第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组（20大易错题型）（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组（20大易错题型） 【易错必刷一 不等式的定义】 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有 个． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量之间的不等关系： (1)去年某农场某种粮食亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加； (2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5 g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)． 【易错必刷二 不等式的解集】 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列实数中，是的解的是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·广东佛山·阶段练习）写出一个不等式，使它的解为，则这个不等式可以是 ． 6．（22-23七年级下·江苏南通·期末）求证：当时，一定比小． 【易错必刷三 不等式的性质】 7．（24-25七年级下·吉林·开学考试）由得到的条件是（   ） A． B． C． D． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 2（填“”，“”或“”）． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 这种比较大小的方法称为作差法，请运用这种方法比较与的大小． 【易错必刷四 一元一次不等式的定义】 10．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 11．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）若不等式是关于的一元一次不等式，则 ． 12．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知是关于的一元一次不等式． (1)求的值； (2)求出原一元一次不等式的解集． 【易错必刷五 求一元一次不等式的解集】 13．（2025七年级下·全国·专题练习）规定表示中较大的数．若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）若关于的不等式的解集为．则的值为 ． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【易错必刷六 求一元一次不等式的整数解】 16．（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的正整数解只有一个 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的解集是 17．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）满足不等式的最小整数解为 ． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 【易错必刷七 在数轴上表示不等式的解集】 19．（24-25九年级上·广西柳州·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为： ． 21．（24-25七年级下·全国·周测）解下列不等式，并在数轴上表示不等式的解集． (1)； (2)． 【易错必刷八 求一元一次不等式解的最值】 22．（22-23八年级下·全国·课后作业）不等式4-2x＞0的最大正整数解是（　　）. A．4 B．3 C．2 D．1 23．（23-24七年级下·云南迪庆·期末）不等式8-3x>0的最大整数解为 ． 24．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知，且，求的最小值． 【易错必刷九 列一元一次不等式】 25．（2025七年级下·全国·专题练习）“x的与x的和不超过5”可以表示为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）的与4的差小于的2倍加上5所得的和，用不等式表示为 ． 27．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）用不等式表示下列数量之间的不等关系： (1)x的3倍与的和是非负数． (2)a的与b的平方的和小于3． (3)x与5的和的不大于． 【易错必刷十 用一元一次不等式解决实际问题】 28．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，一套紫砂壶茶具包括把茶壶和只茶杯．做把茶壶需要的泥料，做只茶杯需要的泥料．现有泥料，所做的茶具套数是（   ） A．做了套 B．最少做套 C．最多做套 D．最多做套 29．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明要从A地到B地，两地相距，已知他步行的平均速度为，跑步的平均速度为．若他要在不超过的时间内到达，则他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为，则列出的不等式为 ． 30．（24-25八年级上·湖南常德·期末）某业主用货款万元购进一台机器，生产印有巴黎奥运会吉祥物的水杯，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的．若每天能生产、销售2000个产品，问至少几天能够赚回这台机器的贷款． 【易错必刷十一 用一元一次不等式解决几何问题】 31．（22-23七年级下·四川眉山·期末）若三角形的三边长分别为a＋2，4，7，则a可能的值为（    ） A．1 B．5 C．9 D．11 32．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 33．（22-23七年级上·浙江台州·期中）问题提出： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则．若，则．若，则． 问题解决： 如图，试比较图①、图②两个矩形的周长、的大小； 主图形得：；，， ∵，∴，则； 类比应用： （1）用材料介绍的“作差法”比较与的大小； 联系拓展： （2）小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图3所示（其中），售货员分别可按图4、图5、图6三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由． 【易错必刷十二 一元一次不等式组的定义】 34．（2025七年级下·全国·专题练习）现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 35．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 36．（2025七年级下·全国·专题练习）已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【易错必刷十三 求不等式组的解集】 37．（2025七年级下·全国·专题练习）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 38．