第十章 三角形（13大压轴题型）（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

第十章 三角形（13大压轴题型） 【经典例题一 确定第三边的取值范围】 1．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（    ）    A．14 B．15 C．16 D．28 【答案】A 【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论. 【详解】解：如图所示，在△ABP中，AP+ BP> AB， 同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC， 以上三式左右两边分别相加得到: 2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC, 即PA+ PB+ PC>(AB+ BC+ AC)， ∴PA+ PB+ PC>×（12+10+6）=14， 即PA+ PB+ PC>14 故选A. 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论; 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ． 【答案】16或8 【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=21．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为8或16． 【详解】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x 又知BD将三角形周长分为15和21两部分 ∴可知分为两种情况 ①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16 ②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8 经验证，这两种情况都是成立的 ∴这个三角形的底边长为8或16 故答案为：16或8 【点睛】本题主要考查来了等边三角形的性质以及三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边只差小于第三边），注意求出的结果燕验证三角形的三边关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+b2=6a+10b﹣34，其中c是△ABC中最长的边长，且c为整数，求c的值． 【答案】c=5.6.7 【详解】分析：由a2+b2=6a+10b﹣34，通过配方法求得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值范围即可． 详解：∵a2+b2=6a+10b﹣34∴a2﹣6a+9+b2﹣10b+25=0 ∴（a﹣3）2+（b﹣5）2=0 ∴a=3，b=5 ∴5﹣3＜c＜5+3 即 2＜c＜8． 又∵c是△ABC中最长的边长     ∴c=5.6.7 点睛：此题主要考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方，难度不大． 【经典例题二 三角形三边关系的应用】 4．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a-b-c<0，b-a-c＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算． 【详解】根据三角形的三边关系，得 a-b-c<0，b-a-c <0 ∴原式= 故选B． 【点睛】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 5．（22-23七年级下·四川成都·期中）我们规定：满足（1）各边互不相等且均为整数：（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数，这样的三角形称为“倍高三角形”，其中叫做“倍高系数”．如果是周长为13的“倍高三角形”，其“倍高系数” ；如果是“倍高三角形”，且，则周长最小值为 ． 【答案】 2或3 36 【分析】本题主要考查三角形三边关系的知识点，解答本题的关键是理解题干条件：倍高三角形的概念， 根据定义结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析；设，，，得，，，得出即当时的周长有最小值，据此求出即可得到答案． 【详解】根据倍高三角形的定义和三角形的三边关系得： 是周长为13， 最长边小于， 各边互不相等且均为整数， 最长边为6，较短两边为2和5或3和4， 最短边上的高与最长边上的高的比值为整数， ，或即或3； 设，，， ， ，，， ，， 分子的变化比分母的变化要快， 随着k的增大则随着k的增大周长在增大，周长在增大， 最短边上的高与最长边上的高的比值为整数， 当时的周长有最小值， ∴， 周长最小值为， 故答案为： 2或3；36． 6．（22-23九年级·浙江杭州·）（1）从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10选出5个数，使得这5个数的任意三个数都不能构成某个三角形的三边边长； （2）从1、2、3、4……、2016中任选个数，使所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的的最小值是多少？ 【答案】（1）1，2，3，5，8；（2）的最小值为17． 【分析】（1）根据三角形的三边关系定理即可得； （2）先将问题转化为“在1，2，3，……，2016中选个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的的最大值是多少？”再从开始，选出符合条件的数，然后不断扩大数组，根据三角形的三边关系定理即可得． 【详解】（1）三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 则选出的5个数为1，2，3，5，8； （2）这一问题等价于在1，2，3，……，2016中选个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的的最大值是多少？ 当时，最小的三个数就是1，2，3 由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和 所以为使达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样可得1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597①共16个数 对符合上述条件的任数组，，……显然总有大于等于①中的第个数 则 从而知的最小值为17． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，较难的是题（2），将所求问题参照（1）进行等价转化是解题关键． 【经典例题三 三角形内角和定理的证明】 7．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=(　　) A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和与四边形的内角和公式得∵∠1+∠2+γ=180°①，∠3+∠4+β+θ=360°②，∠5+∠6+∠7+α=360°③，三式相加，再由邻补角的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵∠1+∠2+γ=180°①， ∠3+∠4+β+θ=360°②， ∠5+∠6+∠7+α=360°③， ∴①+②+③得，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+α+β+γ+θ=900°， ∵α+β=180°，γ+θ=180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7， =900°-180°-180°， =540°． 故答案为：C 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和以及三角形外角的性质，是基础知识要熟练掌握． 8．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知交于点，且，则 ． 【答案】64° 【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案； 【详解】解：：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD=∠COB ∴∠A+∠D=∠C+∠B， ∴∠D=∠C+∠B-∠A=64°； 故答案为：64°； 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）（1）如图（1），DE∥AB，求证：三角形的三个内角（即、、）之和等于； （2）如图（2），求证：； （3）如图（3），，，交的平分线于点，，求． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠F=29.5°． 【分析】（1）因为平角为180°，若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决； （2）根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （3）根据平行线的性质得到∠DEB=119°，∠AED=61°，由角平分线的性质得到∠DEF=59.5°，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1所示，在△ABC中， ∵DE∥AB， ∴∠B=∠1，∠A=∠2（内错角相等）． ∵∠1+∠BCA+∠2=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°． 即三角形的内角和为180°； （2）∵∠AGF+∠FGE=180°， 由（2）知，∠GEF+∠F+∠FGE=180°， ∴∠AGF=∠AEF+∠F； （3）∵AB∥CD，∠CDE=119°， ∴∠DEB=119°，∠AED=61°， ∵GF交∠DEB的平分线EF于点F， ∴∠DEF=59.5°， ∴∠AEF=120.5°， ∵∠AGF=150°， ∵∠AGF=∠AEF+∠F， ∴∠F=150°-120.5°=29.5°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 【经典例题四 与平行线有关的三角形内角和问题】 10．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据垂直定义得出∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，根据角平分线定义得出∠DBE=∠FBE，求出∠CBE=∠ABE，∠ACB=∠ECB，根据平行线的性质得出∠ABC=∠ECB，根据平行线的判定得出ACBE，根据三角形的内角和定理得出∠BCD+∠D=90°，即可得出答案． 【详解】解：∵BC⊥BD， ∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°， ∵∠ABE+∠FBE=180°， ∴∠ABE+∠FBE=90°， ∵BD平分∠EBF， ∴∠DBE=∠FBE， ∴∠CBE=∠ABE， ∴BC平分∠ABE，∠ABC=∠EBC， ∵CB平分∠ACE ∴∠ACB=∠ECB， ∵ABCD， ∴∠ABC=∠ECB， ∴∠ACB=∠EBC， ∴ACBE， ∵∠DBC=90°， ∴∠BCD+∠D=90°， ∴①②③正确； ∵根据已知条件不能推出， ∴④错误； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中． 11．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度． 图1                                图2 （1）若，则 度． （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得'，，最后计算出 ； （2）由折叠和平角的定义求出 ，再次折叠经计算求出 ． 【详解】解：（1）如图1所示， ， ，， 又'， '， 又'， ， 又， ， 故答案为：； （2）如图2所示， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系． 12．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，，、是直线上的两点，连接、交于点 【探索发现】（1）判断，和之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作分别交、于点，． （2）若平分，，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3），， 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，根据三角形的外角的性质可得，等量代换，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义，以及，得出，则，进而根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）设旋转后的三角形为，的对应点为，分三种情况讨论，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ， ， 是 的外角， ， ， （2）， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 是 的外角， ； （3）由（2）可得，， 设旋转后的三角形为，的对应点为 ①当时，延长交于点， 如图所示， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ②当时，如图所示， ∴ ∴ ∴ ∴ ③当时，如图所示， ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，，， 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，旋转的性质，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 【经典例题五 与角平分线有关的三角形内角和问题】 13．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可． 【详解】解：①设点A、B在直线上， ∵、分别平分的内角，外角， ∴平分的外角， ∴， ∵，且， ∴， ∴，故①正确． ②∵、分别平分的内角、外角， ∴， ∴，故②正确． ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确． ④∵ ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定等，熟悉各个概念的内容是解题的关键． 14．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，E为延长线上一点，点D是线段上一点．连接，的平分线与的平分线相交于点P． 若，，则的度数为 ．           【答案】/7度 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，设，，，用含x，y，z的式子表示出，，，可证，由此可解． 【详解】解：如图，交于点K， 设，，， 则，， ，， ， 是和的外角， ，， ， ∵在中，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，，点是上一点，连结． (1)如图1，若平分，过点作交于点，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，且，求的度数； (3)如图3，过点作交的平分线于点交于点，，垂足为．若，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线，直角三角形，角平分线等，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，角平分线定义的计算，是解题的关键． （1）根据垂直性质推出，得到，根据角平分线定义得到，推出，根据平行线性质得到，推出，进而求解即可； （2）过点作，根据平行线性质推出，，得到，根据角平分线性质得到，，推出，根据，得到，根据，得到； （3）延长交的延长线于点，根据垂直性质得到，，得到，设，则，根据角平分线定义设，得到，根据垂直性质得到，推出，根据，推出，得到． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）与之间的数量关系是：，理由： 如图，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴设，则， ∵平分， ∴设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题六 三角形折叠中的角度问题】 16．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=70°，将纸片沿着MN折叠，使C，D分别落在直线AB上的，处，则∠+∠等于（     ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】首先根据四边形内角和定理可得∠D+∠C=210°，再利用折叠性质可得∠=∠D，∠=∠C，即∠+∠=210°，从而得出∠+∠=150°，最后进一步利用三角形内角和定理求解即可. 【详解】∵∠A=80°，∠B=70°， ∴∠D+∠C=360°−∠A−∠B=210°， 由折叠性质可得：∠=∠D，∠=∠C， ∴∠+∠=210°， ∴∠+∠=360°−(∠+∠)=150°， ∴∠+∠=360°−(∠+∠)−(∠A+∠B)=60°， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角形与四边形内角和定理以及折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 17．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 【答案】54 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 在中，， 解得： 由得， 在中，， ． 故答案为：54． 18．（22-23八年级上·河南郑州·期末）（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    【答案】（1）；（2）；（3），理由见详解 【分析】（1）由折叠的性质可知，根据外角定理得到，，代入即可得到； （2）先根据（1）的结论求出得到，再由角平分线的定义得到，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到； （3）由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理证明，根据角平分线的性质得到，，进而证明，代入即可得到． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，与交于点M．    由折叠的性质可知， ∵为外角， ∴， ∵为外角， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∵， ∴， ∴, ∵的平分线，与的外角平分线交于点N， ∴， ∵为的外角，为的外角， ∴； （3）解：，理由如下； 由折叠的性质可知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质并进行角的转化是解题的关键． 【经典例题七 三角形内角和定理的应用】 19．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，点在延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，余角的定义，三角形的内角和定理的应用． 由，可得，故结论①正确；证明，可得，故结论②正确；证明，可得平分，故结论③正确；由，结合是的余角的5倍，可得，进一步可得结论④正确；证明，，进一步可得结论⑤错误； 【详解】解：∵， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵， ∴， ∵是的余角的5倍， ∴， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确； ∵为的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故结论⑤错误； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选：C． 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，，，则n的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．设和交于点，连接，延长交于，设，，则，，，，，根据得，由三角形内角和定理得①，②，由①②即可求出的值． 【详解】解：设和交于点，连接，延长交于，如图所示： 设，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ①， ， ， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， 即， ， 即， ， ， ②， ①②得：， ． 解得：． 故答案为：2.6． 21．