精品解析：辽宁省实验中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

27届高一下学期第一次月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由单位圆及为锐角得，再由三角函数定义求. 【详解】由题意，又为锐角，故，则. 故选：D 2. 已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】点在第二象限，根据坐标特征得的符号，即可得所在象限. 【详解】因为点在第二象限，所以，，所以为第二象限角. 故选：B 3. 下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正弦函数、余弦函数、正切函数的性质逐项判断. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A不是； 对于B，函数是偶函数，B不是； 对于C，，函数不是奇函数，C不是； 对于D，函数，所以为奇函数，且最小正周期为，D是. 故选：D 4. 鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”（如图1），是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔.今有一个半径为的圆（如图2），，，分别为圆周上的点，其中，，现将扇形，分别剪下来，又在扇形中裁剪下两个弓形分别补到扇形的两条直边上，将扇形补成鲁洛克斯三角形，设此鲁洛克斯三角形的面积为，扇形剩余部分的面积为，若不计损耗，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先由扇形求出弓形面积，再分别计算和，化简即得. 【详解】由题意，先求出弓形的面积为, 则, , 故. 故选：B. 5. 将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度．可得到的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的平移变换求解即可. 【详解】函数向左平移个单位长度， 得到， 横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 向上平移1个单位长度，得到， 则，又，解得， 则. 故选：A. 6. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义可得出关于、的等式组，解出函数的解析式，再利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可求得所求代数式的值. 【详解】因为函数的定义域为，是偶函数，是奇函数， 则，可得，① ，可得，② 联立①②可得， 所以，， 因此， . 故选：D. 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 8. 已知函数，若存在满足，且，则m的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，进而可求得的最小值. 【详解】因为，所以， 因为， 要使m的最小，须取，即. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9. 已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则或． 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结论． 【详解】已知非零平面向量， 若，则，所以，或与垂直，故A错误； 若，则与同向，所以，故B正确； 若，则，所以，则，故C正确； 若，则，所以，不一定有或，故D错误． 故选：BC． 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 图像对称中心为 B. 最小正周期为 C. 的单调递增区间为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正切型函数的对称中心、周期、单调性判断ABC三个选项，解正切函数不等式得到D选项. 【详解】对于A，令，则，A错误； 对于B，的最小正周期为，故B正确； 对于C，由，可得， 所以的单调递增区间为，故C正确； 对于D，由，可得，可得， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（    ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 当时，水深度达到 D. 已知函数的定义域为，有个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象的最值求出，再根据图象得到其周期则得到，代入最高点求出，则得到三角函数解析式，则判断A，再结合其对称性即可判断B，代入计算即可判断C，利用整体法和其对称性即可判断D. 【详解】对A，由图知，，，， 的最小正周期，， ，，解得：， 又，，，故A正确； 对B，令，，解得，， 当时，， 则， 则函数的图象关于点对称，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，则，令， 则，令，则根据图象知两零点关于直线对称， 则，即，则， 则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，，与的夹角为，与的夹角为锐角，则的取值范围________． 【答案】且 【解析】 【分析】与的夹角为锐角，等价于，且与不能共线且同向.分别求出时的范围，剔除与共线且同向时的的值即可. 【详解】与夹角为锐角，等价于，且与不能共线且同向. 由，得，即， 所以，解得； 若与共线且同向时，设，即，， 因为与不共线，所以，解得， 综上，的取值范围为且. 故答案为：且 【点睛】本题考查已知向量的夹角求参数的范围，涉及到向量数量积的定义、共线向量定理，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 13. 已知和是夹角为的两个单位向量，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示出来，再根据已知条件确定向量、终点的轨迹，最后通过分析几何关系求出的最小值. 【详解】建立平面直角坐标系并表示向量坐标如图所示， 设，， 设，. 确定终点的轨迹： 已知，则，即，所以， 这表明向量的终点在直线上. 确定终点的轨迹： 已知，则， 这表明向量的终点与点的距离为. ，其最小值为点到直线的距离减去 而， 所以的最小值为：. 故答案为：. 14. 已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则_____. 【答案】18 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正弦函数的对称性列式求出及的表达式，再利用零点个数求出范围，求出值并验证得解. 【详解】依题意，，解得， ，而，则， ，由，得， 由在区间上有且仅有两个零点，得，解得， 于是，或，当时，，，不符合要求， 当时，，，符合题意， 所以. 故答案为：18 【点睛】易错点睛：本题利用给定的信息求出的值，不注意验证即可得出错误答案，在不只一个结果时，验证是必须的. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）运用诱导公式化简再代值即可； （2）条件先平方，算出即可获解. 【详解】（1）由题可知 原式 （2）,两边平方可得，解得 ，又 ，则 所以 16. 已知向量． （1）当且时，求； （2）当，求向量与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出和的坐标，再由条件可得，求出x的值，再求的坐标，得出其模长. （2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案. 