（24-25八年级上·湖南永州·期末）不等式组的解集 ． 39．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）解一元一次不等式组并把解表示在如图所示的数轴上． 【易错必刷十四 解特殊不等式组】 40．（2024·湖北孝感·一模）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A． B． C． D． 41．（2023八年级下·全国·专题练习）对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d= ． 42．（21-22七年级下·全国·单元测试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则； 即可以写成： ； 解不等式组得：； 当若，则， 即可以写成：， 解不等式组得：， 综合以上两种情况：不等式解集：或 （以上解法依据：若，则同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1) ； (2)． 【易错必刷十五 求一元一次不等式组的整数解】 43．（23-24七年级下·全国·单元测试）满足的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 44．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式组的最小整数解是 ． 45．（2025·山东济南·二模）解不等式组：，并写出该不等式组的最小整数解． 【易错必刷十六 由一元一次不等式组的解集求参数】 46．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集为，则的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 47．（2025·河南周口·一模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值： ． 48．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【易错必刷十七 由不等式组解集的情况求参数】 49．（24-25七年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果不等式组无解，则m的取值范围是 ． 51．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组有且只有4个整数解，求满足条件的整数a的值； (2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个x值均不在的范围内，求a的取值范围． 【易错必刷十八 不等式组和方程组结合的问题】 52．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 53．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 54．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）已知方程组的解满足，． (1)求m的取值范围； (2)化简：． 【易错必刷十九 列一元一次不等式组】 55．（23-24八年级上·全国·单元测试）小明在天气预报网上，查询到今年3月8日重庆市最高气温是，最低气温是，则当天重庆市气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 56．（21-22七年级下·全国·单元测试）的倍与的和大于，且的倍是非负数，列不等式组为 ． 57．（22-23七年级下·全国·单元测试）某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 【易错必刷二十 一元一次不等式组的其他应用】 58．（24-25七年级下·全国·单元测试）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分的有，但不到3本，这些书的本数和人数分别是（   ） A．27，7 B．24，6 C．21，5 D．18，4 59．（2025九年级下·全国·学业考试）设表示不超过x的最大整数(例如：)，则方程的解为 ． 60．（2025七年级下·全国·专题练习）某小区计划购买台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买台型健身器材比购买台型健身器材贵元，购买台型健身器材和台型健身器材共花元． (1)型健身器材和型健身器材的单价各是多少元？ (2)该小区计划购买型健身器材的数量不得超过型健身器材，购买资金不低于元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组（20大易错题型） 【易错必刷一 不等式的定义】 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列不等式，根据不等量关系，直接列出不等式即可 【详解】解：因为农户今年的收入比去年至少多1.5万元， 所以，列不等式为：， 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有 个． 【答案】3 【分析】依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．本题考查了不等式的定义，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，③；④；⑤都是不等式， ∴不等式的有3个， 故答案为：3． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量之间的不等关系： (1)去年某农场某种粮食亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加； (2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5 g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】（1）较去年有所增加，即比去年多的意思； （2）由图可以得到放球的一边向下沉说明球的总重量比5g要大，即可得到答案. 【详解】解：（1）根据题意可知，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加， 则x＞480 ； （2）观察图可知，三个乒乓球的质量大于5克的砝码， 则3x＞5. 【点睛】本题考查了不等式的定义，要抓住关键词语，弄清不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 【易错必刷二 不等式的解集】 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列实数中，是的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解与解集，掌握不等式的解都在它的解集的范围内是解题的关键． 根据大于的值才是不等式的解，逐个判定即可． 【详解】解：A、∵，而，∴不是的解，故此选项不符合题意； B、∵，而，∴不是的解，故此选项不符合题意； C、∵，而，∴不是的解，故此选项不符合题意； D、∵，而，∴是的解，故此选项符合题意； 故选：D． 5．（22-23八年级下·广东佛山·阶段练习）写出一个不等式，使它的解为，则这个不等式可以是 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据要求构造不等式即可． 【详解】解：∵的解集为：， ∴符合条件的一个不等式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查不等式的解集，理解不等式解集的含义是求解本题的关键． 6．（22-23七年级下·江苏南通·期末）求证：当时，一定比小． 【答案】见解析 【分析】对和进行作差与0进行比较，从而得出结论． 【详解】证明：由题意得， ， ， 当时，， ∴当时，一定比小． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，根据题意得出式子，在给定的取值范围内，用作差法比较大小是解题的关键． 【易错必刷三 不等式的性质】 7．（24-25七年级下·吉林·开学考试）由得到的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边同时乘（或除以）同一个数时，不等号方向的变化规律． 根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；不等式两边同时乘0，两边相等． 分析在的基础上，怎样变形能得到，从而确定的取值范围． 【详解】已知，要得到，说明在不等式两边同时乘后，不等号方向改变或者变为等号， 当时，不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得， 当时，， 所以由得到的条件是， 故选：D． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 2（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边同乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变. 【详解】解：， 不等式两边同时减去，得， 即， 故答案为： 9．（2025七年级下·全国·专题练习）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 这种比较大小的方法称为作差法，请运用这种方法比较与的大小． 【答案】 【分析】根据材料提示的“作差法”与平方数的非负性即可求解． 本题主要考查整式的加减混合运算，作差法比较两个代数式的大小，不等式的性质，掌握以上知识的运用是解题的关键． 【详解】解：由题意，得 ． 因为，， 所以， 所以． 【易错必刷四 一元一次不等式的定义】 10．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，解题关键是掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，得出，且，求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， ∴， 故选：C． 11．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）若不等式是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：依题意， ∴， 故答案为：． 12．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知是关于的一元一次不等式． (1)求的值； (2)求出原一元一次不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，得且， 解得且， 所以． （2）原一元一次不等式为， 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【易错必刷五 求一元一次不等式的解集】 13．（2025七年级下·全国·专题练习）规定表示中较大的数．若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．根据新定义列不等式求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得： ． 故选：B． 14．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）若关于的不等式的解集为．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先解不等式得到，由不等式得解集为，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式得解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以5，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 【易错必刷六 求一元一次不等式的整数解】 16．（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的正整数解只有一个 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解出不等式然后一一判断即可． 【详解】解：．，则，则不等式的正整数解只有1一个，故该选项不符合题意； ．，则，则是不等式的一个解，故该选项不符合题意； ．，则，则不等式的整数解有无数个，故该选项不符合题意； ． ，则，故该选项符合题意； 故选：D． 17．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）满足不等式的最小整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集后，然后在解集范围内找出最小整数解即可． 【详解】解：， ∴， 解得：， 所以最小整数解是， 故答案为：． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 【答案】（）该不等式的负整数解为，；（）该不等式的正整数解为，，，． 【分析】（）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； 本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解：（）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 故该不等式的负整数解为，； （）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故该不等式的正整数解为，，，． 【易错必刷七 在数轴上表示不等式的解集】 19．（24-25九年级上·广西柳州·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键在于明确：定大小，定空实，定方向．根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴1处为空心，且折线向左， 故选：C． 20．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集．根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可． 【详解】解：由数轴可得：关于x的不等式的解集是： 故答案为：． 21．（24-25七年级下·全国·周测）解下列不等式，并在数轴上表示不等式的解集． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解不等式，用数轴表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． （1）先解不等式，求出不等式的解集，再用数轴表示不等式的解集； （2）先解不等式，求出不等式的解集，再用数轴表示不等式的解集． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图． 【易错必刷八 求一元一次不等式解的最值】 22．（22-23八年级下·全国·课后作业）不等式4-2x＞0的最大正整数解是（　　）. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先解不等式得到x的取值范围，然后取其最大正整数解即可. 【详解】解：移项，得：-2x＞-4， 系数化为1，得：x＜2， ∴不等式4-2x＞0的最大正整数解是1. 故选D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，需要注意的是当不等式两边同时乘以（或除以）负数时，不等式的方向要改变. 23．（23-24七年级下·云南迪庆·期末）不等式8-3x>0的最大整数解为 ． 【答案】2 【分析】先解出不等式的解集，再求其最大整数解． 【详解】解：∵8-3x≥0， ∴-3x≥－8， ∴x≤， ∴不等式8-3x≥0的最大整数解是2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 24．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知，且，求的最小值． 【答案】5 【分析】根据题意解一元一次不等式，求得的范围化简绝对值进而求得代数式的最值． 【详解】，且， ， 解得， 当时，， ，则． 故的最小值为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，求得的范围解题的关键． 【易错必刷九 列一元一次不等式】 25．（2025七年级下·全国·专题练习）“x的与x的和不超过5”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据x的与x的和不超过5，得，即可作答． 【详解】解：依题意，x的与x的和不超过5， ∴， 故选：A． 26．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）的与4的差小于的2倍加上5所得的和，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．的与4的差表示为， 的2倍加上5表示为，再用小于号连接即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 27．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）用不等式表示下列数量之间的不等关系： (1)x的3倍与的和是非负数． (2)a的与b的平方的和小于3． (3)x与5的和的不大于． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查根据不等关系列不等式： （1）x的3倍与的和表示为，非负数大于或等于0，由此列不等式即可； （2）a的与b的平方的和表示为，由此列不等式即可； （3）x与5的和的表示为，不大于即为小于或等于，由此列不等式即可． 【详解】（1）解：x的3倍与的和表示为， ； （2）解：a的与b的平方的和表示为， ； （3）解：x与5的和的表示为， ． 【易错必刷十 用一元一次不等式解决实际问题】 28．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，一套紫砂壶茶具包括把茶壶和只茶杯．做把茶壶需要的泥料，做只茶杯需要的泥料．现有泥料，所做的茶具套数是（   ） A．做了套 B．最少做套 C．最多做套 D．最多做套 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设做了套茶具，由题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设做了套茶具， 由题意得，， 解得， ∴所做的茶具套数最多做套， 故选：． 29．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明要从A地到B地，两地相距，已知他步行的平均速度为，跑步的平均速度为．若他要在不超过的时间内到达，则他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为，则列出的不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的知识，根据题意正确列出一元一次不等式，即可得到答案． 【详解】要在不超过的时间内到达，即时小明步行、跑步的总里程， ∴小明步行的平均速度为，跑步的平均速度为， ∴， 故答案为：． 30．（24-25八年级上·湖南常德·期末）某业主用货款万元购进一台机器，生产印有巴黎奥运会吉祥物的水杯，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的．若每天能生产、销售2000个产品，问至少几天能够赚回这台机器的贷款． 【答案】至少5天能够赚回这台机器的贷款． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据不等关系列出不等式是解题的关键．设x天能够赚回这台机器的贷款，根据赚回这台机器的贷款需要万元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：设x天能够赚回这台机器的贷款，根据题意得： ， 解得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为5， 答：至少5天能够赚回这台机器的贷款． 【易错必刷十一 用一元一次不等式解决几何问题】 31．（22-23七年级下·四川眉山·期末）若三角形的三边长分别为a＋2，4，7，则a可能的值为（    ） A．1 B．5 C．9 D．11 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：7-4<a+2<4+7， 解得：1<a<9， 选项中只有5符合题意， 故选：B． 【点睛】题目主要考查三角形的三边关系及求不等式组的解集，理解题意，掌握三角形的三边关系是解题关键． 32．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 33．（22-23七年级上·浙江台州·期中）问题提出： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则．若，则．若，则． 问题解决： 如图，试比较图①、图②两个矩形的周长、的大小； 主图形得：；，， ∵，∴，则； 类比应用： （1）用材料介绍的“作差法”比较与的大小； 联系拓展： （2）小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图3所示（其中），售货员分别可按图4、图5、图6三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由． 【答案】(1)；(2) 图5的方法用绳最短，图6的方法用绳最长 【分析】(1)根据两个代数式之差大于0，即可做出判断； (2)分别表示出图4的捆绑绳长为L1，图5的捆绑绳长为L2，图6的捆绑绳长为L3，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系． 【详解】(1)() ， 因为， 所以， 所以； (2)设图4的捆绑绳长为L1，则L1， 设图5的捆绑绳长为L2，则L2， 设图6的捆绑绳长为L3，则L3， ∵L1-L2， ∴L1＞L2， ∵L3-L2， ∴L3-L1=， ∵， ∴， ∴L3＞L1． ∴第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算以及不等式的性质，根据已知表示出绳长再利用绳长之差比较是解决问题的关键． 【易错必刷十二 一元一次不等式组的定义】 34．（2025七年级下·全国·专题练习）现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 35．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 36．（2025七年级下·全国·专题练习）已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【答案】 【分析】根据题意可求出长方体容器的体积，根据水的高度可以求出容器里现有水的体积，再用总容积减去现有水的体积，即可求出还能注入水的体积． 【详解】解：由题意，得该长方体形状的容器的容积为． 又因为容器内原有的水的体积为， 所以容器内剩余未注水的体积为， 所以的取值范围为． 【点睛】本题主要主要考查了有理数乘法和有理数减法的计算，解决此题的关键是要读懂题意，列出式子． 【易错必刷十三 求不等式组的解集】 37．（2025七年级下·全国·专题练习）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组解集的求解，分别求出不等式的解集，“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则得出结果即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组无解， 故选：D． 38．（24-25八年级上·湖南永州·期末）不等式组的解集 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 故答案为：． 39．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）解一元一次不等式组并把解表示在如图所示的数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】分别求出各个不等式的解集，再求其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由得，， 由得，， 故不等式的解集为：， 在数轴上表示为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练运用以上知识式解题的关键． 【易错必刷十四 解特殊不等式组】 40．（2024·湖北孝感·一模）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 有①得：x＞﹣1；   有②得：x≤1；    所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤1， 在数轴上表示为： 考点：(1)、在数轴上表示不等式的解集；(2)、解一元一次不等式组． 41．（2023八年级下·全国·专题练习）对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d= ． 【答案】3 【分析】首先根据运算符号的定义以及b、d是整数求得b、d的值，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：1＜4-bd＜3， 则-3＜-bd＜-1，即1＜bd＜3， ∵b、d是整数， ∴bd是整数． ∴bd=2， 则或（舍去）或或， 则b+d=3． 故答案是：3． 【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，正确求得b、d的值是关键． 42．（21-22七年级下·全国·单元测试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则； 即可以写成： ； 解不等式组得：； 当若，则， 即可以写成：， 解不等式组得：， 综合以上两种情况：不等式解集：或 （以上解法依据：若，则同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1) ； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题干给出的计算方法求解即可； （2）根据题干给出的计算方法求解即可； 【详解】（1）根据原不等式有： 或者： 解不等式组得： 或者， 综合以上两种情况：不等式解集：或 ； （2）根据原不等式有： 或者：， 解不等式组得： 或者：， 综合以上两种情况：不等式解集：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算． 【易错必刷十五 求一元一次不等式组的整数解】 43．（23-24七年级下·全国·单元测试）满足的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组的整数解，先求得不等式组的解集，进而可求解． 【详解】解：解不等式组，得， ∴该不等式组的整数解为4， 故选：B． 44．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式组的最小整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则，求出不等式组的解集是解题的关键． 求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出最小整数解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解是， 故答案为：． 45．（2025·山东济南·二模）解不等式组：，并写出该不等式组的最小整数解． 【答案】；1 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别解每个不等式，再求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：， 不等式组的最小整数解为：1； 【易错必刷十六 由一元一次不等式组的解集求参数】 46．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集为，则的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得，从而可得，，然后求出m，n的值，再代入式子中，进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 47．（2025·河南周口·一模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值： ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解是解题的关键．根据不等式组的解及解集可得出a的范围，再范围内选取任一个符合条件的数即可． 【详解】解：关于x的不等式组的解集是， a的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 48．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于a、b的方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以该不等式组的解集是， 因为关于的不等式组的解集为， 所以，， 解得， 所以． 【易错必刷十七 由不等式组解集的情况求参数】 49．（24-25七年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组，得出，然后根据不等式组的解集为，求出m的取值范围即可． 【详解】解：解不等组式得：， ∵不等式组的解集为， ∴的范围为． 故选：D． 50．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，根据口诀：“大大小小找不到”，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 51．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组有且只有4个整数解，求满足条件的整数a的值； (2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个x值均不在的范围内，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． （1）表示出不等式组的解集，根据不等式组有且只有4个整数解，确定出a的范围即可； （2）根据不等式组有解表示出解集，由解集中的任何一个x值均不在的范围内，确定出a的范围即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得 ， 因为该不等式组有且只有4个整数解， 所以， 所以，整数解为， 所以， 解得， 所以满足条件的整数a的值为； （2）解：因为该不等式组有解， 所以， 所以． 因为解集中的任何一个x值均不在的范围内， 所以， 解得， 所以a的取值范围为． 【易错必刷十八 不等式组和方程组结合的问题】 52．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，用含a的代数式表示出x、y，然后根据得出a的范围，再根据a的范围化简计算． 【详解】解： 得， 解得， 代入①得， 解得 ∴ 因为， 所以 解得， 所以． 故选B． 53．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 54．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）已知方程组的解满足，． (1)求m的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组得和的值，由，得，解之即可； （2）知，，再去绝对值符号、括号，计算加减即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ，， ， 解得； （2）解：， ，， 则． 【易错必刷十九 列一元一次不等式组】 55．（23-24八年级上·全国·单元测试）小明在天气预报网上，查询到今年3月8日重庆市最高气温是，最低气温是，则当天重庆市气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．理解题意是解题的关键．最高气温是，即气温小于或等于，最低气温即温度大于或等于，据此即可判断． 【详解】解：某天最高气温是，最低气温，则当天重庆市的气温t℃的变化范围是． 故答案为：D． 56．（21-22七年级下·全国·单元测试）的倍与的和大于，且的倍是非负数，列不等式组为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得不等式，，再联立两个不等式即可． 【详解】解：根据题意， 可得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题关键是理解题意，抓住题目中的关键词语． 57．（22-23七年级下·全国·单元测试）某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 【答案】 【分析】如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打，就有；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人，就有即可． 【详解】解：设篮球数为x，根据题意可得：， 解得： ， 【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确列出满足题意的不等式是解题的关键． 【易错必刷二十 一元一次不等式组的其他应用】 58．（24-25七年级下·全国·单元测试）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分的有，但不到3本，这些书的本数和人数分别是（   ） A．27，7 B．24，6 C．21，5 D．18，4 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，设人数为个，则书有本，根据前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，可列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设有人，则书有本． 由题意，得， 解得． 因为为整数， 所以， 所以， 即书有21本，人数为5个． 故选：C． 59．（2025九年级下·全国·学业考试）设表示不超过x的最大整数(例如：)，则方程的解为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查解一元一次方程与一元一次不等式组，解题的基本思路是设，解一元一次方程，用含n的式子表示x，再根据新定义，确定x的取值范围，进一步确定的取值范围，进而求解． 【详解】令(n为整数)，则原方程为． ． ∵表示不超过x的最大整数 ， ， 解得， 或或， 分别将n的值代入， 或或． 故答案为：或或． 60．（2025七年级下·全国·专题练习）某小区计划购买台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买台型健身器材比购买台型健身器材贵元，购买台型健身器材和台型健身器材共花元． (1)型健身器材和型健身器材的单价各是多少元？ (2)该小区计划购买型健身器材的数量不得超过型健身器材，购买资金不低于元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【答案】(1)型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元 (2)有种购买方案．购买台型健身器材，台型健身器材最省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，能够理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解答本题的关键． （1）设型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元，根据“购买台型健身器材比购买台型健身器材贵元，购买台型健身器材和台型健身器材共花元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买台型健身器材，则购买台型健身器材，根据“购买型健身器材的数量不得超过型健身器材，购买资金不低于元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各购买方案，求出选择各方案所需购买资金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元， 依题意得：， 解得：， 答：型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元； （2）解：设购买台型健身器材，则购买台型健身器材， 依题意得：， 解得：，   又为整数， 可以为，， 共有种购买方案， 方案：购买台型健身器材，台型健身器材，所需购买资金为（元）； 方案：购买台型健身器材，台型健身器材，所需购买资金为（元）； ， 最省钱的购物方案为：购买台型健身器材，台型健身器材． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$