期中重难点真题特训之易错必刷题型（97题41个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

期中重难点真题特训之易错必刷题型（97题41个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、图形的平移 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的是一个用火柴摆成的“田”字图案，至少平移其中的 根火柴，可以变成一个“品”字图案． 【答案】 【分析】本题考查图形的平移，保持“田”字的“十”字不变，再移动3根变成“品”字图案即可． 【详解】解：如图：相同数字表示移动前后位置， 由图形可得“田”字图案，至少平移其中的3根火柴，可以变成一个“品”字图案， 故答案为：． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）小宁和婷婷一起做拼图游戏，用“，，”构思出了独特而有意义的图案，并根据图案用语言进行了简单的表述： 观察以上图案，解答下列问题： (1)这些图案有什么特点？ (2)这些图案通过一个“基本图案”经过怎样的变换形成？ (3)在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？请说明理由． 【答案】(1)它们都是由一个“基本图案”经过平移或轴对称变换后得到的 (2)图①②③④均是通过一个“基本图案”向右平移一定距离后得到的；图②④还可以看成由轴对称变换得到的；图⑤可以看成是上面的图形向下平移一定距离再向右平移一定距离后得到的 (3)大小、形状没有发生改变，位置发生改变．理由见解析 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，轴对称的含义； （1）根据所给图形写出其特点即可； （2）根据平移的定义结合图案作出回答即可； （3）根据平移的性质解答． 【详解】（1）解：它们都是由一个“基本图案”经过平移或轴对称变换后得到的． （2）解：图①②③④均是通过一个“基本图案”向右平移一定距离后得到的；图②④还可以看成由轴对称变换得到的；图⑤可以看成是上面的图形向下平移一定距离再向右平移一定距离后得到的． （3）解：大小、形状没有发生改变，位置发生改变． 理由：由平移的定义可知，平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置． 易错必刷题二、中心对称图形的识别 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形，而不是中心对称图形，故选项错误； B选项是轴对称图形，而不是中心对称图形，故选项错误； C选项即是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确； D选项是中心对称图形，而不是轴对称图形，故选项错误； 故选：C． 4．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 【答案】(1)射线、2厘米 (2)O、120 (3) (4)与（答案不唯一） 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据旋转的定义，结合图形可得出答案； （3）根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与△CBO重合； （4）根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可． 【详解】（1）解：∵经过平移得到， ∴平移的方向是沿着射线方向，点A与点F是一组对应点， ∴平移的距离为， ∵是边长为2厘米的等边三角形， ∴厘米， 故三角形沿着射线BO的方向平移2厘米能与三角形重合， 故答案为：射线、2厘米； （2）解：三角形绕着点O顺时针旋转120度后能与三角形重合； 故答案为：O、120； （3）解：三角形沿着所在直线翻折后能与重合； 故答案为：； （4）解：与是中心对称的两个三角形． 故答案为：与（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称，属于基础题，关键是掌握几种变换的定义和特点． 易错必刷题三、旋转对称图形的识别 5．（2025八年级下·全国·专题练习）下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移和旋转的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换． 根据平移、旋转的性质，结合图形，对选项进行一一分析，再解答． 【详解】解：A、不能通过平移得到，故本选项不符合题意； B、是平移变换，不能通过旋转得到，故本选项不符合题意； C、既符合平移变化，又能旋转得到，故本选项故符合题意； D、是旋转变化，但不能通过平移得到，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【答案】(1)是，O， (2)周长为，阴影部分的面积为 【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数． 【详解】（1）解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心， 这个图案的最小旋转角为； 故答案为：是，O， （2）由题意得，阴影部分的周长为， 阴影部分的面积为． 易错必刷题四、求一元一次不等式（组）的解集 7．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 8．（2025·河北石家庄·一模）数学活动课上，刘老师让同学们做一个数学游戏，规则如下：每次游戏都涉及三种运算，分别代表下面的运算．每一种运算都是在上一步运算结束后进行的一步运算．运算过程中自动添加必要的括号．如对数1按的顺序计算，列式为：． (1)求对按的顺序运算后的结果； (2)对数按的顺序运算后，结果大于．请从下面的问题①和②中选择其中一个进行解答： ①直接写出的正整数值； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①1，2；② 【分析】本题考查实数计算，解一元一次不等式． （1）将代入运算式子中计算即可； （2）将代入运算式子中列出关于的一元一次不等式，解出的范围即为②结果，再根据实数分类中正整数定义即可写出①结果． 【详解】（1）解：由题意得： （2）解：由题意得： ，解得：． ∴①正整数为：1，2． ∴②． 易错必刷题五、一元一次不等式组的解集求参数 9．（2024八年级上·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 10．（23-24七年级下·广东中山·期末）对于两个关于x的不等式，若有且仅有两个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“双整”的．例如不等式和不等式只有1和2两个整数使得这两个不等式同时成立，所以不等式和不等式是“双整”的． (1)判断不等式和是否是“双整”的并说明理由； (2)若不等式和是“双整”的，求a的最大值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)的最大值为9． 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法，本题的关键在于充分理解两不等式“双整”的定义． （1）解不等式得，再根据“双整”的定义即可； （2）根据题意得，再根据“双整”的定义得． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 联立，，解不等式组得， 满足条件的整数有三个：1、2、3，所以这两个不等式不是“双整”的； （2）解：解不等式，得， 若和是“双整”的， ，则满足的整数有两个：2和3， 即， 故的最大值为9． 易错必刷题六、解特殊不等式组 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知 （1）若，求m的值； （2）求关于的表达式； （3）若，求的值的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ；（3）． 【分析】（1）将代入中，即可求出m的值． （2）由可得，代入中，即可得到y关于x的表达式． （3）由题意列不等式组，可求出m的取值范围，再根据（1），即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题可知：， ． （2）∵， ∴，代入中． ∴． （3）由题可知， 解得：． 由（1）知， ∴，即． 【点睛】本题考查代数式求值以及求解不等式组．掌握代数式求值和不等式组的解法是解答本题的关键． 12．（23-24六年级下·全国·单元测试）解不等式：． 解：根据“有理数的乘法法则”，即两数相乘，同号得正，可得①或②．由①，得，所以．由②，得，所以． 所以不等式的解集为或． 请你根据上面的解法解不等式：． 【答案】或 【分析】根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可； 【详解】由题意得：①或②．由①得， ∴．由②得，， ∴．所以不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，准确分析是解题的关键． 易错必刷题七、等边对等角 13．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，等腰三角形的性质，设，则，得出，根据得出，列出方程，求出x的值，即可求解． 【详解】解：由图可知，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 14．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，，线段的垂直平分线分别交及的延长线于点D，E，连接． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求的值． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，，即可判断是等边三角形． （2）设与相交于点，先由等腰三角形的性质得到，再根据垂直平分线的性质得到，再由等边三角形的性质得到，根据30度角所对的直角边是斜边的一半即可解答． 本题考查了等边三角形的判定及性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． 【详解】（1）是等边三角形，理由如下： 是线段的垂直平分线， ． ． 是等边三角形． （2）如图，设与相交于点 是线段的垂直平分线， 是等边三角形，． 在中， ，即 ． 易错必刷题八、根据等角对等边证明等腰三角形 15．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定， 根据题意设，则，，然后根据等边三角形的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的形状是等腰三角形． 故选：A． 16．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，已知直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理： （1）由平行线的性质可得，则，据此可证明结论； （2）由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 易错必刷题九、根据等角对等边求边长 17．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，一艘船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C、测得，．若这艘船继续向正北方向航行，则上午（　　）该船与灯塔C的距离最短． A．9时 B．10时 C．11时 D．12时 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，首先根据题意求出的长，然后根据等边对等角得到，过点C作于点P，得到线段的长为小船与灯塔C的最短距离，然后根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵一条船上午8时从海岛出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处， ∴海里， ∵，， ∴， ∴海里， 如图，过点C作于点P．    ∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，． 又∵， ∴． 在中，， ∴（海里）， ∴再航行20海里，小船与灯塔的距离最短，即再航行1小时该船与灯塔C的距离最短， ∴上午11时该船与灯塔C的距离最短． 故选：C． 18．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，，可以由绕点C顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点，连接，且A，，在同一条直线上，求出，的长． 