点E作直线，交于点D，交于点C．求证：； (3)无论线段的两个端点在上如何移动，只要线段经过点E，那么的值是否发生变化？请说明理由． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 2．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC； ②△CEF是等边三角形； ③∠CDF＝∠EAF； ④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，是等边三角形，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，若的最小值为，那么等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·重庆·期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，平分交的延长线于点E．若，则 ． 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是 ．    8．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点C在线段上，于B，于D．，且，点P以的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为 ． 9．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，四边形中，与相交于点O，且，点E是和平分线的交点，连接，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号为 ． 10．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当t= 秒时，与全等． 11．（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为多少厘米秒时，能够使与全等． 12．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图①，中，，延长到E，过点E 作交的延长线于点F，延长到G，过点G作交的延长线于点H，且． (1)求证：； (2)如图②连接与相交于点D．若，求的长． 13．（24-25八年级上·广东惠州·期中）已知，在中，，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为______； (2)如图②，直接写出线段与的数量关系：______； (3)如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①当时，__________（用含的代数式表示）；点是线段上的一点（不与点重合），设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形10大经典必考模型专项训练（10大题型+15道拓展培优） 经典必考模型一 平移模型 经典必考模型二 轴对称模型 经典必考模型三 旋转模型 经典必考模型四 一线三等角模型 经典必考模型五 垂直模型 经典必考模型六 手拉手模型 经典必考模型七 半角模型 经典必考模型八 倍长中线模型 经典必考模型九 对角互补模型 经典必考模型十 角平分线模型 注：本讲义有部分题型可用勾股定理来作答：a²+b²=c²； 【经典模型一 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 【例1】 （23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，现将线段向上平移9个单位长度，得到对应线段，连接，，．，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿做匀速运动，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿做匀速运动，点从点出发沿向点匀速运动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设运动时间为秒．在运动过程中，若与全等，则的值为（    ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】D 【分析】设G点的移动距离为y，分两种情况，一种F由B到A，一种F由A到B，再结合可得到CE=AF，CG=AG，或CE=AG，CG=AF可得到方程，解出时间t和y的值即可． 【详解】设G点的移动距离为y，即AG=y， ∵AD∥BC， ∴∠ECG=∠FAG， ∵与全等 则有△CEG≌△AFG或△CGE≌△AFG， 可得：CE=AF，CG=AG，或CE=AG，CG=AF 故①当 F由B到A， 即0<t⩽3时，有3t=12−4t，解得：t=， 或3t=y，15−y =12−4t，解得t=-3（舍去） ②当F由A到B，E还是C到D时，即3<t⩽4时， 有3t=4（t-3），  15−y= y，解得t=12（舍去） 或3t=y,15-y=4（t-3），解得t=； ③当F由A到B，E由D到C时，即4<t⩽6时 有12-3（t-4）=4（t-3），15−y= y， 解得t=； 或12-3（t-4）=y，15-y=4（t-3） 解得 (舍去)， 综上可知共有3次，移动的时间分别为，，； 故选：D． 【点睛】此题主要考查全等三角形的动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论以及熟练掌握全等三角形的性质． 1．（24-25八年级上·北京海淀·阶段练习）在图中，，，．有下列结论： ①沿直线翻折，可得到； ②把沿线段的垂直平分线翻折，可得到； ③把沿射线方向平移与相等的长度，可得到． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和平移和翻折变换，由已知可得，进而根据对称或平移确定结论是否正确． 【详解】解：∵， ∴， 在和中 ， ∴， 同理可证， ∴ 把沿直线翻折，可得到，故①正确； 把沿线段的垂直平分线翻折，可得到，故②正确； 把沿射线方向平移与相等的长度，不能得到．故③错误， 综上所述：正确的结论是①②． 故选A． 2．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是 ． 【答案】BD与EF互相平分 【分析】先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CDE，再求证△DEG≌△BFG，即可． 【详解】∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB=∠CED=90° ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， 即AF=CE， 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL）， ∴ED=BF． 设EF与BD交于点G， 由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF， ∴∠EDG=∠GBF， ∵∠EGD=∠FGB，ED=BF， ∴△DEG≌△BFG， ∴EG=FG，DG=BG， ∴BD与EF互相平分． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题． 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）一、知识回顾 （1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分． （2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等． 二、知识应用 如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．    （1）若，求的度数． （2）若点为的中点，的面积为8． ①求证：点是的中点． ②求的面积． 三、知识拓展 （3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积． 【答案】（1）；（2）①见解析；②2；（3）28 【分析】（1）根据平移的性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）①由平移可知，根据题意可证，可得，由此即可求证；②是中点，是中点，根据中线的性质可得，，由此即可求解； （3）连结，根据为中点，结合中位线的性质可得，，根据，可得，由即可求解． 【详解】解：（1）由平移可得，，， ； （2）①证明：连结，由平移可知，，   ， ，， ， ， ，即点是中点； ②连结，   是中点， ， 是中点， ， ； （3）连结，    ∵为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查图形平移的性质，三角形中线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握图形平移的性质，中线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【经典模型二 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 【例2】 （23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，，垂足分别为E，F，且，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据AF=BE得到AE=BF，再利用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质得到，根据∠C的度数可得到的度数． 【详解】， ∴， 即． 又，， 和均为直角三角形． 在和中， ， ∴， ． ， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知判定全等三角形的依据．根据题意得，当添加条件时，可利用判定；当添加 时，结合，，不能判定；当添加条件时， 即，可利用判定；当添加条件时，可利用判定． 【详解】解：∵， ∴， 当添加条件时， 在和中， ， ∴， 因此添加选项A中的条件时可以判定，选项A不符合题意； ∵，， 因此当添加 时，不能判定， 因此添加选项B中的条件时无法判定，选项B符合题意； 当添加条件时，则， 即， 在和中， ， ∴， 因此添加选项C中的条件时可以判定，选项C不符合题意； 当添加条件时， 在和中， ， ∴， 因此添加选项D中的条件时可以判定，选项D不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，点在一条直线上，，，那么添加一个条件后，可以判定，有下列几种添法：①  ②  ③  ④，其中添加正确的是 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 、添加，可用判定，符合题意； 、添加，不能判定，不符合题意； 、添加，可用判定，符合题意； 、添加，得到，可用判定，符合题意； 故答案为：． 3．（23-24·安徽合肥·三模）与关于直线对称，点，分别是边，上的点，且．    (1)如图1，若为直角，求证：； (2)若为钝角如图2，为锐角如图3，是否还成立？请分别写出你的结论，并选择其中一个结论解答．若成立，请补全图形并证明；若不成立，请画出反例（画反例时保留作图痕迹）． 【答案】(1)证明见解析 (2)结论：若为钝角，成立；若为锐角，不一定成立，理由见解析 【分析】（1）根据对称的性质可得，，，证明，根据全等的性质可得，即可得证； （2）结论是：若为钝角，成立；若为锐角，不一定成立． 当为钝角时，补全图形如图2： 过作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，根据对称的性质可得，证明，，可得，，即可得证； 当为锐角时如图3，上述结论不一定成立，画出反例如图即可． 【详解】（1）证明：∵与关于直线对称，为直角， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． （2）解：结论：若为钝角，成立；若为锐角，不一定成立． 证明：当为钝角时，补全图形如图2： 过作，交的延长线于点，作，交的延长线于点， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 当为锐角时如图3，上述结论不一定成立，画出反例如图， 以点为圆心，为半径画弧，交于点，交于点，， 可得：，．      【点睛】本题考查对称的性质，全等三角形的判定和性质，运用了分类讨论的思想．结合题意画出图形是解题的关键． 【经典例题三 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 【例3】（23-24八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，过点C作，垂足为点F，当时，BF的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，，得，根据，得，而，即得，又，可得，从而，即得，故； 【详解】解：如图： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查直角三角形中的旋转，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明，利用相似三角形对应边成比例解决问题． 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知点，一个以为顶点的角绕点旋转，角的两边分别交轴正半轴，轴负半轴于、，连接．当△直角三角形时，点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形的性质，作辅助线构造全等三角形，得到对应线段相等即可得到结论． 【详解】①如图所示： ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在△和中， ∴△△FDE， ∴，， ∴． ②当时，同①的方法有：，， ∴， 综上所述，满足条件的点坐标为或 故答案为：或 【点睛】本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解． 3．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P． ①求证：； ②求证：． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②见解析 【分析】(1)首先证明，再证明，然后根据全等三角形的性质可得 ； (2)首先证明，再证明，根据全等三角形对应边相等可得； (3) ①由，得到，由（2）得，得，从而证明，推出； ②首先证明，然后证明，再根据全等三角形对应角相等可得，再根据等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：如图1， ∵于点D，于点E． ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， 在和中 ∴ ∴； （2）解：∵，． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴； （3）证明：①∵， ∴， 由（2）得， ∴ ∵， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，其中涉及到了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理当知识点，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质 证明线段和角相等的重要工具． 【经典例题四 一线三等角模型】 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 【例4】（23-24八年级上·重庆渝中·自主招生）如图，中，，，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，证明是解题的关键．过点M作于点A，过点N作于点B，根据证明，再结合坐标与图形即可解答． 【详解】解：如图：过点M作于点A，过点N作于点B， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵点P的坐标为，点N的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，为了测量学校的教学楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．测得视线与地面夹角，测得视线与地面夹角，量得米，米，则的高度为（    ）米．    A．36 B．46 C．56 D．10 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定与性质证明求解即可． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴，又， ∴，又， ∴， ∴， ∵米，米， ∴(米)， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 2．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）小明利用一根长的竿子来测量路灯杆的高度，方法如下：如图，在地面上选一点，使，并测得，然后把在的延长线上左右移动，使，此时测得． （1）此时的度数为 ； （2）路灯杆的高度为 【答案】 【分析】找准对应角即可求得答案； 根据题意可得，进而利用求出即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：； 在和中， ， ， ． ，， ，即． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，根据题意得出是解题关键． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）在学习“利用三角形全等测距离”之后，张老师给同学们布置作业，测量校园内池塘A，B之间的距离（无法直接测量）． 小颖的方案是：先过点A作的垂线，在上找一看得见B的点C，连接，过点C作，且，过点D作，垂足为E，则所测得的长度即为的长度． (1)小颖设计的方案你同意吗？并说明理由； (2)如果利用全等三角形去解决这个问题，请你写出和小颖依据不同的方案，并画出图形． 【答案】(1)同意，理由见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）利用构造全等三角形即可． 【详解】（1）解：同意．理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，即的长度即为的长度． （2）解：如图，取一点，使得能从点到达点，，连接，，延长，到，，使得，，然后可通过“”证明，则的长度即为的长度．    【点睛】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 【经典例题五 垂直模型】 【例5】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，， ∵，与地面垂直，处距地面高， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是， 故选：B． 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可求解． 【详解】解： ， 又，， ， ， ． 在和中， ，，， ， ． ∵， ∴ 故选：B． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．在延长线上取一点G，连结，使．有以下四个结论： ①； ②若点A为中点，则； ③若，则； ④的面积是面积的2倍． 以上结论中正确的为 ．（只填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线；先利用证明可判断①、再利用证明可判断②，再利用全等三角形的性质与三角形的中线的性质结合三角形的面积公式可判断③，④；能够确定清晰的解题思路是解题关键． 【详解】解：∵为中线， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A为中点， ∴， ∴，故②正确； ∵，（已证）， ∴， ∵点A不一定是中点， ∴不一定相等，故③错误； ∵，， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 3．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）【探究与证明】 【问题呈现】如图①所示，已知在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点． 【问题提出】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【尝试探究】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，即可得，该结论正确吗？请说明理由； 【答案】（1）见解析；（2）正确，理由见解析 【分析】本题考查同角的余角相等，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定，角平分线的定义．掌握等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定定理是解题关键． （1）结合题意，根据同角的余角相等证明即可； （2）由等腰直角三角形的性质，角平分线的定义可得出，再结合题意，利用证明即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴； （2）正确，理由如下， ∵，， ∴． ∵平分， ∴， 又∵，， ∴． 【经典例题六 手拉手模型】 模型.手拉手模型（三角形） 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 【例6】（23-24八年级上·山西吕梁·期中）把△ABC和△ADE如图放置，B，D，E正好在一条直线上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．则下列结论：①△BAD≌△CAE；②BE＝CE＋DE；③∠BEC＝∠BAC；④若∠ACE＋∠CAE＋∠ADE＝90°，则∠AEC＝135°．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据题目条件使用SAS即可得到，根据全等三角形的性质可得BD=CE，，．使用等价代换思想可得BE=CE+DE；结合三角形内角和定理可得，结合三角形外角的性质，等腰三角形的性质和已知条件可得． 【详解】解：∵， ∴，即． 又∵AB=AC，AD=AE， ∴，故①正确． ∴BD=CE． ∵BE=BD+DE， ∴BE=CE+DE，故②正确． ∵， ∴． 又∵，， ∴，故③正确． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵AD=AE， ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理和性质，三角形内角和外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键，同时注意等价代换思想的使用． 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知点C为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F，将图1中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在、中的一条线段上），如图2，则与α的数量关系为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“”可证，可得，由外角的性质可求解． 【详解】解：设与的交点为O，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，外角的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，已知，，，B、D、E三点在一条直线上．若，，则的度数为 ． 【答案】25° 【分析】先证明△ABD≌△ACE（SAS）；再利用全等三角形的性质：对应角相等，求得∠ABD＝∠2＝30°；最后根据三角形外角的性质求∠1即可． 【详解】∵， ∴∠1＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD， ∴∠1＝∠CAE； 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； ∴∠ABD＝∠2＝30°； ∵∠1＝∠3－∠ABD＝55°－30°＝25°（三角形的外角性质） ∴∠1＝25°． 故答案为：25°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质；将所求的角与已知角通过全等及内角、外角之间的关系联系起来是解答此题的关键． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）已知点C是线段上一点，在线段的同侧作和，直线和相交于点F，．    (1)如图1，若，则__________； (2)如图2，若，则等于多少（用含α式子表示），并说明理由． (3)如图3，将图①中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在、中的一条线段上），试探究与α的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）证明，得到，推出，再利用平角的定义，进行求解即可； （2）同法（1），进行求解即可； （3）同法（1），得到，推出，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，    ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：同法（1）可得：，， ∴； （3）解：． 证明：同（1）法可得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和外角的性质．解题的关键是证明三角形全等． 【经典例题七 半角模型】 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.半角模型（90°-45°型） 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【例7】（23-24·山东烟台·八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____． 【答案】2 【分析】延长BA到点G，使AG=CF，连接DG，EF，利用SAS证明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，设AE=x，则BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解决问题． 【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF， ∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF， ∵∠EDF＝45°，∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°， ∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE（SAS），∴GE＝EF， ∵F是BC的中点，∴AG=CF=BF=3，设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3， 由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2， ∴DE＝，故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键． 1．（23-24·广东河源·八年级阶段练习）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，若，则的长为______． 【答案】5 【分析】由题意易得，则有，然后可证，则有，设，则有，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为6， ∴，∵绕点顺时针旋转90°得到， ∴，∴点G、B、E三点共线， ∵，∴，∵AE=AE，∴，∴， 设，则有，∴在Rt△ECF中，由勾股定理可得， 即，解得：，∴；故答案为5． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 2．（23-24春·江苏·八年级期中）请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： (1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； (2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 【答案】(1)(2)不变，见解析(3)， 【分析】（1）将绕A顺时针旋转后成，根据题意证明，故，因为中，，所以，从而可得，在中，由勾股定理得线段之间的等量关系式；（2）解法一：将沿直线对折，得，连接，根据全等三角形的性质得到，，然后进一步证明，然后根据全等三角形的性质求解即可；解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接，根据题意证明，进而求解即可； （3）与（2）类似，以为一边，作，在上截取，证明出，然后根据等腰三角形的概念求解即可． 【详解】（1），证明如下： 将绕A顺时针旋转后成，连接， ∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，∴；故答案为：； （2）关系式仍然成立．证明：将沿直线对折，得，连接 ∴，∴，， 又∵，∴，∵， ，∴， 又∵，∴， ∴ ∴，∴在中，，即； 解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接． ∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵∴； （3）当时，线段能构成一个等腰三角形． 如图，与（2）类似，以为一边，作，在上截取， 可得．∴．∴． 若使为等腰三角形，只需，即， ∴当时，线段能构成一个等腰三角形，且顶角为． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是通过旋转变换构造全等三角形． 3．（23-24·江苏南京·八年级专题练习）（1）阅读理解：如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常会想到：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．易证△AEF≌_______，得出线段BF，DE，EF之间的数量关系为____________； （2）类比探究：如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求线段DE的长；（3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，请直接写出BD：CE的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而得到，由全等三角形的性质可得，即可解答；（2）将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交的延长线于点，进而证≌，得到，即可求出和，再根据勾股定理即可解答；（3）用的方法，分类讨论是等腰的腰长，求出：的值即可． 【详解】解：（1）把绕点顺时针旋转得到，可知：，，， ，， 在和中，≌，， ，，故答案为；． （2）如图，将△ACE绕点A顺时针旋转60°，得到△ABF，连接DF，过点F作FG⊥BC，交CB的延长线于点G，如图所示： ∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠C＝60°，AB=AC， ∵∠DAE＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝30°，∴∠DAF＝30°， 又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∵∠ABF＝∠ABC＝∠C＝60°，∠FBG＝60°， ∵BF=CE=4，∠G＝90°，∴BG＝BF=2，FG＝=， ∴DG＝5，∴在Rt△DFG中，DF=，∴线段DF的长为． （3）如图，将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABG，连接DG，过点D作DH⊥BG，交BG的于点H，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，∠ADE为顶角，则∠ADE=30°， ∵AB=AC，∠BAC=150°，∴∠ABC=∠C=（180°-150°）=15°， ∴由旋转性质得△ABG≌△ACE，∴BG=CE，AG=AE，∠ABG=∠C=15°，∴∠DBG=30°， ∵将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABG，∴∠EAG=150°， ∵∠DAE＝75°，∴∠GAD=75°，∴∠ADE=30°， 在△ADE和△ADG中，，∴△ADE≌△ADG，∴∠GDA=∠ADE=30°，∴∠GDE=60°， ∵∠GDE=∠GBD+∠BGD，∴∠BGD=60°-30°=30°，∴BD=DG，∴BH=GH=BG=CE， 在Rt△BHD中，设HD=x，∵∠DBG=30°，∴BD=2x，由勾股定理得：BH=， ∴BG=2，∴CE=2，∴BD：CE=：3； 如图将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABM，连接DM，过点M作MN⊥BD，交BD于点N， ∵∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，∠E为顶角，∴∠E=30°， ∵AB=AC，∠BAC＝150°，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠CAE=15°， ∴AE=CE=DE，∴∠BAD=150°-75°-15°=60°，由旋转性质可知△ABM≌△ACE， ∴∠BAM=∠CAE=15°，∠ABM=∠ACE=15°，AM=AE，BM=CE，∴∠MAD=15°+60°=75°=∠DAE， 在△MAD和△EAD中，，∴△MAD≌△EAD，∴DM=DE=CE=BM， ∵MN⊥BD，∴BN=DN=BD，∵∠MBD=∠ABM＋∠ABC=15°+15°=30°， ∴在Rt△BNM中 ，设MN=a，∴BM=2a，∴CE=2a， 由勾股定理得：BN=，∴BD=2a，∴BD：CE=2a：2a=：1=． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【经典例题八 倍长中线模型】 【例8】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图中，是中线，，，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长至点E，使，连接，利用证明，得，再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接， ∵是上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C．    【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关系． 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：延长到，使，连接，   点D是的边上的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：； (2)如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． （1）先推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，则； （2）连接并延长到点，使，连接，由倍长中线，模型可证明，得到，，进一步，，则，而，所以，即可证明，得，所以，则，即可证明点，，在同一条直线上． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2，连接并延长到点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 与在同一条直线上， 点，，在同一条直线上． 【经典例题九 对角互补模型】 模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【例9】（23-24八年级上·山东青岛·期末）在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段和之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明； （2）观察线段、和之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明； 【解答】解：（1），理由如下： 如图②，连接，是等腰直角三角形，为斜边的中点， ，，，， 又，，， 在和中，，，； （2），理由如下：连接，如图③所示： 同（1）得：，， ， 1．（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交于点，与交于点．(1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系(2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积． 【答案】（1），证明详见解析；（2）， 【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，平分，∴， ∵，∴ ，∴是等边三角形，∴； （2）过点作，， ∵平分，∴，， ∵，∴∠QPH＝60°，∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ， ∵，，平分，∴， ∴，＝，∴＝， ∴四边形的面积＝＝ 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：CD＝CE． 理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，… 请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分． （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． （3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°． ①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系． 解：（1）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，且∠OCF＝90°， ∴∠OFC＝45°＝∠BOC，∴OC＝FC， ∵∠DCE＝∠OCF＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，且CO＝CF，∠AOC＝∠CFE＝45°， ∴△CDO≌△CEF（ASA）∴CD＝CE （2）如图2，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°， 又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， 又∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠CEO＝∠CDM，且∠CMD＝∠CNE，CM＝CN， ∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE． （3）①（1）中的结论仍成立．OE+OD＝OC． 理由如下：如图3，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°， 又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°， 在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°， 又∵∠AOB+∠DCE＝60°+120°＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， 又∵∠CEO+∠CEN＝180°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE， ∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN． ∴OE+OD＝OE+OM+DM＝OE+OM+EN＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°， ∴，同理可得ON＝OC，∴． ②在图4中，（1）中的结论成立，OE﹣OD＝OC， 如图4，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°， 又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°， ∵∠COE+∠CEO+∠DCE+∠OCD＝180°，∴∠OCD+∠CEO＝60°， ∵∠AOC＝∠CDO+∠OCD＝60°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE， ∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN． ∴OE﹣OD＝ON+NE﹣（MD﹣OM）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°， ∴，同理可得ON＝OC，∴OE﹣OD＝ON+OM＝OC； 在图5中，（1）中的结论成立，OD﹣OE＝OC， 如图5，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°， 又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°， ∵∠COA+∠CDO+∠DCE+∠OCE＝180°，∴∠OCE+∠CDO＝60°， ∵∠NOC＝∠CEO+∠OCE＝60°，∴∠CDO＝∠CEO，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE， ∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN． ∴OD﹣OE＝DM+OM﹣（EN﹣ON）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°， ∴，同理可得ON＝OC，∴OD﹣OE＝ON+OM＝OC； 3．（23-24·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____． 【答案】（1）（4） 【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断． 【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF， 在△POE和△POF中，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF， 在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF， ∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确， ∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误， ∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值， 在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，故答案为：（1）（4）． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【经典例题十 角平分线模型】 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 【例10】（23-24·北京·模拟预测）如图，在中，平分若则____． 【答案】1 【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵平分，，，∴， ∴．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键． 1．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，先证明，得到，再证明，得到，即可求出长． 【详解】解：如图，延长、交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，延长交点于，可证，得到，，进而得到，由三角形全等推导出，并判断出当时，最大，是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交点于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图．已知线段，分别过线段的两个端点作射线，使，点E为平分线上的一点，且，垂足为E，若，请解答下列问题：    (1)求的度数； (2)过点E作直线，交于点D，交于点C．求证：； (3)无论线段的两个端点在上如何移动，只要线段经过点E，那么的值是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值不会发生变化，都等于的长，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得出得出再根据直角三角形两锐角互余可得从而可得出结论； （2）延长交于点F，证明得到，再根据证明即可得出； （3）由（2）知得，从而可证明再证明，从而可得出结论． 【详解】（1）∵是的平分线， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）证明：如图所示，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴； （3）解：的值不会发生变化，都等于的长，理由如下： 由（2）得， ∴， ∴， ∴线段经过点E，那么的值不会发生变化，都等于的长 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 2．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC； ②△CEF是等边三角形； ③∠CDF＝∠EAF； ④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定△ECF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确；若，则C、F、A三点共线，故④错误；即可得出答案． 【详解】在中，，，， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； 在中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； 则， 若时， 则， ∵， ∴， 则C、F、A三点共线 已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是能通过题目所给的条件以及选用合适的判定三角形全等的方法证明． 3．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由可得，再根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 、添加与原条件满足，不能证明，该选项符合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 、添加，由可证明，该选项不合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 故选：． 4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，是等边三角形，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，若的最小值为，那么等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当点D在B点时，连接BE，延长AC至，使得；当D运动到C点时，延长BE至，使得，连接，则直线为点F的运动轨迹；作，则AF为最小值，设的边长为a，则，，计算即可； 【详解】当点D在B点时，连接BE，延长AC至，使得；当D运动到C点时，延长BE至，使得，连接，则直线为点F的运动轨迹；作，则AF为最小值， 设的边长为a，则，， ∴，， ∵，，， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 5．（23-24八年级上·重庆·期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用垂直的定义得到，则，于是可对①进行判断；利用“”可证明，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到，则根据三角形内角和和对顶角相等得到，于是可对③进行判断． 【详解】解：，， ，， ， 即，所以①正确； 在和中， ， ，所以②正确； ， ∵∠AFD=∠MFB， ， ，所以③正确． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 6．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，平分交的延长线于点E．若，则 ． 【答案】20 【分析】延长，交于点，证，，得出，，及，则． 【详解】解：延长，交于点，      ∵， ，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键． 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： 在和中， ， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点C在线段上，于B，于D．，且，点P以的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为 ． 【答案】1或或 【分析】分三种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解；本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是本题的关键. 【详解】当点在上，点在上时， ∵以为顶点的三角形与全等， ， ， ， 当点在上，点第一次从点返回时， ∵以为顶点的三角形与全等， ， 当点在上，点第一次从点返回时， ∵以为顶点的三角形与全等， 综上所述： t的值为1或或； 故答案为：1或或 9．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，四边形中，与相交于点O，且，点E是和平分线的交点，连接，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和得到，即可判断①；证明，运用周角360度列式计算，即可判断③；先证明，再作辅助线过点A作的延长线，过点D作，证明，运用三角形的面积公式，即可判断④； 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和以及角平分线的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， ∵点E是和平分线的交点， ∴，， ， ， 故①正确； ∵点E是和平分线的交点， ∴ ∵， ， ，， ∴， ∴， 故③是正确的； 则是等腰直角三角形， ∵点E是和平分线的交点，， ∴， ∵， ， ，， 过点A作的延长线，过点D作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 故④是正确的； ∵， ∴的大小关系不知道， 则无法证明和全等， ∴不一定成立， 故②是错误的， 故答案为：①③④． 10．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当t= 秒时，与全等． 【答案】2或6或8 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键． 【详解】当点E与点A重合时，此时，与全等．但，舍去； 当时，则， ∵，，，．动点E的速度为， ∴， ∴， ∴； 当时，则，且点E在点B的右侧时， ∵，，，．动点E的速度为， ∴， ∴， ∴； 当时，则，且点E在点B的右侧时， ∵，，，．动点E的速度为， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2或6或8． 11．（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为多少厘米秒时，能够使与全等． 【答案】当点的运动速度为或厘米秒时，能够使与全等． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，分两种情况讨论，再依据全等三角形的对应边相等，即可得到点的运动速度，掌握全等三角形的判定与性质及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：设点运动的时间为秒，则，， ∵点为的中点， ∴厘米， ∵， ∴当厘米，时，， 此时， 解得， ∴， 此时，点的运动速度为（厘米秒）； 当厘米，时，， 此时， 解得， ∴点的运动速度为（厘米秒）； 综上可知：当点的运动速度为或厘米秒时，能够使与全等． 12．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图①，中，，延长到E，过点E 作交的延长线于点F，延长到G，过点G作交的延长线于点H，且． (1)求证：； (2)如图②连接与相交于点D．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）由即可证明，进而可得； （2）由，推理得到，再证明，即可得到． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ． ，， ． 在和中， ， ∴， ． 13．（24-25八年级上·广东惠州·期中）已知，在中，，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为______； (2)如图②，直接写出线段与的数量关系：______； (3)如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或． 【分析】（）由余角性质可得，进而可证明，即可求解； （）同理（）可得，得，，进而可得； （）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质解答即可求解； 本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （3）解：①∵点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，， ， 当时，，， ，， ，， 当，，满足，， 故，符合题意； ②∵点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，，， 当时，，， ，， ，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，， ， 当，时，满足，， 故，符合题意； 综上，，或，． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①当时，__________（用含的代数式表示）；点是线段上的一点（不与点重合），设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；；②或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，四边形的内角和，高线的定义，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据高线的定义及等角的余角相等得出，利用即可得证； （2）①根据题干中的条件可得出依题意，或化简即可；根据四边形的内角和及角直角的等量关系即可得出； ②分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）①解：依题意，或 ∴或 ∵是边上的高，是边上的高， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． ②解：存在， 如图2，当时， 在和中， ， ∴， ∵，，∴， ； 如图3，当时， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 15．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$