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如图1，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点． (1)当时，求． (2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系． (3)在（1）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)t为5或10或或20或25 【分析】（1）由三角形内角和定理求出，由，得到，由，则，由角平分线和平行线性质得到，即可得到答案； （2）由得到，由即可得到结论； （3）分五种情况画图求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）由（1）知，，， ∴， 如图1，当时，， ∵， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图2，当时， ∵， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图3，当时， ∵， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图4，当时，设与相交于点S， ∴， ∴， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图5，当时， ∴， ∴此时是旋转了， 此时，； ∴当的其中一边与的某一边平行时，t为5或10或或20或25． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，旋转等知识，分情况讨论是解题的关键． 【经典例题八 三角形的外角的定义及性质】 22．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识，正确画出图象． 根据题意可得，①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】根据题意可得，， ①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④正确； 故选：D． 23．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点、分别为平面直角坐标系中轴正半轴和轴正半轴上的任意两点，连结，作的外角平分线，作的角平分线，两线相交于点；再作平分，平分，两直线相交于点；作平分，平分，两直线相交于点…作平分，平分，两直线相交于点． （1） ． （2），那么 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的找规律题，根据角平分线和角的和与差先得出前几个角的度数，则可发现规律．熟练运用角度的和与差是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，作的外角平分线，作的角平分线，两线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵作平分，平分，两直线相交于点， ∴， ∵作平分，平分，两直线相交于点， ∴， …… 用同样的方法可得： ， ∴， 设①， ∴②， ②－①，得：， ∴， ∴当时，． 故答案为：． 24．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）【问题情境】阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．如图1，经过入射点O且垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线与法线的夹角叫做入射角．反射光线与法线的夹角叫做反射角． 光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角，即． （1）探究图1中入射光线与镜面所夹的锐角与反射光线与镜面所夹的锐角的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用【问题情境】（2）中获得的结论解决以下问题： 如图2，直线，点A在直线上，点C在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点B在直线上． （2）与有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，已知，直线绕点C顺时针旋转（）至直线，当为何值时，． （4）直线绕点 C顺时针旋转，直线与直线相交于点E，请直接写出和之间的数量关系 ． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）或 【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得到； （2）由得到，由（1）的结论可得，，从而得证，即可判定； （3）由得到，根据性质可得，这，由（1）的结论可得，因此，进而根据三角形的内角和得到，因此，当时，，即可求解； （4）分两种情况讨论：①当在的左侧，②当在的右侧，画出图形，根据平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 即． （2），理由如下： ∵， ∴， 由（1）的结论可得，， ∴， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∵直线绕点C顺时针旋转（）至直线，即 ∴， 由（1）的结论可得， ∴， ∴， 由（1）的结论可得， ∴， ∵当，即时，， ∴． （4）分两种情况讨论： ①当在的左侧时，直线与相交于点E， ∵， ∴， ∵直线绕点 C顺时针旋转，即， ∴， 由（1）的结论可得， ∴， ∵， ∴， 由（1）结论有， ∴， ∴； ②当在的右侧时，直线与相交于点E， ∵， ∴， ∵直线绕点 C顺时针旋转，即， ∴， ∴， 由（1）结论可得，， 又， ∴， ∵， ∴， 由（1）结论可得， ∴， ∵， ∴ ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查角的和差，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，读懂题意，理解光的反射定律，综合运用数学的相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 【经典例题九 画三角形的高】 25．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，根据三角形高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：边的高垂直于，且过点B 由图形可得，选项不是，选项是， 故选：． 26．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）若具有以下条件或关系式：①；②；③的三条高的交点恰在顶点处；④与的角平分线交于点，且．其中能得到的条件或关系式是 ．（填序号）． 【答案】①④ 【分析】利用，表示出，，利用三角形内角和可以求出，故①符合题意；利用三角形内角和得出，故②不符合题意；三条高的交点在顶点出可判断出，故③不符合题意；根据角平分线定义可求出，，再利用三角形内角和求出，故④符合题意． 【详解】解：①， ，， ， ， ，，，故①符合题意； ②， ， ，故②不符合题意； ③如图，顶点的对边和顶点的对边上的高都交于同一点，则说明顶点的对边的高是，顶点的对边的高是，顶点的对边上的高为，，故③不符合题意；      ④如图：        在中，， ，分别是和的平分线， ，， 在中，， 故④符合题意， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形的高，熟练掌握和运用三角形内角和定理是解答本题的关键． 27．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，画出： (1)∠BAC的平分线； (2)AC边上的中线； (3)AC边上的高； (4)AB边上的高． 【答案】作图见解析. 【详解】试题分析：（1）根据作已知角的角平分线的步骤作出图形； （2）关键是找出线段AC的中点，要作出线段AC的垂直平分线，将所得中点与点B连结即可得到AC边上的中线； （3）（4）根据过一点作已知直线垂线的方法，作出AC和AB边上的高， 试题解析：（1）∠BAC的平分线作法如下： ①以点A为圆心，定长为半径画弧，分别交AB、AC于D、E两点； ②分别以D、E为圆心，大于D、E之间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点F； ③连结AF，AF所在直线为∠BAC的平分线. （2）作AC边上的中线作法如下： ①分别以A、C两点为圆心，大于的长度为半径画弧，分别交于两点M、N； ②连结MN，交AC于点H； ③连结BH，则线段BH为AC边上的中线. （3）过B作BD垂直与CA的延长线于D，则BD为AC边上的高. （4）AB边上的高作法如下： ①以点C为圆心，大于C到直线AB的距离长为半径，交AB于点N，交BA的延长线于点M； ②分别以M、N为圆心，大于的长度为半径画弧,交于一点P； ③连结CP，交BA延长线于点F； ④线段CF为AB边上的高. 【经典例题十 与三角形的高有关的计算问题】 28．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明，再结合①的结论可证明结论③；证明，再由，，可以证明结论④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的序号是①②③④， 故选：． 29．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查三角形的面积公式求解，设，．可可得出，由已知条件得出结合等高的三角形面积比为底边边长之比得出，进而得出，联立方程组解出x，y的值，再由已知条件得出，最后代入求值即可求得答案． 【详解】解：设， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点A，B到的高为：，， ， ∴， ∵， 同理可得：， ∴， ∴ ∴ 解得：， ， 故答案为：16． 30．（24-25七年级上·重庆·开学考试）已知梯形的面积是36，，是上一点，问：与四边形的面积之差是多少？ 【答案】8 【分析】本题考查平行线间的距离，与三角形的高有关的计算，根据同高三角形的面积比等于底边比求出，根据，四边形的面积，得到与四边形的面积之差为，进行求解即可． 【详解】解：∵梯形的面积是36，，是上一点， ∴， ∴， 设点到的距离为，点到的距离为， 则：， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∵， 四边形的面积， ∴与四边形的面积之差为， ∵， ∴， ∴与四边形的面积之差为． 【经典例题十一 根据三角形中线求长度】 31．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，，，的高与中线相交于点，则以下结论正确的是（   ） ；；； ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线、高线、中线的定义，三角形内角和定理，根据中线得定义可以判断；根据角平分线的定义可以判断；根据高线定义和三角形的内角和定理可以判断；根据三角形的内角和定理及等边对等角可以判断，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是中线， ∴，故正确； ∵是中线， ∴与不一定相等，故不一定正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上可知：正确， 故选：． 32．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ． 【答案】 或 【分析】由图可得到的周长的周长，即可求解； 分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可； 本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是的中点， ∴， ∴的周长的周长， 故答案为：； 如图，设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ∴， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得， ∴， 解得； ∴或， 故答案为：或． 33．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为21 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得，根据是偶数得； （2）根据是的中线得，根据的周长为13和即可求解． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：， 即， 是偶数， ； （2）解：的周长为13， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 的周长． 【经典例题十二 根据三角形中线求面积】 34．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，四边形面积为，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设，，根据已知得出①，进而得出，可得②，解方程组，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    设， ∵ ∴，， ∵， ∴，即 整理得① ∵，则 ∴ ∴即解得② 联立①②得 ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形面积公式，得出是解题的关键． 35．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）如图；在中，、、和四边形的面积都相等．若，的面积为728．（注：符号“△”表示“三角形”三个字） （1）线段与线段的比值 ； （2）的面积是 ． 【答案】 /0.6 【分析】本题考查的是比的应用，等底等高的两个三角形的面积之间的关系； （1）设、、和四边形的面积都为1份；可得的面积为份，的面积为份，再进一步解答即可； （2）如图，连接，由，可得（份），（份），同理：，，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：（1）设、、和四边形的面积都为1份； ∵， ∴， ∵与是以，为底边，而高相同， 的面积为1份， ∴的面积为份， ∴的面积为份， ∴， ∵与是以为底边，而高相同， ∴； 故答案为： （2）如图，连接， ∵， ∴（份）， ∴（份）， 同理：，， ， ∴（份）， ∵的面积为728， ∴， 故答案为： 36．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）如图，在四边形中，M，N分别是，的中点，如果，与的面积分别是6，7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形的面积为多少？    【答案】60 【分析】此题主要考查蝴蝶定理以及等底等高的三角形面积相等等方面的知识． 连接、、，根据蝴蝶定理和三角形面积等方面的知识进行推理解题． 【详解】解：如图所示，连接、、，    ∵是的中点， ∴与的面积相等， ∵比的面积大1， ∴比的面积大1； ∵是的中点， ∴的面积与的面积相等， ∴的面积比的面积大1， ∴的面积为9． 假设，则． ∵点A，S，N三点共线， ∴，即， 同理可得，，即， ∴ ∴， 同理可得，． 要使这两个三角形的面积为整数，可以为1，3或7． ∵，， ∴ 即 将、3、7分别代入检验，只有时等式成立， ∴，，， ∴四边形的面积为． 【经典例题十三 三角形角平分线的定义】 37．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图，三条内角平分线交于点D，CE⊥BD交BD的延长线于E，则∠DCE=(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质以及三角形的外角性质可推导出与的关系． 【详解】由题意知， 由三角形内角和定理得，    ∵点是三条内角平分线的交点 ∴ ∴ 故答案选A. 【点睛】本题考查角平分线的性质以及三角形的外角性质． 38．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，作射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角与外角的关系可得 由角平分线的性质可得 根据三角形内角和定理可得 易得∠M的度数． 【详解】在中，是的外角 ∴ 由三角形内角和定理可得 ∵ ∴ ∵平分 ∴ 由三角形内角与外角的关系可得 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和． 39．（23-24七年级下·重庆渝北·期末）已知直线，点M和点N分别在直线和上，点E在直线、之间，连接、． (1)如图1，若，，则_________°． (2)如图2，若点F是直线下方一点，连接与直线交于点O，连接，分别是、的角平分线，已知，，求的度数？ (3)如图3，连接，点P在点N右侧且在直线上，过点P在下方作，垂足为点P，若，，平分，将射线绕点P以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为t秒，直接写出与的任意一条边平行时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线，旋转的性质等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线，旋转的性质是解题的关键． （1）如图1，作，则，证明，则，根据，计算求解即可； （2）由分别是、的角平分线，可得，，由（1）可知，，可求，则，如图2，作，则，证明，则，根据，计算求解即可； （3）由平分，，可得，由，可得，则，过作与的一条边平行，由题意知，分，，，三种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：如图1，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别是、的角平分线， ∴，， 由（1）可知，， ∴， 解得，， ∴， 如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作与的一条边平行，由题意知，分，，，三种情况求解； 当即时，如图， ∴， ∴，此情况不成立； 当时，此情况不成立； 当，即时，如图， 同理，， ∴， ∴旋转， ∴（秒）； 同理，当时，此情况不成立； 当，即时，如图， 同理，， ∴， ∴旋转， ∴（秒）； 同理，当时，此情况不成立； 综上所述，t的值为或． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 三角形（13大压轴题型） 【经典例题一 确定第三边的取值范围】 1．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（    ）    A．14 B．15 C．16 D．28 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ． 3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+b2=6a+10b﹣34，其中c是△ABC中最长的边长，且c为整数，求c的值． 【经典例题二 三角形三边关系的应用】 4．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 5．（22-23七年级下·四川成都·期中）我们规定：满足（1）各边互不相等且均为整数：（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数，这样的三角形称为“倍高三角形”，其中叫做“倍高系数”．如果是周长为13的“倍高三角形”，其“倍高系数” ；如果是“倍高三角形”，且，则周长最小值为 ． 6．（22-23九年级·浙江杭州·）（1）从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10选出5个数，使得这5个数的任意三个数都不能构成某个三角形的三边边长； （2）从1、2、3、4……、2016中任选个数，使所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的的最小值是多少？ 【经典例题三 三角形内角和定理的证明】 7．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=(　　) A．180° B．360° C．540° D．720° 8．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知交于点，且，则 ． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）（1）如图（1），DE∥AB，求证：三角形的三个内角（即、、）之和等于； （2）如图（2），求证：； （3）如图（3），，，交的平分线于点，，求． 【经典例题四 与平行线有关的三角形内角和问题】 10．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度． 图1                                图2 （1）若，则 度． （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含的代数式表示） 12．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，，、是直线上的两点，连接、交于点 【探索发现】（1）判断，和之间的数量关系，并说明理由． 【深入探究】如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作分别交、于点，． （2）若平分，，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 【经典例题五 与角平分线有关的三角形内角和问题】 13．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，E为延长线上一点，点D是线段上一点．连接，的平分线与的平分线相交于点P． 若，，则的度数为 ．           15．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，，点是上一点，连结． (1)如图1，若平分，过点作交于点，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，且，求的度数； (3)如图3，过点作交的平分线于点交于点，，垂足为．若，求与之间的数量关系． 【经典例题六 三角形折叠中的角度问题】 16．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=70°，将纸片沿着MN折叠，使C，D分别落在直线AB上的，处，则∠+∠等于（     ） A．50° B．60° C．70° D．80° 17．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 18．（22-23八年级上·河南郑州·期末）（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    【经典例题七 三角形内角和定理的应用】 19．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，点在延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，，，则n的值为 ． 21．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如图1，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点． (1)当时，求． (2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系． (3)在（1）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 【经典例题八 三角形的外角的定义及性质】 22．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点、分别为平面直角坐标系中轴正半轴和轴正半轴上的任意两点，连结，作的外角平分线，作的角平分线，两线相交于点；再作平分，平分，两直线相交于点；作平分，平分，两直线相交于点…作平分，平分，两直线相交于点． （1） ． （2），那么 ． 24．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）【问题情境】阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．如图1，经过入射点O且垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线与法线的夹角叫做入射角．反射光线与法线的夹角叫做反射角． 光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角，即． （1）探究图1中入射光线与镜面所夹的锐角与反射光线与镜面所夹的锐角的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用【问题情境】（2）中获得的结论解决以下问题： 如图2，直线，点A在直线上，点C在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点B在直线上． （2）与有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，已知，直线绕点C顺时针旋转（）至直线，当为何值时，． （4）直线绕点 C顺时针旋转，直线与直线相交于点E，请直接写出和之间的数量关系 ． 【经典例题九 画三角形的高】 25．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）若具有以下条件或关系式：①；②；③的三条高的交点恰在顶点处；④与的角平分线交于点，且．其中能得到的条件或关系式是 ．（填序号）． 27．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，画出： (1)∠BAC的平分线； (2)AC边上的中线； (3)AC边上的高； (4)AB边上的高． 【经典例题十 与三角形的高有关的计算问题】 28．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 29．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积 ． 30．（24-25七年级上·重庆·开学考试）已知梯形的面积是36，，是上一点，问：与四边形的面积之差是多少？ 【经典例题十一 根据三角形中线求长度】 31．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，，，的高与中线相交于点，则以下结论正确的是（   ） ；；； ． A． B． C． D． 32．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ． 33．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 【经典例题十二 根据三角形中线求面积】 34．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，四边形面积为，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 35．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）如图；在中，、、和四边形的面积都相等．若，的面积为728．（注：符号“△”表示“三角形”三个字） （1）线段与线段的比值 ； （2）的面积是 ． 36．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）如图，在四边形中，M，N分别是，的中点，如果，与的面积分别是6，7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形的面积为多少？    【经典例题十三 三角形角平分线的定义】 37．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图，三条内角平分线交于点D，CE⊥BD交BD的延长线于E，则∠DCE=(   ) A． B． C． D． 38．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，作射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是 ． 39．（23-24七年级下·重庆渝北·期末）已知直线，点M和点N分别在直线和上，点E在直线、之间，连接、． (1)如图1，若，，则_________°． (2)如图2，若点F是直线下方一点，连接与直线交于点O，连接，分别是、的角平分线，已知，，求的度数？ (3)如图3，连接，点P在点N右侧且在直线上，过点P在下方作，垂足为点P，若，，平分，将射线绕点P以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为t秒，直接写出与的任意一条边平行时t的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$