2025年湖南中考数学一轮复习专题17： 一元二次方程

专题17：一元二次方程 一、选择题： 1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.关于的方程的一个解是，则值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3.方程，，的公共解是(    ) A. B. C. D. 4.关于的一元二次方程根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5.用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为(    ) A. B. C. D. 6.已知一元二次方程的一个根是，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.关于的方程是一元二次方程，则(    ) A. 或 B. C. D. 8.是下列哪个一元二次方程的根？  (    ) A. B. C. D. 9.用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 10.关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值(    ) A. 或 B. 或 C. D. 11.红星村种的水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为列方程为(    ) A. B. C. D. 12.保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为，则根据题意列出符合题意的方程是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 13.把一元二次方程化成一般形式是          ． 14.如图，在一块长为、宽为的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路各与长方形的一条边平行，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为____________________． 15.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为          ． 16.用求根公式解方程解得           ，           ． 17.设、是方程的两个根，且，则的值是          ． 18.已知是关于的一元二次方程，则_________． 19.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 20.若一元二次方程的两个根分别是与，则________． 21.规定：，如：，若，则          ． 22.对于实数，，定义运算“”如下：若，则          ． 三、解答题： 23.先化简，再求值：，其中满足． 24.已知方程组中为非正数，为负数． 求的取值范围； 在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为？ 25.某商品在某电商平台月份的销量是万件，月份的销量是万件． 若该平台月份到月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ 市场调查发现，某旗舰店该商品的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降低元，每天可多售出件，为了推广宣传，尽量减少库存，决定降价促销，若使销售该商品每天获利元，则售价应降低多少元？ 26.如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为请列出方程并解答： 若苗圃园的面积为，求的值； 苗圃园的面积能达到吗？若能，求出的值；若不能，说明理由． 27.为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室．年投入资金万元，年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同． 求该市年至年建设微型图书阅览室投入资金的增长率； 年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为万元．年为提高微型图书阅览室品质，每个社区建设费用增加，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？ 28.技术创新引领发展，随着电池技术和智驾技术的进步，在长沙建厂的某品牌新能源车企实现了产销逆势增长据不完全统计，该车企年月份新能源汽车的销量约为万辆，同年月份的销量达到约万辆． 求该车企年月份到月份新能源汽车销量的平均增长率；参考数据： 该车企年月份新能源汽车销量比月份增加约，同年月份新能源车销量比月份增加约，求该车企年第四季度新能源车的总销售量约为多少万辆？ 29.某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互垂直的小路，小路两侧空余部分种花，如图，若矩形长为，宽为，种花的总面积为． 求道路的宽度； 园林部门要种植甲、乙两种花共株，其中甲种花每株元，乙种花每株元，园林部门采购花的费用不超过元，则最多购进甲种花多少株？ 30.云南某地一村民，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． 求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． 某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为元千克时，每天能售出千克，售价每降低元，每天可多售出千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为元千克，若使销售该种橙子每天获利元，则售价应降低多少元？ 31.【阅读材料】 “换元法”是我们解数学题时常用的一种方法它主要是将一个较为复杂的表达式用一个较为简单的符号或字母代替，从而简化问题，降低难度，使问题易于解决． 例如解分式方程时，可以设，则原方程可以化为，解得，即，去分母得，所以，检验：当时，，所以是原方程的解． 【基本应用】 用换元法解方程； 已知，满足方程，结合“换元法”的解题思路，求的值． 【创新应用】 结合“换元法”的思路探究分解因式． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解，直接把代入方程得，然后解关于的一元二次方程即可． 【解答】 解：把代入方程得， 整理得，解得，， 即的值为或． 故选B 3.【答案】  【解析】解：得或解方程得 解方程得或，它们的公共解是故选A． 4.【答案】  5.【答案】  【解析】解：把整体代换为， ， 即． 故选A． 方程中的用进行替换，就可以得到，移项即可得解． 本题运用了整体代换法，需要注意，移项时要变号． 6.【答案】  【解析】解：由条件可知， ． 故选：． 将代入方程再解关于的一元一次方程即可． 本题考查一元二次方程的解的定义．方程的解就是能使左、右两边相等的未知数的值． 7.【答案】  【解析】解：由题意可知：，且即， 所以． 故选：． 根据一元二次方程的定义可知，最高次数为且二次项的系数不为，即，且，解出的值即可． 本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为，这是比较容易漏掉的条件． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值若，方程无实数根；在的前提下，把、、的值代入公式进行计算求出方程的根． 根据求根公式解一元二次方程的方法解题即可． 【解答】 解：中，，不合题意； B.中，，不合题意； C.中，，不合题意； D.中，，符合题意； 故选D． 9.【答案】  【解析】解：由原方程，得 ， ， 则， 故选A． 先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答． 本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 10.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，， ，． ，即， ， 解得：． 关于的一元二次方程有实数根， ， 化简得：， 时满足． 故选：． 由根与系数的关系可得出，，结合可求出的值，根据方程的系数结合根的判别式可得出关于的不等式，进而可确定的值，此题得解． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值是关键． 11.【答案】  【解析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则年平均每公顷，则年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则年平均每公顷产， 则年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：． 12.【答案】  【解析】解：这两年培育新品种数量的平均年增长率为， 根据经过两年不断的努力培育新品种，现在有种农作物种子得： ， 故选：． 根据“该农科实验基地两年前有种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有种农作物种子”列出一元二次方程即可． 本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 13.【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：是常数且，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据题意将一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】解： 一元二次方程化成一般形式是， 故答案为：． 14.【答案】或  【解析】【分析】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【解答】 解：道路的宽为米， 由题意得，或， 故答案为或． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入得，再解关于的方程，然后根据一元二次方程的定义确定的值即可． 【解答】 解：把代入得， 整理得，解得，， 因为， 所以的值为． 故答案为． 16.【答案】        【解析】本题考查了利用求根公式解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键； 先对一元二次方程进行移项，算出判别式的值，然后再利用公式解题即可． 【详解】 解：将方程 转化为标准形式，即。 计算判别式 的值，这里，，， 根据公式有，利用求根公式 求解方程的根，带入计算得到： ， 故答案为：，． 17.【答案】  【解析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：、是方程的两个根， ， ， ， ， 故答案为：． 18.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点根据一元二次方程的定义列出关于的方程，且，通过解方程即可求得的值． 【解答】 解：根据题意得，且， 解得：． 故答案为． 19.【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 20.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有，然后两边平方得到． 【解答】 解：， ， 方程的两个根互为相反数， ，解得， 一元二次方程的两个根分别是与， ， ． 故答案为． 21.【答案】或  【解析】解：依题意得， 整理，得， 因此，即， 直接开平方，得， 解得或． 22.【答案】或  【解析】解：根据题意得， 整理，得， ， 或， 解得，． 23.【答案】解：原式 ， 由，解得：，， ，即 ， 原式 ．  【解析】先计算括号内分式加法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，然后解方程，再根据分式有意义的条件选取符合题意的代入求值即可． 本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握运算顺序，运算法则，解一元二次方程的方法步骤是解题的关键． 24.【答案】解：解方程组得： 方程组中为非正数，为负数， 解得：， 即的取值范围是； ， ， 要使不等式的解集为， 必须， 解得：， ，为整数， ， 所以当为时，不等式的解集为．  【解析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； 根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案． 25.【答案】；   元．  【解析】解：设月平均增长率是， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：月平均增长率是； 设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低元． 设月平均增长率是，利用该商品在该平台月份的销售量该商品在该平台月份的销售量月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26.【答案】解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：的值为； 苗圃园的面积不能达到，理由如下： 假设苗圃园的面积能达到， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即苗圃园的面积不能达到．  【解析】根据苗圃园的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可确定结论； 假设苗圃园的面积能达到，根据苗圃园的面积为，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即苗圃园的面积不能达到． 本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27.【答案】解；设该市年至年建设微型图书阅览室投入资金的年增长率为， 依题意，得， 解得，不合题意，舍去． 答：该市建设微型图书阅览室投入资金的年增长率为． 设该市在年可以建设个微型图书阅览室， 依题意，得， 解得， 又为整数， 的最大值为． 答：该市在年最多可以给个社区建设微型图书阅览室．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 28.【答案】该车企年月份到月份新能源汽车销量的平均增长率约为；   该车企年第四季度新能源车的总销售量约为万辆．  【解析】解：设该车企年月份到月份新能源汽车销量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，不符合题意，舍去； 答：该车企年月份到月份新能源汽车销量的平均增长率约为； 万辆， 答：该车企年第四季度新能源车的总销售量约为万辆． 设该车企年月份到月份新能源汽车销量的平均增长率为，根据该车企年月份新能源汽车的销量约为万辆，同年月份的销量达到约万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 根据该车企年月份新能源汽车销量比月份增加约，同年月份新能源车销量比月份增加约，列式计算即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 29.【答案】【小题】 解：设道路的宽度为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：道路的宽度为； 【小题】 解：设购进甲种花株，则购进乙种花株， 由题意得：， 解得：， 答：最多购进甲种花株．   【解析】  设道路的宽度为米，由题意得，然后解方程并检验即可；   设购进甲种花株，则购进乙种花卉株，由题意得，然后解不等式即可； 本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程和不等式是解题的关键． 30.【答案】【小题】 解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：不符合题意，舍去． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； 【小题】 解：设售价应降价元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去． 答：售价应降低元．   【解析】  本题考查了一元二次方程的应用增长率，最大利润问题， 设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为，由题意得：，求解即可；   设降价元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润每件千克的销售利润每天的销售量，构造方程，解之即可． 31.【答案】解：设， 则原方程化为， 解得：， 则， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 设， 则原方程化为， 整理得：， 则或舍去， 则； 设， 则 ， 则原式 ．  【解析】设，则原方程化为，解得的值后得到分式方程，解得的值后进行检验即可． 设，从而得到关于的一元二次方程，解方程并确定符合题意的的值即可； 设，然后将其因式分解即可． 本题考查换元法解一元二次方程，换元法解分式方程，公式法因式分解，将原式进行正确的换元是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$