1.1.2空间向量的数量积运算导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2　空间向量的数量积运算 学案 学习目标 1．掌握空间向量的数量积 .2.了解空间向量投影的概念. 3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题． 情境导入 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义． 新知探究 知识点　空间向量的数量积运算 问题引导 　1.空间向量的数量积的定义是什么？ 提示：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 2．空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？ 提示：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)，与平面向量的运算律一样． 知识点总结 1．空间向量的数量积定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos_〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b． 即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 特别地，零向量与任意向量的数量积为0． 2．空间向量数量积的运算性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0． (2)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2． (3)cos〈a，b〉＝． (4)|a·b|≤|a||b|. 3．向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 4．数量积的运算律 (1)(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； (2)a·b＝b·a(交换律)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． (1)两个空间向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零． (2)若a·b＝k(k≠0)，则不能得出a＝(或b＝)，即空间向量不能进行除法运算． (3)向量的数量积运算不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的． 典例探究 例1如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求： (1)·； (2)(＋)·(＋)． 解：在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1.〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°. (1)·＝||||·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋－) ＝(＋)·(＋－2) ＝2＋2·－2·＋2－2·＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1＝1. 求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； (4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 变式训练 1．(2024·福建厦门第一中学高二期中)设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2　　　　　 B．a2 C．a2 D．a2 解析：A　由题意，作出正四面体ABCD，如图所示．因为E，F分别是BC，AD的中点，所以＝(＋)，＝. 又因为正四面体ABCD的棱长都为a，所以〈，〉＝〈，〉＝60°， 故·＝(＋)·＝(·＋·)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.故选A． 思维提升 　空间向量数量积的应用 题型一　利用数量积证明垂直问题 例2　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 证明：设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0， |a|＝|b|＝|c|. ∵＝＋＝＋(＋) ＝c＋a＋b，＝－＝b－a， ＝＋＝(＋)＋ ＝a＋b－c， ∴·＝(c＋a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a ＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0. 于是⊥，即A1O⊥BD. 同理可证⊥，即A1O⊥OG. 又OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，且A1O⊄平面GBD，于是有A1O⊥平面GBD. 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题． 变式训练 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. 证明：PA⊥BD. 证明：由题意知，DA⊥BD，则·＝0.由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD，则·＝0.又＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋·＝0，所以⊥，所以PA⊥BD. 题型二　利用数量积求向量的夹角和距离 例3　(1)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为________． 解析：设＝a，＝b，＝c. 由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2， 且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°. 因为＝＋＋ ＝－＋＋＝－a＋b＋c， 所以||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2(－a·b＋b·c－a·c) ＝×22＋×22＋22＋2×(－)×2×2cos 60°＝1＋1＋4－1＝5. 所以||＝，即EF＝. 答案： (2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， ∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．求cos〈，〉的值． 解：因为＝－＝＋－， ＝＋， 所以||2＝2＝(＋－)2 ＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6， ||＝， ||2＝2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝， ·＝(＋－)·(＋) ＝2－2＝22－12＝3， 所以cos〈，〉＝＝＝. 1．求线段长度的步骤如下： (1)将线段用向量表示； (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用|a|＝得所求长度． 2．利用数量积求异面直线所成角的方法步骤： (1)根据题设条件在两异面直线上取两个向量； (2)将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题； (3)利用数量积求角的大小． 变式训练 3．如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，BD与平面α所成的角为30°，求CD的长． 解：由AC⊥平面α，可知AC⊥AB，如图，过点D作DD1⊥平面α，D1为垂足，连接BD1， 则∠DBD1为BD与平面α所成的角，即∠DBD1＝30°， 所以∠BDD1＝60°. 因为AC⊥α，DD1⊥α， 所以AC∥DD1， 所以〈，〉＝60°， 所以〈，〉＝120°. 又＝＋＋， 所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·. 因为BD⊥AB，AC⊥AB， 所以·＝0，·＝0. 故||2＝||2＋||2＋||2＋2·＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625， 所以||＝25，即CD的长为25. 课堂小结 1．知识网络 2．特别提醒 (1)当空间向量a，b夹角θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0； (2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0； (3)数量积运算不满足消去律，即不能由a·b＝a·c，a≠0推出b＝c，只能得出a⊥(b－c)． 课堂练习 1．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，〈，〉＝(　　) A．30°　　　　　 B．60° C．90° D．120° 解析：D　连接BD，A′D(图略)，因为B′D′∥BD，△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夹角的定义可知〈，〉＝120°，即〈，〉＝120°. 2.在如图所示的平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为(　　) A．3　　　　　 B． C．6 D． 解析：D　由于＝＋＋， 则||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋3×2×1×1×cos 60°＝6， ∴||＝. 3．(2023·河南创新联盟高二检测)在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，则·＝________． 解析：·＝(＋)·(－)＝·＋·－·－·＝(1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°)－×1×1×cos 60°－×12＝－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2　空间向量的数量积运算 学案 学习目标 1．掌握空间向量的数量积 .2.了解空间向量投影的概念. 3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题． 情境导入 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义． 新知探究 知识点　空间向量的数量积运算 问题引导 　1.空间向量的数量积的定义是什么？ 2．空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？ 知识点总结 1．空间向量的数量积定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos_〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b． 即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 特别地，零向量与任意向量的数量积为0． 2．空间向量数量积的运算性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0． (2)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2． (3)cos〈a，b〉＝． (4)|a·b|≤|a||b|. 3．向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 4．数量积的运算律 (1)(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； (2)a·b＝b·a(交换律)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． (1)两个空间向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零． (2)若a·b＝k(k≠0)，则不能得出a＝(或b＝)，即空间向量不能进行除法运算． (3)向量的数量积运算不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的． 典例探究 例1如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求： (1)·； (2)(＋)·(＋)． 求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； (4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 变式训练 1．(2024·福建厦门第一中学高二期中)设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2　　　　　 B．a2 C．a2 D．a2 思维提升 　空间向量数量积的应用 题型一　利用数量积证明垂直问题 例2　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题． 变式训练 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. 证明：PA⊥BD. 题型二　利用数量积求向量的夹角和距离 例3　(1)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为________． (2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， ∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．求cos〈，〉的值． 1．求线段长度的步骤如下： (1)将线段用向量表示； (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用|a|＝得所求长度． 2．利用数量积求异面直线所成角的方法步骤： (1)根据题设条件在两异面直线上取两个向量； (2)将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题； (3)利用数量积求角的大小． 变式训练 3．如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，BD与平面α所成的角为30°，求CD的长． 课堂小结 1．知识网络 2．特别提醒 (1)当空间向量a，b夹角θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0； (2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0； (3)数量积运算不满足消去律，即不能由a·b＝a·c，a≠0推出b＝c，只能得出a⊥(b－c)． 课堂练习 1．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，〈，〉＝(　　) A．30°　　　　　 B．60° C．90° D．120° 2.在如图所示的平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为(　　) A．3　　　　　 B． C．6 D． 3．(2023·河南创新联盟高二检测)在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，则·＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $$