专题04 二元一次方程组易错必刷题型专训（75题25个考点）-2024-2025学年六年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制2024）

专题04 二元一次方程组易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（24-25六年级下·上海长宁·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）若是二元一次方程，则 ． 3．（23-24六年级下·上海虹口·课后作业）根据下列语句，分别设出适当的未知数，列出二元一次方程（不求解）． (1)甲数的2倍比乙数的一半少3； (2)工厂加工一批机器零件，计划完成1088个，甲先做3天后乙再加入，两人共同再做6天刚好完成． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．（2025·上海松江·一模）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25六年级下·上海嘉定·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 6．（23-24六年级下·上海奉贤·阶段练习）已知和都是关于的二元一次方程的解． (1)求的值； (2)若是该方程的一个解，求的值． 【易错必刷三 代入消元法】 7．（23-24六年级下·上海静安·期末）解方程组时，把②代入①，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知是二元一次方程组的解，则 ． 9．（23-24六年级下·上海普陀·期末）解方程组： (1)； (2)． 【易错必刷四 加减消元法】 10．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）用加减法解方程组，下列解法正确的是（   ） A．①②消去 B．①②消去 C．①②消去 D．①②消去 11．（24-25六年级下·上海虹口·单元测试）对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则 ． 12．（24-25六年级下·上海虹口·阶段练习）解方程组：甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①．得． 乙：由②得，把①代入③． (1)老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_______（填“甲”或“乙”）．请将这个方法改正并解出该方程组的解； (2)请你参照甲、乙的解题范例，再写出一种解题思路，并完成解答． 【易错必刷五 判断是否是二元一次方程组】 13．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24六年级下·上海金山·期末）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解 ． 15．（23-24七年级·上海虹口·假期作业）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【易错必刷六 判断是否是二元一次方程组的解】 16．（23-24六年级下·上海崇明·期末）下列选项中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24六年级下·上海青浦·期末）是某个二元一次方程组的解，则这个方程组是 ． 18．（2024六年级下·上海宝山·模拟预测）已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 【易错必刷七 二元一次方程组的特殊解法】 19．（23-24六年级下·上海静安·期中）已知、满足，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．5 20．（23-24六年级下·上海宝山·期中）已知关于x，y的二元一次方程，其部分值如下表所示，则p的值是 ． x m y n t 8 p 21．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 【易错必刷八 构造二元一次方程组求解】 22．（23-24六年级下·上海闵行·期末）定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的减法和乘法运算．规定，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 23．（23-24六年级下·上海宝山·期中）已知，当时，y的值为2；当时，y的值为2，求当时，y的值 ． 24．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点和，关于的方程称为点P的“映射方程”． 若 是方程的解，则称点P“映射”了点Q，也可以说点Q被点P“映射”．例如，点的“映射方程”是，且 是该方程的解，则点 “映射”了点，也可以说点被点 “映射”． (1)请写出点的“映射方程”： ； (2)若点同时被点和点“映射”，请求出． 【易错必刷九 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 25．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）若方程组的解中与的值互为相反数，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（23-24六年级下·上海奉贤·期末）关于，的方程组的解满足，则的值为 27．（24-25六年级下·上海虹口·课后作业）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 【易错必刷十 根据实际问题列二元一次方程组】 28．（24-25六年级下·上海虹口·随堂练习）为积极响应国家“双碳”目标，进一步加强劳动及美育教育，某班组织学生参加植树活动，男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，女生植树数量比男生植树数量少24棵，设女生植树x棵，男生植树y棵，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 29．（23-24六年级下·上海金山·期末）一个自行车厂有名工人，如果每人每天能生产车架个或生产车圈个，已知一个车架配两个车圈，应将工人如何分配，才能使每天生产的车架和车圈恰好配套设安排个工人生产车圈，个工人生产车架，由题意可列方程组： ． 30．（23-24六年级下·上海松江·阶段练习）如图，这是Excel工作表的一部分，字母A－E依次表示列，数1－5依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n． A B C D E 1 x 2 a 3 w 4 y 5 (1)若a＝8，x＝12，y＝9，求m，n的值． (2)若w＝0，求x与a的数量关系． 【易错必刷十一 根据几何图形列二元一次方程组】 31．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块小长方形地砖的面积等于（    ） A．625 B．650 C．675 D．700 32．（23-24六年级下·上海闵行·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”设这些小长方形的长和宽分别为和，则依题意可列二元一次方程组为 ．      33．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 【易错必刷十二 方案问题】 34．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）某超市用600元同时购进了单价分别为30元和20元的A、B两种商品，且购进的A种商品不少于10件，则该超市的购进方案有（    ）． A．4种 B．5种 C．9种 D．10种 35．（23-24六年级下·上海徐汇·阶段练习）有一条长度为的铜管料，把它锯成长度分别为和两种不同规格的小铜管（要求没有余料），每锯一次损耗的铜管料，为了使铜管料的损耗最少，应分别锯成的小铜管 段，的小铜管 段． 36．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车向内地运输蔬菜，租用这两种货车的部分信息如下表： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 2辆 5辆 (1)求1辆中型车和1辆大型车满载一次各运输蔬菜的吨数； (2)若蔬菜种植基地计划一次运完蔬菜，且恰好每辆车都装满． （i）请你帮该蔬菜种植基地设计租车方案； （ii）若中型车每辆需租金1000元/次，大型车每辆需租金1500元/次，请你帮该蔬菜种植基地计划最少租车费是多少元？此时租车方案是什么？ 【易错必刷十三 行程问题】 37．（23-24六年级下·上海虹口·期末）我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 38．（23-24六年级下·上海崇明·阶段练习考试）一艘轮船顺流航行，每小时行；逆流航行，每小时行．则轮船在静水中的速度为 ，水流速度为 ． 39．（24-25六年级下·上海杨浦·阶段练习）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 【易错必刷十四 工程问题】 40．（23-24六年级下·上海虹口·课后作业）甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（    ） A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380 41．（23-24六年级下·上海嘉定·单元测试）甲、乙两队筑一条路，甲队每天筑千米，乙队每天筑千米，甲队筑5天和乙队筑4天共完成110千米，甲队筑3天的路正好是乙队筑2天的路，可列方程组 ． 42．（24-25六年级下·上海松江·课后作业）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【易错必刷十五 数字问题】 43．（23-24六年级下·上海宝山·阶段练习考试）如果甲数的小数点向左移动两位就比乙数少，则原来甲数是乙数的（   ） A．60倍 B．50倍 C．40倍 D．30倍 44．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是 ． 45．（23-24六年级下·上海静安·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【易错必刷十六 年龄问题】 46．（23-24六年级下·上海闵行·期末）甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 47．（2024·上海静安·一模）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁． 48． （2025·上海宝山·模拟预测） 12月1日上午，2024 上海马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄. 【易错必刷十七 分配问题】 49．（23-24六年级下·上海长宁·期末）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 50．（2024六年级下·上海宝山·模拟预测）用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示） 51．（23-24六年级下·上海虹口·课后作业）某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 【易错必刷十八 销售、利润问题】 52．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）根据所给信息，则买一只玩具小猫和一只玩具小狗需要（   ） A．30元 B．35元 C．40元 D．34元 53．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）根据如图中两人的对话记录可知，篮球的原价（打折前的价格）为 元． 54．（23-24六年级下·上海虹口·期末）为丰富学生的社会实践活动，八年级（1）班开展了一次水果售卖体验活动．其中第一小组花380元从水果批发市场批发了苹果和桔子共50千克到零售市场售卖，苹果和桔子当天的批发价与零售价如下表所示： 价格水果种类 批发价（元／千克） 零售价（元／千克） 苹果 6 8.4 桔子 10 13 (1)第一小组当天批发苹果和桔子各多少千克？（要求用二元一次方程组解决问题） (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚多少元？ 【易错必刷十九 和差倍分问题】 55．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ） A． B． C． D． 56．（23-24六年级下·上海闵行·期末）假设某地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满.2020年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过 小时车库恰好停满． 57．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售(规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电)，下表为每辆汽车装运甲、乙两种家电的台数．若用8辆汽车装运甲、乙两种家电300台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？（用二元一次方程组解决） 家电种类 甲 乙 每辆汽车能装满的台数 30 40 【易错必刷二十 几何问题】 58．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）利用边长为的正方形和两边长为的长方形，构造出如图所示的两个大正方形，则的值为（    ） A． B．25 C． D．30 59．（23-24六年级下·上海宝山·阶段练习）长，宽的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为 ．    60．（24-25六年级下·上海金山·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 【易错必刷二十一 图表信息题】 61．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行各列到及对角线上的三个数之和都相等，则（    ） A．5 B．4 C．6 D．8 62．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）每年5月的第二个星期日为母亲节．母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知一束鲜花的价格是 元； 63．（23-24六年级下·上海奉贤·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案．   【易错必刷二十二 古代问题】 64．（23-24六年级下·上海宝山·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（   ） A．4定绢价50贯，3定布价90贯 B．4定绢价90贯，3定布价50贯 C．4定布价90贯，3定绢价50贯 D．4定布价50贯，3定绢价90贯 65．（24-25六年级下·上海虹口·随堂练习）《九章算术》是我国古代的数学著作，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．那么学生人数为 人，该书的单价为 元． 66．（23-24六年级下·上海松江·期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语） 【易错必刷二十三 其他问题】 67．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为，下列说法： ①两根铁棒的长度和为； ②其中一根铁棒长度为； ③两根铁棒的长度和为； ④其中一根铁棒露出水面的长度为． 其中说法正确的个数为（    ）    A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 68．（24-25六年级下·上海虹口·单元测试）嘉嘉、祥祥、浩浩三人玩踢球游戏，他们在地面上画了两个圆，圆心重合，然后各自从指定地点踢四次，规定小圆内为区，小圆与大圆之间为区，且在同一区域内的得分相同（若球的最终位置在圆上或大圆外则重踢）．嘉嘉和浩浩的得分情况如图所示（圆内黑点为球的最终位置），则祥祥的得分是 ． 69．（23-24六年级下·上海松江·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功!小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．请根据以下两位同学的对话求出甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 小星：我买了1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型，共花了40元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． 【易错必刷二十四 二元一次方程组的新定义计算】 70．（23-24六年级下·上海长宁·期末）定义一种新运算“※”，规定，其中a，b为常数，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 71．（23-24六年级下·上海青浦·期末）定义一种新运算“”：．若有，，则 ． 72．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【易错必刷二十五 方程组相同解问题】 73．（23-24六年级下·上海静安·阶段练习）已知方程组与有相同的解，则，的值为（   ） A． B． C． D． 74．（24-25六年级下·上海虹口·单元测试）若关于x，y的二元一次方程与有相同的解，则这个相同的解是 ． 75．（24-25六年级下·上海闵行·阶段练习）已知关于，的方程组和的解相同，试求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（24-25六年级下·上海长宁·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数且未知数的次数都为1的整式方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； B、是二元一次方程，符合题意； C、的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； D、含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：B 2．（24-25六年级下·上海宝山·阶段练习）若是二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组；由定义得，求出、，即可求解；理解二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， ； 故答案为：． 3．（23-24六年级下·上海虹口·课后作业）根据下列语句，分别设出适当的未知数，列出二元一次方程（不求解）． (1)甲数的2倍比乙数的一半少3； (2)工厂加工一批机器零件，计划完成1088个，甲先做3天后乙再加入，两人共同再做6天刚好完成． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列二元一次方程．根据题意列出二元一次方程即可． （1）设甲数为a，乙数为b，根据甲数的2倍比乙数的一半少3列出二元一次方程即可． （2）设甲每天做x个，乙每天做y个，根据甲一共做了9天，乙做了6天，根据两人完成1088个列出二元一次方程即可． 【详解】（1）解：设甲数为a，乙数为b， 根据题意得： （2）解：设甲每天做x个，乙每天做y个， 根据题意得： 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．（2025·上海松江·一模）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解计算判断即可． 本题考查了方程组的解，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：令，①＋②，得， 解得， 将代入①， 得， 解得， ∴该方程组的解为， 故选：A． 5．（24-25六年级下·上海嘉定·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， 将代入得：， 解得：， 故答案为：2． 6．（23-24六年级下·上海奉贤·阶段练习）已知和都是关于的二元一次方程的解． (1)求的值； (2)若是该方程的一个解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解， （1）根据和都是关于x、y的二元一次方程的解，得出，问题随之得解； （2）根据也是方程的解，得出，求出b的值即可． 【详解】（1）依题意得：， ， 解得； （2）由（1）得：， 是方程的一个解， 即． 【易错必刷三 代入消元法】 7．（23-24六年级下·上海静安·期末）解方程组时，把②代入①，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用代入法解一元一次方程组，将②代入①整理即可得出答案． 【详解】解：， 把②代入①得，， 去括号得，． 故选：A． 8．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知是二元一次方程组的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及其解法，解题的关键是正确求解方程组．利用二元一次方程组的解先求出m，n的值，再求的值． 【详解】解：把代入，得， 解得， 所以， 故答案为． 9．（23-24六年级下·上海普陀·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解的定义，掌握方程组的解的定义是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可． （2）利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1） ，③ 得，， 解得， 将代入，得 ∴方程组的解是； （2） 解：由得：③ 由得：，代入③得， 解得 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解是． 【易错必刷四 加减消元法】 10．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）用加减法解方程组，下列解法正确的是（   ） A．①②消去 B．①②消去 C．①②消去 D．①②消去 【答案】D 【分析】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法， 用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元． 根据加减消元法解二元一次方程组逐项判断即可解答． 【详解】解：A、①②，不能消去x，故选项错误，不符合题意； B、①②，不能消去y，故选项错误，不符合题意； C、①②，不能消去x，故选项错误，不符合题意； D、①②，消去y，故选项正确，符合题意． 故选D． 11．（24-25六年级下·上海虹口·单元测试）对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则 ． 【答案】11 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出m与n的值，代入，再把代入计算即可求出值． 【详解】∵，， ∴根据题中的新运算，得 解得 ∴， ∴． 故答案为：11 12．（24-25六年级下·上海虹口·阶段练习）解方程组：甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①．得． 乙：由②得，把①代入③． (1)老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_______（填“甲”或“乙”）．请将这个方法改正并解出该方程组的解； (2)请你参照甲、乙的解题范例，再写出一种解题思路，并完成解答． 【答案】(1)甲，解题过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关键． （1）根据甲二元一次方程组的方法验证甲、乙同学的计算方法即可求解； （2）运用代入法计算即可求解． 【详解】（1）解：②①得，， ∴出错的是甲同学， 正确解题过程：②①得，， 解得，， 把代入①得，， 整理得，， 解得，， ∴原方程组的解为， 故答案为：甲； （2）解：， 由①得，③， 把③代入②得，， 整理得，， 解得，， 把代入③得，， ∴原方程组的解为． 【易错必刷五 判断是否是二元一次方程组】 13．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的判断，准确分析是解题的关键．根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程判断即可． 【详解】解：A、中，未知数的最高次数是，故A选项不符合题意； B、中，有个未知数，故B选项不符合题意； C、是二元一次方程组，故C选项符合题意； D、中未知数在分母上，故D选项不符合题意； 故选：C． 14．（23-24六年级下·上海金山·期末）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：依题意，∵ ∴满足二元一次方程组，使该方程组无解． 故答案为：（答案不唯一） 15．（23-24七年级·上海虹口·假期作业）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 【易错必刷六 判断是否是二元一次方程组的解】 16．（23-24六年级下·上海崇明·期末）下列选项中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将四个选项中的x，y分别代入，判断等号两边是否相等即可． 【详解】解：当，时，，不是的解，A选项不合题意； 当，时，，不是的解，B选项不合题意； 当，时，，是的解，C选项符合题意； 当，时，，不是的解，D选项不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程的解的定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的一组解． 17．（23-24六年级下·上海青浦·期末）是某个二元一次方程组的解，则这个方程组是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕列一组算式，如1+3=4，1-3=-2，然后用x，y代换，得． 【详解】解：先围绕列一组算式， 如1+3=4，1-3=-2， 然后用x、y代换，得 ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，所谓方程组的解，指的是该组解满足方程组中的每一方程． 18．（2024六年级下·上海宝山·模拟预测）已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）将三对值代入方程判断即可得到解； （2）将三对值代入方程判断即可得到解； （3）找出两方程的公共解，即为方程组的解． 【详解】（1）解：将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； （2）解：将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； （3）解：两方程的公共解为， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【易错必刷七 二元一次方程组的特殊解法】 19．（23-24六年级下·上海静安·期中）已知、满足，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．把两个方程的左右两边分别相加即可求出的值． 【详解】解：， ，得， ∴． 故选D． 20．（23-24六年级下·上海宝山·期中）已知关于x，y的二元一次方程，其部分值如下表所示，则p的值是 ． x m y n t 8 p 【答案】13 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．由表格得，求解即可． 【详解】将表中数据代入方程，得， 由②，得， 将①代入③，得，即， 故答案为：13． 21．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用换元法进行变形得，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：设，， 方程组变形得： 整理得： 得：， 即， 把代入①得：， ∴， ，得， 解得， 把代入，解得， 解得：． 【易错必刷八 构造二元一次方程组求解】 22．（23-24六年级下·上海闵行·期末）定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的减法和乘法运算．规定，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新运算得，解得，再根据新运算法则计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴ 解得：， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握新运算法则求出m，n的值． 23．（23-24六年级下·上海宝山·期中）已知，当时，y的值为2；当时，y的值为2，求当时，y的值 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用，根据题意把，y的值为2；当时，y的值为2代入求出，再将代入计算即可，正确解方程组是解题关键． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ， 当时，， 故答案为：6． 24．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点和，关于的方程称为点P的“映射方程”． 若 是方程的解，则称点P“映射”了点Q，也可以说点Q被点P“映射”．例如，点的“映射方程”是，且 是该方程的解，则点 “映射”了点，也可以说点被点 “映射”． (1)请写出点的“映射方程”： ； (2)若点同时被点和点“映射”，请求出． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干定义，得； （2）由题干定义，可构建方程组，求解方程组即得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：由题意可列方程组：， 解得． 【点睛】本题考查对新定义的理解，二元一次方程组的应用；根据新定义构建方程组是解题的关键． 【易错必刷九 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 25．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）若方程组的解中与的值互为相反数，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是已知二元一次方程组的解求参数，二元一次方程的解法，由与的值互为相反数，可得，再代入原方程组求解即可． 【详解】解：∵方程组的解中与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故选B 26．（23-24六年级下·上海奉贤·期末）关于，的方程组的解满足，则的值为 【答案】3 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解本题的关键．由可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：3 27．（24-25六年级下·上海虹口·课后作业）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，可得，然后列出关于a的方程求解即可． 【详解】解：， ，得，即， 把代入，得， 解得， 的值为5． 【易错必刷十 根据实际问题列二元一次方程组】 28．（24-25六年级下·上海虹口·随堂练习）为积极响应国家“双碳”目标，进一步加强劳动及美育教育，某班组织学生参加植树活动，男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，女生植树数量比男生植树数量少24棵，设女生植树x棵，男生植树y棵，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 设女生植树x棵，男生植树y棵，根据男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，女生植树数量比男生植树数量少24棵，列方程组求解即可． 【详解】解：设女生植树x棵，男生植树y棵，根据题意得： 故选：B． 29．（23-24六年级下·上海金山·期末）一个自行车厂有名工人，如果每人每天能生产车架个或生产车圈个，已知一个车架配两个车圈，应将工人如何分配，才能使每天生产的车架和车圈恰好配套设安排个工人生产车圈，个工人生产车架，由题意可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设安排个工人生产车圈，个工人生产车架，根据题意列出二元一次方程，即可求解． 【详解】设安排个工人生产车圈，个工人生产车架，由题意可列方程组 ， 故答案为：． 30．（23-24六年级下·上海松江·阶段练习）如图，这是Excel工作表的一部分，字母A－E依次表示列，数1－5依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n． A B C D E 1 x 2 a 3 w 4 y 5 (1)若a＝8，x＝12，y＝9，求m，n的值． (2)若w＝0，求x与a的数量关系． 【答案】(1)； (2)x＝2a 【分析】（1）根据题意表示相邻数字，找等量关系列方程组，解方程组即可； （2）根据题意可列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：由已知得： 解得： ∴m、n的值分别为3、2 （2）解：由已知得： 解得：x＝2a． ∴x与a的数量关系为x＝2a． 【点睛】本题考查了用二元一次方程组解决问题，解题的关键是理解题意列出方程组． 【易错必刷十一 根据几何图形列二元一次方程组】 31．（23-24六年级下·上海徐汇·期中）八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块小长方形地砖的面积等于（    ） A．625 B．650 C．675 D．700 【答案】C 【分析】设小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解得x、y的值，再求面积即可． 【详解】设小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm， 依题意得，， 解得， ∴xy=675， ∴每块小长方形地砖的面积等于675， 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 32．（23-24六年级下·上海闵行·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”设这些小长方形的长和宽分别为和，则依题意可列二元一次方程组为 ．      【答案】 【分析】设小长方形长为，宽为，由图1、图2中的数量关系列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设小长方形长为，宽为， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 33．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 【答案】三个小长方形花圃的总面积为24m2 【分析】设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于 x 、 y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据题意得： ， 解得： ， ∴小长方形花圃的长为 4m ，小长方形花圃的宽为 2m ， 三个小长方形花圃的总面积为：3×（4×2）=24m2， 答：三个小长方形花圃的总面积为24m2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于 x 、 y 的二元一次方程组是解题的关键． 【易错必刷十二 方案问题】 34．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）某超市用600元同时购进了单价分别为30元和20元的A、B两种商品，且购进的A种商品不少于10件，则该超市的购进方案有（    ）． A．4种 B．5种 C．9种 D．10种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买A商品x件，购买B商品y件，根据用600元同时购进了单价分别为30元和20元的A、B两种商品列二元一次方程，结合购进的A种商品不少于10件求解即可． 【详解】解：设购买A商品x件，购买B商品y件，由题意，得 ， ∴， ∵进的A种商品不少于10件， ∴，，，，， 故选B． 35．（23-24六年级下·上海徐汇·阶段练习）有一条长度为的铜管料，把它锯成长度分别为和两种不同规格的小铜管（要求没有余料），每锯一次损耗的铜管料，为了使铜管料的损耗最少，应分别锯成的小铜管 段，的小铜管 段． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，设应分别锯成的小铜管段，的小铜管段．可列方程得，根据为整数即可求解． 【详解】解：设应分别锯成的小铜管段，的小铜管段． 则损耗的铜管料为： ∵铜管料总长为， ∴ 可得： ∵为整数， ∴；或 ∴应该别锯成的小铜管段，的小铜管段． 故答案为：①② 36．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车向内地运输蔬菜，租用这两种货车的部分信息如下表： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 2辆 5辆 (1)求1辆中型车和1辆大型车满载一次各运输蔬菜的吨数； (2)若蔬菜种植基地计划一次运完蔬菜，且恰好每辆车都装满． （i）请你帮该蔬菜种植基地设计租车方案； （ii）若中型车每辆需租金1000元/次，大型车每辆需租金1500元/次，请你帮该蔬菜种植基地计划最少租车费是多少元？此时租车方案是什么？ 【答案】(1)1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜 (2)（i）该蔬菜种植基地有3种租车方案．方案1：租用中型车14辆，大型车3辆；方案2：租用中型车9辆，大型车6辆；方案3：租用中型车4辆，大型车9辆．（ii）最少租车费为17500元，此时租车方案是租用中型车4辆，大型车9辆 【分析】（1）设1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜．根据题意，列出方程，解答即可． （2）（i）设租用中型车辆，大型车辆．根据题意，得，求方程的整数解即可得到答案；（ii）依次计算，比较解答即可． 本题考查了方程组的应用——方案问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜． 根据题意，得     解得 答：1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜． （2）（i）设租用中型车辆，大型车辆． 根据题意，得， 整理，得． ∵，均为正整数， ∴或或 ∴该蔬菜种植基地有3种租车方案． 方案1：租用中型车14辆，大型车3辆； 方案2：租用中型车9辆，大型车6辆； 方案3：租用中型车4辆，大型车9辆． （ii）当，时，租车费用为（元）． 当，时，租车费用为（元）． 当，时，租车费用为（元）． ∵， ∴最少租车费为17500元，此时租车方案是租用中型车4辆，大型车9辆． 【易错必刷十三 行程问题】 37．（23-24六年级下·上海虹口·期末）我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 由题意可得， 两式相加可得， 解得：， 故这对轮胎最多可以行驶公里， 故选：D． 38．（23-24六年级下·上海崇明·阶段练习考试）一艘轮船顺流航行，每小时行；逆流航行，每小时行．则轮船在静水中的速度为 ，水流速度为 ． 【答案】 18 2 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设轮船在静水中的速度为，水流速度为，根据顺流速度等于静水速度加上水速，逆流速度等于静水速度减去水速，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为，由题意，得： ，解得：； 故答案为：． 39．（24-25六年级下·上海杨浦·阶段练习）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 【答案】(1)快车、慢车的速度分别为 (2)1小时或者3小时 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程的应用； （1）设快车、慢车的速度分别为根据题意列出方程组，方程组即可求解． （2）设时间为小时，根据相距100千米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设快车、慢车的速度分别为则由题意，得 解得 答：快车、慢车的速度分别为． （2）设解：时间为小时，则由题意，得 或 解得或 答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距． 【易错必刷十四 工程问题】 40．（23-24六年级下·上海虹口·课后作业）甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（    ） A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380 【答案】A 【分析】根据题意设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件，根据甲、乙两个工人，按计划本月应共生产680个零件，实际甲超额20%、乙超额15%，因此两人一共多生产118个零件列出方程组，求出方程组的解即可得到结果． 【详解】解：设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件， 根据题意得：， 解得：，即原计划甲生产320个零件，乙生产360个零件． 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意设未知数并找出题中的等量关系是解答本题的关键． 41．（23-24六年级下·上海嘉定·单元测试）甲、乙两队筑一条路，甲队每天筑千米，乙队每天筑千米，甲队筑5天和乙队筑4天共完成110千米，甲队筑3天的路正好是乙队筑2天的路，可列方程组 ． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组即可； 【详解】由题意可得：； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键． 42．（24-25六年级下·上海松江·课后作业）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【答案】甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果． 【详解】解：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方， 乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方， 根据题意，得 解得： 所以，甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【易错必刷十五 数字问题】 43．（23-24六年级下·上海宝山·阶段练习考试）如果甲数的小数点向左移动两位就比乙数少，则原来甲数是乙数的（   ） A．60倍 B．50倍 C．40倍 D．30倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设甲数为x，乙数为y，甲数的小数点向左移动两位变为，根据甲数的小数点向左移动两位就比乙数少列出等式，进行运算即可． 【详解】解：设甲数为x，乙数为y，根据题意得： ， 解得：， 即甲数为乙数的40倍， 故选：C． 44．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为：或， 最右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴与的积为， 故答案为：20． 45．（23-24六年级下·上海静安·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 【易错必刷十六 年龄问题】 46．（23-24六年级下·上海闵行·期末）甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 【答案】C 【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁． 根据题意，得， 解得， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键． 47．（2024·上海静安·一模）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁． 【答案】70 【分析】设爷爷是x岁，小民是y岁，根据题意描述的关系，得出二元一次方程组，求解即可． 【详解】设爷爷现在x岁，小民现在y岁， 根据题意：， 解得：， 故答案为：70． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 48． （2025·上海宝山·模拟预测） 12月1日上午，2024 上海马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄. 【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁． 【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁， 根据题意得： 解得： ． 答：今年妹妹6岁，哥哥10岁． 【易错必刷十七 分配问题】 49．（23-24六年级下·上海长宁·期末）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设安排x名工人加工型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正好配套，50天恰好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论． 【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故选：B． 50．（2024六年级下·上海宝山·模拟预测）用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据盒子的结构确定等量关系是解题的关键；由题意列出方程组可求解． 【详解】解：根据题意得：， ①+②得：， ∴． 故答案为：． 51．（23-24六年级下·上海虹口·课后作业）某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 【答案】甲种小盒40个，乙种小盒60个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个，根据将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲种小盒40个，乙种小盒60个． 【易错必刷十八 销售、利润问题】 52．（24-25六年级下·上海徐汇·阶段练习）根据所给信息，则买一只玩具小猫和一只玩具小狗需要（   ） A．30元 B．35元 C．40元 D．34元 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设购买一只玩具小猫需要x元，一只玩具小狗需要y元，则根据题意可得，然后问题可求解． 【详解】解：设购买一只玩具小猫需要x元，一只玩具小狗需要y元，由题意得： ， 得：， ∴， ∴购买一只玩具小猫和一只玩具小狗需要40元； 故选C． 53．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）根据如图中两人的对话记录可知，篮球的原价（打折前的价格）为 元． 【答案】140 【分析】设篮球的原价（打折前的价格）为x元，足球的原价（打折前的价格）为y元，根据打折前、后购买篮球和足球的价格之和，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设篮球的原价（打折前的价格）为x元，足球的原价（打折前的价格）为y元，根据题意得： ， 解得：， ∴篮球的原价（打折前的价格）为140元． 故答案为：140． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 54．（23-24六年级下·上海虹口·期末）为丰富学生的社会实践活动，八年级（1）班开展了一次水果售卖体验活动．其中第一小组花380元从水果批发市场批发了苹果和桔子共50千克到零售市场售卖，苹果和桔子当天的批发价与零售价如下表所示： 价格水果种类 批发价（元／千克） 零售价（元／千克） 苹果 6 8.4 桔子 10 13 (1)第一小组当天批发苹果和桔子各多少千克？（要求用二元一次方程组解决问题） (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚多少元？ 【答案】(1)第一小组当天批发苹果30千克，批发桔子20千克 (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚132元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用知识点，解题的关键是根据题目中的条件找到合适的等量关系，列出二元一次方程组并求解． （1）设批发苹果千克，批发桔子千克．题目中存在两个等量关系，一是苹果和桔子共 50 千克，可列方程；二是批发苹果和桔子总共花费 380 元，根据批发价可列方程．联立这两个方程组成方程组，通过消元法求解即可得； （2）利润=售价-成本，通过计算每种商品的利润再求和，可得到总利润． 【详解】（1）设第一小组当天批发苹果千克，批发桔子千克， 根据题意，得， 解这个方程组，得． 答：第一小组当天批发苹果30千克，批发桔子20千克 （2）（元）． 答：该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚132元． 【易错必刷十九 和差倍分问题】 55．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设每块巧克力的质量为克，每个果冻的质量为克，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每块巧克力的质量为克，每个果冻的质量为克， 由题意，得：，解得：， ∴一块巧克力的质量为； 故选：A． 56．（23-24六年级下·上海闵行·期末）假设某地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满.2020年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过 小时车库恰好停满． 【答案】 【分析】设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，车位总数为a，然后根据题意可列方程组进行求解． 【详解】解：设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，车位总数为a，由题意得： ， 解得：， 则（小时）； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 57．（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售(规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电)，下表为每辆汽车装运甲、乙两种家电的台数．若用8辆汽车装运甲、乙两种家电300台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？（用二元一次方程组解决） 家电种类 甲 乙 每辆汽车能装满的台数 30 40 【答案】装运甲家电的汽车有2辆，装运乙家电的汽车有6辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．设装运甲家电的汽车有x辆，装运乙家电的汽车有y辆．根据题目中的等量关系列出方程组，求解即可． 【详解】设装运甲家电的汽车有x辆，装运乙家电的汽车有y辆． 根据题意，得 解得 . 答：装运甲家电的汽车有2辆，装运乙家电的汽车有6辆． 【易错必刷二十 几何问题】 58．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）利用边长为的正方形和两边长为的长方形，构造出如图所示的两个大正方形，则的值为（    ） A． B．25 C． D．30 【答案】D 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，熟练的利用图形性质建立方程组是解本题的关键． 根据题意得到，进而求解即可． 【详解】根据题意得， 整理得， ∴ 解得． 故选：D． 59．（23-24六年级下·上海宝山·阶段练习）长，宽的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为 ．    【答案】28 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列得方程组是解题的关键：设小长方形的长为，宽为，根据图形列得，求出x，y的值即可得到小长方形的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，则 解得， ∴一个小长方形花圃的面积为， 故答案为：28． 60．（24-25六年级下·上海金山·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 【答案】小长方形花坛的长为，宽为 【分析】设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为．构造方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为． 根据题意，得     解得 答：小长方形花坛的长为，宽为． 【易错必刷二十一 图表信息题】 61．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行各列到及对角线上的三个数之和都相等，则（    ） A．5 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据图中各行、各列上的三个数之和都相等，即可得出关于的二元一次方程组，求解后即可得出的值． 【详解】解：依题意得：， 解得， ∴． 故选：C． 62．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）每年5月的第二个星期日为母亲节．母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知一束鲜花的价格是 元； 【答案】15 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设一束鲜花的价格为x元，一个礼盒的价格为y元，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设一束鲜花的价格为x元，一个礼盒的价格为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：一束鲜花的价格为15元． 故答案为：15 63．（23-24六年级下·上海奉贤·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 【答案】(1)a，b的值分别为800，600 (2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可． （2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数． 【详解】（1）解：由题意得   解得： ∴a，b的值分别为800，600； （2）由题意得捐款总额为：（元） 设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y； 可得：；整理得：， 即； 又∵x、y均为正整数 ， ∴    ； 即方案一：中学生7人，小学生4人； 方案二：中学生4人，小学生8人； 方案三：中学生1人，小学生12人； 【易错必刷二十二 古代问题】 64．（23-24六年级下·上海宝山·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（   ） A．4定绢价50贯，3定布价90贯 B．4定绢价90贯，3定布价50贯 C．4定布价90贯，3定绢价50贯 D．4定布价50贯，3定绢价90贯 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，古代数学问题，根据题意列出方程组是解题的关键． 设有绢定，布定，根据方程组中求解即可． 【详解】设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组 ∵ ∴题中用“……，……”表示的缺失条件应为4定绢价90贯，3定布价50贯． 故选：B． 65．（24-25六年级下·上海虹口·随堂练习）《九章算术》是我国古代的数学著作，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．那么学生人数为 人，该书的单价为 元． 【答案】 7 53 【分析】本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键．设有学生x人，书的价格为y元，根据题意，得，解方程组即可． 【详解】解：设有学生x人，书的价格为y元，根据题意，得： ， 解得． 即有学生7人，书的价格为53元， 故答案为：7，53． 66．（23-24六年级下·上海松江·期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语） 【答案】有个人，两银子 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．设有个人，两银子，根据每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设有个人，两银子， 根据题意，得， 解得：， 答：有个人，两银子． 【易错必刷二十三 其他问题】 67．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为，下列说法： ①两根铁棒的长度和为； ②其中一根铁棒长度为； ③两根铁棒的长度和为； ④其中一根铁棒露出水面的长度为． 其中说法正确的个数为（    ）    A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，因为两根铁棒之差为，故可得方程：，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程，把两个方程联立，组成方程组，解方程组可得两根铁棒的长度，再逐项判断即可． 【详解】解：设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，由题意得： 解得，， ∴较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，故②正确； ∴两根铁棒的长度和为，故①正确，③不正确； ∴较长铁棒露出水面的长度为，较短铁棒露出水面的长度为，故④正确， 因此正确的结论是①②④，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解． 68．（24-25六年级下·上海虹口·单元测试）嘉嘉、祥祥、浩浩三人玩踢球游戏，他们在地面上画了两个圆，圆心重合，然后各自从指定地点踢四次，规定小圆内为区，小圆与大圆之间为区，且在同一区域内的得分相同（若球的最终位置在圆上或大圆外则重踢）．嘉嘉和浩浩的得分情况如图所示（圆内黑点为球的最终位置），则祥祥的得分是 ． 【答案】分 【分析】设落在区得分，落在区得分，根据嘉嘉和浩浩的得分情况，列出二元一次方程组，解方程组，得出区的得分，结合图形，即可求解． 【详解】设落在区得分，落在区得分， 根据题意，得解得 祥祥的得分是（分）． 故答案为：分． 69．（23-24六年级下·上海松江·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功!小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．请根据以下两位同学的对话求出甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 小星：我买了1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型，共花了40元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． 【答案】甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． 设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解之即可； 【详解】解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元． 【易错必刷二十四 二元一次方程组的新定义计算】 70．（23-24六年级下·上海长宁·期末）定义一种新运算“※”，规定，其中a，b为常数，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解新运算法则是解题关键．根据已知等式列方程组，求出、的值，再计算求值即可． 【详解】解：，且， ，解得：， ， ， 故选：B 71．（23-24六年级下·上海青浦·期末）定义一种新运算“”：．若有，，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．根据已知新运算列二元一次方程组，求出、的值，得到，再计算求值即可． 【详解】解：，，， ，解得：， ， ， 故答案为：11 72．（24-25六年级下·上海奉贤·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了定义新运算、解二元一次方程组，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算，结合，列出方程组即可求解； （2）先根据新运算法则列出关于x，y的方程组，用含的式子表示出，再根据即可求出m的值． 【详解】（1）解：，， ， 解得：． （2）解：由题意得，， 解得：， ， ， 解得：， 的值为0． 【易错必刷二十五 方程组相同解问题】 73．（23-24六年级下·上海静安·阶段练习）已知方程组与有相同的解，则，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出a，b的值即可． 【详解】解：由题意，得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴； 故选：D． 74．（24-25六年级下·上海虹口·单元测试）若关于x，y的二元一次方程与有相同的解，则这个相同的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据题意解出方程组即可． 【详解】解：由题意知，这个相同的解就是方程组的解， 解得：． 故答案为： ． 75．（24-25六年级下·上海闵行·阶段练习）已知关于，的方程组和的解相同，试求的值． 【答案】25 【分析】方程组的解满足方程组中每一个方程，则两个方程组中的四个方程是同解方程，则将其中两个不含字母、的方程组成一个新的方程组；利用加减消元法对方程组进行求解，即可得到、的值；根据两个方程组同解，则可将、的值代入含有参数的方程组中，即可得到关于、的方程组，据此通过加减消元法的知识即可求出、的值，然后求出的值．本题主要考查方程组同解的问题，解决本题的关键是明确方程组的解的定义． 【详解】解：∵关于，的方程组和的解相同， ∴， 解得， 则是方程组的解， 故可得， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$