【答案】4，6 【分析】根据直角三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，解答即可． 本题考查了旋转的性质、直角三角形性质及应用，掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵由绕点C顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点， ∴， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题十、根据三线合一证明 19．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，D是的中点，E是上任意一点，连接，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由三线合一得垂直平分，然后由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：因为，D是的中点， 所以，即垂直平分． 因为点E在上， 所以． 易错必刷题十一、格点图中画等腰三角形 21．（24-25八年级上·云南昆明·期末）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B在格点上，点C也在格点上，若为等腰三角形，则图中符合条件的点C有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 根据等腰三角形的定义判断即可． 【详解】解：如图，满足条件点C有8种情形． 故选：C． 22．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在方格纸中，，，是三个格点（网格线的交点叫做格点）． (1)请用无刻度直尺作图：过点画的垂线，垂足为点； (2)在（1）的条件下，画出绕点旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作旋转一定角度后的图形，掌握作旋转一定角度后的图形是解题的关键． （1）由图可知是等腰直角三角形的斜边，取格点Q，连接，使得是等腰直角三角形，即可解答； （2）根据旋转的特征，得到和，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，取格点Q，连接，与交于点C，． 理由：根据图象可得是的等腰直角三角形的斜边， ∴， ∴．   ； （2）解：如图，即为所求． 易错必刷题十二、等边三角形的判定和性质 23．（2025·安徽合肥·一模）如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则它的面积是（   ）    A． B．12 C． D．24 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出△AOB是等边三角形是解题关键．由正六边形的性质证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，，过点O作于点H，如图所示：    ∵O是正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴正六边形的面积． 故选：A． 24．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）如图，将等边和的一边重合放置，其中为中点．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，过点作于点． (2)如图2，过点作的平分线交于点． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形的角平分线，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长交于点，连接，即为所求作，可以通过证明是等边三角形，证明点为中点，再利用三线合一即可证明； （2）在（1）的基础上，连接，交于点，连接并延长，交于点，则即为所求，可以通过证明平分，平分，得出是三条角平分线的交点，即可证明． 【详解】（1）解：如图，延长交于点，连接，即为所求作， 理由：∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为中点，， ∴， 即点为中点， ∴； （2）解：如图，在（1）的基础上，连接，交于点，连接并延长，交于点，则即为所求作， 理由：由（1）可得， 又∵是等边三角形， ∴平分， ∵为中点， ∴平分， ∴是三条角平分线的交点， ∴是的角平分线． 易错必刷题十三、含30度角的直角三角形 25．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，中，，且A，B，D在同一条直线上，动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查轴对称——最短路线问题，含三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接，可证明，然后推出的最小值为，最后求出即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 有最小值为的长． 故选B． 26．（2025·广东珠海·一模）图1是我国古代提水的器具枯槔（），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶水平移动的距离（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】(1)点到小竹竿的距离为米 (2)水桶水平移动的距离米 【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定了，解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数值的计算是关键． （1）如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离，可证四边形是矩形，，，在中，米，米，由勾股定理即可求解； （2）如图所示，过点作于点，交于点，根据解直角三角形的计算得到米，由即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵米，点是的中点， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米， 即点到小竹竿的距离为米； （2）解：如图所示，过点作于点，交于点， 由（1）可得，米，米，， ∴， ∴， 在中，， ∴米， ∴米， ∴水桶水平移动的距离米． 易错必刷题十四、在网格中判断直角三角形 27．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理分别求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上， ， ， 且， 为等腰直角三角形， 故选：C． 28．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由． (2)在网格中画出； 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定及作图能力，解题的关键是数形结合． （1）由勾股定理的逆定理进行证明； （2）根据由平行四边形的判定画图即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； （2）如图所示，即为所求． 易错必刷题十五、直角三角形的两个锐角互余 29．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图中，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形的两个锐角互余，由折叠的性质可知，，即可得，进而即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 30．（24-25八年级下·安徽池州·阶段练习）把一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角板中角度的计算，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 利用三角形内角和定理及，可求出，的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出度数． 【详解】解：，，， ，， ， ， ， 在中，， 的度数为 ． 易错必刷题十六、判断三边能否构成直角三角形 31．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．9，12，15 C．，， D．、、 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理、二次根式的乘法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不能作为直角三角形的三边长，符合题意； B、，则此项能作为直角三角形的三边长，不符合题意； C、，则此项能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、，则此项能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：A． 32．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）已知：如图，，且，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和性质．三角形全等的判定方法有：；全等三角形对应边相等，对应角相等．根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，，根据平行线的性质得出，根据证明，得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵，，， 又∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题十七、全等的性质和HL综合（HL） 33．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为(    ) A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作于点，交的延长线于点，由折叠得，，而，则，可证明，得，，由，得，由，得，再证明，得，所以，求得，即可求解． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 沿折叠，点落在的直角顶点处，且，， ，，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 34．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明∶在和中， ， ∴， ∴． 易错必刷题十八、利用勾股定理的逆定理求解 35．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，四边形中，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的运算，得到为直角三角形是解题的关键． （1）如图，连接，可得是等腰直角三角形，得到，由勾股定理得到，运用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即，由此即可求解； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， 根据勾股定理得：， ， ， 为直角三角形，即， 则； （2）解：根据题意得：． 36．（24-25八年级上·河南周口·期末）洛阳市慈善公园，坐落在牡丹桥西，与洛河南岸的牡丹公园仅隔一河一桥，其公园有一部分景区如图四边形所示．已知，． (1)求对角线的长． (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)25m (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， （1）根据勾股定理解答； （2）根据勾股定理逆定理说明，再结合四边形内角和定理得出答案. 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得； （2）解：． 理由：在中，， ， ． 又， ， ． 易错必刷题十九、线段垂直平分线的性质与判定 37．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、， (1)求的长度； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴． （2）解：∵垂直平分 ， ∴， 设 ，则， 在中， ∵， ∴， 解得． ∴． 38．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，已知点D、E为的边上两点．，为了判断与的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 解：过点A作，垂足为H． ∵在中，（已知）（所作）， （等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）． 又（已知）， （______）． 即：______． 又∵，垂足为H（所作）， ∴垂直平分． （______）． （______）． 【答案】；；；；等式的基本性质①；；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．过点A作，垂足为．先根据三线合一得到，结合已知得到，进而得到为线段的垂直平分线，则有，根据等边对等角可得结论． 【详解】解：过点A作，垂足为． 在中，（已知）（所作）， （三线合一）． 又（已知）， （等式的基本性质①）． 即：． 又，垂足为（所作）， 为线段的垂直平分线． （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． （等边对等角）． 易错必刷题二十、作已知线段的垂直平分线 39．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，按以下步骤：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长是（   ） A．20 B．16 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，根据题意得到是线段的垂直平分线是解题关键． 根据作图得到是线段的垂直平分线，得到，再根据周长公式进行线段代换即可求解． 【详解】解：由作图可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长 ∵，， ∴的周长 故选： 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形和四边形关于某条直线成轴对称，记这条直线为． (1)在图①中用直尺和圆规作出直线． (2)图中的对应线段所在的直线是否相交？如果相交，交点与对称轴有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在的直线与对称轴有什么位置关系？由此你能归纳出什么结论？ (3)根据②中的结论，如果只有一把无刻度的直尺，你还有别的方法可以画出直线吗？请你在图②中尝试一下． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了轴对称的性质，画对称轴，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）连接，作出的垂直平分线即为所求作直线； （2）根据轴对称的性质求解即可； （3）连接，交于点M，延长，交于点N，连接，所在直线即为所求作． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：图中的对应线段所在的直线不一定相交， 如果相交，交点在对称轴上；如果不相交，这组对应线段所在的直线与对称轴平行． （3）解：如图所示， 易错必刷题二十一、列一元一次不等式（组） 41．（23-24七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天并超额完成任务，设他16天之后平均每天生产零件x个； (2)今年小明x岁、小强y岁、爷爷m岁，明年小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）前16天每天生产6个，则16天之后有天每天生产x个，超额完成零件数，即生产的总数大于198个，据此列出不等式即可； （2）今年小明x岁、小强y岁、爷爷m岁，则明年三人的岁数分别为岁，岁，岁，再根据明年小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄列出不等式即可． 【详解】（1）解：设他16天之后平均每天生产零件x个， 由题意得，； （2）解：由题意得，． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次不等式，正确理解题意找到不等关系是解题的关键． 42．（23-24七年级下·北京西城·阶段练习）阅读下面材料后，解答问题 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则：若，，则． 请解答下列问题： (1)①若则或 ___________； ②若则 ___________或 ___________； (2)根据上述规律，求不等式的解集． 【答案】(1)①，②， (2)或 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）根据题目中给出的信息，列出关于x的不等式组，然后解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解：①若，则或； ②若，则或； 故答案为：①；②；． （2）解：， ∴①或②， 解不等式组①得：； 解不等式组②得：， ∴不等式的解集是或． 【点睛】本题主要考查了解不等式组的应用，解题的关键是理解题意，当时，或；当时，或． 易错必刷题二十二、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 43．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标．直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标即可． 【详解】解：以“帅”位于点为基准点，则“炮”位于点，即为． 故选A． 44．（23-24八年级上·北京东城·期中）如图，在正方形网格中，若点A的坐标是，点B的坐标是． (1)图中点C的坐标是__________，点C关于x轴对称的点的坐标是__________； (2)将点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的点的坐标是__________，的面积为__________． 【答案】(1)； (2)；1 【分析】（1）根据点A的坐标建立平面直角坐标系得点C的坐标，再根据关于x轴对称点的坐标的规律可得点的坐标； （2）根据点坐标平移的规律可得点的坐标，利用割补法可得的面积． 【详解】（1）解：依题意建立如图所示平面直角坐标系： 点C的坐标为：， 将关于x轴对称的点的坐标为：， 故答案为：；． （2）将点向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得， ， 故答案为：；1． 【点睛】本题考查了坐标与图形、坐标与图形变化—平移及轴对称，掌握关于x轴对称的点的坐标及点坐标平移的规律，利用割补法求三角形面积是解题的关键． 易错必刷题二十三、已知图形的平移，求点的坐标 45．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点A、B的坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质， 根据平移的特征可知点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度，根据平移特征得出答案． 【详解】解：根据点平移到点，可知横坐标增加2，纵坐标增加1， ∴将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴点，即． 故选：C． 46．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是的边上的一点，经过平移后得到，，，的对应点分别为，，．点的对应点为． (1)写出，，三点的坐标； (2)在图中画出； (3)的面积为_____． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)7 【分析】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法． （1）直接利用P点平移变化规律得出答案； （2）直接利用各对应点位置进而得出答案； （3）利用所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）解：∵平移后点的对应点为， ∴的对应点为， 的对应点为， 的对应点为； （2）解：如图所示：即为所求作的图形； （3）解： ． 故答案为：7． 易错必刷题二十四、求旋转对称图形的旋转角度 47．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，正确理解求解方法是关键．根据题意可得园内是一个正八边形，求出中心角，得到旋转后能重合的最小旋转角，即可求解． 【详解】解：根据题意可得圆内是一个正八边形，则， 将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度是的整倍数， ，不是整数， 旋转角度不能是， 故选：B． 48．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，正方形边长为2，以各边中心为圆心，1为半径依次作圆，将正方形分成四部分． (1)这个图形______（填“是”或“不是”）旋转对称图形；若是，则旋转中心是点______，最小旋转角是______； (2)求图形的周长和面积． 【答案】(1)是；； (2)周长；面积 【分析】本题考查的是旋转对称图形的含义，正方形的性质； （1）根据旋转对称图形的定义可得答案； （2）根据图形的周长为边长与圆周长的一半的和，面积是正方形的面积的，从而可得答案； 【详解】（1）解：这个图形是旋转对称图形；旋转中心是点，最小旋转角是； （2）解：图形的周长为边长与圆周长的一半的和，即； ， 图形的面积为． 易错必刷题二十五、求绕原点旋转90度的点的坐标 49．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转到的位置，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理的运用，写出平面直角坐标系中点的坐标，掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得到的值，根据旋转得到，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∵将绕点逆时针旋转到的位置， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A ． 50．（23-24八年级下·吉林·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出以点为旋转中心，按顺时针方向旋转后的； (2)在图中画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析； 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，以原点为中心作对称图形，解题的关键是能正确找出对应点的位置， （1）找出B、C的对应点，再连线即可； （2）以原点为中心，分别找出A、B、C的对应点连线即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：如图，即为所求，． 易错必刷题二十六、已知两点关于原点对称求参数 51．（2024·广西南宁·一模）已知点与点关于原点对称，则的值为（　　） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故选：A． 52．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点，点与点，点与点分别是对应点，观察对应点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点A与点，点与点的坐标． (2)若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求的值． 【答案】(1)，；，． (2) 【分析】（1）根据各个点在平面直角坐标系中的位置写出坐标即可； （2）根据（1）得出的结论可知点P和点Q的横坐标和纵坐标都互为相反数，列出方程组求解即可． 本题主要考查了在平面直角坐标系中点的变化规律、二元一次方程组的应用等知识，熟练的掌握平面直角坐标中点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】（1），；，． （2）由（1）可知对应点的横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数． 根据题意得：， 解得 易错必刷题二十七、求关于原点对称的点的坐标 53．（24-25七年级上·四川成都·期末）若点与点关于原点对称，则，的值分别为（     ） A．，2 B．3， C．， D．3，2 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故选：C． 54．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，线段的两个端点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段； (2)画出线段关于点对称的线段； (3)在轴上标出一点，使得点在线段的垂直平分线上，写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了旋转变换、关于原点对称的点、垂直平分线的判定，正确作图是解题的关键． （1）分别画出点绕点顺时针旋转的对应点，再连接即可； （2）分别画出点关于点对称的对应点，再连接即可； （3）在轴上取点，利用勾股定理求出，得出点在线段的垂直平分线上，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求： （2）解：如图所示，线段即为所求： （3）解：如图，在轴上取点， 由图可知，，， ，， ， 点在线段的垂直平分线上， 如图所示，点即为所求，点的坐标为． 易错必刷题二十八、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 55．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键， 根据中心对称图形的特点得到，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴， ∴， 在中，， 故选：D ． 56．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在锐角三角形中，点为线段上一点，与关于点成中心对称． (1)直接写出图中所有相等的线段，并说明点在的什么位置； (2)若，，求线段的取值范围． 【答案】(1)相等的线段有，，；点为的中点 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系及中心对称的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据中心对称及全等三角形的性质即可解答； （2）根据三角形三边关系得出，即可得到答案． 【详解】（1）解：与关于点成中心对称， ， 相等的线段有，，， 点为的中点； （2）解：， ， ，， ， 在中，， ， ． 易错必刷题二十九、根据旋转的性质求解 57．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在一个的网格中，个单位正方形已经被2张L形和1张田字形纸片互不重叠地占据．有4个形状的纸片，均由4个单位正方形所组成．将这4个形状的纸片平移，旋转，能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】本题考查的是平移，旋转，理解平移与旋转现象在生活中的应用是解本题的关键． 把逆时针旋转，再平移即可． 【详解】解：把逆时针旋转，再通过平移可把原图中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠． 故选：D． 58．（2025七年级下·全国·专题练习）如图①，将一副直角三角尺中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住直角三角尺不动，将直角三角尺绕点按顺时针方向旋转，图②为旋转过程中的某一位置，当三点再一次共线时停止旋转，记． (1)当时，求直线与直线相交所成角的大小； (2)当时，求k的值； (3)当时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，三角形外角的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质，角的和差计算是解题的关键． （1）当时，，设直线与直线交于点，则有，根据三角形外角的性质即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当在的左侧时，，；当在的右侧时，，不符合题意；由此即可求解； （3）当在的左侧时，与相交，所以当时，在的右侧， 则，，由此即可求解． 【详解】（1）解：当时，，设直线与直线交于点， 则直线与直线相交所成的锐角为， ∵， ∴． （2）解：当在的左侧时， ∵， ∴， ∴，， ∴，即； 当在的右侧时，， ∵当三点再一次共线时停止旋转， ∴该种情况不符合题意． （3）解：当在的左侧时，与相交， ∴当时，在的右侧， 则， ∴， ∴，即． 易错必刷题三十、利用平移解决实际问题 59．（24-25八年级下·海南海口·阶段练习）如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，平移的性质，根据平移的性质可知种花的面积相当于一个长为，宽为的长方形面积，据此根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 60．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图所示，某市公园有一块长方形绿地长20，宽16，在绿地中开辟三条等宽的道路后，剩余绿地的面积为224，求道路的宽x是多少米？ 【答案】2米 【分析】此题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由剩余绿地平移可拼成应该矩形边长为米、米，由此列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：依题意可列 （舍） 答：道路的宽是2米． 易错必刷题三十一、旋转中的规律性问题 61．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 62．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒 【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断； （2）根据“友好线”定义即可求解； （3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可． 【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝∠COD， ∵∠COA＝∠BOC， ∴∠BOD＝∠AOD， ∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”． （2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n， ∴∠BOM＝∠AOB＝n， ∵ON平分∠AOB， ∴∠BON＝∠AOB＝n， ∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n； （3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”． 当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB， 所以3x＝（180﹣5x﹣3x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”． 当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOB， 所以180﹣5x﹣3x＝×3x， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OC的“友好线”． 当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOC， 所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”． 当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝∠COB， 所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180）， 解得x＝30（符合题意）， 即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”． 综上所述，当运动时间为或或或30秒时，符合题意要求． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答是解题的关键． 易错必刷题三十二、坐标与旋转规律问题 63．（23-24八年级下·河南安阳·期中）如图，在中顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与旋转规律问题，求绕原点旋转度的点的坐标，正方形的性质等知识点，读懂题意，从图形的旋转中发现并总结出一般规律是解题的关键． 由，可得，由正方形的性质可得，进而可得，由题意可知，与正方形组成的图形绕点顺时针旋转时，每次旋转为一个循环，又回到原位，而，因而第次旋转结束时，相当于与正方形组成的图形绕点顺时针旋转次，然后由绕原点旋转的点的坐标规律即可得出点的坐标． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ， ， 由题意可知：与正方形组成的图形绕点顺时针旋转时，每次旋转为一个循环，又回到原位， ， 第次旋转结束时，相当于与正方形组成的图形绕点顺时针旋转次， 由绕原点旋转的点的坐标规律可知：点的坐标为， 故选：． 64．（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(﹣1，1)、B(0，﹣2)、C(1,0)，点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3， （1）在图中画出点P1、P2、P3； （2）继续将点P3绕点A旋转180°得到点P4，点P4绕点B旋转180°得到点P5，…，按此作法进行下去，则点P2020的坐标为　　． 【答案】（1）见解析；（2） (﹣2，﹣2) 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点P1、P2、P3即可； （2）画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题． 【详解】解：（1）点P1、P2、P3如图所示， （2）（﹣2，﹣2） 解析： 如图所示：P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2）P5（2，﹣2），P6（0，2） ∵6次一个循环 ∴2020 ÷ 6 = 336... 4 ∴P2020（﹣2，﹣2） 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型． 易错必刷题三十三、中心对称图形规律问题 65．（23-24八年级上·山东济宁·阶段练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 66．（2024·江西赣州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称． （1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为　 　，　 　，　 　； （2）连接A1B2，求A1B2的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求解； （2）过点作轴于点H，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 故答案为； （2）过点作轴于点H，如图所示： ∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标、等边三角形的性质、中心对称的性质及勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 易错必刷题三十四、平移综合题(几何变换) 67．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图在平面直角坐标系中，已知点，．    (1)画出向上平移2个单位，再向左平移2个单位后所得的图形． (2)求平移A、B、O后的对应点、、的坐标； (3)求平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)16 【分析】（1）根据平移的性质找出A、B、O平移后的对应点、、，再顺次连接即可． （2）根据平移变换的性质即可求出平移A、B、O后的对应点、、的坐标． （3）分两部分，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将点先向上平移2个单位，再向左平移2个单位得到， 同理可得和，再顺次连接即可得到，如图所示即为所求：    （2）点向上平移2个单位，再向左平移2个单位得到， 点向上平移2个单位，再向左平移2个单位得到， 点向上平移2个单位，再向左平移2个单位得到． （3）向上平移2个单位扫过的面积为：， 再向左平移2个单位扫过的面积为：， 因此平移过程中扫过的面积为：． 【点睛】本题考查了平移变换作图，熟练掌握平移变换的性质，找准对应点是解题的关键． 68．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格上，其中点坐标为．    (1)写出点的坐标：（______，______）、（______，______）； (2)将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，请画出平移后的； (3)求的面积； (4)在轴正半轴上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3) (4)存在，点的坐标为，理由见详解 【分析】（1）根据平面直角坐标系中图形与坐标的特点即可求解； （2）根据图形平移的规律即可求解； （3）运用“割补法”求不规则图形的面积即可； （4）设，用含的式子表示的面积，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据图示，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，，，． （2）解：将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，如图所示，    ∴即为所求图形． （3）解：如图所示，将补成梯形，    ∴，，，，， ∴，，， ∴． （4）解：存在，点的坐标为，理由如下： 由（3）可知，，在轴正半轴上点，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于 ∴，， ，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握坐标与图形，图形的平移，“割补法”求不规则图形的面积等知识是解题的关键． 易错必刷题三十五、旋转综合应用 69．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，分别以正方形的边和为直径画两个半圆交于点，若正方形的边长为，求阴影部分的面积．    【答案】 【分析】连接交于点O，将①顺时针旋转恰与③重合，将②逆时针旋转恰与④重合，化零为整求解即可； 【详解】解：如图，连接交于点O， 将①顺时针旋转恰与③重合，将②逆时针旋转恰与④重合， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的一半，即；    【点睛】本题主要考查图形的旋转，应用图形旋转的性质求面积是解题的关键． 70．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【答案】(1)图2成立，，证明见解析 (2)图3不成立，、、的关系是，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证是关键． （1）将顺时针旋转，可得，证，即可求解； （2）将顺时针旋转，可得，证，即可求解． 【详解】（1）解：将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：不成立，新结论为， 将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题三十六、勾股定理逆定理的实际应用 71．（24-25八年级下·湖南娄底·阶段练习）已知： 四边形中， ，， ， ，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)36 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练准确掌握两个定理的实际应用． （1）利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，面积和即为四边形的面积． 【详解】（1）解：在中， ，， ， 根据勾股定理得，． ∴的长为5． （2）解：，， ， 是直角三角形，且， ． ∴四边形的面积为36． 72．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 主题：检测雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： 通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ 【答案】垂直；理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，由勾股定理逆定理求出，则可得出结论． 【详解】解：垂直，理由如下： 连接，如图所示： 在中，因为，，， ∵， ， ∴， ∴． 易错必刷题三十七、角平分线性质的实际应用 73．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)． 【答案】4个；图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图所示，即为加油站的位置，共有4个符合要求的位置． 74．（23-24八年级下·广西北海·期中）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分交于点，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质易证，得出，即可得出结论； （2）由矩形和角平分线的性质得出，则，再推出，证明是等边三角形，求出，求出的长即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，平分， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点及运用数形结合思想是解题的关键． 易错必刷题三十八、角平分线的性质与判定定理 75．（24-25八年级下·内蒙古包头·阶段练习）在中，，点在上，，，垂足分别为，，且，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是角平分线的判定、直角三角形的性质，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．根据角平分线的判定定理求出，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 在中，，， ∴． 76．（24-25七年级下·全国·课后作业）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)垂直平分线，平分线； (2)2； (3)6． 【分析】本题考查了垂直平分线，角的平分线基本作图，线段和的最值，角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质． （1）根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线． （2）过点E作于点M，根据角的平分线性质，得，根据三角形面积公式解答即可． （3）根据题意，点A与点B是关于直线的对称点，当P与点D重合时，取得最小值． 【详解】（1）解：根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线， 故答案为：垂直平分线，平分线； （2）解：过点E作于点M，如图． 因为射线是的平分线，， 所以， 所以． （3）解：如图，连接， 因为直线是线段的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以当点P与点D重合时，取得最小值，且最小值为． 易错必刷题三十九、一元一次不等式（组）实际综合应用 77．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）为了促进消费，甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，且各自推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费； 乙商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费． 若某顾客准备购买标价为元的商品． (1)在甲商场购买的优惠价为_____元，在乙商场购买的优惠价为_____元（均用含的式子表示） (2)乙商场为了吸引顾客，调整了优惠方案：购物价格累计超过元，但不超元，超出元的部分按付费；超过元，超出元的部分按付费，甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确列出代数式，找出数量关系列出一元一次不等式． （1）根据甲、乙的促销方案进行解答即可； （2）分两种：当时和当时，分别列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：在甲商场购买的优惠价（元）， 在乙商场购买的优惠价（元）， 故答案为：；； （2）解：当时， 由题意可得：， 解得：； 当时， 由题意可得：， 解得：， ∴时，顾客在甲商场购物花费少， 综上所述，顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围为． 78．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年3月份将产品的出厂价定为50元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销售数量． (1)求每件产品的生产成本价； (2)若在生产过程中，平均每生产1件产品产生的污水，为达到环保要求，工厂设计了如表所示的两种污水处理方案并准备实施． 方案 费用 1：排到污水处理厂处理 每处理污水需付12元排污费 2：本厂净化处理后排放 每月排污设备损耗费10000元，且每处理污水需付2元排污费 单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？ 【答案】(1)每件产品的生产成本价为30元 (2)当该工厂月生产量少于5000件时，选择污水处理方案1省钱；当该工厂月生产量等于5000件时，选择两种污水处理方案费用相同；当该工厂月生产量大于5000件时，选择污水处理方案2省钱 【分析】本题主要考查一元一次方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列出方程，不等式是解题的关键． （1）设每件产品的生产成本价为x元，根据该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同列一元一次方程求解即可； （2）设该工厂每个月生产y件产品，则每个月产生的污水，根据题意，运用不等式比较方案1与方案2的费用，由此即可求解． 【详解】（1）解：设每件产品的生产成本价为x元， 依题意，得：， 解得：． 答：每件产品的生产成本价为30元． （2）解：设该工厂每个月生产y件产品，则每个月产生的污水， 当选择方案1费用低时，， 解得：； 当选择两种方案费用相同时，， 解得：； 当选择方案2费用低时，， 解得：． ∴当该工厂月生产量少于5000件时，选择污水处理方案1省钱；当该工厂月生产量等于5000件时，选择两种污水处理方案费用相同；当该工厂月生产量大于5000件时，选择污水处理方案2省钱． 易错必刷题四十、一元一次不等式与一次函数综合应用 79．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的不等式的解集是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当 ，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式； （1）利用直线与轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （2）利用直线与轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （3）结合函数图象直接写出答案． 【详解】（1）直线与轴的交点是， 当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； （2）直线与轴的交点是， 当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； （3）根据图象可得，当时，． 故答案为：． 80．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图；在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点A． (1)若点A的横坐标为2，求k的值； (2)若关于x 的不等式有且只有2个正整数解，直接写出k 的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把点A的横坐标为2代入中，得A点坐标，把A点坐标代入中，即可求得k的值； （2）由（1）知，当时，求得k的值为2；当时，可求得k的值；结合图形，当k的值位于这两者之间时，保证关于x 的不等式有且只有2个正整数解． 【详解】（1）解：当时，， 则； 把A的坐标代入中，得，即； （2）解：由（1）知，当时，； 当时，，即，如下图所示； 把点B坐标代入中，得，即； 由图知，当时，关于x 的不等式有且只有2个正整数解． 故k的取值范围为． 易错必刷题四十一、等腰三角形的性质和判定 81．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的应用，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形判定定理． （1）由，，可得，再由 “”即可证明； （2）由可知，，进而求得，，即可得解． 【详解】（1）解：证明：，， ， 在和中 ； （2）解：， ，， ， 即， ， ． 82．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 【答案】(1)； (2)①等腰三角形，理由见解析；②见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合“类勾股三角形”的定义得到是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）①根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，结合题意得到，根据三角形的定义即可求解； ②根据等腰三角形的性质得到，，在中，，在中，，由此得到，结合“类勾股三角形”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （2）解：①等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 是等腰三角形 ②由①得， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 【点睛】本题主要考查的新定义，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理的运用，理解新定义，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 1．（2025·陕西渭南·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，首先解第一个不等式，得到；再解第二个不等式，得到，综合两个不等式的解集得到最后的答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 2．（2025·甘肃平凉·一模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买篮球个，则购买足球个，根据购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．列不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意：， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（ ）米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据等腰三角形的性质得到米，根据勾股定理求出米，再根据，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， 米，米， 米， 米， ， ， 故这根木头需要长度可能是米， 故选：C． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿直线的方向向右平移后到达的位置，此时点与点重合，若的周长为，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得，可知四边形的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由平移的性质可知，. 的周长为，即， 四边形的周长为. 故选：C． 6．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的解集；根据不等式的基本性质可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：关于的不等式的解集是， ， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图知：当直线的图象在直线的下方时，不等式成立； 由于两直线的交点横坐标为：， 观察图象可知，当时，，即不等式的解集为． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ， 的周长． 故答案为：12． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，某商场准备在门前台阶上铺设地毯，台阶的尺寸如图所示．已知这种地毯的批发价为40元，则购买地毯至少需要 元． 【答案】192 【分析】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题关键．根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解． 【详解】解：， （元）， 即购买地毯至少需要元， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江·期末）钱塘轮滑中心为杭州第19届亚运会轮滑、滑板比赛场馆，由亚运轮滑馆和亚运滑板公园两部分组成．如图，一名轮滑学生在轮滑训练馆沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，若米，则这名轮滑学生的高度下降了 米． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用含30度角的直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半即可解答． 【详解】解：根据题意是直角三角形， 米， ∴米， 则这名轮滑学生的高度下降了2米， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，先利用加减消元法得出，根据方程组的解满足不等式可得关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， ，得：， ∵方程组的解满足不等式， ∴， 解得：． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知． (1)用直尺和圆规作的中垂线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若与分别相交于点，连接，且的面积比的面积小4，则的面积是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法，熟练掌握尺规作图是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图可进行求解； （2）由（1）可知，然后问题可求解 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：由（1）可知， ∴， ∵的面积比的面积小4， ∴的面积比的面积小4， ∴的面积是4． 13．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）如图，三角形ABC在平面直角坐标系中． (1)若把三角形ABC先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点，，，写出点，，的坐标，并在图中画出平移后的图形． (2)求三角形ABC的面积． 【答案】(1)，，．图见详解 (2)7 【分析】（1）利用点平移的坐标变换特征写出，，的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积． 本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 【详解】（1）解：如图，为所作； ，，； （2）三角形的面积． 故答案为7． 14．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）某店铺销售一款可定制的纪念品，按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过200个的部分 3元/个 超过200个但不超过500个的部分 元/个 超过500个的部分 元/个 (1)若购买350个这款纪念品，需花费______元；若购买650个纪念品，花费______元． (2)某艺术团为纪念新年艺术演出活动，花了880元从该店铺定制了此次活动的纪念品，则该艺术团购买了多少个纪念品？ (3)艺术团团长看到可定制纪念品意义好，价格也比较合理，为宣传艺术团名声和打造品牌，决定定制一批艺术团的专有纪念品，后来看到专有纪念品受多人喜爱，又购进一批，两次共购买了850个，其中第二次购买的数量超过200个，且小于第一次购买的数量，两次共花费2430元，求第一次购买的数量． 【答案】(1)1020，1815 (2)300个 (3)600个 【分析】本题主要考查阶段收费，一元一次不等式，一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式计算是关键． （1）根据表格信息，按阶段收费计算即可； （2）设艺术团购买这款纪念品x个，根据阶段收费得到，再根据阶段收费即可求解； （3）设第一次购买了y个，则第二次购买个，根据题意得到，分类讨论：当两次都是200到500时；当时根据阶段收费列式计算即可． 【详解】（1）解：购买350个这款纪念品， ∴费用为：（元）， 购买650个纪念品， ∴费用为：（元）， 故答案为：1020，1815； （2）解：设艺术团购买这款纪念品x个， 由题意知，买200个这种纪念品需600元，买500个这种纪念品需（元）， ∵， ∴， 依题意得，， 解得：， 答：艺术团购买这款纪念品300个． （3）解：设第一次购买了y个，则第二次购买个， 当第二次购买的数量超过200个，且小于第一次购买的数量， ∴， 解得，， 当两次都是200到500的部分，则元，不符合题意； 当时，依题意得， 解得：， 答：第一次购买了600个． 15．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）数学兴趣小组发现这样一个模型：它由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 【操作探究】 已知：和都是等腰直角三角形，，，上的点在上沿着射线的方向运动． （1）如图1，当点在线段上运动，且时，连接，求的长； （2）如图2，当点运动到的延长线上，且时，的长为_____； 【迁移探究】 （3）如图3，的位置不变，将在同一平面内摆放，使得点不变，且，连接，，若，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）由证明和全等，再根据勾股定理即可解答； （2）由证明全等，再根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解； （3）作，先求证，再根据勾股定理得到，再利用全等三角形即可解答； 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴ ∴ 在和中, ∴ ∴， ∴ ∵，，， ∴. 在中，根据勾股定理，得； （2）连接， ∵，， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）作， ∵是等腰直角三角形，，， ∴垂直且平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴点E、C、O在一条直线上 ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴， 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，外角定理，等腰三角形的分类讨论，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之易错必刷题型（97题41个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、图形的平移 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的是一个用火柴摆成的“田”字图案，至少平移其中的 根火柴，可以变成一个“品”字图案． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）小宁和婷婷一起做拼图游戏，用“，，”构思出了独特而有意义的图案，并根据图案用语言进行了简单的表述： 观察以上图案，解答下列问题： (1)这些图案有什么特点？ (2)这些图案通过一个“基本图案”经过怎样的变换形成？ (3)在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？请说明理由． 易错必刷题二、中心对称图形的识别 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 易错必刷题三、旋转对称图形的识别 5．（2025八年级下·全国·专题练习）下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 易错必刷题四、求一元一次不等式（组）的解集 7．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)． 8．（2025·河北石家庄·一模）数学活动课上，刘老师让同学们做一个数学游戏，规则如下：每次游戏都涉及三种运算，分别代表下面的运算．