【小问1详解】 因为向量 则，， 又因为，则， 可得，解得或， 且，则，则，， 所以. 【小问2详解】 由，则， 由，可得，解得，即， 可得，，， 则， 且，所以向量与的夹角. 17. 已知函数的部分图象如图所示，直线是图象的一条对称轴． （1）求解析式； （2）求的单调递减区间； （3）若方程在内恰有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数最小正周期，进而得到，，代入特殊点坐标，求出，得到解析式； （2）整体法求出函数单调递减区间； （3）得到，结合图象得到，求出答案. 【小问1详解】 由题可知，的最小正周期，则， 则，，即，． 因为，所以． 又，所以，得． 故． 【小问2详解】 令， 得， 则的单调递减区间为． 【小问3详解】 由，得． 由，得． 因为方程在内恰有两个不相等的实数根，所以， 解得，即的取值范围为． 18. 某小区南门有条长100米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长5米、宽2.5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，小区保安李师傅提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中． （1）若，求和的长； （2）求关于的函数表达式； （3）若，按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 【答案】（1），； （2），； （3）11 【解析】 【分析】（1）利用几何关系得到，从而，； （2）表达出各边长，得到，； （3）由得到，再构造对偶式，求出，设改造后停车位数量最大值为，作出辅助线，得到，从而得到不等式，求出，故取，则该路段改造后的停车位比改造前增加个. 【小问1详解】 由题意得，，， 故，故， 当时，， 故，； 【小问2详解】 由（1）可得，， ，， 【小问3详解】 令，则， 即①， 设②， 式子得，解得， 当时，，解得， 因为，所以，而，不合要求，舍去； 当时，，解得，满足要求， 此时， 设改造后停车位数量最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为， 则顶点到线段距离为， 由图及题意可得，， 由（1）可得， 故， ，， 故， 由，解得，故取， 则该路段改造后的停车位比改造前增加个. 19. “三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系．三角函数线经常可以理解为将单位圆上一点的坐标分别看作这点所在角的余弦和正弦这样在解决和同一个角的余弦与正弦的方程或不等式或函数问题时可以把余弦与正弦还原成单位圆上一个点的坐标，通过几何意义来解决相关问题．例如要求的取值范围，只需设，即，使该条直线与单位圆的有公共点时在y轴截距的取值范围即可． （1）当设时，利用上述内容求的取值范围； （2）利用恒等式和，求和的最小值； （3）已知：若，则有．现有实数x，y满足，求二元函数的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，可得直线与有公共点，进而求解可得的取值范围； （2）将问题转化为三角函数的最值问题，即动点到两定点距离之和最值问题即可； （3）设，变形得，则转化为表示点到点和距离之差再加上，利用三点共线即可得到答案. 【小问1详解】 因为，可设， 所以，所以，又为轴上方的半圆， 故直线与有公共点，所以， 所以，又直线过点时，， 又直线在轴上的截距为，所以， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 设，则，则，由（1）可得，所以的最小值为； 当时， ， 表示点到点和的距离之和， 所以. 当时， ， 表示点到点和距离之差， 所以. 的最小值为. 【小问3详解】 因为，故，故，同理. 由已知得若，则有． 令，则，且； 设， 由 ， 所以 ， 所以可得 ， 其表示点到点和的距离之差再加上， 所以， 当且仅当， 即，此时满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 27届高一下学期第一次月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”（如图1），是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔.今有一个半径为的圆（如图2），，，分别为圆周上的点，其中，，现将扇形，分别剪下来，又在扇形中裁剪下两个弓形分别补到扇形的两条直边上，将扇形补成鲁洛克斯三角形，设此鲁洛克斯三角形的面积为，扇形剩余部分的面积为，若不计损耗，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度．可得到的图像，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 8. 已知函数，若存在满足，且，则m的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9. 已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C 若，则； D. 若，则或． 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 图像对称中心为 B. 最小正周期为 C. 的单调递增区间为 D. 若，则 11. 海水受日月引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（    ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 当时，水深度达到 D. 已知函数的定义域为，有个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，，与的夹角为，与的夹角为锐角，则的取值范围________． 13. 已知和是夹角为的两个单位向量，且，则的最小值为______． 14. 已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值. 16. 已知向量． （1）当且时，求； （2）当，求向量与的夹角． 17. 已知函数的部分图象如图所示，直线是图象的一条对称轴． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）若方程在内恰有两个不相等实数根，求的取值范围． 18. 某小区南门有条长100米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长5米、宽2.5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，小区保安李师傅提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中． （1）若，求和的长； （2）求关于的函数表达式； （3）若，按照李师傅方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 19. “三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系．三角函数线经常可以理解为将单位圆上一点的坐标分别看作这点所在角的余弦和正弦这样在解决和同一个角的余弦与正弦的方程或不等式或函数问题时可以把余弦与正弦还原成单位圆上一个点的坐标，通过几何意义来解决相关问题．例如要求的取值范围，只需设，即，使该条直线与单位圆的有公共点时在y轴截距的取值范围即可． （1）当设时，利用上述内容求的取值范围； （2）利用恒等式和，求和最小值； （3）已知：若，则有．现有实数x，y满足，求二元函数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $