易错题必刷练（期中复习专练 31个易错知识点 共98题）-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习培优训练【优等生培优版】

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习培优训练【优等生培优版】 易错题必刷练 （第1-4章 31个易错知识点 共98题） 同学你好，本套讲义结合课本内容编辑制作，贴合书本内容。资料考点均为重难点考查内容，讲练结合，精选近两年期中真题，模拟题等！避免无效刷题！解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点01：直角三角形全等的判定 2 易错知识点02：角平分线的性质 3 易错知识点03：线段垂直平分线的性质 4 易错知识点04：等腰三角形的性质 6 易错知识点05：等腰三角形的判定与性质 7 易错知识点06：等边三角形的判定与性质 8 易错知识点07：直角三角形的性质 10 易错知识点08：含30度角的直角三角形 12 易错知识点09：勾股定理 13 易错知识点10：勾股定理的证明 15 易错知识点11：勾股定理的逆定理 16 易错知识点12：反证法 17 易错知识点13：不等式的性质 18 易错知识点14：不等式的解集 20 易错知识点15：在数轴上表示不等式的解集 20 易错知识点16：解一元一次不等式 21 易错知识点17：一元一次不等式的整数解 22 易错知识点18：一元一次不等式的应用 22 易错知识点19：解一元一次不等式组 23 易错知识点20：一元一次不等式组的整数解 24 易错知识点21：一元一次不等式组的应用 24 易错知识点22：一次函数与一元一次不等式 26 易错知识点23：公因式 29 易错知识点24：因式分解-提公因式法 29 易错知识点25：因式分解-运用公式法 29 易错知识点26：提公因式法与公式法的综合运用 30 易错知识点27：因式分解-分组分解法 31 易错知识点28：因式分解-十字相乘法等 32 易错知识点29：因式分解的应用 33 易错知识点30：平移的性质 35 易错知识点31：坐标与图形变化-平移 36 易错知识点32：旋转的性质 37 易错知识点33：作图-旋转变换 38 易错知识点01：直角三角形全等的判定 1．（2024春•郏县期中）如图所示，，分别是，上的点，作于点，作于点，若，，下面三个结论：①；②；③，正确的是　　 A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③ 2．（2023秋•赣州期中）如图，，，垂足分别是、，若要用“”得到，则你添加的条件是　　．（写一种即可） 3．（2024春•市北区期中）数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，，，．求证：． 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘证明两个三角形全等，从而得到．” 小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 你认为他们的办法可行吗？并试着证明． 易错知识点02：角平分线的性质 4．（2023春•高邮市期中）如图1，直线与直线相交于点，、两点同时从点出发，点以每秒个单位长度沿直线向左运动，点以每秒个单位长度沿直线向上运动． （1）若运动时，点比点多运动1个单位；运动时，点与点运动的路程和为6个单位，则　　，　　． （2）如图2，当直线与直线垂直时，设和的角平分线相交于点．在点、运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出过程）；若发生变化，请说明理由． （3）如图3，将（2）中的直线不动，直线绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变． （ⅰ）用含有的式子表示的度数． （ⅱ）如果再分别作的两个外角，的角平分线相交于点，并延长、交于点．则下列结论为定值的选项是 　　（填序号）． ①；②；③；④． 6．（2023秋•博罗县校级期中）如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断、与之间的数量关系，并说明理由． 易错知识点03：线段垂直平分线的性质 7．（2024春•金水区校级期中）如图，在△中，，． （1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点； ②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 8．（2024春•北林区校级期中）如图所示．为△的边的垂直平分线，为△的外角的角平线，与交于点，，，垂足分别为、，求证：． 9．（2024春•山亭区期中）在学习完课本53页数学活动2：用全等三角形研究“筝形”后，小明同学得知：如图，四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，课后小明认真思考得出了下列结论：①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤四边形的面积；⑥任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． （1）你认为正确的结论有 　 　；（只需填序号） （2）请你任选一个你认为正确的结论进行证明． 易错知识点04：等腰三角形的性质 10．（2023春•莱芜区期中）在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为18和21两个部分，则这个等腰三角形的腰长为 　 　． 11．（2024春•浦东新区校级期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角为 　度． 12．（2022春•绍兴期中）如图甲所示，已知点在直线上，点，在直线上，且，平分． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由． （2）如图乙所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设，． ①若，，求的值， ②判断：点在运动过程中，和的数量关系是否发生变化？若不变，写出和的数量关系并证明：若变化，请说明理由． 易错知识点05：等腰三角形的判定与性质 13．（2024春•滕州市校级期中）如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，的周长是13，则的周长是　　 A．18 B．19 C．20 D．21 14．（2023秋•城中区校级期中）如图，在△中，，点为上一点，且满足．点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求和的度数； （2）求证：△是等腰三角形． 15．（2023春•双流区期中）如图1，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． （1）请写出图1中线段，，之间的数量关系？并说明理由． （2）如图2，若的平分线与的外角平分线交于，过点作平行线交于，交于．那么，，之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 易错知识点06：等边三角形的判定与性质 16．（2024秋•越秀区校级期中）在△中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，． （1）求证：△是等边三角形； （2）求证：． 17．（2024秋•南宫市期中）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　　（填“”、“ ”或“” ． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， 　　（填“”、“ ”或“” ；理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若△的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 18．（2024秋•黄石期中）如图所示，和都是边长为4厘米等边三角形，两个动点，同时从点出发，点以1厘米秒的速度沿的方向运动，点以2厘米秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． （1）点、从出发到相遇所用时间是 　　秒； （2）当取何值时，也是等边三角形？请说明理由； （3）当时，判断与的位置关系． 易错知识点07：直角三角形的性质 19．（2024秋•离石区期中）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线，及其交点．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为　　 A． B． C． D． 20．（2024春•江北区校级期中）如图，在中，，，为上一点，且．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发至点（点不与两点重合），设点运动的时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围； （2）请在直角坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）若与的图象没有交点，请直接写出的取值范围． 21．（2022春•三元区期中）如图，在中，，于，平分，过点作于，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 易错知识点08：含30度角的直角三角形 22．（2024春•怀宁县期中）如图，在△中，，，，为边上一动点（不与点重合），△为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为线段垂直平分线与的交点，连接，则的最小值是　　 A． B．2 C． D．3 23．（2024春•高碑店市期中）如图，在等边△中，，将含角的三角板中角的顶点放在边上移动，使这个角的两边与△的边，分别交于点，，且始终与垂直，连接． （1）△是什么三角形？请说明理由． （2）如图1，若，求的长． （3）如图2，当时，求的长． 24．（2024春•余江区期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： （1）为多少时，是等边三角形？ （2）、在运动过程中，的形状不断发生变化，当为多少时，是直角三角形？请说明理由． 易错知识点09：勾股定理 25．（2024春•静海区校级期中）如图，在△中，，分别以点，点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于，，连接交于点，交于点．连接，以为圆心，长为半径作弧，交于点，若，，则的长度为　　 A． B． C． D． 26．（2024春•长安区校级期中）如图，在中，于点，，． （1）求的长； （2）若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 27．（2024春•张湾区期中）观察下列图形，回答问题： 问题（1）：若图①中的为直角三角形，正方形的面积为9，正方形的面积为15，则正方形的面积为　　． 问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是　 　（用图中字母表示） 问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积． 易错知识点10：勾股定理的证明 38．（2024春•潜山市校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接．，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为　　 A．4 B．5 C．6 D．10 29．（2024春•永定区期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法． （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，则：　　 ，　　 ；（此两空均用含，，的代数式表示，不用化简）根据面积相等，可知 　　 （化简），故验证了勾股定理． （2）如图2，在△中，，是边上的高，，，求的长； （3）如图1，，，直接写出的值． 30．（2024春•界首市校级期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为．较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 易错知识点11：勾股定理的逆定理 31．（2024春•漳平市期中）如图，在的正方形网格中，的度数是　　 A． B． C． D． 32．（2019秋•泰安期中）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止，当　　时，是直角三角形． 33．（2024春•安康期中）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． （1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 易错知识点12：反证法 34．（2024春•市中区期中）已知△中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在△中， ④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是　　 A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 35．（2022春•鼓楼区期中）已知中，，求证：．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以，这与三角形内角和为矛盾； ②因此假设不成立，所以； ③假设在中，； ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是 　 ．（填序号） 36．（2023春•宝丰县期中）小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线，，在同一平面内，，， 求证：　　． 证明： 易错知识点13：不等式的性质 37．（2024春•秦都区校级期中）如果，那么下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． 38．（2024春•南海区校级期中）（1）从“数”的角度证明：当，时，，并解释何时取等号； （2）小林同学说他也可以用四个直角三角形从“形”的角度证明当，时，，请你根据小林设计的图形，说明理由． （1）当，时，，所以， 当 时， 0，此时等号成立． （2）左图中间小正方形的面积为：，大正方形的面积为四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，即： ，同时，大正方形的面积也等于，因此： ，由于，所以： ，当 时，中间小正方形消失（如右图），等号成立，即． 39．（2023春•海陵区期中）已知代数式． （1）①用含的代数式表示； ②若、均取整数，求、的值． （2） 当取、时，对应的值为、．当时，试比较、的大小． 易错知识点14：不等式的解集 40．（2024春•南安市期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是　　． 41．（2023春•埇桥区校级期中）若不等式的解集是，则的取值范围是　　． 42．（2021春•庐阳区校级期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）化简：； （3）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 易错知识点15：在数轴上表示不等式的解集 43．（2024春•仁寿县期中）如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集　　 A． B． C． D． 44．（2023春•英德市期中）已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是 　　． 45．（2024春•安次区校级期中）已知是关于，的二元一次方程的一个解． （1）求的值； （2）若的取值范围如图所示，求的正整数值． 易错知识点16：解一元一次不等式 46．（2024春•渠县校级期中）关于，的方程组满足不等式，则的范围是　　 A． B． C． D． 47．（2024春•砀山县期中）方程组的解满足不等式，则的范围是　　 A． B． C． D． 48．（2024春•运城期中）小明解不等式的过程如下，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 （1）①以上求解过程中，去分母是依据 　　 进行变形的．（从下面选项选一个） ．等式的基本性质 ．分式的基本性质 ．不等式的性质 ②第 　　 步开始出现错误，错误的原因是 　　 ． （2）该不等式的正确解集是 　　 ． （3）请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提两条建议． 易错知识点17：一元一次不等式的整数解 49．（2024春•黑山县期中）定义新运算：对于任意实数，都有：⊕，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕，那么不等式3⊕的最小整数解为 　　． 50．（2024春•双流区校级期中）对于，符号表示不大于的最大整数．如：，，则满足关系式的的整数值有 　　个． 易错知识点18：一元一次不等式的应用 51．（2022春•巴南区期末）临近端午，甲、乙两食品厂商分别承接制作白粽，肉粽和蛋黄粽的任务，甲厂商安排200名工人制作白粽和肉粽，每人只能制作其中一种粽子，乙厂商安排100名工人制作蛋黄粽，其中肉粽的人均制作数量比白粽的人均制作数量少20个，蛋黄粽的人均制作数量比肉粽的人均制作数量少，若本次制作的白粽、肉粽和蛋黄粽三种粽子的人均制作数量比肉粽的人均制作数量多，且制作白粽的人数不高于制作肉粽的人数的3倍，则本次可制作的粽子数量最多为个，这里的　 　． 52．（2022春•漳州期中）漳州云弯县是“中国枇杷之乡”．某水果商从散户果农收购“早钟6号”品种的枇杷200千克，“莆田种”品种的枇杷150千克，共花费5000元．已知“早钟6号”品种的枇杷比“莆田种”品种的批杷每千克收购价多4元． （1）“早钟6号”品种的批杷和“莆田种”品种的枇杷每千克的收购价分别是多少元？ （2）若“早钟6号”品种的枇杷每千克的售价比“莆田种”品种的枇杷每千克的售价多6元，且运输过程中，“早钟6号”品种的枇杷损耗，“莆田种”品种的批杷损耗．水果商售完这批枇杷盈利不少于1480元，“早钟6号”品种的枇杷每千克的售价最少应为多少元？ 53．（2022•湘西州）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元． （1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？ 易错知识点19：解一元一次不等式组 54．（2024•金平区校级一模）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是　　 A． B． C． D． 55．（2024春•吉安县期末）关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 　　． 56．（2024春•连州市期末）解不等式组：并把它的解集表示在数轴上． 易错知识点20：一元一次不等式组的整数解 57．（2023春•泗水县期末）若关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 58．（2024•沙坪坝区校级开学）关于的不等式组至少有3个整数解，关于的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 　　． 59．（2021春•南山区期末）解不等式（组 （1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的正整数解． 易错知识点21：一元一次不等式组的应用 60．（2024春•雁塔区校级期中）某火车站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排一列火车将货物运往某城市，火车可挂，两种不同规格的车厢50节，已知用一节型车厢费用0.5万元，用一节型车厢的费用0.8万元． （1）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节型车厢，甲种货物25吨和乙种货35吨可以装满一节型车厢，请设计，两种车厢的节数，有几种运输方案？请一一写出： （2）哪个方案运费最少？最少运费多少元？ 61．（2024春•浏阳市期末）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动、每辆汽车上至少要有1名教师． 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 400 280 问题： （1）共需租多少辆汽车？ （2）给出最节省费用的租车方案 分析： （1）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车，要注意到以下要求： ①要保证240名师生都有车坐； ②要使每辆汽车上至少要有1名教师． 根据①可知，汽车总数不能小于 　　；根据②可知，汽车总数不能大于 　　综合起来可知汽车总数为 　　． （2）租车费用与所租车的种类有关．可以看出，当汽车总数确定后，在满足各项要求的前提下．尽可能少地租用甲种客车可以节省费用． 设租用辆甲种客车，则租车费用（单位：元）是的函数，即． 将（1）中确定的的值代入上式，化简这个函数，得　　． 为使240名师生有车坐，不能小于 　　；为使租车费用不超过2300元，不能超过 　　综合起来可知的取值为 　　． 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？请详细说明理由． 62．（2022春•黔东南州期末）“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资． （1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？ （2）现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？ 易错知识点22：一次函数与一元一次不等式 63．（2024春•禹州市期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是　　 A． B．方程的解是 C． D．不等式的解集是 64．（2024春•西平县期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： （1）列表： 0 2 4 6 8 5 2 5 直接写出，的值，　　，　　． （2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象，写出该函数的一条性质：　　； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为 　　． 65．（2023春•岚山区期末）【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组的解集： 首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： 0 1 2 3 4 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若，为该函数图象上不同的两点，则　　； （3）观察图象，当时，自变量的取值范围是 　　； 【拓展运用】 函数的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数的图象所围成的图形面积． 易错知识点23：公因式 66．（2023秋•西安校级期末）整式与的公因式是　　 A． B． C． D． 67．（2023春•遂川县期末）多项式的公因式是 　　． 68．（2022春•米脂县期末）多项式的公因式是 　　． 易错知识点24：因式分解-提公因式法 69．（2024春•高新区校级期中）等于　　 A． B． C． D． 70．（2024春•浑南区期中）因式分解：　　． 71．（2023春•中原区校级期中）（1）因式分解：； （2）简便运算：． 易错知识点25：因式分解-运用公式法 72．（2022秋•湖里区期末）下列能用完全平方公式进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 73．（2023春•裕安区校级期末）用公式法分解因式：①；②；③；④其中，正确的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 74．（2022秋•井研县期末）阅读材料 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请问： （1）该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果． （2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 易错知识点26：提公因式法与公式法的综合运用 75．（2024春•鲁山县期末）下列分解因式正确的是　　 A． B． C． D． 76．（2024春•振兴区校级期中）因式分解： （1）； （2）． 77．（2024秋•西峡县期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： （1）因式分解：　　． （2）因式分解：． （3）证明：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 易错知识点27：因式分解-分组分解法 78．（2022秋•西平县期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请问： （1）该同学因式分解的结果是否彻底？　　（填“彻底”或“不彻底” ，若不彻底则，该因式分解的最终结果为　　； （2）请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 79．（2022秋•中江县期末）因式分解： （1）； 2）． 80．（2021春•凤翔县期末）分解因式： （1）； （2）． 易错知识点28：因式分解-十字相乘法等 81．（2023•西安校级模拟）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 82．（2023春•子洲县期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如：①； ②． 根据材料，把下列式子进行因式分解． （1） ； （2）； （3）． 83．（2021秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算： ；． 而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得： ；． 通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用图中十字相乘的形式表示为： 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：． 利用这种方法，将下列多项式分解因式： （1）　　； （2）　　； （3）　　； （4）　　． 易错知识点29：因式分解的应用 84．（2024春•辽阳期末）已知△的三边长分别为，，，且满足，则△一定是　　 A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 85．（2024秋•湛江期末）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． （1）分解因式； （2）若，求的最大值； （3）当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 86．（2023春•济南期末）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为（a）． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：下列两位数：40，51，66中，“慧泉数”为 　　； （2）计算： ①；②； （3）如果一个“慧泉数” 的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数” 的十位数字是，个位数字是2，且满足，求． 易错知识点30：平移的性质 87．（2024春•秦都区期末）如图，沿边所在直线向左平移得到，则下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 88．（2022春•左权县期中）如图所示，直角三角形的周长为100，在其内部的个小直角三角形周长之和为　　． 89．（2025春•南昌月考）如图，在三角形中，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点，连接． （1）若，试求和的度数． （2）若落在边的中点处，且，求四边形的面积． （3）已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形的位置后，点的对应点为点，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，求的长度． 易错知识点31：坐标与图形变化-平移 90．（2024春•碑林区校级期末）已知坐标平面内的点，如果将平面直角坐标系向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，那么平移后点的坐标是　　 A． B． C． D． 91．（2021秋•肇源县期末）将点向上平移2个单位得到，且在轴上，那么点的坐标是　　 A． B． C． D． 92．（2021春•崇明区期末）如果把点向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到点，那么　　． 易错知识点32：旋转的性质 93．（2024秋•凤凰县月考）如图，在中，，，以为旋转中心逆时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为　　 A． B． C． D． 94．（2024春•云霄县校级期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点，分别与点，对应，如果，，三点恰好在同一直线上，下列结论： ①是等腰三角形； ②； ③； ④； ⑤． 其中正确的是 　 ．（填序号） 95．（2023秋•高青县期末）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将△绕顶点旋转到△处，此时△△，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 　　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△中，，，、为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在△中，，，，点为△内一点，连接，，，且，求的值． 易错知识点33：作图-旋转变换 96．（2024春•巴中期末）如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）将沿水平方向向左平移4个单位得△，请画出△； （2）画出关于原点成中心对称的△； （3）若△与△关于点成中心对称，则点的坐标是　　 97．（2021春•罗湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请按下列要求画图： ①平移，使点的对应点的坐标为，请画出平移后的△； ②△与关于原点中心对称，画出△． （2）若将△绕点旋转可得到△，请直接写出旋转中心点的坐标　　． 98．（2021春•龙岗区期末）如图，已知，在的平分线上有一点，，当的顶点与点重合，它的两条边分别与直线、相交于点、． （1）当绕点旋转到与垂直时（如图，请猜想与的数量关系，并说明理由； （2）由（图的位置将绕点逆时针旋转角，线段、与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习培优训练【优等生培优版】 易错题必刷练 （第1-4章 31个易错知识点 共98题） 同学你好，本套讲义结合课本内容编辑制作，贴合书本内容。资料考点均为重难点考查内容，讲练结合，精选近两年期中真题，模拟题等！避免无效刷题！解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点01：直角三角形全等的判定 2 易错知识点02：角平分线的性质 5 易错知识点03：线段垂直平分线的性质 9 易错知识点04：等腰三角形的性质 11 易错知识点05：等腰三角形的判定与性质 13 易错知识点06：等边三角形的判定与性质 16 易错知识点07：直角三角形的性质 20 易错知识点08：含30度角的直角三角形 24 易错知识点09：勾股定理 28 易错知识点10：勾股定理的证明 32 易错知识点11：勾股定理的逆定理 36 易错知识点12：反证法 38 易错知识点13：不等式的性质 39 易错知识点14：不等式的解集 41 易错知识点15：在数轴上表示不等式的解集 42 易错知识点16：解一元一次不等式 43 易错知识点17：一元一次不等式的整数解 45 易错知识点18：一元一次不等式的应用 46 易错知识点19：解一元一次不等式组 48 易错知识点20：一元一次不等式组的整数解 49 易错知识点21：一元一次不等式组的应用 51 易错知识点22：一次函数与一元一次不等式 54 易错知识点23：公因式 59 易错知识点24：因式分解-提公因式法 60 易错知识点25：因式分解-运用公式法 61 易错知识点26：提公因式法与公式法的综合运用 62 易错知识点27：因式分解-分组分解法 64 易错知识点28：因式分解-十字相乘法等 66 易错知识点29：因式分解的应用 68 易错知识点30：平移的性质 70 易错知识点31：坐标与图形变化-平移 72 易错知识点32：旋转的性质 73 易错知识点33：作图-旋转变换 77 易错知识点01：直角三角形全等的判定 1．（2024春•郏县期中）如图所示，，分别是，上的点，作于点，作于点，若，，下面三个结论：①；②；③，正确的是　　 A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③ 解：连接， ， 是的平分线， ，①正确． ，②正确． 只是过点，并没有固定，明显③不成立． 故选：． 2．（2023秋•赣州期中）如图，，，垂足分别是、，若要用“”得到，则你添加的条件是　　．（写一种即可） 解：可添加， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 3．（2024春•市北区期中）数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，，，．求证：． 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘证明两个三角形全等，从而得到．” 小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 你认为他们的办法可行吗？并试着证明． 解：都可行． 证明，， ． 在和中， ， ， ，， ，即． 证明2：连接． ，， ． 在和中， ， ， ． 证明3：连接，由证明1得知， ， ，即， 又，， ． ， ． 易错知识点02：角平分线的性质 4．（2023春•高邮市期中）如图1，直线与直线相交于点，、两点同时从点出发，点以每秒个单位长度沿直线向左运动，点以每秒个单位长度沿直线向上运动． （1）若运动时，点比点多运动1个单位；运动时，点与点运动的路程和为6个单位，则　1　，　　． （2）如图2，当直线与直线垂直时，设和的角平分线相交于点．在点、运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出过程）；若发生变化，请说明理由． （3）如图3，将（2）中的直线不动，直线绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变． （ⅰ）用含有的式子表示的度数． （ⅱ）如果再分别作的两个外角，的角平分线相交于点，并延长、交于点．则下列结论为定值的选项是 　　（填序号）． ①；②；③；④． 解：（1）由题意：， 解得； （2）结论：不变化，． 理由：如图2中， 直线直线， ， ， 平分，平分， ， ． （3）（ⅰ），理由如下： 根据题意得：， ， 平分，平分， ， ； 故答案为：； （ⅱ）①平分，平分， ， ，故①为定值； ②平分，平分， ， ， ，故②不是定值； ③，， ，故③为定值； ④，， ，故④为定值； 故答案为：①③④． 5．（2024秋•宁乡市期中）如图：在中，，是的平分线，于，在上，，证明： （1）． （2）． 证明：（1）是的平分线，，， ， 在和中， ， ． ； （2）是的平分线，，， ． 在与中， ， ， ， ． 6．（2023秋•博罗县校级期中）如图，在中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）请你判断、与之间的数量关系，并说明理由． 证明：（1）平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）． ， ， ， ， ， 即． 易错知识点03：线段垂直平分线的性质 7．（2024春•金水区校级期中）如图，在△中，，． （1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点； ②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 解：（1）如图，点，射线即为所求． （2）垂直平分线段， ， ， ， ， ， 平分， ． 8．（2024春•北林区校级期中）如图所示．为△的边的垂直平分线，为△的外角的角平线，与交于点，，，垂足分别为、，求证：． 证明：如图所示，连接，， 为△的边的垂直平分线， ， ，为△的外角的角平线，，， ， △△， ． 9．（2024春•山亭区期中）在学习完课本53页数学活动2：用全等三角形研究“筝形”后，小明同学得知：如图，四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，课后小明认真思考得出了下列结论：①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤四边形的面积；⑥任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． （1）你认为正确的结论有 　①③⑤⑥　；（只需填序号） （2）请你任选一个你认为正确的结论进行证明． （1）解：正确的有①③⑤⑥； 故答案为：①③⑤⑥． （2）证明：对于③：，， 点，在线段的中垂线上， 垂直平分， 对于①：，，垂直平分， 平分，平分， 对角线平分一组对角和； 对于⑤：四边形的面积； 对于⑥：同⑤法可得：任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． 易错知识点04：等腰三角形的性质 10．（2023春•莱芜区期中）在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为18和21两个部分，则这个等腰三角形的腰长为 　12或14　． 解：根据题意， ①当18是腰长与腰长一半时，， 解得， 所以腰长为12； ②当21是腰长与腰长一半时，，解得， 所以腰长为14， 所以腰长等于12或14． 故答案为：12或14． 11．（2024春•浦东新区校级期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角为 　50或130　度． 解：根据题意得：，， 如图（1），， 则， 如图（2），， ， ． 故这个等腰三角形的顶角是：或． 故答案为：50或130． 12．（2022春•绍兴期中）如图甲所示，已知点在直线上，点，在直线上，且，平分． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由． （2）如图乙所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设，． ①若，，求的值， ②判断：点在运动过程中，和的数量关系是否发生变化？若不变，写出和的数量关系并证明：若变化，请说明理由． 解：（1）直线与直线平行，理由： 平分， ， 又， ， ； （2）①，是的平分线， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点在运动过程中，和的数量关系不发生变化， 是的外角，是的外角， ，， 又平分，平分， ，， ， 即． 易错知识点05：等腰三角形的判定与性质 13．（2024春•滕州市校级期中）如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，的周长是13，则的周长是　　 A．18 B．19 C．20 D．21 解：与的平分线交于点， ，， 又， ，， ，， ，， 的周长是13， ， ， 即， 又， 的周长为：． 故选：． 14．（2023秋•城中区校级期中）如图，在△中，，点为上一点，且满足．点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求和的度数； （2）求证：△是等腰三角形． 解：（1）设， ， ， ， ， ， ， ， 由可得， 解得：， 则，； （2）是的中点，， ，即； ， ， 又， ， 又， ， ， ，即△为等腰三角形． 15．（2023春•双流区期中）如图1，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． （1）请写出图1中线段，，之间的数量关系？并说明理由． （2）如图2，若的平分线与的外角平分线交于，过点作平行线交于，交于．那么，，之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 解：（1），理由如下： 和的平分线相交于点， ，， 过点作平行线交、于、． ， ，， ，， ，， ， 即； （2），理由如下： 和的平分线相交于点， ，， 过点作平行线交、于、． ， ，， ，， ，， ， ． 易错知识点06：等边三角形的判定与性质 16．（2024秋•越秀区校级期中）在△中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，． （1）求证：△是等边三角形； （2）求证：． （1）证明：，， ， ， ， ， △是等边三角形； （2）证明：△是等边三角形， ， ， ， ， ， 在△与△中， ， △△， ． 17．（2024秋•南宫市期中）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　　（填“”、“ ”或“” ． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， 　　（填“”、“ ”或“” ；理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若△的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 解：（1）当为的中点时，； （2），理由如下，过点作，交于点， 证明：△为等边三角形， △为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， 则； （3）点在延长线上时，作，则△为等边三角形， 如图所示，同理可得△△， ，， ， ， 则． 故答案为：（1）；（2）3． 18．（2024秋•黄石期中）如图所示，和都是边长为4厘米等边三角形，两个动点，同时从点出发，点以1厘米秒的速度沿的方向运动，点以2厘米秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． （1）点、从出发到相遇所用时间是 　4　秒； （2）当取何值时，也是等边三角形？请说明理由； （3）当时，判断与的位置关系． 解：（1）设点、从出发到相遇所用时间是，根据题意得： ， 解得：； 故答案为：4； （2）如图1：若是等边三角形， 此时点在上，点在上，且， 则，即， 解得：； （3）与互相垂直，理由如下： 如图2所示：根据题意得：， 取的中点， ， 是等边三角形， ， 是直角三角形， ， 即当时，与互相垂直． 易错知识点07：直角三角形的性质 19．（2024秋•离石区期中）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线，及其交点．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为　　 A． B． C． D． 解：， ， 平分，平分， ， ， ． 故选：． 20．（2024春•江北区校级期中）如图，在中，，，为上一点，且．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发至点（点不与两点重合），设点运动的时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围； （2）请在直角坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）若与的图象没有交点，请直接写出的取值范围． 解：（1）如图：过作， 在中，，， ， ， ， ，则， ， 的面积， 即． （2）解：如图： 性质：随的增大而减小． （3）解：如图： 当过和是有无交点的临界点， 当过时，有，即； 当过时，有，即． 结合图形可知：当或时，与的图象没有交点． 21．（2022春•三元区期中）如图，在中，，于，平分，过点作于，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 证明：（1）， ， ，即， ， ； （2）， ， ， ， 平分， ， 同（1）可得：， ， 在和中， ， ， ，即垂直平分， ， ， ，即， ． 易错知识点08：含30度角的直角三角形 22．（2024春•怀宁县期中）如图，在△中，，，，为边上一动点（不与点重合），△为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为线段垂直平分线与的交点，连接，则的最小值是　　 A． B．2 C． D．3 解：如图，连接，，设交于点， ，为的中点， 点在线段的垂直平分线上， △为等边三角形， ， 点在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线， ，， 点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， ，， ，，， 则在△和△中， △△， ， 在△中，，， 故， ， ， ， 解得：， ． 故选：． 23．（2024春•高碑店市期中）如图，在等边△中，，将含角的三角板中角的顶点放在边上移动，使这个角的两边与△的边，分别交于点，，且始终与垂直，连接． （1）△是什么三角形？请说明理由． （2）如图1，若，求的长． （3）如图2，当时，求的长． 解：（1）△是直角三角形． 理由：， ． ， ． △为等边三角形， ， ， △是直角三角形； （2）△为等边三角形， ， ， ， ， ，△是直角三角形， ， △为等边三角形， ， ； （3）． ，． △为等边三角形， ， △为等边三角形． ． △为等边三角形， ， ， ． 由（2）知，，， ， ． 24．（2024春•余江区期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： （1）为多少时，是等边三角形？ （2）、在运动过程中，的形状不断发生变化，当为多少时，是直角三角形？请说明理由． 解：（1）要使是等边三角形，即可得：， 在中，，，． ， 可得：，， 即， 解得：， 故答案为：8； （2）当为或时，是直角三角形， 理由如下： ，，， ， 动点以，以的速度出发， ，， 是直角三角形， 或， 当时， ， 解得； 当时， ， 解得． 所以，当为或时，是直角三角形． 易错知识点09：勾股定理 25．（2024春•静海区校级期中）如图，在△中，，分别以点，点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于，，连接交于点，交于点．连接，以为圆心，长为半径作弧，交于点，若，，则的长度为　　 A． B． C． D． 解：连接，如图所示： 根据作图可知，垂直平分， ，， △为直角三角形， ， ， 根据勾股定理得：， ， 设 ，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故选：． 26．（2024春•长安区校级期中）如图，在中，于点，，． （1）求的长； （2）若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 解：（1），． ． ， ． ． （2），，， ． ， ． 在和中， ． ． ． ②Ⅰ、点在线段上时，过点作于点． ，为它们共同的高， ． ， ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． Ⅱ、点在线段的延长线上时，过点作于点． ，为它们共同的高， ． ， ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． 综上，的长为：1或2.6． 27．（2024春•张湾区期中）观察下列图形，回答问题： 问题（1）：若图①中的为直角三角形，正方形的面积为9，正方形的面积为15，则正方形的面积为　24　． 问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是　 　（用图中字母表示） 问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积． 解：（1）由题意得，，， 故可得． （2），，， ， ． （3）设直角三角形的边从小到大分别是，，，则，两边同乘以， 即得：两小半圆的面积和等于大半圆的面积， 从而可得． 易错知识点10：勾股定理的证明 38．（2024春•潜山市校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接．，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为　　 A．4 B．5 C．6 D．10 解：过点作于点，交于点， 正方形面积为5，正方形面积为1， ，，，， 是直角三角形，， ， ， 即， ， ， ， ， 以为边长的正方形面积为10． 故选：． 29．（2024春•永定区期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法． （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，则：　　 ，　　 ；（此两空均用含，，的代数式表示，不用化简）根据面积相等，可知 　　 （化简），故验证了勾股定理． （2）如图2，在△中，，是边上的高，，，求的长； （3）如图1，，，直接写出的值． 解：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成， ，， ； 则； ，； ； 故答案为：，；； （2）在△中，， 是边上的高， 即 （3） ， ， ， 结合（1）结论； ． 30．（2024春•界首市校级期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为．较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 解：（1）根据题意得， ， 则． （2）四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， 直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是24． （3）设每个三角形的面积都为， ，， ， 又， ． 易错知识点11：勾股定理的逆定理 31．（2024春•漳平市期中）如图，在的正方形网格中，的度数是　　 A． B． C． D． 解：连接，设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 故选：． 32．（2019秋•泰安期中）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止，当　1或2　时，是直角三角形． 解：根据题意得，， 中，，， ， 中，，，若是直角三角形，则 或， 当时，， 即，（秒， 当时，， ，（秒． 答：当秒或秒时，是直角三角形． 故答案为：1或2． 33．（2024春•安康期中）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． （1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 解：（1）是． 理由：，， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形， 点、是线段的勾股分割点． （2）设，则， ①当为最长线段时，依题意， 即， 解得； ②当为最长线段时，依题意． 即， 解得， 综上所述，或10． 易错知识点12：反证法 34．（2024春•市中区期中）已知△中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在△中， ④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是　　 A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ①假设在△中，， ②由，得，即， ③，这与三角形内角和为矛盾， ④因此假设不成立． ， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：． 35．（2022春•鼓楼区期中）已知中，，求证：．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以，这与三角形内角和为矛盾； ②因此假设不成立，所以； ③假设在中，； ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是 　③④①②　．（填序号） 解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在中，， 2、由，得，即， 3、，这与三角形内角和为矛盾， 4、因此假设不成立．， 故答案为：③④①②． 36．（2023春•宝丰县期中）小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线，，在同一平面内，，， 求证：　　． 证明： 解：由命题的结论得：， 故答案为：， 证明：假设，相交于点， 则过点有两条直线，都平行于， 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 所以假设是错误的， 所以 易错知识点13：不等式的性质 37．（2024春•秦都区校级期中）如果，那么下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． 解：．，，故该选项不正确，不符合题意； ．，，故该选项不正确，不符合题意； ．，，故该选项正确，符合题意； ．，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：． 38．（2024春•南海区校级期中）（1）从“数”的角度证明：当，时，，并解释何时取等号； （2）小林同学说他也可以用四个直角三角形从“形”的角度证明当，时，，请你根据小林设计的图形，说明理由． （1）当，时，，所以， 当 时， 0，此时等号成立． （2）左图中间小正方形的面积为：，大正方形的面积为四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，即： ，同时，大正方形的面积也等于，因此： ，由于，所以： ，当 时，中间小正方形消失（如右图），等号成立，即． 39．（2023春•海陵区期中）已知代数式． （1）①用含的代数式表示； ②若、均取整数，求、的值． （2）当取、时，对应的值为、．当时，试比较、的大小． 解：（1）①， ， ， ； ②、均为整数，， 或或或． 解得：或或或； （2）当时，，当时，， ， ， ，，， ， ， ． 易错知识点14：不等式的解集 40．（2024春•南安市期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是　　． 解：由不等式组无解，得． 故答案为：． 41．（2023春•埇桥区校级期中）若不等式的解集是，则的取值范围是　　． 解：不等式两边都除以，得其解集为， ， 解得：， 故答案为：． 42．（2021春•庐阳区校级期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）化简：； （3）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 解：（1）解原方程组得：， ，， ， 解得； （2）； （3）解不等式得， ，， ， ， ． 易错知识点15：在数轴上表示不等式的解集 43．（2024春•仁寿县期中）如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集　　 A． B． C． D． 解：的解集为，不符合题意； 的解集为，不符合题意； 的解集为，不符合题意； 的解集为，符合题意； 故选：． 44．（2023春•英德市期中）已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是 　　． 解：这个不等式的解集是：． 故答案为：． 45．（2024春•安次区校级期中）已知是关于，的二元一次方程的一个解． （1）求的值； （2）若的取值范围如图所示，求的正整数值． 解：（1）把代入二元一次方程得，， ； （2）二元一次方程变形得， 根据数轴可得，， ， ， ，则， ， 的正整数值为1或2． 易错知识点16：解一元一次不等式 46．（2024春•渠县校级期中）关于，的方程组满足不等式，则的范围是　　 A． B． C． D． 解：， ①②得：， ， ， ， 解得：， 故选：． 47．（2024春•砀山县期中）方程组的解满足不等式，则的范围是　　 A． B． C． D． 解：， ①②得． ， 把代入①，得，即， 把，代入， 得， 解得． 故选：． 48．（2024春•运城期中）小明解不等式的过程如下，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 （1）①以上求解过程中，去分母是依据 　　 进行变形的．（从下面选项选一个） ．等式的基本性质 ．分式的基本性质 ．不等式的性质 ②第 　　 步开始出现错误，错误的原因是 　　 ． （2）该不等式的正确解集是 　　 ． （3）请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提两条建议． 解：（1）①以上求解过程中，去分母是依据不等式的性质进行变形的． 故答案为：． ②观察求解过程可知，第一步开始出现错误，错误的原因是1漏乘6． 故答案为：一；去分母时，1漏乘6； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：， （3）在解不等式时，移项时注意变号；去分母时不要漏乘；系数化为1时注意不等号的方向等（答案不唯一）． 易错知识点17：一元一次不等式的整数解 49．（2024春•黑山县期中）定义新运算：对于任意实数，都有：⊕，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕，那么不等式3⊕的最小整数解为 　0　． 解：由题意，得：3⊕， 解得：， 最小整数解为：0， 故答案为：0． 50．（2024春•双流区校级期中）对于，符号表示不大于的最大整数．如：，，则满足关系式的的整数值有 　3　个． 解：由题意得， 解得：， 其整数解为10、11、12共3个． 故答案为：3． 易错知识点18：一元一次不等式的应用 51．（2022春•巴南区期末）临近端午，甲、乙两食品厂商分别承接制作白粽，肉粽和蛋黄粽的任务，甲厂商安排200名工人制作白粽和肉粽，每人只能制作其中一种粽子，乙厂商安排100名工人制作蛋黄粽，其中肉粽的人均制作数量比白粽的人均制作数量少20个，蛋黄粽的人均制作数量比肉粽的人均制作数量少，若本次制作的白粽、肉粽和蛋黄粽三种粽子的人均制作数量比肉粽的人均制作数量多，且制作白粽的人数不高于制作肉粽的人数的3倍，则本次可制作的粽子数量最多为个，这里的　13500　． 解：设白粽，肉粽和蛋黄粽的人均制作数量分别为：个，个，个，甲厂安排人制作白粽，人制作肉粽， 由题意得：． ． ． ． ． ， 随增大而增大， 当时，最大个． 故答案为：13500． 52．（2022春•漳州期中）漳州云弯县是“中国枇杷之乡”．某水果商从散户果农收购“早钟6号”品种的枇杷200千克，“莆田种”品种的枇杷150千克，共花费5000元．已知“早钟6号”品种的枇杷比“莆田种”品种的批杷每千克收购价多4元． （1）“早钟6号”品种的批杷和“莆田种”品种的枇杷每千克的收购价分别是多少元？ （2）若“早钟6号”品种的枇杷每千克的售价比“莆田种”品种的枇杷每千克的售价多6元，且运输过程中，“早钟6号”品种的枇杷损耗，“莆田种”品种的批杷损耗．水果商售完这批枇杷盈利不少于1480元，“早钟6号”品种的枇杷每千克的售价最少应为多少元？ 解：（1）设“莆田种”品种的枇杷每千克的收购价是元，则“早钟6号”品种的枇杷每千克的收购价是元， 根据题意可得，， 解得， ， “莆田种”品种的枇杷每千克的收购价是12元，则“早钟6号”品种的枇杷每千克的收购价是16元； （2）设“莆田种”品种的枇杷每千克的售价是元，则“早钟6号”品种的枇杷每千克的收购价是元， 根据题意可得，， 解得． 根据实际场景，为整数， 的最小值为18， ， “早钟6号”品种的枇杷每千克的售价最少应为24元． 53．（2022•湘西州）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元． （1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？ 解：（1）设原计划篮球买个，足球买个， 根据题意得：， 解得：． 答：原计划篮球买40个，足球买20个． （2）设篮球能买个，则足球个， 根据题意得：， 解得：， 答：篮球最多能买24个． 易错知识点19：解一元一次不等式组 54．（2024•金平区校级一模）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是　　 A． B． C． D． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：． 55．（2024春•吉安县期末）关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 　　． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 56．（2024春•连州市期末）解不等式组：并把它的解集表示在数轴上． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 易错知识点20：一元一次不等式组的整数解 57．（2023春•泗水县期末）若关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 解：， 不等式①的解集是：， 不等式②的解集是：， 原不等式组的解集是：； 当关于的不等式组的整数解共有5个时， 的值可以取1、0、、、， 的取值范围是； 故选：． 58．（2024•沙坪坝区校级开学）关于的不等式组至少有3个整数解，关于的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 　　． 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集是， 该不等式组至少有3个整数解， ， 解得； 解方程得， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所有满足条件的整数的值为，，， 所有满足条件的整数的值之和为：， 故答案为：． 59．（2021春•南山区期末）解不等式（组 （1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的正整数解． 解：（1）去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 将解集表示在数轴上如下： （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 所以不等式组的正整数解为3、4． 易错知识点21：一元一次不等式组的应用 60．（2024春•雁塔区校级期中）某火车站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排一列火车将货物运往某城市，火车可挂，两种不同规格的车厢50节，已知用一节型车厢费用0.5万元，用一节型车厢的费用0.8万元． （1）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节型车厢，甲种货物25吨和乙种货35吨可以装满一节型车厢，请设计，两种车厢的节数，有几种运输方案？请一一写出： （2）哪个方案运费最少？最少运费多少元？ 解：（1）用型货厢的节数是节， 根据题意得， 解得：， 为整数， 可取28，29，30， 则有三种方案： 第一种货箱28节，货箱22节； 第二种方案货箱29节，货箱21节； 第三种方案货箱30节，货箱20节． （2）设运输这批货物的总费用为万元，根据题意得， ； 因为越大，运费越小． 即时，万元． 答：用第三种方案运费最少，最少运费是31万元． 61．（2024春•浏阳市期末）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动、每辆汽车上至少要有1名教师． 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 400 280 问题： （1）共需租多少辆汽车？ （2）给出最节省费用的租车方案 分析： （1）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车，要注意到以下要求： ①要保证240名师生都有车坐； ②要使每辆汽车上至少要有1名教师． 根据①可知，汽车总数不能小于 　6　；根据②可知，汽车总数不能大于 　　综合起来可知汽车总数为 　　． （2）租车费用与所租车的种类有关．可以看出，当汽车总数确定后，在满足各项要求的前提下．尽可能少地租用甲种客车可以节省费用． 设租用辆甲种客车，则租车费用（单位：元）是的函数，即． 将（1）中确定的的值代入上式，化简这个函数，得　　． 为使240名师生有车坐，不能小于 　　；为使租车费用不超过2300元，不能超过 　　综合起来可知的取值为 　　． 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？请详细说明理由． 解：（1）由题意，， 汽车总数不能少于6辆． 每辆汽车上至少要有1名教师， 又共有教师6名， 汽车总数不能大于6． 综合起来考虑可知汽车总数为6． 故答案为：6；6；6． （2）由题意，结合（1）得，， ． ． 根据题意，， 解得． 又， ． ． 又取整数， 或5． 综上，有两种不同的租车方案，甲客车4辆，乙客车2辆；甲客车5辆，乙客车1辆． 又租车费用， ， 随的增大而增大． 当时，租车费用最少，为（元． 答：租甲种车4辆，乙种车2辆最节省费用． 故答案为：；4；5；4或5． 62．（2022春•黔东南州期末）“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资． （1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？ （2）现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？ 解：（1）设1辆大货车可以运输箱生产物资，1辆小货车可以运输箱生产物资． 由题意得． 解方程组得． 答：1辆大货车可以运输150箱生产物资，1辆小货车可以运输100箱生产物资． （2）设大货车辆，则小货车辆． 由题意得． 解不等式组得． 取正整数6，7，8． 运输方案有三种． 大货车6辆，小货车6辆，费用为（元； 大货车7辆，小货车5辆，费用为（元； 大货车8辆，小货车4辆，费用为（元； ． 共计三种方案，当大货车6辆，小货车6辆时，费用最少，最少费用为48000元． 易错知识点22：一次函数与一元一次不等式 63．（2024春•禹州市期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是　　 A． B．方程的解是 C． D．不等式的解集是 解：由题意，直线的图象发布在第二、三、四象限， ，故正确，不合题意． 直线与直线的交点的横坐标为， 方程的解是，故正确，不合题意． 直线的图象与轴交于正半轴， ，故正确，不合题意． 结合图象可得，当时，直线上的点都不在直线的下方， 不等式的解集为，即不等式的解集是，故错误，符合题意． 故选：． 64．（2024春•西平县期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： （1）列表： 0 2 4 6 8 5 2 5 直接写出，的值，　4　，　　． （2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象，写出该函数的一条性质：　　； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为 　　． 解：（1）把，代入中得：， ， 当时，， 故答案为：4，2； （2）如图所示： 该函数的一条性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）由图象可得，不等式的解集为或． 65．（2023春•岚山区期末）【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组的解集： 首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： 0 1 2 3 4 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若，为该函数图象上不同的两点，则　　； （3）观察图象，当时，自变量的取值范围是 　　； 【拓展运用】 函数的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数的图象所围成的图形面积． 解：【问题探究】（1）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：，0，1，2，3，2，1，0，． 描点并画出该函数的图象： （2）将（1）中的函数图象左右延长，如图． 函数的图象关于轴对称， ，关于轴对称， ． 故答案为：． （3）由图象可知，当时，自变量的取值范围是或． 故答案为：或． 【拓展运用】函数与的图象交于点、，即为所求． 的图象与轴夹角的正切值为1， 的图象与轴的夹角为， ． ． 由题意，得，解得或． ，． ，， ． 两图象所围成的图形面积为12． 易错知识点23：公因式 66．（2023秋•西安校级期末）整式与的公因式是　　 A． B． C． D． 解：由题意，，． 公因式是各项系数的最大公因数与各项相同字母或相同因式的最低次幂， 整式与的公因式是． 故选：． 67．（2023春•遂川县期末）多项式的公因式是 　　． 解：的公因式是． 故答案为：． 68．（2022春•米脂县期末）多项式的公因式是 　　． 解：各项系数6、3的最大公约数是3，各项都含有的字母是与，的最低指数是2，的最低指数是2， 该多项式的公因式为：． 故答案为：． 易错知识点24：因式分解-提公因式法 69．（2024春•高新区校级期中）等于　　 A． B． C． D． 解： ． 故选：． 70．（2024春•浑南区期中）因式分解：　　． 解：， 故答案为：． 71．（2023春•中原区校级期中）（1）因式分解：； （2）简便运算：． 解：（1） ； （2） ． 易错知识点25：因式分解-运用公式法 72．（2022秋•湖里区期末）下列能用完全平方公式进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 解：、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 73．（2023春•裕安区校级期末）用公式法分解因式：①；②；③；④其中，正确的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 解：①，故①不正确； ②，故②正确； ③，故③不正确； ④，故④正确； 所以，其中正确的有2个， 故选：． 74．（2022秋•井研县期末）阅读材料 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请问： （1）该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果． （2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 解：（1）该同学因式分解的结果不正确， 设， 原式 ； （2） 设， 原式 ． 易错知识点26：提公因式法与公式法的综合运用 75．（2024春•鲁山县期末）下列分解因式正确的是　　 A． B． C． D． 解：．，故不符合题意； ．，故不符合题意； ．，故符合题意； ．，故不符合题意； 故选：． 76．（2024春•振兴区校级期中）因式分解： （1）； （2）． 解：（1） ； （2） ． 77．（2024秋•西峡县期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： （1）因式分解：　　． （2）因式分解：． （3）证明：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 解：（1）将“”看成整体，令，则 原式 再将“”还原，得： 原式 故答案为：； （2）因式分解：． 将“”看成整体，令，则 原式 再将“”还原，得： 原式； （3）证明： 令，则 原式 为正整数， 是整数， 式子的值是某一个整数的平方． 易错知识点27：因式分解-分组分解法 78．（2022秋•西平县期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请问： （1）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　（填“彻底”或“不彻底” ，若不彻底则，该因式分解的最终结果为　　； （2）请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 解：（1）， 该同学因式分解的结果不彻底． 故答案为：不彻底，． （2）设 原式 ． 79．（2022秋•中江县期末）因式分解： （1）； （2）． 解：（1）原式 ， （2）原式 ． 80．（2021春•凤翔县期末）分解因式： （1）； （2）． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 易错知识点28：因式分解-十字相乘法等 81．（2023•西安校级模拟）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 解：，错误； ，正确； ，错误； ，错误， 故选：． 82．（2023春•子洲县期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如：①； ②． 根据材料，把下列式子进行因式分解． （1）； （2）； （3）． 解：（1）； （2）； （3） ． 83．（2021秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算： ；． 而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得： ；． 通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用图中十字相乘的形式表示为： 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：． 利用这种方法，将下列多项式分解因式： （1）　　； （2）　　； （3）　　； （4）　　． 解：（1）因为，，所以； （2）因为，，所以； （3）因为，，所以； （4）因为，，所以． 故答案为：（1），（2），（3），（4）． 易错知识点29：因式分解的应用 84．（2024春•辽阳期末）已知△的三边长分别为，，，且满足，则△一定是　　 A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 解：由题意，， ． ． 又，即， ，即． △是等腰三角形． 故选：． 85．（2024秋•湛江期末）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． （1）分解因式； （2）若，求的最大值； （3）当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 解：（1） ； （2） ， ， ， 的最大值1314； （3） ， 当，时代数式有最小值， 解得，，最小值为2020． 86．（2023春•济南期末）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为（a）． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：下列两位数：40，51，66中，“慧泉数”为 　51　； （2）计算： ①；②； （3）如果一个“慧泉数” 的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数” 的十位数字是，个位数字是2，且满足，求． 解：（1）满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零， 为“慧泉数”． 故答案为：51； （2）①； ②； （3）由（2）得：，，； 根据题意，得： ，解得：； ； 或8． 易错知识点30：平移的性质 87．（2024春•秦都区期末）如图，沿边所在直线向左平移得到，则下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 解：沿边所在直线向左平移得到， ，，， 故选项、、不符合题意； 不能成立，故选项符合题意． 故选：． 88．（2022春•左权县期中）如图所示，直角三角形的周长为100，在其内部的个小直角三角形周长之和为　100　． 解：由平移的性质可得，个小直角三角形较长的直角边平移后等于边，较短的直角边平移后等于边，斜边之和等于边长， 个小直角三角形的周长之和的周长， 直角三角形的周长为100， 这个小直角三角形的周长之和． 故答案为：100． 89．（2025春•南昌月考）如图，在三角形中，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点，连接． （1）若，试求和的度数． （2）若落在边的中点处，且，求四边形的面积． （3）已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形的位置后，点的对应点为点，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，求的长度． 解：（1）由题意，根据平移的性质可得，，，． ， ． ， ． ． （2）落在边的中点处， ． ， ． ，， 四边形是平行四边形． 四边形的面积． 四边形的面积四边形的面积△的面积 ． 答：四边形的面积为18． （3）由题意，根据平移的性质可得，，． 三角形的周长为， ． 四边形的周长为， 四边形的周长 ． ． 易错知识点31：坐标与图形变化-平移 90．（2024春•碑林区校级期末）已知坐标平面内的点，如果将平面直角坐标系向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，那么平移后点的坐标是　　 A． B． C． D． 解：坐标平面内点，将坐标系先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度， 点的横坐标增大3，纵坐标减小2， 点变化后的坐标为． 故选：． 91．（2021秋•肇源县期末）将点向上平移2个单位得到，且在轴上，那么点的坐标是　　 A． B． C． D． 解：将点向上平移2个单位得到， 的坐标为， 在轴上， ， 点的坐标是． 故选：． 92．（2021春•崇明区期末）如果把点向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到点，那么　　． 解：由平移得：，， ． 故答案为：． 易错知识点32：旋转的性质 93．（2024秋•凤凰县月考）如图，在中，，，以为旋转中心逆时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为　　 A． B． C． D． 解：，， ， 由旋转得：，， ， ， 旋转角的度数为， 故选：． 94．（2024春•云霄县校级期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点，分别与点，对应，如果，，三点恰好在同一直线上，下列结论： ①是等腰三角形； ②； ③； ④； ⑤． 其中正确的是 　①②④⑤　．（填序号） 解：由旋转可得，，，，， 是等腰三角形，故①正确； ， ，， ， ，， ，故④正确； ， ，故②正确； ，， ，故⑤正确； ， 若，则， 则，则， 则，则， ， 即是等腰三角形，而题目中无对应条件，故③错误； 故答案为：①②④⑤． 95．（2023秋•高青县期末）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将△绕顶点旋转到△处，此时△△，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 　　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△中，，，、为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在△中，，，，点为△内一点，连接，，，且，求的值． 解：（1）△△， 、、， 由题意知旋转角， △为等边三角形， ，， 易证△为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）如图2，把△绕点逆时针旋转得到△， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在△和△中， △△， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即． （3）如图3，将△绕点顺时针旋转至△处，连接， 在△中，，，， ， ， △绕点顺时针方向旋转， △如图所示； ， ，，， ， △绕点顺时针方向旋转，得到△， ，，， △是等边三角形， ，， ， ， 、、、四点共线， 在△中，， ． 易错知识点33：作图-旋转变换 96．（2024春•巴中期末）如图，在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）将沿水平方向向左平移4个单位得△，请画出△； （2）画出关于原点成中心对称的△； （3）若△与△关于点成中心对称，则点的坐标是　　 解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，△即为所求； （3）如图，点的坐标是． 故答案为：． 97．（2021春•罗湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请按下列要求画图： ①平移，使点的对应点的坐标为，请画出平移后的△； ②△与关于原点中心对称，画出△． （2）若将△绕点旋转可得到△，请直接写出旋转中心点的坐标　　． 解：（1）①如图所示，△即为所求； ②如图所示，△即为所求； （2）如图，连接，，交于点，则△绕点旋转可得到△， 旋转中心点的坐标为， 故答案为：． 98．（2021春•龙岗区期末）如图，已知，在的平分线上有一点，，当的顶点与点重合，它的两条边分别与直线、相交于点、． （1）当绕点旋转到与垂直时（如图，请猜想与的数量关系，并说明理由； （2）由（图的位置将绕点逆时针旋转角，线段、与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 解： （1）．理由如下： 是的平分线， ， ， ， 在中，， 同理：， ； （2）或．理由如下： ①如备用图1，过点作于点，于点， ， ， 同（1）的方法得，，， ， ，，且点在的平分线上， ， ， ， ， ，， ， ； ②如备用图2，过点作于点，于点， ， ， 同（1）的方法得，，， ， ，，且点在的平分线上， ， ， ， ， ，， ， ； 综上所述：线段、与之间的数量关系为：或 第 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