专题一 无理方程（培优教程）-【牵手重高】2024-2025学年八年级数学下册课件（浙教版）

让学习更高效 最新修订版 牵手重高 数学 培优教程 八年级®册 (浙教版) 宁波出版社 牵手重高·数学最新修订版 专题一无理方程 孕于重高 涌济文化 初中学段产品书目 Yo材0 JI CULTUnS 学习无忧自在涌济 ● 牵手重高 突破中毒 牵手重高 牵手名师 压轴题 00 中年手更两螺底平餐、 3 培优仿接拟港 ⊙牵手重高 ©培优仿真模拟卷 。牵手名师 培优拓展冲刺重高 强基真题试卷 同步学同步练巧学巧练 。突破中考·易错题 ⊙牵手重高综合版 ⊙牵手重高突破中考·压轴题 冲刺中考满分 专项突破考前总复习 全真题常考题压轴题 牵手重高·数学最新修订版 知识梳理 0*44444 分要点诠释》翻 定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫作无理方程。 有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程， 解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程. 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程 的结构特征选择解题方法.常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利 用比例性质法等.注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解 无理方程时，往往会产生增根，应注意验根 于高 牵手重高·数学最新修订版 【例1】我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未 知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程 认识新方程： 像√2x十3=x这样，根号下含有未知数的方程叫作无理方程，可以通过方程两边平方把 它转化为2x十3=x2,解得x1=3,x2=一1.但由于两边平方，可能产生增根，所以需要 检验，经检验，x2=一1是原方程的增根，应舍去，所以原方程的解是x=3. 运用以上经验，解下列方程： (1)/16-6.x=x. (2)x+2x-3=6. 解：(1)两边平方，得16一6.x=x2, (2)移项得2√x一3=6-x 整理得x2十6x一16=0，解得x1=一8，x2=2: 两边平方，得4x-12=x2一12x+36, 经检验x=一8是增根， 解得x1=4,x2=12(不符合题意，舍). 所以原方程的根为x=2. 所以原方程的根为x=4. 牵手重高·数学最新修订版 【例2】如果方程2十√4x十3=k无实数解，那么k的取值范围是k<2· 孕于高 牵手重高·数学最新修订版 【例3】小明用下面的方法求出了方程2√：一3=0的解，请你仿照他的方法求出下面两个方 程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中. 方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解 2F-3=0 令√F=t,则2t-3=0 岛 匠=号，所以x=号 令反= =1少 1=1>0, E=1 x+2Wx-3=0 则2+21-3=0 1=-3 1=-3<0 所以x=1 令x-2=t 1=-2: 1=-2<0, /x-2=1, x+√x-2-4=0 则t+1一2=0 =1 =1>0 所以x=3 孕于重高 牵手重高·数学最新修订版 5 【例4】解方程 2x-1 2x-1 2 解：设入 2r-1 =y,则 子，原方程可化为y叶-多 2x-1 2 两边同时乘以2y得，2y2-5y+2=0,(-2)(2y-1)=0,解得y=2或y=号， ①当y=2时W .两边平方得，2x-1=4,解得x=一 =1 @当=时√豆=分两边平方得：一4=解得=去 检验：把x=一之t=号，分别代入x(2x-D,均不为0，都是原方程的解。 牵手重高·数学最新修订版 √x+1+√y-I=3, 【例5】解方程组 x+y=5. 0 (x-y-7)2=(-6y-1)2③， 由②得x=5-y,代入③， 由①得x+I=3-y-1 (5-y-y-7)2=(-6Wy-1)2, x+1=(3-√y-1)2, 整理，得y2一7y十10=0，解得y1=2,y2=5, .x1=3,x2=0, x+1=9+y-1-6√y-I, x1=3 (x2=0 x-y-7=-6y-1, 所以原方程组的解为： (y1=2y2=5 于高 牵手重高·数学最新修订版 【例6】设实数x>0,求使等式√x2-1+√x+4x+3=√3x2十4x+1成立的所有x的值. 解：x>0,x2-1=(x十1)(x-1)≥0， x2+4x+3=(x+1)(x+3)≥0， 3x2+4x=(x+1)(3.x+1)≥0， .x十1>0，x-1≥0，x+3>0,3x+1≥0， 原方程变形为： √x+I·x-I+/x+I·x+3-x+I·√3x+I=0, Wx+1(√/x-1+/x+3-/3.x+1)=0, :x+1≠0， 整理得3.x2十10x一13=0， ./x-1+√/x+3-/3.x+1=0, (x-1)(3x+13)=0, ./x-I+x+3=3x+I .x-1=0或3.x+13=0. 方程两边平方，得x-1十x+3+2/x-1·√x+3=3.x+1, 六x=1或x= 13(舍去)· 3 2x-T·x+3=x-1. ∴x=1. 方程两边平方，得4(x一1)(x十3)=(x一1)2，