每一种运算都是在上一步运算结束后进行的一步运算．运算过程中自动添加必要的括号．如对数1按的顺序计算，列式为：． (1)求对按的顺序运算后的结果； (2)对数按的顺序运算后，结果大于．请从下面的问题①和②中选择其中一个进行解答： ①直接写出的正整数值； ②求的取值范围． 易错必刷题五、一元一次不等式组的解集求参数 9．（2024八年级上·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 10．（23-24七年级下·广东中山·期末）对于两个关于x的不等式，若有且仅有两个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“双整”的．例如不等式和不等式只有1和2两个整数使得这两个不等式同时成立，所以不等式和不等式是“双整”的． (1)判断不等式和是否是“双整”的并说明理由； (2)若不等式和是“双整”的，求a的最大值． 易错必刷题六、解特殊不等式组 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知 （1）若，求m的值； （2）求关于的表达式； （3）若，求的值的取值范围． 12．（23-24六年级下·全国·单元测试）解不等式：． 解：根据“有理数的乘法法则”，即两数相乘，同号得正，可得①或②．由①，得，所以．由②，得，所以． 所以不等式的解集为或． 请你根据上面的解法解不等式：． 易错必刷题七、等边对等角 13．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，，线段的垂直平分线分别交及的延长线于点D，E，连接． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求的值． 易错必刷题八、根据等角对等边证明等腰三角形 15．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 16．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，已知直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 易错必刷题九、根据等角对等边求边长 17．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，一艘船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C、测得，．若这艘船继续向正北方向航行，则上午（　　）该船与灯塔C的距离最短． A．9时 B．10时 C．11时 D．12时 18．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，，可以由绕点C顺时针方向旋转得到，其中点与点A、点与点B是对应点，连接，且A，，在同一条直线上，求出，的长． 易错必刷题十、根据三线合一证明 19．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，D是的中点，E是上任意一点，连接，，试说明：． 易错必刷题十一、格点图中画等腰三角形 21．（24-25八年级上·云南昆明·期末）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B在格点上，点C也在格点上，若为等腰三角形，则图中符合条件的点C有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 22．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在方格纸中，，，是三个格点（网格线的交点叫做格点）． (1)请用无刻度直尺作图：过点画的垂线，垂足为点； (2)在（1）的条件下，画出绕点旋转后的图形． 易错必刷题十二、等边三角形的判定和性质 23．（2025·安徽合肥·一模）如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则它的面积是（   ）    A． B．12 C． D．24 24．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）如图，将等边和的一边重合放置，其中为中点．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，过点作于点． (2)如图2，过点作的平分线交于点． 易错必刷题十三、含30度角的直角三角形 25．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，中，，且A，B，D在同一条直线上，动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 26．（2025·广东珠海·一模）图1是我国古代提水的器具枯槔（），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶水平移动的距离（结果精确到米）．（参考数据：） 易错必刷题十四、在网格中判断直角三角形 27．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 28．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由． (2)在网格中画出； 易错必刷题十五、直角三角形的两个锐角互余 29．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图中，的度数为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级下·安徽池州·阶段练习）把一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，，求的度数． 易错必刷题十六、判断三边能否构成直角三角形 31．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．9，12，15 C．，， D．、、 32．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）已知：如图，，且，，，求证：． 易错必刷题十七、全等的性质和HL综合（HL） 33．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为(    ) A．2 B． C．4 D． 34．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，，求证：． 易错必刷题十八、利用勾股定理的逆定理求解 35．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，四边形中，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 36．（24-25八年级上·河南周口·期末）洛阳市慈善公园，坐落在牡丹桥西，与洛河南岸的牡丹公园仅隔一河一桥，其公园有一部分景区如图四边形所示．已知，． (1)求对角线的长． (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 易错必刷题十九、线段垂直平分线的性质与判定 37．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、， (1)求的长度； (2)求的长． 38．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，已知点D、E为的边上两点．，为了判断与的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 解：过点A作，垂足为H． ∵在中，（已知）（所作）， （等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）． 又（已知）， （______）． 即：______． 又∵，垂足为H（所作）， ∴垂直平分． （______）． （______）． 易错必刷题二十、作已知线段的垂直平分线 39．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，按以下步骤：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长是（   ） A．20 B．16 C．12 D．10 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形和四边形关于某条直线成轴对称，记这条直线为． (1)在图①中用直尺和圆规作出直线． (2)图中的对应线段所在的直线是否相交？如果相交，交点与对称轴有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在的直线与对称轴有什么位置关系？由此你能归纳出什么结论？ (3)根据②中的结论，如果只有一把无刻度的直尺，你还有别的方法可以画出直线吗？请你在图②中尝试一下． 易错必刷题二十一、列一元一次不等式（组） 41．（23-24七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天并超额完成任务，设他16天之后平均每天生产零件x个； (2)今年小明x岁、小强y岁、爷爷m岁，明年小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄． 42．（23-24七年级下·北京西城·阶段练习）阅读下面材料后，解答问题 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则：若，，则． 请解答下列问题： (1)①若则或 ___________； ②若则 ___________或 ___________； (2)根据上述规律，求不等式的解集． 易错必刷题二十二、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 43．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 44．（23-24八年级上·北京东城·期中）如图，在正方形网格中，若点A的坐标是，点B的坐标是． (1)图中点C的坐标是__________，点C关于x轴对称的点的坐标是__________； (2)将点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的点的坐标是__________，的面积为__________． 易错必刷题二十三、已知图形的平移，求点的坐标 45．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点A、B的坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是的边上的一点，经过平移后得到，，，的对应点分别为，，．点的对应点为． (1)写出，，三点的坐标； (2)在图中画出； (3)的面积为_____． 易错必刷题二十四、求旋转对称图形的旋转角度 47．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（   ） A． B． C． D． 48．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，正方形边长为2，以各边中心为圆心，1为半径依次作圆，将正方形分成四部分． (1)这个图形______（填“是”或“不是”）旋转对称图形；若是，则旋转中心是点______，最小旋转角是______； (2)求图形的周长和面积． 易错必刷题二十五、求绕原点旋转90度的点的坐标 49．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转到的位置，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级下·吉林·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出以点为旋转中心，按顺时针方向旋转后的； (2)在图中画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 易错必刷题二十六、已知两点关于原点对称求参数 51．（2024·广西南宁·一模）已知点与点关于原点对称，则的值为（　　） A．1 B． C．7 D． 52．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点，点与点，点与点分别是对应点，观察对应点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点A与点，点与点的坐标． (2)若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求的值． 易错必刷题二十七、求关于原点对称的点的坐标 53．（24-25七年级上·四川成都·期末）若点与点关于原点对称，则，的值分别为（     ） A．，2 B．3， C．， D．3，2 54．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，线段的两个端点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段； (2)画出线段关于点对称的线段； (3)在轴上标出一点，使得点在线段的垂直平分线上，写出点的坐标． 易错必刷题二十八、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 55．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（　　） A．3 B．5 C． D． 56．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在锐角三角形中，点为线段上一点，与关于点成中心对称． (1)直接写出图中所有相等的线段，并说明点在的什么位置； (2)若，，求线段的取值范围． 易错必刷题二十九、根据旋转的性质求解 57．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在一个的网格中，个单位正方形已经被2张L形和1张田字形纸片互不重叠地占据．有4个形状的纸片，均由4个单位正方形所组成．将这4个形状的纸片平移，旋转，能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（   ） A．a B．b C．c D．d 58．（2025七年级下·全国·专题练习）如图①，将一副直角三角尺中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住直角三角尺不动，将直角三角尺绕点按顺时针方向旋转，图②为旋转过程中的某一位置，当三点再一次共线时停止旋转，记． (1)当时，求直线与直线相交所成角的大小； (2)当时，求k的值； (3)当时，求k的值． 易错必刷题三十、利用平移解决实际问题 59．（24-25八年级下·海南海口·阶段练习）如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程（   ） A． B． C． D． 60．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图所示，某市公园有一块长方形绿地长20，宽16，在绿地中开辟三条等宽的道路后，剩余绿地的面积为224，求道路的宽x是多少米？ 易错必刷题三十一、旋转中的规律性问题 61．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 62．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 易错必刷题三十二、坐标与旋转规律问题 63．（23-24八年级下·河南安阳·期中）如图，在中顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 64．（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(﹣1，1)、B(0，﹣2)、C(1,0)，点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3， （1）在图中画出点P1、P2、P3； （2）继续将点P3绕点A旋转180°得到点P4，点P4绕点B旋转180°得到点P5，…，按此作法进行下去，则点P2020的坐标为　　． 易错必刷题三十三、中心对称图形规律问题 65．（23-24八年级上·山东济宁·阶段练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 66．（2024·江西赣州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称． （1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为　 　，　 　，　 　； （2）连接A1B2，求A1B2的长． 易错必刷题三十四、平移综合题(几何变换) 67．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图在平面直角坐标系中，已知点，．    (1)画出向上平移2个单位，再向左平移2个单位后所得的图形． (2)求平移A、B、O后的对应点、、的坐标； (3)求平移过程中扫过的面积． 68．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格上，其中点坐标为．    (1)写出点的坐标：（______，______）、（______，______）； (2)将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，请画出平移后的； (3)求的面积； (4)在轴正半轴上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 易错必刷题三十五、旋转综合应用 69．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，分别以正方形的边和为直径画两个半圆交于点，若正方形的边长为，求阴影部分的面积．    70．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 易错必刷题三十六、勾股定理逆定理的实际应用 71．（24-25八年级下·湖南娄底·阶段练习）已知： 四边形中， ，， ， ，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 72．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 主题：检测雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： 通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ 易错必刷题三十七、角平分线性质的实际应用 73．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)． 74．（23-24八年级下·广西北海·期中）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分交于点，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积． 易错必刷题三十八、角平分线的性质与判定定理 75．（24-25八年级下·内蒙古包头·阶段练习）在中，，点在上，，，垂足分别为，，且，求的长． 76．（24-25七年级下·全国·课后作业）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 易错必刷题三十九、一元一次不等式（组）实际综合应用 77．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）为了促进消费，甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，且各自推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费； 乙商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费． 若某顾客准备购买标价为元的商品． (1)在甲商场购买的优惠价为_____元，在乙商场购买的优惠价为_____元（均用含的式子表示） (2)乙商场为了吸引顾客，调整了优惠方案：购物价格累计超过元，但不超元，超出元的部分按付费；超过元，超出元的部分按付费，甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围． 78．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年3月份将产品的出厂价定为50元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销售数量． (1)求每件产品的生产成本价； (2)若在生产过程中，平均每生产1件产品产生的污水，为达到环保要求，工厂设计了如表所示的两种污水处理方案并准备实施． 方案 费用 1：排到污水处理厂处理 每处理污水需付12元排污费 2：本厂净化处理后排放 每月排污设备损耗费10000元，且每处理污水需付2元排污费 单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？ 易错必刷题四十、一元一次不等式与一次函数综合应用 79．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的不等式的解集是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当 ，． 80．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图；在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点A． (1)若点A的横坐标为2，求k的值； (2)若关于x 的不等式有且只有2个正整数解，直接写出k 的取值范围． 易错必刷题四十一、等腰三角形的性质和判定 81．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 82．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 1．（2025·陕西渭南·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃平凉·一模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（ ）米． A． B． C． D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿直线的方向向右平移后到达的位置，此时点与点重合，若的周长为，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围为 ． 7．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 8．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，某商场准备在门前台阶上铺设地毯，台阶的尺寸如图所示．已知这种地毯的批发价为40元，则购买地毯至少需要 元． 10．（24-25八年级上·浙江·期末）钱塘轮滑中心为杭州第19届亚运会轮滑、滑板比赛场馆，由亚运轮滑馆和亚运滑板公园两部分组成．如图，一名轮滑学生在轮滑训练馆沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，若米，则这名轮滑学生的高度下降了 米． 11．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知． (1)用直尺和圆规作的中垂线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若与分别相交于点，连接，且的面积比的面积小4，则的面积是多少？ 13．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）如图，三角形ABC在平面直角坐标系中． (1)若把三角形ABC先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点，，，写出点，，的坐标，并在图中画出平移后的图形． (2)求三角形ABC的面积． 14．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）某店铺销售一款可定制的纪念品，按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过200个的部分 3元/个 超过200个但不超过500个的部分 元/个 超过500个的部分 元/个 (1)若购买350个这款纪念品，需花费______元；若购买650个纪念品，花费______元． (2)某艺术团为纪念新年艺术演出活动，花了880元从该店铺定制了此次活动的纪念品，则该艺术团购买了多少个纪念品？ (3)艺术团团长看到可定制纪念品意义好，价格也比较合理，为宣传艺术团名声和打造品牌，决定定制一批艺术团的专有纪念品，后来看到专有纪念品受多人喜爱，又购进一批，两次共购买了850个，其中第二次购买的数量超过200个，且小于第一次购买的数量，两次共花费2430元，求第一次购买的数量． 15．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）数学兴趣小组发现这样一个模型：它由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 【操作探究】 已知：和都是等腰直角三角形，，，上的点在上沿着射线的方向运动． （1）如图1，当点在线段上运动，且时，连接，求的长； （2）如图2，当点运动到的延长线上，且时，的长为_____； 【迁移探究】 （3）如图3，的位置不变，将在同一平面内摆放，使得点不变，且，连接，，若，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$