2.3专题：圆周运动实例和临界问题 导学案-2024-2025学年高一下学期物理教科版（2019）必修第二册

圆周运动实例和临界问题 基础知识精讲 知识点（一）水平面内的圆周运动实例 1． 定义：物体在水平面内做匀速圆周运动，受力方向始终指向圆心（向心力）。 2. 受力分析与基本解题思路：任何做圆周运动的物体都需要向心力，但向心力并不是物体实际受到的力，而是物体受到的指向圆心方向的其它力的合力，在做圆周运动实例分析时，先对物体做受力分析，找到物体的向心力，结合向心力计算公式带入实际运算。 向心力来源：静摩擦力（如转盘上的物体）。 拉力或支持力的分力（如圆锥摆）。 摩擦力的水平分量（如汽车转弯）。 基本方程： 。 4. 临界问题 最大角速度/速度：由最大静摩擦力提供向心力，若由绳子拉力提供向心力，则临界条件是绳子断裂前的最大张力 。 5. 解题关键 1 确定向心力来源（摩擦力、拉力、支持力等）。 2 建立动力学方程 。 3 临界条件分析（如最大静摩擦力、绳子张力极限等） 典型例题一 无绳连接的水平转台问题 1．（多选）如图所示，小木块a、b和c（可视为质点）放在水平圆盘上，a、b两个质量均为m，c的质量为。a与转轴OO′的距离为r，b、c与转轴OO′的距离为2r且均处于水平圆盘的边缘．木块与圆盘的最大静摩擦力均为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法正确的是（　　） A．在a、b和c均未滑动前，b、c所受的摩擦力始终相等 B．在a、b和c均未滑动前，a、c所受摩擦力的大小相等 C．b和c将同时从水平圆盘上滑落 D．b开始滑动时的转速是 【答案】BC 【详解】AB．在三个小物体均未滑动时静摩擦力提供向心力 分别代入三者的运动半径和质量可知，三者所受静摩擦力均相等，故A错误，B正确； C．由b的质量是c的两倍，可知b的最大静摩擦力是c的两倍，二者运动半径相同，所以b的所需向心力是c的两倍，结合最大静摩擦力提供向心力可知 即bc同时开始滑动，并掉落，故C选项正确； D．b刚开始滑动时，最大静摩擦力提供向心力 解得 ， 故D错误。 故选BC。 2．（多选）如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　） A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．是b开始滑动的临界角速度 D．当时，a所受摩擦力的大小为kmg 【答案】AC 【详解】A．依题意，根据 可得木块发生滑动的临界角速度为 由于木块b的半径较大，则临界角速度较小，所以b一定比a先开始滑动，故A正确。 B．木块a，b都未滑动前，它们的角速度相同，受到的静摩擦力提供所需向心力，根据 可知，由于木块b的半径较大，则受到的静摩擦力较大，故B错误。 C．当b受到的摩擦力达到最大静摩擦力时，有 可得b开始滑动的临界角速度为 故C正确； D．当a受到的摩擦力达到最大静摩擦力时，有 可得a开始滑动的临界角速度为 当木块a的角速度为 则此时木块a受到的静摩擦力提供所需向心力，大小为 故D错误。 故选AC。 3．（多选）如图所示，A、B、C三物体放在旋转水平圆台上，它们与圆台间的动摩擦因数均相同，已知A的质量为2m，B和C的质量均为m，A、B离轴距离为R，C离轴距离为2R。当 圆台转动时，三物均没有打滑，则：（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力） （　　） A．这时C的向心加速度最大 B．这时B物体受的摩擦力最小 C．若逐步增大圆台转速，A比B先滑动 D．若逐步增大圆台转速，C比A后滑动 【答案】AB 【详解】A．三个物体圆周运动的加速度相同，向心加速度为 即半径越大，向心加速度越大，所以这时C的向心加速度最大，故A正确； B．摩擦力提供向心力 由于B物体的质量和到轴距离的乘积最小，所以B物体受到的摩擦力最小，故B正确； CD．当最大静摩擦力提供向心力时 得 谁先滑动与物体质量无关，只与到轴的距离有关，所以C物体最先滑动，A、B一起滑动，故CD错误。 故选AB。 4．（多选）如图所示，质量均为m的甲、乙、丙三个小物块（均可看作质点）随水平转盘一起以角速度绕OO'轴做匀速圆周运动，物块甲叠放在物块乙的上面，所有接触面间的动摩擦因数均为。已知甲、乙到转轴的距离为r1，丙到转轴的距离为r2，且r2>r1。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．甲受到的摩擦力一定为 B．乙受到转盘的摩擦力一定为： C．若角速度增大，丙先达到滑动的临界点 D．若角速度增大，甲先达到滑动的临界点 【答案】BC 【详解】A．当转动角速度较小时，甲受到的静摩擦力提供向心力，大小不等于，故A错误； B．对甲、乙整体分析可知，乙受到转盘的摩擦力为 故B正确； CD．若角速度增大，根据 丙到转轴的距离较大，则丙先达到滑动的临界点，故C正确，D错误； 故选BC。 典型例题二 有绳连接的水平转台问题 5．（多选）如图所示，在匀速转动的水平盘上，物体用过盘中心的细线相连，和质量都为。它们分别在圆心两侧，与圆心的距离分别为与盘间的动摩擦因数相同。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，当圆盘转速缓慢增加到两物体刚好要发生滑动时，下列说法正确的是（　　） A．此时和所受摩擦力方向沿半径指向圆外 B．此时绳子张力为 C．此时圆盘的角速度为 D．此时烧断绳子物体和仍将随盘一块转动 【答案】BC 【详解】ABC．A、B两物体相比，B物体所需要的向心力较大，当转速增大时，B先有滑动的趋势，此时B所受的静摩擦力沿半径指向圆心，A所受的静摩擦力沿半径背离圆心；当刚要发生相对滑动时，以B为研究对象，有 以A为研究对象，有 由以上两式得 ， 故A错误，BC正确； D．若烧断绳子，由摩擦力提供向心力，则临界角速度对A物体 解得 对B物体 解得 则A、B的向心力都不足，都将做离心运动，故D错误。 故选BC。 6．如图所示，水平圆盘上沿直径方向放置着用水平轻绳相连的两个小物块和。两物块的质量分别为和，到圆心的距离分别为和。两物块与圆盘的最大静摩擦力均为自身重力的倍，重力加速度为。不考虑轻绳拉力上限，轻绳伸直且最初拉力为零。圆盘绕过圆心的竖直轴转动，转动的角速度由零缓慢增大，求： （1）角速度增大至多少时轻绳开始出现拉力？ （2）若，角速度在什么范围内，两物块与圆盘之间都不发生相对滑动？ 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由 可知，物块先达到最大静摩擦力，此时绳子开始出现张力 解得 （2）当两物块与圆盘间的静摩擦力达到最大静摩擦力时，恰好不与圆盘发生相对滑动，物块的静摩擦力沿半径向外，则 又因为 联立解得 所以时，两物块与圆盘之间都不发生相对滑动。 7．（多选）如图甲所示，将质量为M的物块A和质量为m的物块B放在水平转盘上，两者用长为L的水平轻绳连接，物块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，物块A与转轴的距离等于轻绳长度，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动。开始时，轻绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，绳中张力与转动角速度的平方的关系如图乙所示，当角速度的平方超过时，物块A、B开始滑动。若图乙中的、及重力加速度均为已知，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题图乙可知，当转盘角速度的二次方为时，A、B间的细绳开始出现拉力，可知此时B达到最大静摩擦力，故有 当转盘角速度的二次方为时，A达到最大静摩擦力，对A有 对B有 联立以上三式解得 故选BD。 8．（多选）如图所示，两个质量均为m的小木块c和d（可视为质点）放在水平圆盘上，c与转轴O、d与转轴O的距离均为L，c与d之间用长度也为L的轻质细线相连。木块与圆盘之间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。初始时，，绳直但无拉力。若圆盘从静止开始绕转轴做角速度缓慢增大的转动，下列说法正确的是（　　） A．c、d两木块同时达到最大静摩擦力 B．当c小木块达到最大静摩擦力后，再增大角速度，c受的摩擦力不变 C．c、d与圆盘相对静止时，细线的最大拉力为kmg D．c、d与圆盘相对静止时，圆盘的最大角速度为 【答案】AD 【详解】A．根据 可知，c、d两木块同时达到最大静摩擦力，故A正确； BCD．图中圆盘转动的角速度较小，c与d相对于圆盘没有运动，细线的拉力为零，摩擦力提供向心力，当它们恰好要相对于圆盘运动时，绳子上存在拉力，由对称性可知，它们相对于圆盘不是背离圆心运动，而是沿垂直于绳子的方向运动，此时绳子的拉力与最大静摩擦力的合力提供向心力，当c小木块达到最大静摩擦力后，再增大角速度，c受的摩擦力方向改变，以c为例，在水平面内的受力如图： 由几何关系可知，摩擦力f与合力之间的夹角为θ=30°；由于摩擦力的大小 f=kmg 细线的拉力 T= 合力大小 F合＝ 根据合力提供向心力，即 F合＝ 联立可得 故BC错误D正确。 故选AD。 9．如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为的A、B两个小物块（细线伸直）。A离轴心r1=10cm，B离轴心r2=20cm，A、B两与圆盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.3倍，取g=10m/s2。求： (1)若细线上刚要出现张力时，圆盘的角速度； (2)欲使A、B与圆盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度； (3)当圆盘转速达到A、B刚好不滑动时，烧断细线，则A、B将怎样运动? 【答案】（1）；（2）；（3）A随盘一起转动，B将做离心运动 【详解】（1）当所需受到的摩擦力达到最大静摩擦力时，细线就要出现张力，对B有 解得 （2）当所受静摩擦力增大到最大静摩擦力时，圆盘的角速度达到最大值，超过时，、将相对圆盘滑动，设细线中的张力为，对 对 解得 （3）烧断细线时，做圆周运动所需向心力 又因为最大静摩擦力为，所以随盘一起转动。此时所需向心力 大于它的最大静摩擦力，因此将做离心运动。 10．如图，质量分别为、的A、B两物块（可视为质点）用长L=0.9m的细线连接，放在半径R=0.8m的水平圆形转台上，物块B位于转台的边缘处，开始细线拉直且过水平转台的中心O点，两物块与转台间的动摩擦因数均为μ=0.5，最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，两物块滑动前可随转台一起转动。增大转台的转速，当A物块刚要相对转台滑动时细线也恰好被拉断。转台离水平地面的高度h=0.25m，重力加速度g取10m/s2，不计其他阻力。求： （1）细线刚好绷紧时转台的角速度ω1的大小； （2）细线承受的最大拉力Fm及细线恰好被拉断时转台的角速度ω2的大小； （3）细线断后物块B的落地点与转台中心的水平距离s的大小。    【答案】（1）；（2）；；（3） 【详解】（1）A、B两物块与转台间的最大静摩擦力大小分别为 当细线刚好绷紧时，物块B受到的静摩擦力达到最大值，对B由牛顿第二定律则有 解得 （2）由题意知细线上拉力最大时物块A受到的静摩擦力也达到最大。对A、B分别有 解得 （3）细线断后物块B做平抛运动，如图所示。平抛运动的初速度大小为    由平抛运动的规律有 落地点与转台中心的水平距离为 解得 知识点（二） 竖直面内的圆周运动实例 1.定义与模型 定义：物体在竖直平面内做圆周运动，速度大小可能变化（非匀速圆周运动）。 典型模型：绳模型（无支撑，如单摆最高点）。 杆模型（有支撑，如过山车轨道）。 2. 受力分析与动力学方程 向心力来源：在最高点和最低点，向心力由重力和拉力/支持力的合力提供。 其它位置的向心力需分解重力。 最高点临界条件：绳模型（仅拉力或重力提供向心力） 最小速度  (否则绳子松弛，物体脱离轨道)最小向心力为物体受到的重力。 