第六 章平面向量及其应用章节复习（8个题型）讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：平面向量的概念及线性运算】 知识讲解 平面向量的概念 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。在平面直角坐标系中，通常用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 2. 向量的模：向量的大小叫做向量的模，记作。模是一个非负实数，它表示向量的长度。 3. 零向量：长度为的向量叫做零向量，记作。零向量的方向是任意的。 4. 单位向量：长度为的向量叫做单位向量。对于非零向量，与它同向的单位向量记作。 5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也称为共线向量。规定零向量与任意向量平行。 6. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 平面向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则：已知非零向量，，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即。 平行四边形法则：已知两个不共线向量，，作，，以，为邻边作平行四边形$ABCD$，则对角线。 运算律：向量加法满足交换律和结合律。 2. 向量的减法 向量减法是向量加法的逆运算。若，则。 三角形法则：已知，，作，，则，即。 3. 向量的数乘 实数与向量的积是一个向量，记作。它的长度；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。 运算律：设，为实数，则有，，。 例题精选 【例题1】多选题（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若，，则 【答案】BC 【分析】根据向量的基本概念，即可判断选项. 【详解】对A，，都是单位向量，则，模长相等，但方向不一定相同，所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但“”能推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线且都是非零向量，则，都为单位向量，则，C正确， 对D，若，则不一定平行，D错误. 故选：BC 【例题2】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到，使得，利用向量加法的平行四边形法则作图，再求出面积关系即可. 【详解】延长到，使得，以，为邻边作平行四边形，如图， 则，由，得，则， 由，得，因此， 所以与的面积比为. 故选：B 【例题3】（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知是的中线，在直线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算即可求解. 【详解】 因为是的中线， 所以. 又因为， 所以. 所以. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·福建福州·阶段练习）若在三角形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由线性运算表示，，最后再表示即可. 【详解】因为，所以点是中点， 所以.    故选：B. 【相似题2】（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，已知，点在线段上，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】将用表示，再根据三点共线，结合平面向量共线定理的推论即可得解. 【详解】当时，三点共线，与题意矛盾，所以， 因为，所以， 则， 因为三点共线， 所以，解得.    故选：C. 【相似题3】（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的意义求得答案. 【详解】根据题意，平面上不共线的四点O，A，B，C，若， 则有，变形可得, 由数乘的定义，有. 故选：D. 【题型二：平面向量的共线定理】 知识讲解 平面向量共线定理 1. 若为非零向量，则向量与共线的充要条件是存在唯一实数，使得。 常用的共线结论 1. 若，且与有公共点，则，，三点共线。 2. 若存在实数，使得，则，，三点共线。 3. 若，，则与共线的充要条件是。 4. 若，是两个不共线的向量，，，则与共线的充要条件是。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推理及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，则，又， 于是，，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最小值. 故选：C    【例题2】（24-25高一下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以，所以A、B、D三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 【例题3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 【相似题2】多选题（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，C三点不共线 C．B，C，D三点共线 D．B，C，D三点不共线 【答案】BC 【分析】运用向量共线的判定来证明向量是否共线，若共线则得到三点共线，若不共线，则三点不共线. 【详解】，， 假设存在使得，即，即， 因向量，不共线，则，该方程组无解， 故不存在使得，则不共线，故A错误，B正确； ，，则，则共线， 又有公共点，所以三点共线，故C正确，D错误. 故选：BC. 【相似题3】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为 . 【答案】9 【分析】先由题意得到，根据三点共线的充要条件，得到，再由基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以，又三点共线， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 【题型三：平面向量的数量积】 知识讲解 平面向量数量积的概念 1. 定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为（），把数量叫做与的数量积（或内积），记作 ，即。 当或为零向量时，规定 。 2. 几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积，也等于的长度与在方向上的投影的乘积。 投影向量 1. 定义：设与夹角为，是与方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为 。 若为非零向量，，则向量在向量上的投影向量为 。 平面向量数量积的运算律 1. 交换律： 。 2. 数乘结合律： ，其中为实数。 3. 分配律： 。 平面向量数量积的常用结论 设，为非零向量，为与的夹角。 1. 。 2. 当与同向时， ；当与反向时， 。特别地，，即 。 3. ，，可用于求两向量夹角。 4. ，当且仅当与共线时等号成立。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，与的夹角为，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据，结合数量积的运算律计算可得结果. 【详解】由，得， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 【例题2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的公式结合数量积运算律计算求解即可. 【详解】因为且， 所以在上的投影向量为 故选：D. 【例题3】（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）若向量满足，若为，则间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量模长公式对进行平方，再结合向量数量积公式求出夹角的余弦值，最后根据夹角的范围确定夹角的大小. 【详解】已知，两边同时平方可得. 可得.所以. 已知，则；已知，则. 将，代入，可得. 对进行化简计算得到： 根据向量数量积公式，可得. 因为，所以. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·江西·阶段练习）设为的重心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设为的中点，将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】如图，设为的中点，连接，则点在上，且， 故， 所以. 故选：A. 【相似题2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的公式可得，计算模长可得结果. 【详解】由题意得，在上的投影向量为， ∵，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高一下·北京平谷·阶段练习）已知向量，满足，且的夹角为． (1)求和的夹角的余弦值． (2)若，求实数的值． 【答案】(1)； (2)0 【分析】（1）应用向量数量积的运算律求得、，再应用向量夹角公式求和的夹角的余弦值； （2）由题设有，即可得参数值. 【详解】（1）由且， 所以. （2）由题设，即. 【题型四：平面向量的基本定理】 知识讲解 平面向量基本定理知识讲解 1. 定理内容：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。 这里不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 2. 对定理的理解： · 存在性：平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这种分解是唯一的。 · 唯一性：一旦选定一组基底，，那么平面内任意一个向量用这组基底表示的形式就是唯一确定的。 常用结论 1. 若，是一组基底，，则且 。这是因为向量用基底表示的形式具有唯一性。 2. 设，是平面内两个不共线向量，若存在实数，，使得，那么 。因为若，不全为，则，将共线，与已知矛盾。 3. 若为的重心，设，，则 。推导过程：设$BC$中点为，则，又因为重心分中线$AD$的比为$2:1$，所以 。 4. 已知是所在平面内一点，且满足，则为的重心。证明：设$BC$中点为，则，因为，所以，即，，三点共线且，故为的重心。 例题精选 【例题1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，然后利用三点共线的推论即可得出答案. 【详解】， ， 因为P、B、N三点共线，所以， 故选：D. 【例题2】（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）在中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算来求得正确答案. 【详解】如图，在中，在上且，所以. 则 . 又因为，所以. 