第七章 3. 万有引力理论的成就-【精讲精练】2024-2025学年高中物理必修第二册同步学习方案（人教版2019）

第七章 万有引力与宇宙航行· C 万有引力理论的成就 [学业要求] 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用. 2.理解“计算天体质量”的基本思路。 3.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路 预习案必备知识·问题导学 /通教材·理知识·素养初成 一、“称量”地球的质量 4.应用此方法能否求出环绕天体的质量? 阅读教材,并回答: 推导出地球质量的表达式,说明卡文迪什 为什么能把自已的实验说成是“称量地球 [概念·规律] 的重量”? 1.太阳质量的计算 (1)思路:质量为 的行星绕太阳做匀速 [概念·规律] 圆周运动时,行星与太阳间的万有引力充 1.思路 当向心力,即 地球表面的物体,若不考虑地球自转,物体 G2 的重力等于地球对物体的万有引力,即 (2)结论:m一 mg- ,只要知道行星绕 2.结论 太阳运动的周期T和半径,就可以计算 ,地面的重力加速度g和地 72一 出太阳的质量。 球半径R在卡文迪什之前就已知道,一目 2.行星质量的计算 测得 ,就可以算出地球的 同理,若已知卫星绕行星运动的周期T和 质量。因此,卡文迪什把他自已的实 卫星与行星之间的距离?,可计算行星的 验说成是“称量地球的重量”。 质量m,m一 二、计算天体的质量 [思考判断] 阅读教材,并回答: 1.行星绕太阳做什么运动?通常情况下可以 (1)地球表面的物体的重力必然等于地球 建立怎样的运动模型? 对它的万有引力。 ) (2)若只知道某行星的自转周期和行星绕 太阳做圆周运动的半径,则可以求出太阳 2.行星绕太阳做圆周运动的向心力是由什么 的质量。 乙 ) 力提供的? (3)牛顿被称作第一个称出地球质量的人。 ( ) 3.应用万有引力定律求解天体质量的基本思 (4)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半 径,可以求出地球的质量。 路是什么? ) (5)海王星是依据万有引力定律计算的轨 r 道而发现的。 ) 62 物理·必修 第二册(配RJ版) 探究案关键能力·互动探究 /析考点·悟规律·素养提升 探究点一 天体质量和密度的计算 [交流讨论] 2.天体密度的计算 知道天体质量M后,若已知天体半径R, M 若天体的半径为R,则天体的密度。 3元3 天体平均的密度。试推导出天体密度的几 GT^?R{}。 种表达式。 特殊情况:当卫星环绕天体表面运动时,卫 (1)由天体表面的重力加速度g和半径R; 星的轨道半径,可认为等于天体半径R, 求此天体的密度。 则_p- 3r G7T^{}。 例 若空间站绕地球的 运动可视为匀速圆周运 (2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半 动,已知引力常量G,则由 径为,,运行周期为T,中心天体的半径为 下列物理量可以计算出地球质量的是 R,求此天体的密度。 A. 空间站的质量和绕地球运行的半径 B.空间站的质量和绕地球运行的周期 C.空间站绕地球运行的角速度和周期 (3)注意R、,的意义不同,一般地R指中 D.空间站绕地球运行的线速度和角速度 变式1) 心天体的半径,,指行星或卫星的轨道半 在例题中,若设空间站在距地面高 径,若绕近地轨道运行,则有R一r,此时求 度为h的轨道做匀速圆周运动,环绕周期 此天体的密度。 为T。忽略地球自转,地球视为质量均匀 分布的球体,其半径为R,引力常量为G 下列说法正确的是 ) A.根据已知条件无法计算地球的质量 [归纳总结] ## 1.借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或 B.地球的密度为o一 卫星)计算中心天体的质量,俗称“借助外 27 C.空间站运行的角速度为一 援法”。常见的情况如下; 2xR 中心天体 万有引力提 D.空间站的线速度为v三 T 说明 供向心力 的质量 变式2 (多选)在例题中,若最终空间站顺 r为行星 #M_# 利进入离地约400km高的预定圆轨道 (或卫星)的 运行速率约为7.7km/s,航天员24h内可 轨道半径, 以看到16次日出日落。已知万有引力常 G#Mm_ro v、、T为行 ( 量G,根据以上信息能估算出 ) #M_ ,2 G 星(或卫星) A.地球的半径 的线速度、 B.地球的质量 #M4r{。 角速度和 C.空间站的质量 “符 GT^{②} 周期 D.空间站受到的地球引力 62 第七章 万有引力与宇审航行· 核心素养·思维升华 C针对训练 求解天体质量和密度时的两种常见错误 1.(2023·辽宁卷)在地球上观察,月球和太 阳的角直径(直径对应的张角)近似相等, (1)根据轨道半径,和运行周期T,求得M= 如图所示。若月球绕地球运动的周期为 G7{} T.,地球绕太阳运动的周期为T。,地球半 的质量。 径是月球半径的倍,则地球与太阳的平 ( (2)混淆或乱用天体半径与轨道半径,为了正确 均密度之比约为 _~ 并清楚地运用,应一开始就养成良好的习惯,比 角直径 如通常情况下天体半径用R表示,轨道半径用, ....... 3n_2 月球 表示,这样就可以避免如p一 太阳 GT^误约分;,只有 A.#1)# B.##)# 卫星在天体表面做匀速圆周运动时,如近地卫 星,轨道半径,才可以认为等于天体半径R。 C.#行1)△ D##)△# 探究点二 天体运动的分析与计算 1.一个模型 ·核心素养·思维升华 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周 天体运动问题解决技巧 运动。 (1)比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的 2.两条思路 行星或卫星的v、o、T、a。等物理量的大小时,可 考虑口诀“越远越慢”(v、a、T)、“越远越小”(a。) (1)万有引力提供向心力; (2)若已知量或待求量中涉及重力加速度g,则应 Mn 一ma.-m 4-2 (2)物体在天体表面时受到的万有引力等 (3)若已知量或待求量中涉及v(或、T、a.),则 4r2 于物体重力:mg-G 中选择公式应用。 表明gR{}与GM可以相互替代。该公式 C针对训练 通常被称为黄金代换式。 例② 2.如图所示,在火星与木星轨道之间有一个 如图所示,a、是两 小行星带。假设该带中的小行星只受到太 颗绕地球做匀速圆周运动 阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动。下 列说法正确的是 的人造卫星,它们距地面 ) 小行星带 的高度分别是R和2R(R 为地球半径)。下列说法正确的是 __ A.太阳对各小行星的引力相同 A.a、的线速度大小之比是/2:1 B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 B.a、6的周期之比是1:2② C.小行星带内侧小行星的向心加速度值 大于外侧小行星的向心加速度值 C.a、的角速度大小之比是3、/6:4 D.小行星带内各小行星圆周运动的线速 D.a、的向心加速度大小之比是9:2 度值大于地球公转的线速度值 63 ·物理·必修 第二册(配RJ版) 提升案随堂演练·基础落实 /夯基础·提技能·素养达成 1.若太阳质量为M,某行星绕太阳公转周期 3.地球表面的平均重力加速度为g,地球半 为T,轨道可视为半径为,的圆。已知引 径为R,引力常量为G,用上述物理量估算 ( 出来的地球平均密度是 力常量为G,则描述该行星运动的上述物 _ B30 A.3G 理量满足 _ ( B. C.HG DR# D. GM4# #7{2} 4.假设地球可视为质量均匀分布的球体。已 2.(2024·新课标卷)天文学家发现,在太阳 知地球表面重力加速度在两极的大小为 系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行 g。,在赤道的大小为g,地球自转的周期为 T,引力常量为G。地球的密度为( 其中行星GJ1002c的轨道近似为圆,轨道 _~ 3n(g。-g) B. GT^*}(go-g) 半径约为日地距离的0.07倍,周期约为 3πg。 A.3 GT^{②}go 0.06年,则这颗红矮星的质量约为太阳质 C# _。 量的 A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 提示 D.1000倍 请完成[知能达标训练]作业(十三) 4 宁宙航行 [学业要求] 1.知道三个宇宙速度的含义,会推导第一宇宙速度。 2.了解人造卫星的有关知识,掌握人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的 关系。 3.认识同步卫星的特点。 4.了解人类对太空探索的历程及我国卫星发射的情况。 预习案必备知识·问题导学 /通教材·理知识·素养初成 一、宇审速度 2.