杆模型（支持力可向上或向下）： 最小速度 =0(杆可提供支持力)最小向心力为0. 3. 解题关键 最高点和最低点的受力分析： 最高点：T+mg=（绳模型）。 最低点：T-mg=。 临界速度： 绳模型：。 杆球模型：。 典型例题三 竖直方向的绳类模型问题 11．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，则（　　） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当时，小球受到的弹力大小与重力相等 D．当时，轻质绳的拉力大小为 【答案】C 【详解】AB．小球运动到最高点时，对小球进行分析有 则有 结合图像有 ， 解得 ， AB错误； C．当时，根据上述有 C正确； D．当时，根据上述有 D错误。 故选C。 12．如图所示是水流星表演示意图，、是完全相同的水杯，两水杯绕对称中心做圆周运动，水杯里面盛有等质量的水，水的质量均为，当水杯在最高点，水杯里的水恰好没流出，此时水杯的速度为，针对图示位置，下列说法正确的是（　　） A．的大小与绳子长度无关 B．的大小与水杯和水的总质量有关 C．水杯里的水对杯子底部的压力为 D．水杯里的水对杯子底部的压力为 【答案】C 【详解】AB．由题意可知，水杯在最高点恰好水没有流出，重力刚好提供向心力，则有 解得 可知的大小与绳子长度有关，与水杯和水的总质量无关，AB错误； CD．、两水杯总是有相同大小的向心加速度，水杯在最高点的向心加速度大小为，则水杯在最低点的向心加速度大小也为，以水杯里的水为对象，根据牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律可知，水杯里的水对杯子底部的压力为，C正确，D错误； 故选C。 13．如图所示，游乐场里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒。若乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于其自身重力的一半，轨道半径为，重力加速度为，则此时过山车的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于其自身重力的一半，则座椅对乘客的支持力也为重力的一半，由于在最高点时，乘客在座椅里面头朝下，所以座椅对乘客的支持力也朝下，则有 ， 联立解得 故选C。 14．在南山中学某次物理课外兴趣活动中，一位同学研究竖直平面内的圆周运动。该同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m＝0.3kg的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d＝1m后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为。忽略手的运动半径和空气阻力。 （1）求绳断时球的速度大小和落地时的速度？ （2）问绳能承受的最大拉力多大？ （3）改变绳长（绳承受能力不变，握绳的手离地高度d不变），使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，手和球之间的绳长L应为多少？最大水平距离为多少？ 【答案】（1）， ；（2）11N；（3）， 【详解】(1)设绳断后球飞行的时间为t，由平抛运动规律有，竖直方向 水平方向 解得 又 ， 解得 （2）设绳能承受的最大拉力大小为，这也是球受到绳的最大拉力的大小，球做圆周运动的半径为 由圆周运动向心力公式，有 得 （3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为，绳承受的最大拉力不变，有 解得 绳断后球做平抛运动，竖直位移为，水平位移为x，时间为．由平抛运动规律有 ， 得 当时，x有最大值 15．飞行员的质量为m，他驾驶飞机在竖直平面内做匀速圆周运动，如图所示。若飞机飞到最高点的速度为v 时，飞行员对座位的压力恰好等于飞行员的重力，重力加速度为g，试求： （1）竖直面内做匀速圆周运动的半径R； （2）当飞机飞到最低点的速度大小仍为v时，飞行员对座位的压力是多少？ 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）在最高点时，有 由牛顿第三定律可知座位对飞行员的支持力为 联立解得 （2）在最低点时，有 由牛顿第三定律可知飞行员对座位的压力为 联立解得 典型例题四 竖直方向的杆类模型问题 16．如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球（直径略小于管内径）一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是（　　） A．v的最小值为 B．当时，小球处于完全失重状态，不受力的作用 C．当时，轨道对小球的弹力方向竖直向下 D．当v由逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小 【答案】C 【详解】A．小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力，当支持力的大小等于小球重力的大小，小球的最小速度为零，故A错误； B．根据公式可知，当时，小球的加速度为 方向竖直向下，则小球处于完全失重状态，只受重力作用，故B错误； C．当时，小球需要的向心力为 则可知，轨道对小球的弹力大小为，方向竖直向下，故C正确； D．当时，小球需要的向心力 可知，小球受轨道竖直向上的弹力，由牛顿第二定律有 可得 则逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力逐渐增大，故D错误。 故选C。 17．如图所示，一可绕光滑固定轴O转动的轻杆，另一端连接一小球，小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为，小球在最高点的速度大小为v，图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．当地的重力加速度为 C．时，杆对小球的弹力方向竖直向上 D．时，杆对小球的弹力大小为2b 【答案】A 【详解】AB．由图可知，当时，FN为零，此时小球重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得当地的重力加速度为 当时，小球在最高点所需向心力为零，此时有 解得小球的质量为 故A正确，B错误； C．根据前前面分析可推知，当时，小球在最高点时重力不足以提供向心力，则此时杆对小球的弹力方向竖直向下，以提供一部分向心力，故C错误； D．当时，根据牛顿第二定律有 当时，同理有 解得 故D错误。 故选A。 18．（多选）如图所示，某轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法中正确的是（　　）。 A．小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零 B．小球过最高点时，最小速度为 C．小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力 D．小球过最低点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反 【答案】ACD 【详解】A．小球过最高点时，当重力完全提供向心力时，杆对球的弹力为零，故杆所受的弹力为零，A正确； B．小球过最高点时，当杆对小球的弹力大小与重力大小相等时，合力为零，则向心力为零，所以小球的速度为零，即为最小速度，B错误； C．小球过最高点时，随着速度的变化，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，则有 解得 故C正确； D．小球过最低点时，圆心在最低点的上方，故合力向上，而重力是竖直向下的，故杆对球球的作用力一定竖直向上，与重力方向相反，故D正确。 故选ACD。 19．如图所示，一长的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量的小球。轻杆随转轴O在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，角速度，重力加速度。求： （1）小球的线速度大小及向心加速度大小； （2）当小球位于最低点C与最高点A时，杆对小球的作用力、的大小之差。 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）依题意，线速度为 向心加速度为 （2）根据圆周运动规律，在最高点A时有 在最低点C时有 故 20．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管道竖直放置，质量为m的小球以某一速度进入管内，小球通过最高点P时，对管壁的压力为0.5mg．求： （1）小球从管口飞出时的速率； （2）小球落地点到P点的水平距离． 【答案】（1） 或（2）或 【详解】（1）分两种情况，当小球对管下部有压力时，则有 解得 当小球对管上部有压力时，则有 解得 (2)小球从管口飞出做平抛运动，竖直方向有 解得 故 【点睛】本题考查圆周运动规律的应用，在管下部时以小球为研究对象，合外力提供向心力，列式可求得上部和下部速度大小，小球从管口飞出后做平抛运动，由竖直方向求得运动时间，由水平方向匀速运动求得水平位移大小 课后习题演练： 1．如图，内壁光滑的圆锥漏斗固定在水平面上，其母线与竖直方向的夹角为两个质量均为m的小球A、B紧贴着漏斗在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．A、B两球均受到重力、支持力和向心力 B．A、B两球受到的支持力均指向各自圆周的圆心 C．A球的转动周期大于B球的转动周期 D．A、B球对漏斗壁的压力均为mg 【答案】C 【详解】A．A、B两球受到重力和支持力的作用，向心力是指向圆心的合力，不能说受到向心力， A错误； B．A、B两球受到的支持力方向垂直于内壁斜向上，不是指向圆周的圆心，B错误； C．对两球进行受力分析，根据牛顿第二定律，有 可得 可知，轨道半径越大，周期越大，所以A球的转动周期大于B球的转动周期，C正确； D．根据受力分析可知A、B球对漏斗壁的压力均为 D错误。 故选C。 2．“弯道超车”有何要求？某同学设计了一个问题邀你作答：在学校运动会中，当你以7m/s的速率通过半径约35m的半圆形弯道时，若重力加速度取，则你所需的向心力约为重力的（    ） A．0.2倍 B．2倍 C．1.4倍 D．0.14倍 【答案】D 【详解】做圆周运动所需的向心力约为 故选D。 3．游乐园中的“空中飞椅”可简化成如图所示的模型图，其中P为处于水平面内的转盘，可绕轴转动，圆盘半径，绳长。假设座椅随圆盘做匀速圆周运动时，绳与竖直平面的夹角，座椅和人的总质量为60kg，则（sin37°=0.6  cos37°=0.8 g取）（　　） A．绳子的拉力大小为650N B．座椅做圆周运动的线速度大小为5m/s C．圆盘的角速度为0.5rad/s D．座椅转一圈的时间约为1.3s 【答案】C 【详解】A．座椅受力如图所示 由平衡条件可得，在竖直方向上 绳子拉力为 故A错误； B．由牛顿第二定律得 线速度为 故B错误； C．转盘的角速度与座椅的角速度相等，角速度 故C正确； D．座椅转一圈的时间，即周期 故D错误。 故选C。 4．如图所示，长为L的轻绳一端固定在水平圆盘的竖直中心转轴上，另一端连接一质量为m的物块，圆盘未转动时，轻绳水平伸直但无弹力。现使该物块随圆盘一起在水平面内绕竖直转轴匀速转动，不计空气阻力，该物块与圆盘间动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，物块可视为质点，轻绳伸长可忽略。当圆盘以不同角速度匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A．物块受的摩擦力可以沿半径向外 B．圆盘转动角速度为时，轻绳的拉力为 C．圆盘转动角速度为时，轻绳拉力为 D．圆盘转动角速度时，轻绳弹力大小为 【答案】C 【详解】A．开始时静摩擦力提供向心力，静摩擦力方向沿半径指向圆心，根据 随角速度的增加，静摩擦力逐渐增加，当达到最大静摩擦力时绳子上出现拉力，根据 随转速的增加拉力逐渐变大，摩擦力方向仍指向圆心，可知物块受的摩擦力一直沿半径指向圆心，选项A错误； B．圆盘转动角速度为时，根据 可得轻绳的拉力为零，选项B错误； C．圆盘转动角速度为时，根据 轻绳拉力为 选项C正确； D．圆盘转动角速度时，根据 轻绳弹力大小为 选项D错误。 故选C。 5．如图所示，长为0.4m的轻质杆OP的P端与质量为0.2kg、可视为质点的小球相连，小球以轻质杆的O端为圆心在竖直平面内做圆周运动。小球通过最高点时的速率为3m/s，重力加速度g取10m/s2，则此时轻杆受到的作用力为（　　） A．2.5N的拉力 B．2.5N的压力 C．4.5N的拉力 D．4.5N的压力 【答案】A 【详解】小球通过最高点时的速率为3m/s，设此时轻杆对小球的作用力向下，以小球为对象，根据牛顿第二定律可得 解得 假设成立，根据牛顿第三定律可知，此时轻杆受到的作用力为2.5N的拉力。 故选A。 6．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，圆管的半径略大于小球的半径，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝ B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0 C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 【答案】B 【详解】AB．小球在竖直放置的光滑圆形管道内的圆周运动属于轻杆模型，小球通过最高点时的最小速度为0，故A错误，B正确； C．小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故C错误； D．小球在水平线ab以上管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，当速度非常大时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力，当速度比较小时，内侧管壁有作用力，故D错误。 故选B。 7．如图所示，可视为质点的质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球半径略小于管道半径，重力加速度为g。下列说法中正确的是（　　） A．小球能够到达最高点时的最小速度为 B．小球在最低点时不管速度有多大，都不可能对内壁有压力 C．如果小球在最低点时的速度大小为，则小球通过最低点时对管道外壁的作用力为6mg D．如果小球在最高点时的速度大小为2 ，则此时小球对管道的外壁的作用力为4mg 【答案】BC 【详解】A．由于小球在管道内部运动，到达最高点时的最小速度为0，A错误； B．在最低点合外力指向圆心，重力向下，管道对小球的弹力竖直向上，弹力只能由外壁提供，因此不可能对内壁有压力，B正确； C．根据牛顿第二定律 代入数据可知 F=6mg 根据牛顿第三定律可知，小球通过最低点时对管道外壁的作用力为6mg D．在最高点时，根据牛顿第二定律 可得 根据牛顿第三定律，此时小球对管道的外壁的作用力为3mg，D错误。 故选BC。 8．如图，轻绳OA拴着质量为m的物体，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，下列说法正确的是（    ） A．小球过最高点时，绳子拉力可以为零 B．小球过最高点时的最小速度是0 C．若将轻绳OA换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力可以与小球所受重力大小相等，方向相反 D．若将轻绳OA换成轻杆，则小球过最高点时，小球过最高点时的最小速度是 【答案】AC 【详解】AB．小球在最高点，向心力由重力和轻绳拉力共同提供，有 当轻绳拉力变小时，小球速度会随之减小，当拉力为零时，小球具有最小速度为 故A正确；B错误； CD．若将轻绳OA换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力可以与小球所受重力大小相等，方向相反，此时满足 即小球过最高点的速度为零，故C正确，D错误。 故选AC。 9．长为的细线，拴一质量为的小球，一端固定于点，让其在水平面内做匀速圆周运动。如图所示，当细线与竖直方向的夹角是时，重力加速度为。。求： (1)细线的拉力大小 (2)小球运动的线速度的大小 (3)小球运动的角速度是多少 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）竖直方向根据平衡条件得 解得 （2）根据牛顿第二定律得 解得 （3）根据牛顿第二定律得 解得 10．如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上放着质量均为1kg的A、B两个物块，物块之间用长为1 m的细线相连，细线刚好伸直且通过转轴中心O，A物块与O点的距离为0.4m，物块可视为质点。A、B与转盘间的动摩擦因数均为0.1，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。 （1）当转盘至少以多大的角速度匀速转动时，细线上出现拉力？ （2）当转盘以ω1的角速度匀速转动时，A受到的摩擦力恰好为零，求ω1是多大？ （3）随着转盘角速度的增加，当细线上的拉力刚好达到5N时，烧断细线，求烧断那一瞬间， A和B的加速度大小？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）A、B两物块的角速度相等，B物块的运动半径较大，所以在相同的转速下，B物块最先出现摩擦力不足以提供向心力的情况。设角速度为时，B物块所受的最大静摩擦力恰能提供向心力，细线上将开始出现拉力，则 解得 （2）当转盘以ω1的角速度匀速转动时，A受到的摩擦力恰好为零，设细线中的张力为，则物块A所受的细线拉力恰好能提供向心力，物块B所受的最大静摩擦力不足以提供向心力，还需要细线提供额外的拉力，即 消去，解得 （3）当A受到的摩擦力恰好为零时，转盘角速度为，此时细线中的拉力为 所以当细线上的拉力达到5N时，物块A、B所受的摩擦力和细线拉力的合力提供各自的向心力，即 物块A、B所受的最大静摩擦力为 代入解得 即当细线上的拉力达到5N时，物块A、B所受的摩擦力已经达到了最大静摩擦力，各自所需的向心力为 烧断细线后，最大静摩擦力不足以提供向心力，物块A、B将做离心运动，所受合力等于滑动摩擦力，所以烧断细线的一瞬间， A和B的加速度大小为 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆周运动实例和临界问题 基础知识精讲 知识点（一）水平面内的圆周运动实例 1． 定义：物体在水平面内做匀速圆周运动，受力方向始终指向圆心（向心力）。 2. 受力分析与基本解题思路：任何做圆周运动的物体都需要向心力，但向心力并不是物体实际受到的力，而是物体受到的指向圆心方向的其它力的合力，在做圆周运动实例分析时，先对物体做受力分析，找到物体的向心力，结合向心力计算公式带入实际运算。 向心力来源：静摩擦力（如转盘上的物体）。 拉力或支持力的分力（如圆锥摆）。 摩擦力的水平分量（如汽车转弯）。 基本方程： 。 4. 临界问题 最大角速度/速度：由最大静摩擦力提供向心力，若由绳子拉力提供向心力，则临界条件是绳子断裂前的最大张力 。 5. 解题关键 1 确定向心力来源（摩擦力、拉力、支持力等）。 2 建立动力学方程 。 3 临界条件分析（如最大静摩擦力、绳子张力极限等） 典型例题一 无绳连接的水平转台问题 1．（多选）如图所示，小木块a、b和c（可视为质点）放在水平圆盘上，a、b两个质量均为m，c的质量为。a与转轴OO′的距离为r，b、c与转轴OO′的距离为2r且均处于水平圆盘的边缘．木块与圆盘的最大静摩擦力均为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法正确的是（　　） A．在a、b和c均未滑动前，b、c所受的摩擦力始终相等 B．在a、b和c均未滑动前，a、c所受摩擦力的大小相等 C．b和c将同时从水平圆盘上滑落 D．b开始滑动时的转速是 2．（多选）如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　） A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．是b开始滑动的临界角速度 D．当时，a所受摩擦力的大小为kmg 3．（多选）如图所示，A、B、C三物体放在旋转水平圆台上，它们与圆台间的动摩擦因数均相同，已知A的质量为2m，B和C的质量均为m，A、B离轴距离为R，C离轴距离为2R。当 圆台转动时，三物均没有打滑，则：（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力） （　　） A．这时C的向心加速度最大 B．这时B物体受的摩擦力最小 C．若逐步增大圆台转速，A比B先滑动 D．若逐步增大圆台转速，C比A后滑动 4．（多选）如图所示，质量均为m的甲、乙、丙三个小物块（均可看作质点）随水平转盘一起以角速度绕OO'轴做匀速圆周运动，物块甲叠放在物块乙的上面，所有接触面间的动摩擦因数均为。已知甲、乙到转轴的距离为r1，丙到转轴的距离为r2，且r2>r1。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．甲受到的摩擦力一定为 B．乙受到转盘的摩擦力一定为： C．若角速度增大，丙先达到滑动的临界点 D．若角速度增大，甲先达到滑动的临界点 典型例题二 有绳连接的水平转台问题 5．（多选）如图所示，在匀速转动的水平盘上，物体用过盘中心的细线相连，和质量都为。它们分别在圆心两侧，与圆心的距离分别为与盘间的动摩擦因数相同。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，当圆盘转速缓慢增加到两物体刚好要发生滑动时，下列说法正确的是（　　） A．此时和所受摩擦力方向沿半径指向圆外 B．此时绳子张力为 C．此时圆盘的角速度为 D．此时烧断绳子物体和仍将随盘一块转动 6．如图所示，水平圆盘上沿直径方向放置着用水平轻绳相连的两个小物块和。两物块的质量分别为和，到圆心的距离分别为和。两物块与圆盘的最大静摩擦力均为自身重力的倍，重力加速度为。不考虑轻绳拉力上限，轻绳伸直且最初拉力为零。圆盘绕过圆心的竖直轴转动，转动的角速度由零缓慢增大，求： （1）角速度增大至多少时轻绳开始出现拉力？ （2）若，角速度在什么范围内，两物块与圆盘之间都不发生相对滑动？ 7．（多选）如图甲所示，将质量为M的物块A和质量为m的物块B放在水平转盘上，两者用长为L的水平轻绳连接，物块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，物块A与转轴的距离等于轻绳长度，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动。开始时，轻绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，绳中张力与转动角速度的平方的关系如图乙所示，当角速度的平方超过时，物块A、B开始滑动。若图乙中的、及重力加速度均为已知，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（多选）如图所示，两个质量均为m的小木块c和d（可视为质点）放在水平圆盘上，c与转轴O、d与转轴O的距离均为L，c与d之间用长度也为L的轻质细线相连。木块与圆盘之间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。初始时，，绳直但无拉力。若圆盘从静止开始绕转轴做角速度缓慢增大的转动，下列说法正确的是（　　） A．c、d两木块同时达到最大静摩擦力 B．当c小木块达到最大静摩擦力后，再增大角速度，c受的摩擦力不变 C．c、d与圆盘相对静止时，细线的最大拉力为kmg D．c、d与圆盘相对静止时，圆盘的最大角速度为 9．如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为的A、B两个小物块（细线伸直）。A离轴心r1=10cm，B离轴心r2=20cm，A、B两与圆盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.3倍，取g=10m/s2。求： (1)若细线上刚要出现张力时，圆盘的角速度； (2)欲使A、B与圆盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度； (3)当圆盘转速达到A、B刚好不滑动时，烧断细线，则A、B将怎样运动? 10．如图，质量分别为、的A、B两物块（可视为质点）用长L=0.9m的细线连接，放在半径R=0.8m的水平圆形转台上，物块B位于转台的边缘处，开始细线拉直且过水平转台的中心O点，两物块与转台间的动摩擦因数均为μ=0.5，最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，两物块滑动前可随转台一起转动。增大转台的转速，当A物块刚要相对转台滑动时细线也恰好被拉断。转台离水平地面的高度h=0.25m，重力加速度g取10m/s2，不计其他阻力。求： （1）细线刚好绷紧时转台的角速度ω1的大小； （2）细线承受的最大拉力Fm及细线恰好被拉断时转台的角速度ω2的大小； （3）细线断后物块B的落地点与转台中心的水平距离s的大小。    知识点（二） 竖直面内的圆周运动实例 1.定义与模型 定义：物体在竖直平面内做圆周运动，速度大小可能变化（非匀速圆周运动）。 典型模型：绳模型（无支撑，如单摆最高点）。 杆模型（有支撑，如过山车轨道）。 2. 受力分析与动力学方程 向心力来源：在最高点和最低点，向心力由重力和拉力/支持力的合力提供。 其它位置的向心力需分解重力。 最高点临界条件：绳模型（仅拉力或重力提供向心力） 最小速度  (否则绳子松弛，物体脱离轨道)最小向心力为物体受到的重力。 杆模型（支持力可向上或向下）： 最小速度 =0(杆可提供支持力)最小向心力为0. 3. 解题关键 最高点和最低点的受力分析： 最高点：T+mg=（绳模型）。 最低点：T-mg=。 临界速度： 绳模型：。 杆球模型：。 典型例题三 竖直方向的绳类模型问题 11．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，则（　　） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当时，小球受到的弹力大小与重力相等 D．当时，轻质绳的拉力大小为 12．如图所示是水流星表演示意图，、是完全相同的水杯，两水杯绕对称中心做圆周运动，水杯里面盛有等质量的水，水的质量均为，当水杯在最高点，水杯里的水恰好没流出，此时水杯的速度为，针对图示位置，下列说法正确的是（　　） A．的大小与绳子长度无关 B．的大小与水杯和水的总质量有关 C．水杯里的水对杯子底部的压力为 D．水杯里的水对杯子底部的压力为 13．如图所示，游乐场里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒。若乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于其自身重力的一半，轨道半径为，重力加速度为，则此时过山车的速度大小为（　　） A． B． C． D． 14．在南山中学某次物理课外兴趣活动中，一位同学研究竖直平面内的圆周运动。该同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m＝0.3kg的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d＝1m后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为。忽略手的运动半径和空气阻力。 （1）求绳断时球的速度大小和落地时的速度？ （2）问绳能承受的最大拉力多大？ （3）改变绳长（绳承受能力不变，握绳的手离地高度d不变），使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，手和球之间的绳长L应为多少？最大水平距离为多少？ 15．飞行员的质量为m，他驾驶飞机在竖直平面内做匀速圆周运动，如图所示。若飞机飞到最高点的速度为v 时，飞行员对座位的压力恰好等于飞行员的重力，重力加速度为g，试求： （1）竖直面内做匀速圆周运动的半径R； （2）当飞机飞到最低点的速度大小仍为v时，飞行员对座位的压力是多少？ 典型例题四 竖直方向的杆类模型问题 16．如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球（直径略小于管内径）一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是（　　） A．v的最小值为 B．当时，小球处于完全失重状态，不受力的作用 C．当时，轨道对小球的弹力方向竖直向下 D．当v由逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小 17．如图所示，一可绕光滑固定轴O转动的轻杆，另一端连接一小球，小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为，小球在最高点的速度大小为v，图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．当地的重力加速度为 C．时，杆对小球的弹力方向竖直向上 D．时，杆对小球的弹力大小为2b 18．（多选）如图所示，某轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法中正确的是（　　）。 A．小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零 B．小球过最高点时，最小速度为 C．小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力 D．小球过最低点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反 19．如图所示，一长的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量的小球。轻杆随转轴O在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，角速度，重力加速度。求： （1）小球的线速度大小及向心加速度大小； （2）当小球位于最低点C与最高点A时，杆对小球的作用力、的大小之差。 20．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管道竖直放置，质量为m的小球以某一速度进入管内，小球通过最高点P时，对管壁的压力为0.5mg．求： （1）小球从管口飞出时的速率； （2）小球落地点到P点的水平距离． 课后习题演练： 1．如图，内壁光滑的圆锥漏斗固定在水平面上，其母线与竖直方向的夹角为两个质量均为m的小球A、B紧贴着漏斗在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．A、B两球均受到重力、支持力和向心力 B．A、B两球受到的支持力均指向各自圆周的圆心 C．A球的转动周期大于B球的转动周期 D．A、B球对漏斗壁的压力均为mg 2．“弯道超车”有何要求？某同学设计了一个问题邀你作答：在学校运动会中，当你以7m/s的速率通过半径约35m的半圆形弯道时，若重力加速度取，则你所需的向心力约为重力的（    ） A．0.2倍 B．2倍 C．1.4倍 D．0.14倍 3．游乐园中的“空中飞椅”可简化成如图所示的模型图，其中P为处于水平面内的转盘，可绕轴转动，圆盘半径，绳长。假设座椅随圆盘做匀速圆周运动时，绳与竖直平面的夹角，座椅和人的总质量为60kg，则（sin37°=0.6  cos37°=0.8 g取）（　　） A．绳子的拉力大小为650N B．座椅做圆周运动的线速度大小为5m/s C．圆盘的角速度为0.5rad/s D．座椅转一圈的时间约为1.3s 4．如图所示，长为L的轻绳一端固定在水平圆盘的竖直中心转轴上，另一端连接一质量为m的物块，圆盘未转动时，轻绳水平伸直但无弹力。现使该物块随圆盘一起在水平面内绕竖直转轴匀速转动，不计空气阻力，该物块与圆盘间动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，物块可视为质点，轻绳伸长可忽略。当圆盘以不同角速度匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A．物块受的摩擦力可以沿半径向外 B．圆盘转动角速度为时，轻绳的拉力为 C．圆盘转动角速度为时，轻绳拉力为 D．圆盘转动角速度时，轻绳弹力大小为 5．如图所示，长为0.4m的轻质杆OP的P端与质量为0.2kg、可视为质点的小球相连，小球以轻质杆的O端为圆心在竖直平面内做圆周运动。小球通过最高点时的速率为3m/s，重力加速度g取10m/s2，则此时轻杆受到的作用力为（　　） A．2.5N的拉力 B．2.5N的压力 C．4.5N的拉力 D．4.5N的压力 6．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，圆管的半径略大于小球的半径，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝ B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0 C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 7．如图所示，可视为质点的质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球半径略小于管道半径，重力加速度为g。下列说法中正确的是（　　） A．小球能够到达最高点时的最小速度为 B．小球在最低点时不管速度有多大，都不可能对内壁有压力 C．如果小球在最低点时的速度大小为，则小球通过最低点时对管道外壁的作用力为6mg D．如果小球在最高点时的速度大小为2 ，则此时小球对管道的外壁的作用力为4mg 8．如图，轻绳OA拴着质量为m的物体，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，下列说法正确的是（    ） A．小球过最高点时，绳子拉力可以为零 B．小球过最高点时的最小速度是0 C．若将轻绳OA换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力可以与小球所受重力大小相等，方向相反 D．若将轻绳OA换成轻杆，则小球过最高点时，小球过最高点时的最小速度是 9．长为的细线，拴一质量为的小球，一端固定于点，让其在水平面内做匀速圆周运动。如图所示，当细线与竖直方向的夹角是时，重力加速度为。。求： (1)细线的拉力大小 (2)小球运动的线速度的大小 (3)小球运动的角速度是多少 10．如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上放着质量均为1kg的A、B两个物块，物块之间用长为1 m的细线相连，细线刚好伸直且通过转轴中心O，A物块与O点的距离为0.4m，物块可视为质点。A、B与转盘间的动摩擦因数均为0.1，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。 （1）当转盘至少以多大的角速度匀速转动时，细线上出现拉力？ （2）当转盘以ω1的角速度匀速转动时，A受到的摩擦力恰好为零，求ω1是多大？ （3）随着转盘角速度的增加，当细线上的拉力刚好达到5N时，烧断细线，求烧断那一瞬间， A和B的加速度大小？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$