专题8 平面多边形中的解三角形问题十一种考法-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）（新高考地区专用）

专题8 解三角形中几何计算问题十一种考法 一、方法讲解 处理过程：将复杂的平面多边形分割成若干个三角形，通过逐一解决每个三角形的问题，求解整个多边形的边长和角度，有时还需结合三角恒等变换逐步求解。 常规方法： 法1：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 法2：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 法3：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 法4：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 法5：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 二、重难点例题及变式 类型一、两次运用余弦定理建立等量关系 例．如图，四边形中，． (1)求； (2)为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径． 【变式训练1】记的内角、、的对边分别为、、，已知，求； 【变式训练2】如图，四边形中，，． (1)求； (2)若，求． 类型二、两次运用正弦定理建立等量关系 例．已知是内一点，. (1)若，求； (2)若，求. 【变式训练1】的内角的对边分别为为平分线，. (1)求； (2)上有点，求. 【变式训练2】如图，在平面四边形中，，，．    若，求． 类型三、运用正弦定理及余弦定理建立等量关系 例．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求； (2)若的面积为，为边上一点，满足，求的长． 【变式训练1】如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（ ） A． B． C． D． 类型四、等面积法 例．如图，某景区有三条道路，其中长为千米，是正北方向，长为千米，是正东方向，某游客在道路上相对东偏北度的且距离为千米的位置，则___________. 【变式训练1】如图，在凸四边形中，已知，若，四边形的面积为4，求的值． 【变式训练2】已知锐角的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，角的平分线交于点，，求的面积． 类型五、中线问题 例．如图，在中，角的对边分别为． (1)求的大小； (2)若，且边上的中线长为，求的面积． 【变式训练1】如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)设D为边AB的中点，若，且，求a． 【变式训练2】如图，记的内角的对边分别为，已知 (1)求A的值； (2)若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值. 类型六、高问题 例．在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【变式训练1】在中，，则边上的高等于（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】在中，角的对边分别为边上的高等于，则的面积是 ， . 类型七、角平分线问题 例．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 【变式训练1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若的平分线交于点，且，，求的面积． 【变式训练2】如图，在中，角的对边分别为且满足. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，，，求. 类型八、余弦和为0 例．在四边形ABCD中，，已知，解决下列问题． (1)求BD的长； (2)求四边形ABCD的面积． 【变式训练1】如图，四边形中，，求； 【变式训练2】在中，，且边上的中线长为1,，求的长. 类型九、外心及外接圆问题 例．已知的外心为，内角的对边分别为，且．若，则（ ） A． B．50 C．25 D． 【变式训练1】在中，，为外心，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，四边形中，，为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径． 类型十、内心及内切圆问题 例．已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，. (1)求； (2)若，为中点，，求； (3)若，求内切圆半径的取值范围. 【变式训练1】边长为1的正三角形的内心为，过的直线与边交于，则的最小值为___________ 【变式训练2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求C； (2)若△ABC的内心为，AB＝7，OAB的面积为，求OC． 类型十一、解三角形与平面向量的融合 例．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，且.D是AB的中点，点E在线段AC上且，线段CD与线段BE交于点M（如下图） (1)求角A的大小： (2)若，求的值； (3)若点G是的重心，求线段GM的最小值. 【变式训练1】平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】(多选)已知内角的对边分别为，为的重心，，则（ ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 三、能力测试练 1．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（ ） A． B．2 C． D． 2．如图，已知，，，，则（ ） A． B． C．或 D． 3．已知中，角的对边分别是，且， 的外接圆半径为， 边上的高为2，则（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 4．记的内角、、的对边分别为、、，已知，若点在边上，且，，则=（ ） A． B．1 C． D． 5．（多选）在平面凸四边形中，已知，，，，则值可以为（ ） A. B. C. D. 6.（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，点，，分别是的重心，垂心，外心.若，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7.在中，角、、所对的边分别为、、，，的平分线交于点，且，则的最小值为______. 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若是内一点，，，，，求． 9．如图，在梯形ABCD中，，． (1)求证：； (2)若，，求梯形ABCD的面积． 10．折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 解三角形中几何计算问题十一种考法 一、方法讲解 处理过程：将复杂的平面多边形分割成若干个三角形，通过逐一解决每个三角形的问题，求解整个多边形的边长和角度，有时还需结合三角恒等变换逐步求解。 常规方法： 法1：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 法2：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 法3：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 法4：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 法5：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 二、重难点例题及变式 类型一、两次运用余弦定理建立等量关系 例．如图，四边形中，． (1)求； (2)为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式作差得：，解得， 因为，所以． （2）因为 由（1）知，可得，且， 则所以， 在中，可得，所以， 在中，可得， 在中，可得， 可得,所以，则， 所以，解得， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得，解得， 所以的外接圆半径为． 【变式训练1】记的内角、、的对边分别为、、，已知，求； 【答案】 【解析】因为， 由余弦定理可得， 化简可得，由余弦定理可得， 因为，所以，. 【变式训练2】如图，四边形中，，． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）中，设，则，解得 ，； （2）设，则 设，， 中， 中， ，，可得，化简得，即 又，，即 ，解得 类型二、两次运用正弦定理建立等量关系 例．已知是内一点，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1)1；(2) 【解析】（1）如图所示， 在中，，所以. 所以. 在中，由正弦定理得，即，解得. （2）如图所示， 当时，. 设，则. 在中，由正弦定理得. 在中，由正弦定理得. 因为，所以，即， 整理得，即，解得，即. 【变式训练1】的内角的对边分别为为平分线，. (1)求； (2)上有点，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） 设， ， ，， ， （2）由（1）知：， 中，， ，故得：， 设中， ， ， 中，，， ， 两式相除得：， ， ，， ， 为锐角，故. 【变式训练2】如图，在平面四边形中，，，．    若，求． 【答案】 【解析】由已知可得，又，所以，， 设，，则， 在中由正弦定理，即，所以， 在中由正弦定理，即，所以， 又，所以，解得或， 由， 当时， 当时， 所以或 类型二、运用正弦定理及余弦定理建立等量关系 例．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求； (2)若的面积为，为边上一点，满足，求的长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理有， 因为， 所以， 化简得， 由有，可得， 因为， 所以，则． （2）由有 又可得， 联立解得，所以为正三角形， 所以， 在中，由余弦定理得． 故的长为. 【变式训练1】如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，， 所以在中， 因为， ， 由正弦定理可得：，则，解得：， 在中，所以， 所以在，由余弦定理可得： ， 所以. 故选：A. 【变式训练2】某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，， 又，则，设，则， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，又，解得，则， 所以， 故选：B 类型四、等面积法 例．如图，某景区有三条道路，其中长为千米，是正北方向，长为千米，是正东方向，某游客在道路上相对东偏北度的且距离为千米的位置，则___________. 【答案】 【解析】千米,千米, 三角形面积，由面积和法得：， ，两边平方可得： ，∴， ， 解得：，由， 解得：. 故答案为: 【变式训练1】如图，在凸四边形中，已知，若，四边形的面积为4，求的值． 【答案】 【解析】在△、△中，由余弦定理得， ， ， 从而①， 由得， ②， 得，， ∴． 【变式训练2】已知锐角的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，角的平分线交于点，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，由正弦定理得，整理得， 又由余弦定理得． 因为，所以． （2）如图所示，因为， 所以． 又因为，所以． 由余弦定理得， 联立方程组，可得，即， 解得或（舍去）， 所以． 类型五、中线问题 例．如图，在中，角的对边分别为． (1)求的大小； (2)若，且边上的中线长为，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 由余弦定理得， 化简得． ； （2）由（1）可得①， 又②， 取的中点，连接， 在中，③， 由②③得④， 由①④得，解得或（舍去）， ， . 【变式训练1】如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)设D为边AB的中点，若，且，求a． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）在中，由及正弦定理得， 即，即， 而，即，则，又， 所以. （2）依题意，，则，或， 当时，由， 得， 在中，由正弦定理得，，则， 在中，由余弦定理得， 因此， 当时，， ，， 所以或. 【变式训练2】如图，记的内角的对边分别为，已知 (1)求A的值； (2)若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在，因为，由正弦定理得： 即 即 因为 所以 而 所以整理得 因为中所以 又所以 （2）因为AM是边BC的中线，所以 则 不妨设则所以 即解得或舍所以 在中即 即， 解得即 所以，在中 又易知，P是重心，所以 所以 类型六、高问题 例．在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； （2）由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 【变式训练1】在中，，则边上的高等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，因为， 由余弦定理得 因为，所以 设边上的高为，则，    所以，即边上的高等于. 故选：B. 【变式训练2】在中，角的对边分别为边上的高等于，则的面积是 ， . 【答案】 【解析】在中，作，垂足为点， 则，又 在中，， 即，解得， 所以， 在中，，所以， 由正弦定理，，即，可得. 故答案为：； 类型七、角平分线问题 例．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以,即,即, 因为，所以. （2）. 所以，从而，所以， 因为外接圆半径为，所以外接圆直径为， 由正弦定理得， 所以 因为的角平分线为，所以，所以 在中，由正弦定理得，即，解得 【变式训练1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若的平分线交于点，且，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理及，得， 所以， 整理，得． 因为，所以，即． 因为，所以． （2）因为为的平分线，所以， 即， 化简，得， 由，得， 所以 【变式训练2】如图，在中，角的对边分别为且满足. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，，，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 即， 又，所以，， 所以，所以； （2）如图，由题意得，， 所以，即， 又，代入解得， 由余弦定理，可得，即， 所以． 类型八、余弦和为0 例．在四边形ABCD中，，已知，解决下列问题． (1)求BD的长； (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 即，解得. （2），故，故， 因为，所以， 故， ， 故四边形ABCD的面积为. 【变式训练1】如图，四边形中，，求； 【答案】 【解析】因为，所以， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式作差得：，解得， 因为，所以． 【变式训练2】在中，，且边上的中线长为1,，求的长. 【答案】2 【解析】由题可知， 设，则， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则，① 在和中，由余弦定理得 所以，② 在中，由余弦定理得， 即，即，③ 将代入得，④ 由①④得，即，即， 即，即， 因为，所以，则，所以. 故的长为2. 类型九、外心及外接圆问题 例．已知的外心为，内角的对边分别为，且．若，则（ ） A． B．50 C．25 D． 【答案】B 【解析】由已知，令，所以是等腰三角形． 由余弦定理，得． 因为，所以，解得（负值已舍去）， 所以． 设的外接圆半径为， 因为， 所以，所以． 由为等腰三角形知， 所以，即． 所以． 故选：B． 【变式训练1】在中，，为外心，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为， 则，故， 又，设， 则 ， 当且仅当时等号成立， 由可知，， 故的最大值为． 故选：A． 【变式训练2】如图，四边形中，，为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径． 【答案】 【解析】因为，所以， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式作差得：，解得， 因为，所以． 因为 ，可得，且， 则所以， 在中，可得，所以， 在中，可得， 在中，可得， 可得,所以，则， 所以，解得， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得，解得， 所以的外接圆半径为． 类型十、内心及内切圆问题 例．已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，. (1)求； (2)若，为中点，，求； (3)若，求内切圆半径的取值范围. 【答案】(1);(2);(3) 【解析】（1）因为， 根据正弦定理，得， 所以， 因为，所以，所以. （2）因为为中点，所以， 所以， 所以，解得或（舍去）， 故. （3）由正弦定理：， 所以，， 因为，所以， 所以 ， ， 设内切圆半径为， 则. 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，即， 即内切圆半径的取值范围是：. 【变式训练1】边长为1的正三角形的内心为，过的直线与边交于，则的最小值为___________ 【答案】15 【解析】设，则． 在中，，，， 由正弦定理得：， 即，可得， 在中，， 由正弦定理得：， 即，可得 则， 因为，则，可得， 当或时，取到最小值15 故答案为：15. 【变式训练2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求C； (2)若△ABC的内心为，AB＝7，OAB的面积为，求OC． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由及， 有， 又由正弦定理，有， 有，有，有， 又由，可得； （2）由，有， 可得， 在△OAB中，由△OAB的面积为，有， 可得， 又由余弦定理及AB＝7，有， 有， 代入，有AO＋BO＝8， 联立解得或 由对称性不妨设 在△OAB中，有，可得， 又由OA为角A的角平分线，有， 在△OAC中，由正弦定理有，有， 可得． 类型十一、解三角形与平面向量的融合 例．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，且.D是AB的中点，点E在线段AC上且，线段CD与线段BE交于点M（如下图） (1)求角A的大小： (2)若，求的值； (3)若点G是的重心，求线段GM的最小值. 【答案】(1);(2);(3) 【解析】（1）因为， 所以. 所以， 所以，故， 又，所以， 所以； （2）由题意，， 由D、M、C三点共线得，即， 故， 所以， 同理由B、M、E三点共线可得， ∴， ∴ （3）法一；由重心定义得， ∴， ∴， ∴ ，当且仅当时，等号成立， ∴， 当且仅当时取等号. ∴线段GM的最小值为； 法二：由（2）得，， 故，故M为CD中点， 又重心G为CD三等分点，故， ∵， ∴在中，， 当且仅当时取等号，故， ∴. 即线段GM的最小值为. 【变式训练1】平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，， 所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得 所以根据“奔驰定理”有， 所以， 即， 所以， ． 故选：A． 【变式训练2】(多选)已知内角的对边分别为，为的重心，，则（ ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】 对于A，是的重心，延长交于点，则是中点， ，A错误； 对于B，由，得，所以 ， 又，即 所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立， ，，C正确； 对于D，由，得 ， 所以 ，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D正确. 故选：BCD. 三、能力测试练 1．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由题设有，故，故， 由余弦定理可得， 故，故三角形外接圆的半径为，故选：B 2．如图，已知，，，，则（ ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】，，，所以. ，， ， ，解得或（舍） 故选：D 3．已知中，角的对边分别是，且， 的外接圆半径为， 边上的高为2，则（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由，得，整理得， 由正弦定理得， 则，则，则． 因为，所以，所以． 由于，所以．且． ，得， 由余弦定理得，即，因此， 则，所以， 故选：B． 4．记的内角、、的对边分别为、、，已知，若点在边上，且，，则=（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因为， 由余弦定理可得， 化简可得，由余弦定理可得， 因为，所以，. 因为，则为锐角，所以，， 因为，所以，， 所以，， 设，则， 在和中，由正弦定理得，， 因为，上面两个等式相除可得， 得，即， 所以，. 故选：A 5．（多选）在平面凸四边形中，已知，，，，则值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，，，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的最小值为. 故选：BC. 6.（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，点，，分别是的重心，垂心，外心.若，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】设 由解得 即 可求得 所以，故A正确； 不妨取， 由外心性质可知，C中面积比等价于故C正确； 设外心O到边BC的距离为， 由三角形中的欧拉线定理知三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半(根据重心为中线的三等分点可证), 又O在BC边的垂直平分线上，进而可得HA=2，所以， 所以，所以， 结合C选项，可得，故B正确； 设BC边上的中线长为，设AC边上的中线长为，设AB边上的中线长为， 由重心的性质可得， 设三角形ABC中，D为BC边上的中点，A，B，C所对边为，延长BC边上的中线至M，使DM=AD，连接MC，MB，可得四边形ABMC是平行四边形， 由平行四边形的性质可得，所以可得BC边上的中线长为， 结合中线长公式可得， 所以，故D错误. 故选：ABC. 7.在中，角、、所对的边分别为、、，，的平分线交于点，且，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，， 因此， 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故答案为：. 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若是内一点，，，，，求． 【答案】（1）;（2） 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得； ，，，则； （2） ，，； 在中，由正弦定理得：； 在中，由正弦定理得：； ， 即， 9．如图，在梯形ABCD中，，． (1)求证：； (2)若，，求梯形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解析;（2） 【解析】（1）连接BD． 因为，所以． 在中，由正弦定理得，① 在中，由正弦定理得，② 由，，结合①②可得． （2）由（1）知，， ，又，所以，则． 连接BD， 在中，由余弦定理得 ； 在中，由余弦定理得 ， 所以，解得或． 当时，连接AC，在中，由余弦定理，得 ， 所以，而此时，故不满足题意，经检验满足题意， 此时梯形ABCD的高， 当时，梯形ABCD的面积； 所以梯形ABCD的面积为． 10．折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】（1）证明：由正弦定理可得，则， 又因为，所以； （2）将代入， 得 即，所以， 即，解得：， 又因为，所以； （3）由余弦定理得，则， 即，所以解得 则； 设折痕为线段，其中在上，在上，设，， 则，，， 在中，由余弦定理得，解得 在中，由余弦定理得，解得 重叠部分的面积为的面积，. 因为 所以. 所以 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$