速度达到一定值后,物体能否落回地面? 阅读教材,并回答: 1.平抛物体的速度逐渐增 3.若不能,此速度必须满足什么条件 大,物体的落地点如何 变化? 4.若此速度再增大,又会出现什么现象? 64@© 2.D在环月飞行时，样品所受的合力提供向心力，不为 零，A错误：若将样品放置在月球正面，根据牛顿第三定 力提供向心力6=m=m祭，可得M=芒 -2 律可知，它对月球表面的压力等于月球对它的支持力， 4x2r3 根据力的平衡条件可知，月球对它的支持力等于它在月 G,不知道空间站绕地球运行的半径，求不出地球的 球上的重力，不为零，故它对月球表面的压力不为零， 质量，C错误。 B错误：质量是物体的固有属性，不会随受到的引力的 [答案]D 变化而变化，C错误；由于月球表面重力加速度较地球 [变式1]C设地球的质量为M,空间站的质量为m,根 表面的小，则样品在月球表面所受重力较在地球表面的 小，结合B项分析可知，样品放置在月球背面时对月球 的压力较其放在地球表面时对地球的压力小，D正确。 播万有引力等于句心力有=m禁(R+,可 GMm 3.D根据万有引力定律可得F一R十h越大，F越 得M=红R+h),故A错误：根据题意可知，地球的 GT2 小，故选D。 4 M_3π(R+h)3 4.A设地球质量为M,则质量为n的物体在地球表面上 体积为V=号R,地球的密度为p=罗= GT2R3 重力mg=G瓷，在高度为点处的重力宁吸= 故B错误；根据角速度和周期的关系可知，空间站运行 的角速度为。-票，故C正确；根据线逵度与周期的关 、G)。解得=21)R,A正确。 系可知，空间站的线速度为口=2xR+2,故D错误。 T 3万有引力理论的成就 [变式2]AB空间站的周期为T,距地面的高度为h, 预习案·必备知识·问题导学 质量为m,地球的半径为R,由题意可以求出空间站的 一答：推导：8-6M-受。因为他测出了引力 选行月期为T-酷h=1.5h,由周周运动线选度公式可 常量的值。 得0=2红(R+2,R=T-h,故A正确；由万有引力提 [概念·规律 T 2π 1.Gm地m R2 2.gR2 引力常量G GMm v2 G 保向心力可知器=mR平M=+》,故B G 二、1.答：椭圆运动，匀速圆周运动。 正确；由题中信息无法求出空间站的质量，也无法求出 2.答：万有引力。 空间站所受地球的引力，故CD错误。 →M= [针对训练] r G 1.D设月球绕地球运动的轨道半径为1，地球绕太阳运 3.答：GMm提供 mru2→M-w2r3 动的轨道半径为r2, r2 G 根格6学 m4π2 祭M- =mT mr GT2 4.答：不能。 可得Gm1=m气n 4x2 52 [概念·规律] 4π2 1.(1)m (2)42-3 2.4r- Gm达m=m地T 22 GT2 GT2 R地 [思考判断] 其中1=Rn= r2RkRa 4 (1)×(2)×(3)×(4)×(5)/ 3R3 探究案·关键能力·互动探究 探究点一 联立可得地 ) [交流讨论] 故选D。 答：由mg-和M-p·言R,得p 3g 探究点二 [例2][解析]两卫星均做匀速圆周运动，F万=F。,向 (2)答：由G=mr 知M=p·3πK“,得 4 心力选不同的表达式分别分析。 3xr3 PGTR3 (3)答：p=3 T2· 学（停层-B r [例1][解析]已知空间站绕地球运行的线速度口和 角速度@，可得空间站绕地球运行的半径为7一巴，空间 误：由GM=mrd子得兽= r2 层-3k心正扇：由 站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可 GMm=ma得1=，2=，故D错误。 r2 得Gm=m解得M=之”《 GD正确： [答案]C [针对训练] 2.C 根据万有引力提供向心力GM恤=m -=m2r,可得 提升案·随堂演练·基础落实 M=Ur_u2r3 1.A行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提 G “G,与空间站的质量无关，只知道空间站绕 供向心力，有GM=m 4π2 地球运行的半径或只知道周期，求不出地球的质量，A、 72, B错误；根据角速度和周期的关系T=2红，根搭万有引 所以GM=4x2r ,选项A正确。 16 2.B ♪2 祭→M=M=T GTM安r地3T粉 国烧月球表西的卫里有G=w只，则第一宇雪连 0.073 ≈0.1，B对。 0.062 度为√贸√蹑故选D, 3.A设地球表面有一物体质量为m,地球的质量为M。 [变式2]BC设月球表面的重力加速度大小为g,由竖 物体在地球表面时，所受的重力近似等于地球对物体的 万有引力，则有G=mg 直上超的运动规律可得A=女（位），解得g-脱 -29 R2 设小石块抛出时的初速度大小为，则有小石块从抛 解得M=R 出到落回鹅出点的时同为，可得西=公受-曾×台- 地球可以看作球体，其体积为V= 4 厂纱，A错误，B正确：在月球表面物体的重力等于月球引 R2 M 根据密度的定义ρ=节 G 力，可得G=mg,解得M=-。 G G2,C正确， 3R34πRC 由月球的引力提供圆周运动的向心力，则有月球的第一 故A正确，BCD错误。 宇宙速度为G 樱=m爱解得 GM_2√2hR t 4B在地球两极处，GMm R2-mgo, D错误 [针对训练] 在赤道处，GM ,解释R- R2 一mg=m GM 1.C根据G0=nR,解得U马R,因为M=V m(go-g)=m- 4π2 R'e可得气CRcR,可知-尽=6400 4 M=8oR2 3 2R 16 G 400,故选C。 探究点二 M =、BoR2 3xgo 例2][解析](1)冰墩墩在空间站内受地球等的万有 GT2(go-g) 引力作用，A错误：冰墩墩随空间站绕地球做匀速圆周 运动，万有引力提供向心力，处于完全失重状态，由于万 B项正确。 有引力指向地心，则冰墩墩水平方向不受外力作用， 4宇宙航行 BCD正确。 预习案·必备知识·问题导学 (2)水的密度大于油的密度，则根据离心原理，水和油在 一、1.答：落地点逐渐变远。 相同的角速度和半径下需求的向心力更大，因此产生离 2.答：速度达到一定值后，物体将不再落回地面。 心现象。水相对试管向外侧运动，油相对试管向内侧运 3.答：物体不落回地面时环绕地面做圆周运动，所受地面 动，故A错误，B正确：内外层液体的角速度相同，根据 的引力恰好用来提供向心力，满足GMm=mv→ a=wr可知，转动时“模拟重力”产生的“模拟重力加速 r2 r 度”沿半径方向向外逐渐变大，故C正确，D错误。 (3)一天可以看到16次日出，则空间站的运行周期为 GM T=石故A错误：以空间站为所完对象，根据牛顿第 4.答：若此速度再增大，物体不落回地面，也不再做匀速圆 周运动，万有引力不能提供所需要的向心力，从而做离 二定肆有GR一，剥空同站的和建度为。 心运动，轨道为椭圆轨道。 GM [概念·规律] R十2，故B正确；根据第一宇宙速度的定义有G R2 1.匀速圆周万有引力m m 2.7.9匀速圆 周运动11.2地球16.7太阳最小 m只，解得√贸，故C错民依题意空同站布地 [思考判断] 球之间的万有引力为F=G Mm (1)/ (2)×(3)×(4)×(5)×(6)× R+=m(停)(R+ 探究案·关键能力·互动探究 =m1024r(R十)，故D错误 探究点 T2 [例1][解析]星球的第一宇宙速度即为围绕星球做 (4)由于在空间站中处于完全失重状态，则与重力有关 圆周运动的轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万 的实验都不能进行，即不能用天平称量物体的质量，也 有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度。卫星 不能研究自由落体运动实验，不能进行平抛运动的研究 所务的向心力由万有引力提供6管=m号，得。 实验等；但是可以用橡皮筋和弹簧秤完成力的合成实 r2 验，故选D。 L答案](1)BCD(2)BC(3)B(4)D √受又由总-员员宁批月装和地球上第一字 「针对训练] 2.B恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任 宙造度之比=各，故明=7.9X号km/s≈ 意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星 地 自转轴转动的向心加速度，不同位置向心加速度可能不 1.8km/s,因此B项正确。 同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同， [答案]B A错误； [变式1]D嫦城五号绕月球做匀速圆周运动，设嫦域 恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供 五号的质量为m,轨道半径为r,根据万有引力提供向心 重力加速度。恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球 力有GMm=m +2 ，又T=2,联立可得GM=T, 4π2 2π 体，质量不变，体教蜂小，由万有引力表选式F 17