第十章 三角形（知识清单）数学新教材冀教版七年级下册

第十章 三角形 知识点01 三角形定义 1. 定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 。三角形的基本元素包括边、角和顶点，如图，三角形三边是、、，也可以用一个小写字母表示，记作：、、，三个内角为、、，其中的对边为，的对边为，的对边为. 2. 表示方法：三角形用符号“”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ABC”,读作“三角形” 3.三角形的分类： 知识点02 三角形的三边关系 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和 第三边 ；； 两点之间，线段最短. 三角形两边之差 第三边 ；； 知识点03 三角形的稳定性 三角形的稳定性：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做 。在生产和生活中，房屋的人字梁、大桥钢架等都利用了三角形的稳定性。特别说明：四边形不具有稳定性。 知识点04 三角形的内角 1.三角形的内角和三角形 ：三角形的三个内角之和恒等于180°. 2.数学语言表述：如图，在ABC中，. 3.三角形内角和定理的证明 已知：△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C； 求证：∠A+∠B+∠C过点A作直线MN，使之与BC边平行（或相交于BC的延长线）。线MN，使MNBC． ∵MNBC, ∴∠B=∠MAB,∠C=∠NAC, ∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°, ∴∠B+∠C+∠BAC=180°, 即∠BAC+∠B+∠C=180°． 【特别说明】 （1）证明三角形内角和的方法很多，在后面的例题、练习题中还会出现其他方法 （2）三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不三角形外角的定义是：由三角形的一边与另一边的反向延长线所夹的角，称为三角形的外角。 知识点05 三角形的外角 1.定义;三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做 如图所示，在ABC中，是的一个外角，它的相邻内角是，不相邻两内角分别为、. 2.三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3.三角形外角性质的证明 已知：如图，是的一个外角。 求证：． 证明：方法一：中，， ∵， ∴； 方法二：过点C作，如图3，    ∵ ∴，， ∴． 知识点06 三角形中线、角平分线、高 1. 三角形的中线： （1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段，叫做这个 ； （2）几何语言表述：如图，在中，是边的中点，因此线段是的中线； （3）重心：如图，三角形三条中线交于一点，这个交点叫三角形的重心； （4）中线模型：中线分得的三角形面积相等；如图，是的中线，得出; 2. 三角形的角平分线： （1）定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做这个三角形的 （2）表示方法：如图，在中，线段平分交对边于点，因此线段是的角平分线； （3）内心：如图，三角形三条角平分线于一点，这个交点叫 ； 3. 三角形的高： 定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做这个 （简称高）. 表示方法：如图，在中，线段于点，垂直为，因此线段是的高； 垂心：如图，三角形三条高线于一点，这个交点叫 ； 一、三角形的边 1.三角形的识别与有关概念 错误：容易忽视三角形需不共线三条线段首尾顺次相接；三边判定不会用短边和大于长边；混淆角平分线、中线、高；不会画直角钝角三角形外部高，内外角概念易混淆。 注意：牢记三角形定义核心要素，用最简法则判定三边能否构图；分清三线定义与作用；掌握三类三角形高线位置，熟记外角性质定理灵活运用。 1．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，以为边的三角形有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.三角形的分类 错误：易按边长、角的标准混分；误认等腰三角形不是不等边三角形；混淆锐角、直角、钝角三角形判定，错凭外观盲目分类。 注意：按角、按边两种分类标准要分清；等边属于特殊等腰；判定先看最大内角，再看边长关系，严格按定义规范分类。 2．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）下列说法中正确的有（   ） ①三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形； ②三角形按边分类可分为不等边三角形，等腰三角形，等边三角形； ③等边三角形是等腰三角形； ④三角形的两边之差大于第三边． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3.三角形的三边关系 错误：易错忽略只需验证两短边之和大于最长边，机械逐条比对；误判含等号三边能构成三角形，也常忽视边长取值范围限制。 注意：判定只需较短两边和大于最长边；两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，牢记含等号不能组成三角形。 3．（2026·河北秦皇岛·一模）现有两根长度分别为6厘米和10厘米的木棒，若再取一根木棒，使这三根木棒能围成三角形，则第三根木棒的长度可以是（   ） A．2厘米 B．4厘米 C．9厘米 D．18厘米 二、三角形的内角和外角 1.三角形内角和定理的证明 错误：证明时随意作辅助线无依据，误用平角、平行线性质；凭直观目测代替逻辑推理，擅自默认角度相等，缺乏严谨推导步骤。 注意：需规范作平行线等辅助线并写明依据，依托平行线转角、平角定义推导，步步有理有据，不主观臆断角度大小关系。 4．（23-24八年级上·河北石家庄·月考）定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图1，有锐角．求证：．    证法1：如图2，过点C作． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换） 即． 证法2：如图3，延长到点E， ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∵（邻补角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1严谨地推理证明了该定理 C．证法2简单合理地证明了该定理 D．在证明该定理时不能同时添加证法1与证法2中的辅助线 2.三角形外角的性质 错误：易混淆外角相邻与不相邻内角，错认为外角大于任意内角；忽略外角由一边延长形成，乱用外角和内角数量关系解题。 注意：牢记外角等于两个不相邻内角和，大于任一不相邻内角；分清内外角位置，运用性质计算推理时严格对应边角关系。 5．（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图，在中，与互余，点从向运动，且不与点，重合，连接，，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 3.与平行线有关的三角形内角和问题 错误：不会借助平行线同位角、内错角转化角度，乱找相等角；忽略平行线前提乱用转角，混淆三角形内外角与平行线角度关系。 注意：遇三角形角度问题先找平行线，利用平行进行等角代换；结合内角和、外角性质联立推导，规范标注角、理清转化逻辑。 6．（22-23七年级下·河北唐山·月考）如图，，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 三、三角形的角平分线、中线和高线 1.三角形角平分线 错误：混淆角平分线与中线、高线概念，误以为平分对边；多条角平分线作图易出错，不会利用平行、内角和综合求角度。 注意：牢记角平分线平分三角形内角，每条角平分线都在三角形内部；熟练结合平行线、内角和定理进行角度计算与推导。 7．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 2.根据三角形中线求解 错误：混淆中线与角平分线、高线定义，误认中线平分内角；忽略中线平分对边、等分面积性质，不会用中线构造全等解题。 注意：牢记中线平分对边且等分三角形面积；可倍长中线构造全等三角形，结合边长、周长、面积条件灵活列式求解。 8．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则________． 3.与三角形的高有关的计算问题 错误：忽略直角、钝角三角形高在边上或外部，只会画内部高；乱用底和高对应关系，面积计算错配底边与对应高线长度。 注意：找准每条底边对应的高线，分清不同三角形高的位置；利用面积等积法列式计算，灵活转换底边与高求解线段长。 9．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，点是的边上一点，，点是线段上一点，，若，则阴影部分的面积为_____． 1．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，把的一角折叠，若，则为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北保定·期中）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（    ）时，与平行． A． B． C． D． 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 4．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，将一副三角板放置在和之间，点G在上，点N在上，点G，F，M在一条直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北衡水·模拟预测）如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ）． A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射后，，，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图，已知点分别为的中点，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图，中，为的高线，为的角平分线，与相交于点，，那么（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，D点在上，连接．根据图中标示的度数，则的值是_________． 10．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 11．（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）将一副三角板如图放置，，使点在上，，则是______度． 12．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点及部分边截掉，、的外角平分线交于点． （1）若，，则截掉的___________； （2）若，则___________． 13．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，E，F分别是四边形的边，的中点，若阴影部分的面积为10，则四边形的面积为_______． 14．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，若，分别是边，的中点，与相交于点，若四边形的面积为，则的面积为______． 15．（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为__________． 16．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，已知，分别为的边，的中点，连接，为的中线，连接．若，四边形的面积为，则的边上的高为______． 17．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，将中的边沿着方向平移到，交于点O，连接，． (1)若，，求的大小； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边（不与点A，点C重合），求与周长的和． 18．（23-24八年级上·河北邢台·月考）已知中，分别是的角平分线，过作交于． (1)若，，则___________；___________； (2)若，则___________； (3)写出与的数量关系并证明． 19．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知四条线段的长度为a，b，c，p（它们是从小到大的连续正整数），且． (1)求p的值； (2)已知a，b，x为三角形的三条边长，若x为整数，求三角形周长的最大值． 20．（25-26八年级上·河北保定·期末）（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 21．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，，分别是，的平分线，且，相交于点． (1)若，若，求的度数； (2)若，求的度数． 22．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 23．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）如图1把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，斜边与交于点． (1)如图1，______，______； (2)如图，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，求出此时，的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图2，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，设旋转时间为（），在旋转过程中，当第一次时，的值为______． 24．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图（1），将一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），________，________． (2)如图（2），现把三角尺绕点C顺时针方向旋转，此时点B恰好落在边上，交于点H，若，求的度数． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点B以每秒的速度沿逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的速度沿顺时针方向旋转得到射线（如图3）．当射线第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为t秒、在旋转过程中，当时，直接写出t的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 三角形 知识点01 三角形定义 1. 定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形的基本元素包括边、角和顶点，如图，三角形三边是、、，也可以用一个小写字母表示，记作：、、，三个内角为、、，其中的对边为，的对边为，的对边为. 2. 表示方法：三角形用符号“”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ABC”,读作“三角形” 3.三角形的分类： 知识点02 三角形的三边关系 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第三边 ；； 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 ；； 知识点03 三角形的稳定性 三角形的稳定性：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。在生产和生活中，房屋的人字梁、大桥钢架等都利用了三角形的稳定性。特别说明：四边形不具有稳定性。 知识点04 三角形的内角 1.三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的三个内角之和恒等于180°. 2.数学语言表述：如图，在ABC中，. 3.三角形内角和定理的证明 已知：△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C； 求证：∠A+∠B+∠C过点A作直线MN，使之与BC边平行（或相交于BC的延长线）。线MN，使MNBC． ∵MNBC, ∴∠B=∠MAB,∠C=∠NAC, ∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°, ∴∠B+∠C+∠BAC=180°, 即∠BAC+∠B+∠C=180°． 【特别说明】 （1）证明三角形内角和的方法很多，在后面的例题、练习题中还会出现其他方法 （2）三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不三角形外角的定义是：由三角形的一边与另一边的反向延长线所夹的角，称为三角形的外角。 知识点05 三角形的外角 1.定义;三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做外角 如图所示，在ABC中，是的一个外角，它的相邻内角是，不相邻两内角分别为、. 2.三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3.三角形外角性质的证明 已知：如图，是的一个外角。 求证：． 证明：方法一：中，， ∵， ∴； 方法二：过点C作，如图3，    ∵ ∴，， ∴． 知识点06 三角形中线、角平分线、高 1. 三角形的中线： （1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线； （2）几何语言表述：如图，在中，是边的中点，因此线段是的中线； （3）重心：如图，三角形三条中线交于一点，这个交点叫三角形的重心； （4）中线模型：中线分得的三角形面积相等；如图，是的中线，得出; 2. 三角形的角平分线： （1）定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线. （2）表示方法：如图，在中，线段平分交对边于点，因此线段是的角平分线； （3）内心：如图，三角形三条角平分线于一点，这个交点叫三角形的内心； 3. 三角形的高： 定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做这个三角形的高线（简称高）. 表示方法：如图，在中，线段于点，垂直为，因此线段是的高； 垂心：如图，三角形三条高线于一点，这个交点叫三角形的垂心； 一、三角形的边 1.三角形的识别与有关概念 错误：容易忽视三角形需不共线三条线段首尾顺次相接；三边判定不会用短边和大于长边；混淆角平分线、中线、高；不会画直角钝角三角形外部高，内外角概念易混淆。 注意：牢记三角形定义核心要素，用最简法则判定三边能否构图；分清三线定义与作用；掌握三类三角形高线位置，熟记外角性质定理灵活运用。 1．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，以为边的三角形有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的有关概念，熟练掌握三角形的定义是解题的关键．结合图形，找出以为边的三角形即可得出答案． 【详解】解：以为边的三角形有，共2个， 故选：C． 2.三角形的分类 错误：易按边长、角的标准混分；误认等腰三角形不是不等边三角形；混淆锐角、直角、钝角三角形判定，错凭外观盲目分类。 注意：按角、按边两种分类标准要分清；等边属于特殊等腰；判定先看最大内角，再看边长关系，严格按定义规范分类。 2．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）下列说法中正确的有（   ） ①三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形； ②三角形按边分类可分为不等边三角形，等腰三角形，等边三角形； ③等边三角形是等腰三角形； ④三角形的两边之差大于第三边． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的分类及三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据三角形的分类可判断①②③，根据三角形的三边关系可判断④，即可得答案． 【详解】解：三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，故①说法正确； 三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，等边三角形是等腰三角形的特殊情况，故②说法错误； 等边三角形是等腰三角形，故③说法正确； 三角形的两边之差小于第三边，故④说法错误． 综上所述：正确的说法有①③，共2个． 故选：C． 3.三角形的三边关系 错误：易错忽略只需验证两短边之和大于最长边，机械逐条比对；误判含等号三边能构成三角形，也常忽视边长取值范围限制。 注意：判定只需较短两边和大于最长边；两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，牢记含等号不能组成三角形。 3．（2026·河北秦皇岛·一模）现有两根长度分别为6厘米和10厘米的木棒，若再取一根木棒，使这三根木棒能围成三角形，则第三根木棒的长度可以是（   ） A．2厘米 B．4厘米 C．9厘米 D．18厘米 【答案】C 【分析】先求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：设第三根木棒长度为厘米， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知两根木棒长分别为6厘米和10厘米， ∴，即， 观察选项，只有9厘米满足该范围，因此选C． 二、三角形的内角和外角 1.三角形内角和定理的证明 错误：证明时随意作辅助线无依据，误用平角、平行线性质；凭直观目测代替逻辑推理，擅自默认角度相等，缺乏严谨推导步骤。 注意：需规范作平行线等辅助线并写明依据，依托平行线转角、平角定义推导，步步有理有据，不主观臆断角度大小关系。 4．（23-24八年级上·河北石家庄·月考）定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图1，有锐角．求证：．    证法1：如图2，过点C作． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换） 即． 证法2：如图3，延长到点E， ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∵（邻补角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1严谨地推理证明了该定理 C．证法2简单合理地证明了该定理 D．在证明该定理时不能同时添加证法1与证法2中的辅助线 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可． 【详解】解：证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整，故选项A正确，B错误， 三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明，证法2不能证明该定理，故选项C错误，不符合题意； 如图，延长到点E，过点C作，    ∴， ∴， ∴在证明该定理时能同时添加证法1与证法2中的辅助线，故选项D错误，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键． 2.三角形外角的性质 错误：易混淆外角相邻与不相邻内角，错认为外角大于任意内角；忽略外角由一边延长形成，乱用外角和内角数量关系解题。 注意：牢记外角等于两个不相邻内角和，大于任一不相邻内角；分清内外角位置，运用性质计算推理时严格对应边角关系。 5．（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图，在中，与互余，点从向运动，且不与点，重合，连接，，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与互余，进一步得出，再利用外角的性质得出，且，即可求得的取值范围． 【详解】解：与互余， ， ， ，且， ， 解得， ∴x的值可能为． 3.与平行线有关的三角形内角和问题 错误：不会借助平行线同位角、内错角转化角度，乱找相等角；忽略平行线前提乱用转角，混淆三角形内外角与平行线角度关系。 注意：遇三角形角度问题先找平行线，利用平行进行等角代换；结合内角和、外角性质联立推导，规范标注角、理清转化逻辑。 6．（22-23七年级下·河北唐山·月考）如图，，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交于点，交于点，由题意可得三角形是直角三角形，根据想内角和定理得出，根据平行线的性质以及对顶角相等即可求解． 【详解】如图，设交于点，交于点， 由题意可得三角形是直角三角形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 三、三角形的角平分线、中线和高线 1.三角形角平分线 错误：混淆角平分线与中线、高线概念，误以为平分对边；多条角平分线作图易出错，不会利用平行、内角和综合求角度。 注意：牢记角平分线平分三角形内角，每条角平分线都在三角形内部；熟练结合平行线、内角和定理进行角度计算与推导。 7．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 【答案】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及角平分线找到规律：后一个角是前一个角的一半，然后表示出即可． 【详解】解；∵平分，平分， ∴，， ∵由三角形外角的性质可得，， ∴， 以此类推， ， …… ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 2.根据三角形中线求解 错误：混淆中线与角平分线、高线定义，误认中线平分内角；忽略中线平分对边、等分面积性质，不会用中线构造全等解题。 注意：牢记中线平分对边且等分三角形面积；可倍长中线构造全等三角形，结合边长、周长、面积条件灵活列式求解。 8．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则________． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了三角形中线以及周长，属于基础题，熟练掌握三角形中线性质是解题关键． 根据三角形中线得定义可得，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 3.与三角形的高有关的计算问题 错误：忽略直角、钝角三角形高在边上或外部，只会画内部高；乱用底和高对应关系，面积计算错配底边与对应高线长度。 注意：找准每条底边对应的高线，分清不同三角形高的位置；利用面积等积法列式计算，灵活转换底边与高求解线段长。 9．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，点是的边上一点，，点是线段上一点，，若，则阴影部分的面积为_____． 【答案】7 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，同高的两个三角形的面积之比等于底边之比，据此根据可求出，再根据求出即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，把的一角折叠，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先，由折叠的性质得，然后，根据平角的定义及，得，进而得，最后，根据三角形的内角和定理得． 【详解】解：如图， ∵把的一角折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·河北保定·期中）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（    ）时，与平行． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行的公理得出，再根据平行线的性质得出，根据三角形内角和定理得出，根据 时，与平行，得出． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ． ∵要使与平行，则有， ∴，故C选项正确． 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 【答案】B 【分析】过B作，与的延长线交于D，连接，利用等积法即可得出结论． 【详解】解：过B作，与的延长线交于D，连接， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴的大小为定值．其余选项均不能得到是定值. 4．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，将一副三角板放置在和之间，点G在上，点N在上，点G，F，M在一条直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点P，根据平行线的性质可求得，再根据外角的性质求解即可． 【详解】解：延长交于点P， ， ， ， ． 5．（2026·河北衡水·模拟预测）如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，设与的交点为， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴． 6．（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射后，，，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形的内角和定理得出，再利用平角的定义得出，最后根据，得出即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ． ，， ， ， ， 故选：C． 7．（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图，已知点分别为的中点，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解即可. 【详解】解：连接， ∵为的中点，的面积为， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴. 8．（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图，中，为的高线，为的角平分线，与相交于点，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出的值，接着利用三角形的高线及角平分线求出，则可求. 【详解】∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，D点在上，连接．根据图中标示的度数，则的值是_________． 【答案】160 【分析】根据三角形内角和定理得到的值，再根据三角形的外角性质得到，即可求出的值． 【详解】解：在中，， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ． 10．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【答案】1 【分析】先写出从四条线段中任选三条的所有组合，再根据三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断组合是否符合要求，最后统计符合条件的组合个数即可． 【详解】从长度是、、、的线段中任选三条，共有以下种组合： ① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，． 根据三角形三边关系逐一判断： ① 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ② 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ③ 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ④ 因为 ，，，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形． 综上，能构成三角形的组合只有个． 11．（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）将一副三角板如图放置，，使点在上，，则是______度． 【答案】 【分析】根据两直线平行，内错角相等求出，然后依据三角形内角和是求出的度数，结合等角的余角相等，即可求解． 【详解】解：根据题意可得在中，，在中，， ∵， ∴， 故在中，， 在中，， 又∵， 故． 12．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点及部分边截掉，、的外角平分线交于点． （1）若，，则截掉的___________； （2）若，则___________． 【答案】 70 55 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据邻补角定义可知，，根据角平分线定义可知，因为，即可得到，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：（1）在中，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， 在中，， ． 13．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，E，F分别是四边形的边，的中点，若阴影部分的面积为10，则四边形的面积为_______． 【答案】20 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，解题关键是明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由E、F分别为四边形的边、的中点， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积四边形的面积， ∵阴影部分的面积为10， ∴四边形的面积为20， 故答案为：20． 14．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，若，分别是边，的中点，与相交于点，若四边形的面积为，则的面积为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查三角形中线与面积，连接，设的面积为，的面积为，根据题意得，由得，即，可得． 【详解】解：连接，如图， ∵，分别是边，的中点， ∴设设的面积为，的面积为， ∴，, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 15．（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为__________． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可知：，，进而可得出，进而可得出，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：在中，， 则， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，已知，分别为的边，的中点，连接，为的中线，连接．若，四边形的面积为，则的边上的高为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、三角形的面积、三角形的高等知识点，连接，设，的边上的高为，根据三角形中线的性质可得，，，，根据四边形的面积为，求出的值即可，掌握三角形的中线性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设，的边上的高为， ∵为的中线， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的边上的高为， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，将中的边沿着方向平移到，交于点O，连接，． (1)若，，求的大小； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边（不与点A，点C重合），求与周长的和． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）由平移的性质得到，则由平行线的性质可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）由平移的性质得到，，证明与周长的和，即可得到答案． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得，， 与周长的和 ． 18．（23-24八年级上·河北邢台·月考）已知中，分别是的角平分线，过作交于． (1)若，，则___________；___________； (2)若，则___________； (3)写出与的数量关系并证明． 【答案】(1)； (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义和平行线的性质，关键是熟练运用整体思想． （1）先根据三角形内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，，进一步得出，，最后利用平行线的性质即可解答； （2）先根据三角形内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，，进一步得出，，最后利用平行线的性质即可解答； （3）先根据三角形内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，，进一步得出，，最后利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：，， ； 分别是的角平分线， ，， ， ． ， ． （2）解：， ． 分别是的角平分线， ，， ， ． ， ． （3）解：． 证明如下： 在中， ． 分别是的角平分线， ，， ， ． ， ． 19．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知四条线段的长度为a，b，c，p（它们是从小到大的连续正整数），且． (1)求p的值； (2)已知a，b，x为三角形的三条边长，若x为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易得，，，代入，求解即可； （2）根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 则，解得． （2）解：由（1）可知：，， 根据三边关系可知：，即， ∵x为整数， ∴x的最大值为6， ∴三角形周长的最大值为． 20．（25-26八年级上·河北保定·期末）（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练利用平行线的性质及平角的定义是解决问题的关键． （1）过点A作直线l，使，作出辅助线，根据平行线的性质及平角的定义即可解答； （2）设三角形内角和为x， 由和内角和 等于，结合平角的定义即可解答． 【详解】证明：（1）如图，过点A作直线l，使． ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． （2）证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得 解得． 21．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，，分别是，的平分线，且，相交于点． (1)若，若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答； （1）根据，，可以得到和的度数，然后根据三角形内角和，即可求得的度数； （2）根据的度数，可以求得的度数，然后根据角平分线的定义和三角形内角和可以计算出的度数． 【详解】（1）解：，，，分别是，的平分线， ，， ； （2）解：， ， ，分别是，的平分线， ， ． 22．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）小刚的证明：过点作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【详解】（1）解：小刚的证明如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ， 即； 小红的证明如下： 如图3，延长交于点， ， ， ∵，， ， 即； （2）证明：∵，， ， ， ， ； （3）解：∵平分，， ∴， 设，则， ， ∵在（2）的条件下， ， ， 解得， ， 设， ∵平分， ， ， ， ， ， ∵在（）的条件下， ， 同理可得，，即， 解得， ． 23．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）如图1把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，斜边与交于点． (1)如图1，______，______； (2)如图，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，求出此时，的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图2，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，设旋转时间为（），在旋转过程中，当第一次时，的值为______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先在直角三角形中求出的度数，再利用长方形直尺对边平行的性质，通过两直线平行，同位角相等，及邻补角性质求出、． （2）先根据平行线的性质和旋转角求出的度数，再结合平角定义表示；利用平行线的同位角相等求出，再通过邻补角关系表示． （3）先表示出旋转后和的度数，再根据平行线的同位角相等建立方程，求解的值． 【详解】（1）解：如图， ∵在中，，， ∴， 由题意可得， ∴，， ∵，， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图， ∵射线绕点以每秒逆时针旋转， ∴， ∴， ∵射线绕点以每秒顺时针旋转， ∴， ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴， 解得：． 24．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图（1），将一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），________，________． (2)如图（2），现把三角尺绕点C顺时针方向旋转，此时点B恰好落在边上，交于点H，若，求的度数． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点B以每秒的速度沿逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的速度沿顺时针方向旋转得到射线（如图3）．当射线第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为t秒、在旋转过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2) (3)12或48 【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质求出结果即可； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为12或48． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $