17.1 第2课时 勾股定理的应用-【名师学案】2024-2025学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

第2课时 勾股定理的应用 $知识储备密 A.0.7米 B.1.5米 勾股定理应用的条件是 三角形中， C.2.2米 D.2.4米 应用勾股定理时，要分清哪条是直角边，哪条是 4如图，为测到池塘两岸点 斜边 A和点B间的距离，一个 观测者在C点设桩，使 A基础练 必备知识梳理口 ∠ABC=90°，并测得AC长20m、BC长 知识点 勾股定理的实际应用 16m,则A,B两点间的距离是 m 1.如图所示（示意图），如果梯子AB 5.【新情境·环境保护】小洛 的底端B到某高楼竖直墙面底端 和小宇来到生态湿地区， 的距离BC为5米，那么13米长 看到标识牌上写着这样一 的梯子AB的顶端A距地面的高 句话，如图，其大意是：有 度是 ( B 一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生 A.12米B.13米 C.14米 D.15米 长在它的正中央，高出水面1尺.如果把该芦 2.(教材P28习题T2变式) 一多变 苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边， (1)【直接利用条件求树高】 求正方形池塘的水深， 如图，一棵树被台风吹 断，已知折断部位离地 面5m,树梢离树底部12m,则这棵树原 来高 () A.14mB.15mC.16m D.18m (2)【改变条件，构建方程】【新课 标·数学文化】《九章算术》 是我国古代最重要的数学著 作之一在“勾股”章中记载 6.如图，沿AC方向开山修路.为了加快施工进 了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈， 度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的 末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻 一点B取∠ABD=120°，BD=520m,∠D 译成数学问题是：如图，在△ABC中， 30°.那么另一边开挖点E离D多远正好使 ∠ACB=90°，AC+AB=10,BC=3,求 A,C,E三点在同一直线上？(3取1.732，结 AC的长.如果设AC=x,那么可列方程 果取整数) 为 120 3.如图，小巷左右两侧是竖直的 520m 墙，一架梯子斜靠在左墙时， 30 梯子底端到左墙角的距离为 0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子 底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距 离地面2米，那么小巷的宽度为 21 八年级数学·下册 B综合练 关键能力提升 C素养练 苏学士养培有一 7.如图为某楼梯，测得楼梯的 10.【分类讨论思想】如图，在 长为5米，高3米，计划在 5米 3米 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB 楼梯表面铺地毯，地毯的长 =5cm,AC=3cm,动点P从点 好题选讲 度至少为 ( B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设 A.4米B.8米 C.9米 D.7米 运动的时间为ts. 8.如图，有一秋千，当它静止时，踏板离地的垂 (1)求BC边的长： 直高度DE=1m,将它往前推送6m(水平距 (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值」 离BC=6m)时，秋千的踏板离地的垂直高度 BF=4m,秋千的绳索始终拉得很直，求绳索 AD的长度. 9.【新情境·交通安全】为整治城市街道的汽车 超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动 测速.如图，一辆小汽车在某城市街道上直 行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A的正前方60m的C处，过了4s后，小汽 车到达离车速检测仪A100m的B处，已知 该段城市街道的限速为60km/h,请问这辆 小汽车是否超速？ B C小汽车 小汽车 车速检测仪 花解题妙招 构建直角三角形模型解决实际问题： (1)从实际问题中抽象出直角三角形图形： (2)根据题目中的数据确定直角三角形的三 边长； (3)利用勾股定理解决问题.如T5,T8. 助学助教优质高致22√32×2=128(km/h),.128>100,∴.肇事汽车当时的速度超出了规定的速度. 第十六章大单元整合与素养提升 1.A2.x>13.14.Dx≥4(2x<号526B7.A8.B9.4 10.010(2)2a112-25(答案不唯-)120)解：原式=35-√层×8 2 =3√3-2√3=√5；(2)解：原式=(43-√3)÷√5=3；(3)解：原式=(5)”-3 -(3-2W3+1)=5-9-4+2V3=25-8.13.解：x+y=2-√5+2+5=4，x -y=2-√5-(2+√5)=-25，x·y=(2+√5)(2-√5)=-1，.(1)x2y-xy2=xy (x-y)=-1X(-2W5)=25;(2)x2+xy+y2=(x+y)2-xy=42-(-1)=16+1 =1.146,52615516≥-5且017.-个718号 19.201820.121.1)解：令a=x,b=号则由a十b>2V丽，得x+是≥2 √…豆=6，当且仅当？=是时即正数=3时，武子有拉小值最小位为6放答案 为：6.(2)解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y(0< 20)米，则y=509=2所用篱笆的长为(9+2x)米，：9+2≥2 x /四×2x=20,当且仅当-2x时，50+2x的值最小，最小值为20，.x=5或x= 一5（舍去）.∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆 是20米. 第十七章勾股定理 17.1勾股定理 第1课时勾股定理 知识储备 a2+62=c2 AC+BC2=AB A基础练 1.C2.4913 AC BC AB3.证明：易证∠CED=90.由图可得2a+b)· （a+0)=子a6+2+6.整理得+2+b-2产，则公+2a6十6=2ah十 2 2 2,故a+b=c2.4.(1)C(2)C5.(1)42(2)236.解：(1)如图.在 △ABC中，∠C=90°，b=2,c=3,∴.a=√2-b=√3-2=5；(2)设a=3x,则c =5x,a2+b=c2,∴.(3x)2+322=(5.x)2,解得x=8(负值舍去).∴.3x=24,5x= 40,即a=24,c=40. SB 第6题图 第12题图 7.13或/1198.(1)C(2)D(3)A9.C10.2511.(2/3-2)12.证明：连接 BD.:'△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，.∠ECD=∠ACB=90°，∠E= ∠ADC=45°，EC=DC,AC=BC..∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD.∴.∠ACE (AC=BC. =∠BCD.在△AEC和△BDC中，∠ACE=∠BCD,∴.△AEC≌△BDC(SAS).∴ EC=DC. AE=BD,∠E=∠BDC.∴.∠BDC=45°.∴∠BDC+∠ADC=90°，即∠ADB=90. ∴.AD+BD=AB,即AE+AD=AB. 第2课时勾股定理的应用 知识储备 直角 A基础练 1.A2.(1)D(2)32+x2=(10-x)23.C4.125.解：设芦苇长AB=AB=x 尺，则水深AC=(x一1)尺，：正方形池塘边长为10尺，∴B'C=5尺.在Rt△ABC 中，由勾股定理得，B'C2十CA2=BA2,.5+(x-1)=x2,解得x=13.则水深为13 一1=12（尺）.答：正方形池塘的水深为12尺.6.解：，∠ABD=120°，∠D=30°， ∠AED-=120°-30=90.在RABDE中，BD=520m,∠D=30,BE=BD= 260(m)..DE=√/BD-BE=260√5≈450(m).答：另一边开挖点E离D约450m 时，正好使A,C,E三点在同一直线上.7.D8.解：设秋千的绳索AD的长度为x m,则AC=(x-3)m,在Rt△ACB中，AC+BC=AB,∴.x2=62+(x-3)2,解得x =7.5.答：绳索AD的长度是7.5m.9.解：超速.理由如下：在Rt△ABC中，AC= —177 60m,AB=100m,由勾股定理可得BC=√/AB-AC=√/1002-60=80(m),∴.汽 车速度为80÷4=20(m/s)=72(km/h)..72km/h>60km/h,∴.这辆小汽车超速 了.答：这辆小汽车超速了.10.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC= √/AB-AC=√5-3=√/I6=4(cm).(2)由题意，知BP=tcm,①当∠APB为直 角时，如图1，点P与点C重合，BP=BC=4cm,∴.t=4; C(P) C 图1 图2 ②当∠BAP为直角时，如图2，BP=tcm,CP=(t-4)cm,AC=3cm,在Rt△ACP 中，AP=AC2+CP=3+(t-4).在Rt△BAP中，AB+AP=BP,即5+[32+ -4)P]=.解得1=空.当△ABP为直角三角形时=4或空 模型构建专题（一）共高的双直角三角形 【例】解：过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC=90°.设BD=x,则CD=BC -BD=14-x.在Rt△ABD中，AD=AB-BD,在Rt△ACD中，AD=AC- CD2,.AB2-BD=AC2-CD2,即152-x2=13-(14-x)2,解得x=9.∴.AD= VAB-BD=IE-g-12.∴Sac=2BC·AD=2×]2X14=84.1.D 2.9.63.65-64.解：：在Rt△DBC中，∠BDC=90°，CD=1,BC=10,.BD =√/BC-CD=3.设AB=AC=x,则AD=AC-CD=x-1.在Rt△ABD中，由勾 股定理得：AB=AD十BD,.x=(x-1)2+32,解得x=5.∴.AB=5. 数学思想专题与勾股定理有关的数学思想 1.B2号 【例】①90√CD+AD244332√5②24552 √723或273.1或2或3-√24.2或5 第3课时利用勾股定理作图或计算 知识储备 一一对应 一个点 A基础练 1.(1)√5(2)解：如图，点A即为所求.(3)C(4)(0,4) -1012 图1 图2 第1题图 第4题图 2.B3.C4.解：(1)满足条件的正方形ABCD如图1所示；(2)满足条件的△ABC 如图2所示.5.126.C7.<8.解：(1)△BED为等腰三角形.理由如下：，四 边形ABCD为长方形，∴∠A=∠C=∠C=90°，AB=CD=C'D.又：∠AEB=∠C ED,∴.△AEB≌△CED(AAS).∴.BE=DE.∴.△BED为等腰三角形；(2)设BE= DE=x,则AE=24一x.在Rt△ABE中，由勾股定理，得x2=12+(24-x)2,解得x =15.BE的长为15：(3)S=2DE·AB=合×15X12=90.9.解：(1)0A= (Va)+1=n,S.=号(n为正整数)：(2)0Ai=(52+1=100Aw=: (3)S+S+S+…+S。= (9)+()+()+…+(四） 1+2+3+…+9+10_5 4 4 回归教材专题（一）利用勾股定理求平面内两点之间的距离 【例】811 w/8+11 w185(1)5(2)y1一y2x1一x2 √(x-x2)+(y-y2)P(3)1-y3-y50,52-x4-x55,00,5 501.132.m3(-号0)或(0，-号)】 17.2勾股定理的逆定理 第1课时勾股定理的逆定理 知识储备 1.互逆逆命题不一定证明逆定理2.a2+b2=c2直角三角形3.勾股数 A基础练 1.A2.B3.解：a2+c2=(5)2+(5)2=8,b=(2√2)=8，.a2+c2=b.. △ABC是直角三角形，∠B=90°；解：设a=5.x,b=12x,c=13x,a2+b2=(5x)2 -178