故选：B 【例题3】多选题（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）设是平面内一个基底，则下列四组基底中，能作为基底的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【分析】根据向量共线分别判断各个选项即可得出基底. 【详解】选项A，假设与共线，则存在实数，使得，即， 因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底. 选项B，因为，所以与共线，不能作为基底. 选项C，假设与共线，则存在实数，使得，即， 因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底. 选项D，假设与共线，则存在实数，使得，即， 因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底. 故选：ACD. 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记，. (1)用，表示向量，，； (2)若，且，求的余弦值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用向量的加法法则得出向量，，设，， 用两种形式表示，利用表示方法的唯一性得出即可. （2）利用即可. 【详解】（1）因为， 所以， . 设，， 则， ， 由平面向量基本定理可知用同一组基底的表示具有唯一性，可得， 解得：，，故. （2）因，，三点共线，又，则， 则， 又，得，故的余弦值为. 【相似题2】（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，是边上靠近的三等分点，是的中点． (1)以为基底表示，； (2)设与相交于点，若，求实数与的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据平面向量的线性运算，即可求解； （2）由题意，得，共线，，共线，结合平面向量的线性运算，列方程组即可求解. 【详解】（1）由题可知，， 所以， ． （2）由题可得，共线，，共线，如图：    设，由（1）知，， 则， 又，由，共线，得，使得， 即， 又，不共线， 所以，解得， 所以， ， 又，所以． 【题型五：平面向量的坐标运算】 知识讲解 平面向量的坐标运算 1. 向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，设，分别是与轴、轴正方向相同的单位向量，若向量，则叫做向量的坐标，记作。 2. 向量坐标的加法与减法：若，，则，。即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。 3. 向量数乘的坐标运算：若，是实数，则。即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 4. 向量坐标的求法：已知，，则。即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 常用结论 1. 若，，且，则的充要条件是。这是根据向量共线定理推导而来，若，即，可得，，消去就得到。 2. 若，，则。这是向量数量积的坐标运算公式，其推导基于向量数量积的定义和单位向量的性质。 3. 向量的模。根据勾股定理，向量的模就是其在平面直角坐标系中的长度。 4. 设，，为与的夹角，则。这是通过向量数量积的定义，结合向量模和数量积的坐标运算公式推导得出。 5. 若，，且，则，即。这是因为两垂直向量的数量积为，由向量数量积的坐标运算公式得到此结论。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标运算法则求，结合向量平行坐标表示列方程可得，化简求，再结合二倍角正切公式求结论. 【详解】因为，， 所以，又，， 所以， 若，则，与矛盾，故， 所以， 所以， 故选：D. 【例题2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求得，结合投影向量的坐标公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以，可得， 所以在上的投影向量的坐标为， 故选：C. 【例题3】多选题2025·四川乐山·模拟预测）已知向量，，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，在方向上的投影向量为 D．当与夹角为锐角时， 【答案】AC 【分析】根据两向量平行的坐标公式判断A；由向量模的坐标公式计算判断B；根据投影向量的定义判断C；根据，且与不同向判断D即可. 【详解】对于A，由，则，解得，故A正确； 对于B，，， ，解得或，故B错误； 对于C，当时，， 则由投影向量公式得在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，当与夹角为锐角时，则，且与不同向， ，解得且，故D错误. 故选：AC. 相似练习 【相似题1】（多选）（24-25高一下·甘肃平凉·阶段练习）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用坐标计算可判断A；利用模长坐标计算可判断B；由数量积是否为0可判断C；利用向量夹角公式的坐标运算可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故与不垂直，故C错误； 对于D，，故，故D正确． 故选：AD． 【相似题2】（24-25高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解. 【详解】向量，，且与的夹角为钝角，则（且排除反向共线情况）. 当时，则，解得. 当当反向共线时，，解得. 综上所得，求实数的取值范围为. 故答案为：. 【相似题3】（2025·湖北·二模）已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和投影向量的计算方法，求解即可. 【详解】因为，所以，又， 所以向量在向量上投影向量为，故所求坐标为. 故答案：. 【题型六：平面向量的最值与取值范围】 知识讲解 知识讲解 1. 几何意义求解 · 向量问题常可借几何意义转化求解。比如，是与终点间距。若终点在圆上，终点固定，求最值，就是求圆上一点到定点的距离最值。 · 向量夹角，分析其对向量运算结果的影响，能确定相关量取值范围。 2. 坐标运算求解 · 向量用坐标表示时，可转为代数问题。如，，则。若有约束条件，可通过代数法求最值或范围。 · 对于，若有约束，可化为单变量函数求最值。 3. 不等式求解 · 常用不等式（与同向取等），（与共线取等）。已知，，则 。 常用结论 1. 向量数量积 · 若，固定，为单位向量，最大值为 。当与同向（时）取最值。 · 已知，，夹角为，则，取最大，取最小。 2. 向量模 · 若，固定，最小为，最大为 。 · 若，，则最大为，最小为。 3. 向量夹角 · 若且，非零，则 。 · 若且，非零，则 。 · 若，则 。 例题精选 【例题1】（2025·辽宁·一模）已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长至，使，依题意可得共线，则是等边三角形，取的中点，求出，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】延长至，使，则， 所以共线，又的最小值为，且， 所以为等腰三角形，当且仅当时取得最小值，则，    所以是等边三角形，取的中点，则，当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为. 故选：C 【例题2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A     B．    C．     D． 【答案】A 【分析】将两边平方，转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，再利用判别式结合的范围即可求解. 【详解】由得， 即，即对任意的恒成立， 所以，解得， 又因为，所以， 故选：A. 【例题3】多选题（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知向量的夹角为，，，，则（    ） A．在方向上的投影向量的模为1 B．在方向上的投影向量的模为 C．的最小值为 D．取得最小值时， 【答案】AD 【分析】利用投影向量的模长公式和数量积的运算律逐项判断即可. 【详解】由题意在方向上的投影向量的模为，故A说法正确； 在方向上的投影向量的模为，故B说法错误； ， 当时，取得最小值， 此时， 所以，故C说法错误，D说法正确， 故选：AD 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围 . 【答案】 【分析】根据已知及数量积的运算律求得，，，再应用数量积的夹角公式求的范围. 【详解】由， 所以，故， 又，， 所以 ，而，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知得到为关键. 【相似题2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是 . 【答案】2 【分析】设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为中的最小值问题，再借助三角函数求解即可. 【详解】如图： 设，，则，依题意. 过作，垂足为，则， 即的最小值是2. 故答案为：2. 【相似题3】（24-25高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）平面四边形中，，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据条件可知，由可确定点在以为直径的圆的劣弧上，进而根据圆的性质，当点在的中点时，最小，进而可得. 【详解】 因，，，故， 故，得， 又，故点在以为直径的圆的劣弧上， 由圆的性质可知，当时，在方向上的投影最小，此时最小， 过作交于，易得，故在方向上的投影最小为， 故此时. 故答案为： 【题型七：平面向量的四心问题】 知识讲解 1. 重心：三角形三条中线的交点。重心将每条中线分为2:1的两段。 2. 垂心：三角形三条高的交点。 3. 外心：三角形三边中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，此距离为外接圆半径。 4. 内心：三角形三条内角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，此距离为内切圆半径。 常用结论 1. 重心相关结论 已知是所在平面内一点，若，则为的重心。 设为的重心，若，，则。 2. 垂心相关结论 已知是所在平面内一点，若，则为的垂心。 在中，，，点为垂心，则，且存在实数，使得，同时满足等关系用于求解垂心相关向量问题。 3. 外心相关结论 已知是所在平面内一点，若，则为的外心。 设为的外心，，，，则，。 4. 内心相关结论 已知是所在平面内一点，若（其中$a,b,c$分别为中角$A,B,C$所对的边），则为的内心。 设的内心为，，，角的平分线交$BC$于点，则，且（为常数）。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）是的外心，，存在，使.若，则的长为（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】B 【分析】取的中点，得到，由向量的数量积的几何意义，得到，，再由，结合条件代入即可求得即可. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 因为是的外心，所以，且， 则， ， 又因为，且， 所以 ，所以，即的长为. 故选：B. 【例题2】（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 取的中点，根据题意，可得为的重心，则在上，又，可得，所以，，，四点共线，根据三角形的性质，设，即可求得答案. 【详解】取的中点，连接，则， 由，知为的重心，则在上， 所以，而， 所以，，，四点共线，所以，即， 不妨令，则，，则， 所以．    【例题3】（20-21高一下·云南大理·期中）在中，，，，则直线通过的（    ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 【答案】D 【分析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定. 【详解】因为,∴， 设,则， 又， ∴在的角平分线上， 由于三角形中,     故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合， 故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心， 故选D. 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 【答案】①②③④ 【分析】根据平面向量运算的几何表示，结合三角形五心的定义，可得答案. 【详解】对于①，因为动点满足，所以，则点是的重心，①正确． 对于②，，所以， 所以点在的平分线所在直线上，所以动点的轨迹一定经过的内心，②正确． 对于③，，所以， 过点作，垂足为，如下图： 则，所以， 则点在边上的中线所在直线上，因此动点的轨迹一定经过的重心，③正确． 对于④，，所以， 所以， 所以，所以动点的轨迹一定经过的垂心，④正确． 故所有正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④. 【相似题3】（2024高三·江苏·专题练习）的外心满足，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】 设的中点为，根据外心性质和向量线性运算可证得，利用勾股定理可构造方程求得外接圆半径，由此可得长，代入三角形面积公式即可. 【详解】 设的中点为，则，，即， 又，所以， 三点共线且，； 设的外接圆半径为，则， ，，解得：， ，. 故答案为：. 【题型八：平面向量的新定义题型】 1．（23-24高三上·安徽蚌埠·期中）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，为坐标原点，余弦相似度为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则的余弦距离为 . 【答案】/ 【分析】根据余弦相似度和余弦距离的定义，即可求得结果. 【详解】由题意得， 则， 又， ， ， . 故答案为： 2．（21-22高一下·福建莆田·期末）定义：，两个向量的叉乘的模为，表示向量与的夹角．若点，，O为坐标原点，则 ． 【答案】 【分析】首先利用向量的坐标表示求出向量，然后利用向量的夹角公式求出向量与向量的夹角，进而根据叉乘的模为，代入求出叉乘的模即可. 【详解】，，，， ，， ， ，， . 故答案为：. 二、解答题 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有 3 种.设 ，则欧几里得距离 曼哈顿距离， 余 弦 距 离  其 中 （为坐标原点）. (1)若，， 求，之间的曼哈顿距离和余弦距离; (2)若点，， 求的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题目中的公式，直接计算，可得答案； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，，所以，，， 所以， ； （2）设，由题意得：， 即， 当时可化为； 当时可化为； 当时可化为； 当时可化为； 而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． 4．（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）连接，根据三角形模式可得，即可求解； （3）由题意可得是等边三角形，所以，再根据向量极化恒等式即可求解. 【详解】（1）. 由极化恒等式可得：. （2）如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是. （3）令（其中）， 则三点共线（如图）， 从而的几何意义表示点到直线的距离为， 这说明是等边三角形，为边上的高，故. 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离. 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值. 5．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）假设，为平面中不共线的单位向量，，则对任意向量，存在唯一一组，使得，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组集合的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组叫做向量的斜坐标． (1)若的斜坐标为，，求与垂直的单位向量的斜坐标． (2)在夹角为θ的仿射坐标系中，设，，求证： ① ② (3)在三角形ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时，求的最小值． 【答案】(1)或； (2)① 证明见解析；②证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，结合数量积的运算律及垂直的向量表示列式求解. （2）①②利用数量积的运算律及数量积的定义推理得证. （3）建立仿射坐标系，利用（2）的结论，结合基本不等式求出最小值. 【详解】（1）设所求向量为，则， ， ， 联立解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. （2）①， ， . ②由①知，， 当时，， 所以. （3）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立仿射坐标系， 设，则，， 由，得， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 6．（24-25高一下·河北·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. (1)已知向量，求； (2)（i）设向量的夹角为，证明：； （ii）在中，为的中点，且，若，求. 【答案】(1) (2)(i)证明见解析，（ii) 【分析】（1）由新定义代入即可求解； （2）（i）根据向量的坐标运算可得，进而可证，（ii）根据中线结合数量积可得，且可知点为的中点，进而求，再由（i）即可得结果. 【详解】（1）由，， 可得： （2）（i）因为 ， 且，，则， 所以. （ii）因为D为中点， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的中点，则， 可得， 即 则， ， ， 可得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一:平面向量的概念及线性运算】 知识讲解 平面向量的概念 1. 向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量。在平面直角坐标系中,通常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。 2. 向量的模:向量的大小叫做向量的模,记作。模是一个非负实数,它表示向量的长度。 3. 零向量:长度为的向量叫做零向量,记作。零向量的方向是任意的。 4. 单位向量:长度为的向量叫做单位向量。对于非零向量,与它同向的单位向量记作。 5. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也称为共线向量。规定零向量与任意向量平行。 6. 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 平面向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则:已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即。 平行四边形法则:已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作平行四边形$ABCD$,则对角线。 运算律:向量加法满足交换律和结合律。 2. 向量的减法 向量减法是向量加法的逆运算。若,则。 三角形法则:已知,,作,,则,即。 3. 向量的数乘 实数与向量的积是一个向量,记作。它的长度;当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,。 运算律:设,为实数,则有,,。 例题精选 【例题1】多选题(24-25高一下 云南昭通 阶段练习)下列命题正确的是( ) A.若与都是单位向量,则 B.“”是“”的必要不充分条件 C.若,都为非零向量,则使成立的条件是与反向共线 D.若,,则 【例题2】(24-25高一下 江苏南京 阶段练习)已知点是所在平面内的一点,且满足,则与的面积比为( ) A. B. C. D. 【例题3】(24-25高一下 安徽 阶段练习)已知是的中线,在直线上,且,则( ) A. B. C. D. 相似练习 【相似题1】(24-25高一下 福建福州 阶段练习)若在三角形中,,,则( ) A. B. C. D. 【相似题2】(24-25高一下 河北 阶段练习)在中,已知,点在线段上,若,则( ) A.2 B. C.3 D. 【相似题3】(24-25高一下 重庆 阶段练习)已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若,则( ) A. B. C.1 D. 【题型二:平面向量的共线定理】 知识讲解 平面向量共线定理 1. 若为非零向量,则向量与共线的充要条件是存在唯一实数,使得。 常用的共线结论 1. 若,且与有公共点,则,,三点共线。 2. 若存在实数,使得,则,,三点共线。 3. 若,,则与共线的充要条件是。 4. 若,是两个不共线的向量,,,则与共线的充要条件是。 例题精选 【例题1】(24-25高一下 广西南宁 阶段练习)已知三点共线,不共线且在线段上(不含端点),若,则的最小值为( ) A. B.4 C. D. 【例题2】(24-25高一下 黑龙江佳木斯 阶段练习)已知,,,则( )三点共线 A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D 【例题3】(2025 湖南 模拟预测)如图,在中,点是线段上靠近点的三等分点,过点的直线分别交直线、于点、.设,,则的值为( ) A. B. C. D. 相似练习 【相似题1】(24-25高一下 贵州遵义 阶段练习)如图,在中,,过点的直线分别交直线,于不同的两点,.设,,其中,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【相似题2】多选题(24-25高一下 广西南宁 阶段练习)已知平面向量,不共线,,,,则( ) A.A,B,C三点共线 B.A,B,C三点不共线 C.B,C,D三点共线 D.B,C,D三点不共线 【相似题3】(23-24高一下 内蒙古呼和浩特 阶段练习)在中,为上一点,且,为上一点,且满足,则最小值为 . 【题型三:平面向量的数量积】 知识讲解 平面向量数量积的概念 1. 定义:已知两个非零向量与,它们的夹角为(),把数量叫做与的数量积(或内积),记作 ,即。 当或为零向量时,规定 。 2. 几何意义:等于的长度与在方向上的投影的乘积,也等于的长度与在方向上的投影的乘积。 投影向量 1. 定义:设与夹角为,是与方向相同的单位向量,向量在向量上的投影向量为 。 若为非零向量,,则向量在向量上的投影向量为 。 平面向量数量积的运算律 1. 交换律: 。 2. 数乘结合律: ,其中为实数。 3. 分配律: 。 平面向量数量积的常用结论 设,为非零向量,为与的夹角。 1. 。 2. 当与同向时, ;当与反向时, 。特别地,,即 。 3. ,,可用于求两向量夹角。 4. ,当且仅当与共线时等号成立。 例题精选 【例题1】(2025高三 全国 专题练习)已知向量满足,,与的夹角为,且,则的值为( ) A. B. C.1 D.2 【例题2】(24-25高一下 江苏连云港 阶段练习)已知单位向量,满足,则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【例题3】(24-25高一下 山东青岛 阶段练习)若向量满足,若为,则间的夹角为( ) A. B. C. D. 相似练习 【相似题1】(24-25高三下 江西 阶段练习)设为的重心,,则( ) A. B. C. D. 【相似题2】(2025 甘肃白银 模拟预测)已知平面向量,满足,在上的投影向量为,则 . 【相似题3】(24-25高一下 北京平谷 阶段练习)已知向量,满足,且的夹角为. (1)求和的夹角的余弦值. (2)若,求实数的值. 【题型四:平面向量的基本定理】 知识讲解 平面向量基本定理知识讲解 1. 定理内容:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使。 这里不共线的向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 2. 对定理的理解: 存在性:平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这种分解是唯一的。 唯一性:一旦选定一组基底,,那么平面内任意一个向量用这组基底表示的形式就是唯一确定的。 常用结论 1. 若,是一组基底,,则且 。这是因为向量用基底表示的形式具有唯一性。 2. 设,是平面内两个不共线向量,若存在实数,,使得,那么 。因为若,不全为,则,将共线,与已知矛盾。 3. 若为的重心,设,,则 。推导过程:设$BC$中点为,则,又因为重心分中线$AD$的比为$2:1$,所以 。 4. 已知是所在平面内一点,且满足,则为的重心。证明:设$BC$中点为,则,因为,所以,即,,三点共线且,故为的重心。 例题精选 【例题1】(23-24高一下 江苏宿迁 期中)如图, 在 ABC中, P是线段BN上的一点,若 则实数m等于( ) A. B. C. D. 【例题2】(24-25高一下 广东茂名 阶段练习)在中,在上且,设,则( ) A. B. C. D. 【例题3】多选题(24-25高一下 福建莆田 阶段练习)设是平面内一个基底,则下列四组基底中,能作为基底的有( ) A.与 B.与 C.与 D.与 相似练习 【相似题1】(24-25高一下 山东临沂 阶段练习)已知在中,是边的中点,且,设与交于点.记,. (1)用,表示向量,,; (2)若,且,求的余弦值. 【相似题2】(24-25高一下 河南 阶段练习)在中,是边上靠近的三等分点,是的中点. (1)以为基底表示,; (2)设与相交于点,若,求实数与的值. 【题型五:平面向量的坐标运算】 知识讲解 平面向量的坐标运算 1. 向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,设,分别是与轴、轴正方向相同的单位向量,若向量,则叫做向量的坐标,记作。 2. 向量坐标的加法与减法:若,,则,。即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)。 3. 向量数乘的坐标运算:若,是实数,则。即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 4. 向量坐标的求法:已知,,则。即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 常用结论 1. 若,,且,则的充要条件是。这是根据向量共线定理推导而来,若,即,可得,,消去就得到。 2. 若,,则。这是向量数量积的坐标运算公式,其推导基于向量数量积的定义和单位向量的性质。 3. 向量的模。根据勾股定理,向量的模就是其在平面直角坐标系中的长度。 4. 设,,为与的夹角,则。这是通过向量数量积的定义,结合向量模和数量积的坐标运算公式推导得出。 5. 若,,且,则,即。这是因为两垂直向量的数量积为,由向量数量积的坐标运算公式得到此结论。 例题精选 【例题1】(24-25高一下 江苏南通 阶段练习)已知向量,,,若,则( ) A. B. C. D. 【例题2】(2025 河南驻马店 模拟预测)已知向量满足,则在上的投影向量的坐标为( ) A. B. C. D. 【例题3】多选题2025 四川乐山 模拟预测)已知向量,,则( ) A.当时, B.当时, C.当时,在方向上的投影向量为 D.当与夹角为锐角时, 相似练习 【相似题1】(多选)(24-25高一下 甘肃平凉 阶段练习)已知向量,则( ) A. B. C. D. 【相似题2】(24-25高一下 黑龙江牡丹江 阶段练习)已知向量,,且与的夹角为钝角,求实数的取值范围 . 【相似题3】(2025 湖北 二模)已知向量,满足,,则向量在向量上投影向量的坐标为 . 【题型六:平面向量的最值与取值范围】 知识讲解 知识讲解 1. 几何意义求解 向量问题常可借几何意义转化求解。比如,是与终点间距。若终点在圆上,终点固定,求最值,就是求圆上一点到定点的距离最值。 向量夹角,分析其对向量运算结果的影响,能确定相关量取值范围。 2. 坐标运算求解 向量用坐标表示时,可转为代数问题。如,,则。若有约束条件,可通过代数法求最值或范围。 对于,若有约束,可化为单变量函数求最值。 3. 不等式求解 常用不等式(与同向取等),(与共线取等)。已知,,则 。 常用结论 1. 向量数量积 若,固定,为单位向量,最大值为 。当与同向(时)取最值。 已知,,夹角为,则,取最大,取最小。 2. 向量模 若,固定,最小为,最大为 。 若,,则最大为,最小为。 3. 向量夹角 若且,非零,则 。 若且,非零,则 。 若,则 。 例题精选 【例题1】(2025 辽宁 一模)已知,向量,且的最小值为,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【例题2】(24-25高一下 江苏连云港 阶段练习)已知是单位向量,且的夹角为,若,则的取值范围为( ) A B. C. D. 【例题3】多选题(24-25高二下 安徽安庆 阶段练习)已知向量的夹角为,,,,则( ) A.在方向上的投影向量的模为1 B.在方向上的投影向量的模为 C.的最小值为 D.取得最小值时, 相似练习 【相似题1】(24-25高一下 浙江杭州 阶段练习)已知为单位向量,设向量,向量的夹角为,若,求的取值范围 . 【相似题2】(24-25高一下 陕西咸阳 阶段练习)若向量,满足,且向量与向量的夹角为,则的最小值是 . 【相似题3】(24-25高一下 黑龙江牡丹江 阶段练习)平面四边形中,,,,,则的最小值为 . 【题型七:平面向量的四心问题】 知识讲解 1. 重心:三角形三条中线的交点。重心将每条中线分为2:1的两段。 2. 垂心:三角形三条高的交点。 3. 外心:三角形三边中垂线的交点,外心到三角形三个顶点的距离相等,此距离为外接圆半径。 4. 内心:三角形三条内角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等,此距离为内切圆半径。 常用结论 1. 重心相关结论 已知是所在平面内一点,若,则为的重心。 设为的重心,若,,则。 2. 垂心相关结论 已知是所在平面内一点,若,则为的垂心。 在中,,,点为垂心,则,且存在实数,使得,同时满足等关系用于求解垂心相关向量问题。 3. 外心相关结论 已知是所在平面内一点,若,则为的外心。 设为的外心,,,,则,。 4. 内心相关结论 已知是所在平面内一点,若(其中$a,b,c$分别为中角$A,B,C$所对的边),则为的内心。 设的内心为,,,角的平分线交$BC$于点,则,且(为常数)。 例题精选 【例题1】(24-25高一下 山东青岛 阶段练习)是的外心,,存在,使.若,则的长为( ) A.5 B. C. D.4 【例题2】(23-24高一下 重庆 阶段练习)已知外接圆圆心为,为所在平面内一点,且,若,则( ) A. B. C. D. 【例题3】(20-21高一下 云南大理 期中)在中,,,,则直线通过的( ) A.垂心 B.外心 C.重心 D.内心 相似练习 【相似题1】(24-25高一下 江苏宿迁 开学考试)已知 ABC,向量满足条件,,则 ABC是( ) A.等腰直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 【相似题2】(2025高三 全国 专题练习)已知点均在所在平面内,以下所有正确说法的序号是 . ①若动点满足,则点为的重心; ②若动点满足,则动点的轨迹一定经过的内心; ③若动点满足,则动点的轨迹一定经过的重心; ④若动点满足,则动点的轨迹一定经过的垂心. 【相似题3】(2024高三 江苏 专题练习)的外心满足,,则的面积为 . 【题型八:平面向量的新定义题型】 1.(23-24高三上 安徽蚌埠 期中)我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别,就是利用计算机检测样本之间的相似度,余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点,为坐标原点,余弦相似度为向量夹角的余弦值,记作,余弦距离为.已知,若的余弦距离为,则的余弦距离为 . 2.(21-22高一下 福建莆田 期末)定义:,两个向量的叉乘的模为,表示向量与的夹角.若点,,O为坐标原点,则 . 二、解答题 3.(24-25高二下 上海 阶段练习)人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度,常用测量距离的方式有 3 种.设 ,则欧几里得距离 曼哈顿距离, 余 弦 距 离 其 中 (为坐标原点). (1)若,, 求,之间的曼哈顿距离和余弦距离; (2)若点,, 求的最大值. 4.(24-25高一下 河北邯郸 阶段练习)极化恒等式实现了向量与数量的转化,阅读以下材料,解答问题. 1.极化恒等式:,公式推导:; 2.平行四边形模式:如图,平行四边形,是对角线交点,则; 3.三角形模式:如图,在中,设为的中点,则.推导过程:由. (1)如图,在边长为2的正方形中,其对称中心平分线段,且,点为的中点,求的值; (2)“易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图(如图1).某太极八卦图的平面图如图2所示,其中正八边形的中心与圆心重合,是正八边形的中心,是圆的一条直径,且正八边形内切圆的半径为,.若点是正八边形边上的一点,求的取值范围; (3)已知中,,且的最小值为,若为边上任意一点,求的最小值. 5.(24-25高一下 山东青岛 阶段练习)假设,为平面中不共线的单位向量,,则对任意向量,存在唯一一组,使得,这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组集合的一一对应关系,这样就产生了仿射坐标系,有序数组叫做向量的斜坐标. (1)若的斜坐标为,,求与垂直的单位向量的斜坐标. (2)在夹角为 的仿射坐标系中,设,,求证: ① ② (3)在三角形ABD中,DF为边AB的中线,过B点作DF的垂线,交DF于C,交AD于E,此时,求的最小值. 6.(24-25高一下 河北 阶段练习)在平面直角坐标系中,对于非零向量,定义这两个向量的“相离度”为,容易知道平行的充要条件为. (1)已知向量,求; (2)(i)设向量的夹角为,证明:; (ii)在中,为的中点,且,若,求. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$