1.4.1第3课时 空间中直线、平面的垂直导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第3课时　空间中直线、平面的垂直 学案 学习目标 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系． 情境导入 我们知道，一个平面可用空间一点与该平面的法向量来确定．观察图片，图中旗杆所在的直线和地面垂直，那么如何用向量来表示二者的关系呢？ 新知探究 知识点一　直线与直线垂直 问题引导 　1.如图所示，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 提示：垂直． 知识点总结 两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 典例探究 例1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1，求证：AB1⊥MN. 证明：设AB中点为O，作OO1∥AA1，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 由已知得A(－，0，0)， B(，0，0)，C(0，，0)，N(0，，)，B1(，0，1)． ∵M为BC中点，∴M(，，0)， ∴＝(－，，)，1＝(1，0，1)， ∴·＝－＋0＋＝0， ∴⊥，即AB1⊥MN. 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 变式训练 1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥DA1. 证明：不妨设正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(1，1，)，F(，，1)，所以＝(－，－，)． 又A1(1，0，1)，D(0，0，0)，所以＝(1，0，1)． 所以·＝(－，－，)·(1，0，1)＝0. 所以⊥，即EF⊥DA1. 知识点二　直线与平面垂直 问题引导 　2.如图所示，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？ 提示：平行(共线)． 知识点总结 直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可． 典例探究 例2　如图所示，在直四棱柱ADD1A1-BCC1B1中，底面ADD1A1为直角梯形，AD∥A1D1，E，F，G分别为AD，A1E，C1D1的中点，AD＝2AB＝2AA1＝2A1D1＝2，用向量法证明：直线FG⊥平面A1BE. 证明：由题意知，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则A1(0，0，1)，B(1，0，0)，E(0，1，0)，F(0，，)，G(，1，1)，＝(－1，1，0)，＝(1，0，－1)，＝(，，)． 设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则 ，即，令x＝1，则n＝(1，1，1)， 因为＝n，故直线FG⊥平面A1BE. 用向量法证明线面垂直的两种思路 (1)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 变式训练 2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则A(1，0，0)，E(1，1，)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，F(0，，0)，∴＝(0，1，)，＝(－1，0，0)，＝(0，，－1)． 设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)， 则即解得 令z＝1，则n＝(0，2，1)．又＝(0，1，)， ∴n＝2. ∴n∥，即AE⊥平面A1D1F. 知识点三　平面与平面垂直 问题引导 　3.设n1，n2是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 提示：垂直． 知识点总结 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 典例探究 例3　三棱锥被平行于底面ABC的平面截得的几何体如图所示，截面为△A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点． 证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1. 证明：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，D(1，1，0)，所以＝(－2，2，0)，＝(1，1，0)，＝(0，0，)． 因为·＝－2＋2＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0，所以⊥，⊥，所以BC⊥AD，BC⊥AA1. 又AD∩AA1＝A，AD，AA1⊂平面A1AD，所以BC⊥平面A1AD，又BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1. 用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直． (2)根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面． 变式训练 3.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点．求证：B1E⊥平面AED1. 证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(1，2，1)． 又E为CD的中点，∴E(0，1，0)，∴＝(－1，－1，－1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)． 设平面AED1的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1， 则y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)是平面AED1的一个法向量． 又＝－n，∴∥n， ∴B1E⊥平面AED1. 课堂小结 1．知识网络 2．特别提醒 分清直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应，不要混淆． 课堂练习 1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　) A．平行　　　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 解析：B　a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，所以α⊥β，故选B． 2．已知向量＝(2，4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y，3)．若AB⊥α，则(　　) A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6 C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0 解析：A　因为AB⊥α，所以∥n. 由＝＝，得x＝6，y＝2. 3．(2023·广东清远四校联盟高二期中)已知直线l1，l2的方向向量分别为a＝(3，4，1)，b＝(－2，1，m)．若l1⊥l2，则m＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　因为l1⊥l2，所以a·b＝0，则3×(－2)＋4×1＋1×m＝0，解得m＝2.故选C． 4.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________． 解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意可得， D(0，0，0)，P(0，1，)，A(2，0，0)，M(，2，0)，所以＝(，2，0)－(0，1，)＝(，1，－)，＝(，2，0)－(2，0，0)＝(－，2，0)，所以·＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，所以PM⊥AM. 答案：PM⊥AM 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　空间中直线、平面的垂直 学案 学习目标 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系． 情境导入 我们知道，一个平面可用空间一点与该平面的法向量来确定．观察图片，图中旗杆所在的直线和地面垂直，那么如何用向量来表示二者的关系呢？ 新知探究 知识点一　直线与直线垂直 问题引导 　1.如图所示，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 知识点总结 两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 典例探究 例1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1，求证：AB1⊥MN. 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 变式训练 1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥DA1. 知识点二　直线与平面垂直 问题引导 　2.如图所示，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？ 知识点总结 直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可． 典例探究 例2　如图所示，在直四棱柱ADD1A1-BCC1B1中，底面ADD1A1为直角梯形，AD∥A1D1，E，F，G分别为AD，A1E，C1D1的中点，AD＝2AB＝2AA1＝2A1D1＝2，用向量法证明：直线FG⊥平面A1BE. 用向量法证明线面垂直的两种思路 (1)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 变式训练 2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F. 知识点三　平面与平面垂直 问题引导 　3.设n1，n2是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 知识点总结 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 典例探究 例3　三棱锥被平行于底面ABC的平面截得的几何体如图所示，截面为△A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点． 证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1. 用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直． (2)根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面． 变式训练 3.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点．求证：B1E⊥平面AED1. 课堂小结 1．知识网络 2．特别提醒 分清直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应，不要混淆． 课堂练习 1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　) A．平行　　　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 2．已知向量＝(2，4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y，3)．若AB⊥α，则(　　) A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6 C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0 3．(2023·广东清远四校联盟高二期中)已知直线l1，l2的方向向量分别为a＝(3，4，1)，b＝(－2，1，m)．若l1⊥l2，则m＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 4.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$