专题04 中心对称图形—平行四边形（考题猜想，压轴必刷48题12种题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）

专题04 中心对称图形—平行四边形 （压轴必刷48题12种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 图形的旋转压轴题（重点） · 题型二 中心对称压轴题（重点） · 题型三 平行四边形的判定与性质压轴题 · 题型四 平行四边形的动点问题（难点） · 题型五 矩形的判定与性质压轴题（重点） · 题型六 矩形与折叠问题（难点） · 题型七 菱形的判定与性质压轴题（重点） · 题型八 正方形的判定与性质压轴题（重点） · 题型九 （特殊）平行四边形的存在性问题 · 题型十 平行四边形中的最值问题（难点） · 题型十一 三角形中位线压轴题（易错） · 题型十二 平行四边形综合（难点） 题型一 图形的旋转压轴题 1．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形中，，，，M为对角线 (不含点B)上任意一点．是等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：． (2)①直接回答：当点M在何处时，的值最小？ ②当点M在何处时，的值最小？ 请说明理由． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知，在中，，将边绕点顺时针旋转得，使、两点在直线的同侧，连接，，，过点作于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，猜想线段、、三者之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，请直接写出的面积． 题型二 中心对称压轴题 5．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将沿轴翻折后再沿轴向右平移1个单位，在图中画出平移后的，若内有一点，则经过上述变换后点的坐标为______． (2)作出关于坐标原点成中心对称的． (3)的面积为______． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)画出，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为_______． (2)在（1）的条件下，仅用无刻度的直尺，作出线段的垂直平分线． (3)将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，则旋转中心的坐标为_______． 7．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移4个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，每格均为1个单位.请按要求画图填空： (1)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出． (2)作出关于坐标原点成中心对称的． (3)在平面直角坐标系找一点D，使得A，B，C，D四点构成正方形的点的坐标为 ． (4)网格中共有　　个格点P，使． 题型三 平行四边形的判定与性质压轴题 9．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）【方法运用】如图①，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、分别相交于点E、F，，的周长为10，求的值． 【拓展提升】如图②，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、的延长线分别相交于点E、F，连结点、，若，的面积为1，则四边形的面积为____________． 【拓展应用】如图③，若四边形是平行四边形，过点O作直线分别交边、于，过点O作直线分别交边、于G、H，且，若，，，则的长度是多少？    10．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，连接，以，为邻边作，连接，． (1)如图1，当点D落在上时，与的数量关系是___________，位置关系是___________ (2)如图2，当点D在的内部时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，连接，若，，当时，直接写出的长． 11．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在边长为2的等边中，点为的延长线上的一点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接，过点作交直线于点． (1)猜想线段之间的数量关系，并说明理由； (2)求出的长度． 12．（23-24八年级下·江苏·期末）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 题型四 平行四边形的动点问题 13．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，E是的中点，，点A坐标是，所在的直线的函数关系式为，点P是上的一个动点． (1)点D的坐标是 ，点E的坐标是 ． (2)当点P在线段上运动过程中，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求的长； 14．（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）如图，平行四边形位于直角坐标系中，为坐标原点，点，点，交轴于点．动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度终点运动，同时动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位长度的速度运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示：__________，__________． (2)若以为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (3)当恰好是等腰三角形时，求的值．（不考虑的情况） 15．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为，．动点P从点D出发沿以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以3个单位每秒的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)求的长； (2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点P的坐标． 16．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若的面积等于，求的面积．（用含的式子表示） (3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 题型五 矩形的判定与性质压轴题 17．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：___________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线和的数量关系有： ___________； ③在矩形中，设，则对角线和的数量关系有： ___________； 【解决问题】（2）如图1，在平行四边形中，设，猜想对角线和，的数量关系有：___________，并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，点为的中点，求的长． 18．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． (2)【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示． 图中 ， ，图中 ． 点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上． 19．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧． (1)当点运动到点时，求的长； (2)点在线段上从点至点运动过程中，求的最小值． 20．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．    (1)如图1，当四边形是正方形时，x的值为________，S的值为_______； (2)如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求S与x的函数关系式； (3)当_______时，的面积S最小； (4)在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_________． 题型六 矩形与折叠问题 21．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形中，，点为对角线上一点，过点作于点交边于点，将沿折叠得，连接． (1)如图1，若点落在边上，求证：； (2)如图2，若三点在同一条直线上，求的长； (3)若是以为底的等腰三角形，求的长． 22．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图1，长方形中，，点E是射线上一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)若，则的度数是_____________； (2)若， ①在图（2）中用无刻度的直尺和圆规作出点F（不写作法，保留痕迹）． ②求此时线段的长度． (3)设直线与线段交于点G，P、O分别是线段上的两个动点，当的面积为6时，请直接写出的最小值． 23．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】 如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． (1)试探究重叠部分的形状?并请说明理由． (2)求面积的最小值．      【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形． (4)如图，在线段上找一点，在线段上找到一点，使得为等边三角形．      【迁移运用】 (5)若在一张钝角三角形ABC的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为 ．（直接写出答案） 24．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． (1)求△的面积，直接用表示为　　． (2)如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； (3)若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 题型七 菱形的判定与性质压轴题 25．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，在菱形中，，，，分别是，边上的高． (1)请直接写出的长度是______； (2)如图2，动点P，Q分别从D，B同时出发，点P由运动，点Q由运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．在运动过程中： ①若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，点P在边上，点Q在边上，且B，D，P，Q构成的四边形是平行四边形，求t的值； ②若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求y与x的函数解析式． 26．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点为平面直角坐标系的原点，边长为的菱形的一边与轴的正半轴重合，． (1)求点的坐标； (2)过点的直线将菱形分成面积比为的两部分，求该直线的解析式． 27．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【问题情境】： 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】： 当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的长． 28．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)①如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长为______； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长度为______． 题型八 正方形的判定与性质压轴题 29．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）已知正方形的边长为3，是边上的一个动点， (1)如图1，若点关于直线的对称点为，连接，连接并延长交于点，连接．则______； (2)如图2，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，交于，若，请求出线段的长． 30．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）在正方形中，对角线，点E、F在上． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，求的长； (3)如图3，若，F是的中点，点P在边上从点A开始向点B运动，在此过程中设，则实数a的取值范围是 ，使a为整数时点P的个数为 ． 31．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）已知，如图①，在矩形中，，，点P在边上，，点Q在边上，连接，以为边在左侧作正方形．当Q在边上运动时，点E、F也随之运动． (1)当点Q与点B重合时如图②，求的长； (2)在点Q运动的过程中，连接、，判断的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由． (3)在点Q由B向C运动的过程中，求的取值范围． 32．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在正方形中： (1)如图甲，点、分别在、上，且，垂足为，求证：； (2)如图乙，如果点E、F、G在、、上，且，垂足为，那么、相等吗？证明你的结论； (3)如图丙，如果正方形的边长为6，点为的中点，点为上一点，，为上一点，且，求的长． 题型九 （特殊）平行四边形的存在性问题 33．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，将一块长方形纸板摆放在平面直角坐标系中，使长方形纸版的一个直角顶点与坐标原点重合，两条边与坐标轴重合，已知，．    (1)求直线的解析式； (2)将长方形纸板的一个直角沿折叠，使点恰好落在线段上的处，折痕交边于点（图），求点坐标； (3)在的条件下，直线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请简要说明理由． 34．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)点坐标为(________，________)． (2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； (3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 35．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题： (1)求为何值时，四边形是矩形? (2)求为何值时，？ (3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 36．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在平面直角坐标系中中，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点，，点M、N分别为线段上的动点，将矩形沿直线折叠，A、C的对应点分别是、． (1)如图2，若点落在点B处，则 ； (2)如图3，折叠的某一时刻，点落在矩形的边上，且，求的长； (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是否存在点、，使得以点，M，D，E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十 平行四边形中的最值问题 37．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．    (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________． 38．（23-24八年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）同学们在探索求代数式的最小值的过程时，老师进行了如下的引导，如图，为线段上的一个动点，分别过点，作，，连接，已知，，，设． ①则的长为______．（用含的代数式表示） ②如图，过作交的延长线于，构造长方形，连接，此时、、三点共线，的值最小，求最小值． 问题解决：（2）请用上述的构图法求出代数式的最小值．    39．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点D是边上一动点，连接．把绕点A逆时针旋转，得到，连接．    (1)求证：； (2)若，时，求的长； (3)在点D运动的过程中，线段上存在一点P，使的值最小，设的长为m，直接写出的最小值（用含m的式子表示）． 40．（2022八年级下·全国·专题练习）问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究 (2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决 (3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 题型十一 三角形中位线压轴题 41．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）综合与探究 问题呈现： “智想”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解决，如图1，在正方形的边上任取一点E，以为边在与正方形的同侧作正方形． 探究结论： （1）连接，则与的数量关系是______，位置关系是______； 探究发现： （2）如图2，在图1的基础上连接，作的中点M，连接，判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 探究拓展： （3）“智慧”数学小组把“边上任取一点E”改成了“边的延长线上任取一点E”，其余条件不变，请在图3中补全图形，并直接写出与的数量关系和位置关系． 42．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在直角三角形纸片中，，，．点是射线上的动点（点不与点重合）.现将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕； 第二步：将△沿折痕展开，连接，然后将△沿直线翻折得到△，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点． (1)折痕的长为 ； (2)△沿直线翻折至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)△翻折至图2所示位置，直线经过点时，求的长． (4)在点的运动过程中，连接，则的取值范围是 ． 43．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图（1），在等腰直角三角形纸片中，，，点D，E分别为边上的动点． (1)将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，且点D，E分别是边的中点，线段_________． (2)如图2，将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）．当的重合部分（即阴影部分）为直角三角形时，求的长． 44．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，于点，点是的中点．          【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 题型十二 平行四边形综合 45．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形中，点O为对角线的中点，连接．点E在边上，且，线段的延长线交于点F． 猜想证明： （1）“笃学”小组发现与的数量关系是：______； 操作探究： （2）“勤思”小组将图1中的绕B点顺时针旋转（设点O，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； ②若，当线段所在直线与所在直线垂直时，直接写出的值． 46．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若点是上一点，且，求的长； (3)如图3，若点是的中点，连结交于点，求的度数． 47．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）综合与实践课上，者师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图①，当与垂直时，判断与的数量关系，并证明． (2)探究：如图②，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 48．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，P为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． 【分析探究】 （1）如图1，若，当点恰好落在边上时，的形状为 ． 【问题解决】 （2）如图2，当P，Q为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点E．若的面积为18，，请直接写出线段的长． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$专题04 中心对称图形—平行四边形 （压轴必刷48题12种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 图形的旋转压轴题（重点） · 题型二 中心对称压轴题（重点） · 题型三 平行四边形的判定与性质压轴题 · 题型四 平行四边形的动点问题（难点） · 题型五 矩形的判定与性质压轴题（重点） · 题型六 矩形与折叠问题（难点） · 题型七 菱形的判定与性质压轴题（重点） · 题型八 正方形的判定与性质压轴题（重点） · 题型九 （特殊）平行四边形的存在性问题 · 题型十 平行四边形中的最值问题（难点） · 题型十一 三角形中位线压轴题（易错） · 题型十二 平行四边形综合（难点） 题型一 图形的旋转压轴题 1．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形中，，，，M为对角线 (不含点B)上任意一点．是等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：． (2)①直接回答：当点M在何处时，的值最小？ ②当点M在何处时，的值最小？ 请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①当点M在与交点处时，的值最小；②当点M位于、交点处时，最小，理由见解析 【分析】（1）由题意得，，证出； （2）①根据两点之间线段最短，得出当点M在与交点处时，的值最小； ②连接，在上取一点N，使，证明， 得出，证明，得出，说明此时可以看作由绕点B逆时针旋转得到，由（1）可知：，得出，证明是等边三角形，得出，得出，根据两点之间线段最短，即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 根据旋转可知：，， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：①连接， ∵两点之间线段最短， ∴当点M在与交点处时，的值最小； ②连接，当点M位于、交点处时，最小，理由如下： 如图，交于点M，连接，在上取一点N，使， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和， ∴， ∴， ∴此时可以看作由绕点B逆时针旋转得到， 由（1）可知：， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M位于、交点处时，最小，即最小． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 【答案】（1）等边（2）（3）（4） 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）将绕点逆时针方向旋转，得，连接，证明是等边三角形，推出，然后利用勾股定理求解即可； （3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，推出是等边三角形，，再求得，，推导出，得到，然后利用勾股定理求得，最后利用求得答案； （4）先由旋转的性质得出，则，推出是等边三角形，那么有，当、、、在一条直线上时，最小，此时，再求得，最后利用求得答案． 【详解】（1）解：等边，理由如下： 将绕点顺时针旋转，得到 ， 是等边三角形 （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接， 那么有， 是等边三角形 ， 在中， （3）解：如图， 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形，， ， ，即 即 （4）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接、，如图所示： ， ，， 是等边三角形 ， 当、、、在一条直线上时，最小 当最小时， 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 【答案】【理解模型】证明见解析；【变式迁移】；【构造模型】，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键； 【理解模型】先证明三点在同一直线上，则是等边三角形，即可得出结论； 【变式迁移】将绕点A逆时顺旋转到，证明三点在同一直线上，证明，再根据勾股定理得出结论； 【构造模型】先证明是等边三角形，将绕点C顺时针旋转到，连接，再证明，根据角的和差关系得出结论； 【详解】解：理解模型：将绕点A逆时针旋转到， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 三点在同一直线上， 是等边三角形， ， ； 变式迁移：将绕点A逆时顺旋转到， ， ， ， ， 三点在同一直线上， ， 是等腰直角三角形， ， ； 构造模型：，， 是等边三角形， 将绕点C顺时针旋转到，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知，在中，，将边绕点顺时针旋转得，使、两点在直线的同侧，连接，，，过点作于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，猜想线段、、三者之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）设，得到，得到，，继而得到，求出的值即可得到答案； （2），过点作于点，证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论； （3）作于点，于点，于点，证明，得到，，再证明，得到，求出，得出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下， 过点作于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，作于点F，于点，于点， ， ， ，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定，三角形内角和定理的应用，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型二 中心对称压轴题 5．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将沿轴翻折后再沿轴向右平移1个单位，在图中画出平移后的，若内有一点，则经过上述变换后点的坐标为______． (2)作出关于坐标原点成中心对称的． (3)的面积为______． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图平移变换、轴对称变换、中心对称，熟练掌握平移、轴对称、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴对称并向右平移1个单位后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，根据轴对称和平移的性质写出点P的对应点的坐标即可； （2）作出A、B、C关于原点对称的对应点、、，顺次连接即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； 沿x轴翻折后点坐标变为，再沿x轴向右平移1个单位后则变为； （2）如图所示，即为所求； （3）的面积为； 6．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)画出，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为_______． (2)在（1）的条件下，仅用无刻度的直尺，作出线段的垂直平分线． (3)将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，则旋转中心的坐标为_______． 【答案】(1)，图见解析； (2)图见解析； (3)，图见解析 【分析】（）根据旋转的性质可知，，进而即可解答； （）根据题意先找出的中点，再根据题意找出到点和点的距离相等的点即可； （）先画出，再根据旋转的性质即可解答． 本题考查了旋转的性质，垂直平分线的画法，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵三角形的顶点均在格点上， ∴，，， ∵与关于坐标原点O成中心对称， ∴，，， （2）解：如图，线段的垂直平分线为，即为所求， （3）解：如图所示点即为旋转中心， ∴ 7．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移4个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了根据平移作图、作已知图形的中心对称图形、根据旋转的性质确定对称中心等知识． （1）根据平移的要求确定点、、三个点，即可做出； （2）根据中心对称的性质确定、、三个点，即可做出； （3）如图，观察图形得到和关于某点中心对称，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 【详解】（1）解：解：如图，即为所求作的三角形： ； （2）解：如图，即为所求作的三角形： （3）解：如图，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，每格均为1个单位.请按要求画图填空： (1)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出． (2)作出关于坐标原点成中心对称的． (3)在平面直角坐标系找一点D，使得A，B，C，D四点构成正方形的点的坐标为 ． (4)网格中共有　　个格点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)7 【分析】本题考查格点作图，掌握旋转、中心对称、正方形的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）将点B，点C分别绕点顺时针旋转，找到对应点，顺次连接即可； （2）在坐标系中找到点A，点B，点C关于点O的对称点，顺次连接即可； （3）由勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，因此坐标系中点B关于的对称点即为所求的点D； （4）利用格点在两侧构造与平行且距离为的平行线，位于平行线上的格点即为满足条件的点P． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：由勾股定理可知，， ， 为等腰直角三角形， 点B关于的对称点即为所求的点D． 如图，点即为所求，点的坐标为． 故答案为：． （4）解：如图，网格中共有7个格点P，使． 故答案为：7． 题型三 平行四边形的判定与性质压轴题 9．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）【方法运用】如图①，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、分别相交于点E、F，，的周长为10，求的值． 【拓展提升】如图②，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、的延长线分别相交于点E、F，连结点、，若，的面积为1，则四边形的面积为____________． 【拓展应用】如图③，若四边形是平行四边形，过点O作直线分别交边、于，过点O作直线分别交边、于G、H，且，若，，，则的长度是多少？    【答案】【方法运用】；【拓展提升】12；【拓展应用】． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，，则有，证明即可； （）利用平行四边形的性质及，可得，，从而得出即可求解； （）过作，，利用等面积法即可； 此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）【方法运用】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴． （2）【拓展提升】解：∵，的面积为1， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴；， 同【方法运用】得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12； （3）【拓展应用】解：∵，， ∴， 又∵ ， ∴而， 过作，，    ∴， ∴， ∴， 由，， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，连接，以，为邻边作，连接，． (1)如图1，当点D落在上时，与的数量关系是___________，位置关系是___________ (2)如图2，当点D在的内部时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，连接，若，，当时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)成立，见解析 (3)或 【分析】（1）根据，且可判断四边形，证明解答即可． （2）延长交于点K，仿照(1)，利用平行四边形的性质证明即可． （3）分类计算即可．本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形，且， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）结论仍然成立，理由如下： 延长交于点K， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （3）当在的右侧时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴共线， ∵和都是等腰直角三角形，，， ， ∴， ∴， 此时； 当在的左侧时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴共线， ∵和都是等腰直角三角形，，， ， ∴， ∴， 此时； 故的长为或． 11．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在边长为2的等边中，点为的延长线上的一点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接，过点作交直线于点． (1)猜想线段之间的数量关系，并说明理由； (2)求出的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形，旋转．熟练掌握等边三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，是解题的关键． （1）由等边三角形性质以及旋转的性质得出，进而利用全等三角形的判定与性质即可得出； （2）由（1）中可得，利用等边三角形得出，根据平行四边形的判定与性质进行分析求解即可． 【详解】（1），理由： ∵是等边三角形， ∴， ∵绕点A逆时针旋转到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 在等边中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴． 12．（23-24八年级下·江苏·期末）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)或或或时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）如图①中，只要证明是等边三角形即可； （2）如图②中，由四边形是平行四边形，推出，，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题； （3）如图③中，分四种情形列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：如图①所示：   四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：如图②所示：   四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ； （3）解：如图③所示：   ， ∴当时，四边形是平行四边形， ①当时，，， ∴， 解得：； ②当时，，， ∴， 解得：； ③当时，，， ∴， 解得：； ④当时，，， ∴， 解得：； ∴或或或时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 题型四 平行四边形的动点问题 13．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，E是的中点，，点A坐标是，所在的直线的函数关系式为，点P是上的一个动点． (1)点D的坐标是 ，点E的坐标是 ． (2)当点P在线段上运动过程中，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求的长； 【答案】(1)， (2)1或11 【分析】（1）根据，且，得到点D的纵坐标为4，设，根据题意，得，确定，过点D作轴于点N，得到，根据直线的解析式，得到于是得到，得到根据E是的中点，，得到，于是于是，得到 ． （2）设，，点，，根据平行四边形的性质，分为对角线，为对角线，结合中点坐标公式解答即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴点D的纵坐标为4，设， ∵所在的直线的函数关系式为， ∴， 解得， ∴， 过点D作轴于点N， ∴， ∵直线的解析式， ∴∴， ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵，， ∴， ∴． 设，，点，， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得： ， ∴， ∴． 设，，点，， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得： ， ∴， ∴． 综上所述，的长为1或11． 【点睛】此题属于一次函数的综合问题，考查了函数解析式、函数图象与坐标轴的交点坐标，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质并能利用分类讨论思想求解点N的坐标是解答此题的关键． 14．（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）如图，平行四边形位于直角坐标系中，为坐标原点，点，点，交轴于点．动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度终点运动，同时动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位长度的速度运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示：__________，__________． (2)若以为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (3)当恰好是等腰三角形时，求的值．（不考虑的情况） 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，求出点坐标，再根据题意和图形解答即可； （）分两种情况讨论：①当在点右侧，四边形为平行四边形，；②当在点左侧，四边形为平行四边形，，列方程求解即可； （）过点作轴于，过点作轴于，利用勾股定理求出，再分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵点，点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：，； （2）（）解：①当在点右侧，四边形为平行四边形时，如图， 则， ∴， 解得； ②当在点左侧，四边形为平行四边形时，如图， 则， ∴， 解得； 综上，的值为或； （3）解：当恰好是等腰三角形时，过点作轴于，过点作轴于， 则，，， ∴， ， 当时，则 ， 整理得，， 解得，（不合，舍去）； 当时，则， 整理得，， 解得； 综上，当恰好是等腰三角形时，的值为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义，解题的关键是熟悉并综合运用以上性质解决问题． 15．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为，．动点P从点D出发沿以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以3个单位每秒的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)求的长； (2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)5 (2)存在，当时，与互相平分 (3)或 【分析】（1）根据A的坐标求出，然后利用平行四边形的性质求解即可； （2）由与互相平分，可得四边形是平行四边形，则，可得关于t的方程，求解即可； （3）分Q在线段上和线段的延长线讨论即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵的顶点B与坐标原点重合， ∴； （2）解：如图，连接，， ∵与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上， ， ∴， ∵动点P从点D出发沿以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以3个单位每秒的速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， ∴存在，当时，与互相平分； （3）解：当分Q在线段上时，如图， ∵P，关于对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当Q在线段的延长线时，如图，过D作于Q， ∵P，关于对称， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，P的坐标为或． 16．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若的面积等于，求的面积．（用含的式子表示） (3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2) (3)秒或8秒或秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质，角平分线平分角，易得，得到，进而得到，得到为等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据平行四边形的性质，得到，进而推出，得到，即可得出结论． （3）分，，，四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，即． （2）如图②中， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． （3）解：， 当时，四边形是平行四边形， 由题意，得：点运动的总时间为：，点从点到点需要的时间为；分4种情况进行讨论： ①当时，，， ，解得：（不合题意，舍去）； ②当时，，， ，解得：； ③当时，，， ， 解得：； ④当时，，， ， 解得：； 综上所述，当运动时间为秒或8秒或秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 题型五 矩形的判定与性质压轴题 17．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：___________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线和的数量关系有： ___________； ③在矩形中，设，则对角线和的数量关系有： ___________； 【解决问题】（2）如图1，在平行四边形中，设，猜想对角线和，的数量关系有：___________，并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，点为的中点，求的长． 【答案】（1）①；②；③；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，本题的关键是构造直角三角形，运用勾股定理解题． （1）①由四边形是正方形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； ②由四边形是菱形，得，，，在中，由，得到，即可得到结果； ③由四边形是矩形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； （2）分别过点，作，，垂足分别为，．证明，运用勾股定理求出，，即可解答； （3）连接，延长至点，使，连接，．证明四边形是平行四边形，由（1）得，运用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：（1）①如图1.1， 四边形是正方形， ，，， ，， ； 故答案为：； ②如图1.2， 四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ； 故答案为：； ③如图1.3， 四边形是正方形， ，，，， ，， ； 故答案为：； （2）； 证明：如图1，分别过点，作，，垂足分别为，． ， 四边形是平行四边形， ，． ， 在和中， ， ； ，， 设，，则，． 在中，， 在中，， ． 在中，， ． ； （3）如图2，连接，延长至点，使，连接，， ， 四边形是平行四边形． ， ， ， ， ， ． 18．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． (2)【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示． 图中 ， ，图中 ． 点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上． 【答案】(1) (2)，，；秒或秒或秒 【分析】（1）由折叠的性质得，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解出的值即可求解； （2）从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变，故再从图看出：，，再计算即可； 分三种情况：在上，且在左方，或在上，且在右方，或在上，再运用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为， ，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即； （2）解：从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变， 故再从图看出：，， ， 故答案为：，，； 如图，过作交于点， 由翻折得，， ，， ， 在中，， ， ； 如图： 由翻折得， ， ， ， ， 当点从运动到图为止时，， 在中，， ， ； 如图： 由翻折得， ， ， ， ， ， 由翻折得， ， ， ， 综上所述，的值为秒或秒或秒， 故答案为：秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 19．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧． (1)当点运动到点时，求的长； (2)点在线段上从点至点运动过程中，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）连接并延长至，使得，连接，证明是等边三角形，进而证明，即可证明是等边三角形，点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动，当点运动到点时，点运动到点，即可求解； （2）根据垂线段最短，可知点在线段上从点至点运动过程中，运动到的中点时，取最小值，且最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接并延长至，使得，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴当点运动到点时，点运动到点， 则有； （2）由（1）可知点在线段上从点至点运动过程中，运动到的中点时， 取最小值，且最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定等知识，得出点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动是解题的关键． 20．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．    (1)如图1，当四边形是正方形时，x的值为________，S的值为_______； (2)如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求S与x的函数关系式； (3)当_______时，的面积S最小； (4)在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_________． 【答案】(1)2；5 (2)①详见解析；② (3) (4) 【分析】（1）只要证明即可解决问题； （2）①连接，理由平行线的性质证明即可； ②如图，作于Q，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，在中，，S的最大．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小； （4）如图3中，在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长． 【详解】（1）解：如图1中，   四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 过点M作于点H． 同法可证， 可得， ． 故答案为：； （2）①连接 四边形为矩形，    四边形为菱形， 即 ②， 过点M作，垂足为Q    四边形为矩形 四边形为菱形 在和中 ， ∴ ． （3）如图4中，    当点M在上时，x的值最大，的面积最小， 此时同（2）, ， ∴， ∴， ∴S的最小时，x为； 故答案为： ． （4）解：如图3中，    在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用一次函数的性质确定最值问题，属于中考压轴题． 题型六 矩形与折叠问题 21．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形中，，点为对角线上一点，过点作于点交边于点，将沿折叠得，连接． (1)如图1，若点落在边上，求证：； (2)如图2，若三点在同一条直线上，求的长； (3)若是以为底的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质和翻折的性质证明，即可解决问题； （2）结合（1）的方法，再利用勾股定理即可求的长； （3）当是以为底的等腰三角形时，即当时，证明，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质得：， ， ； （2）解：如图2，，，三点在同一条直线上， 四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质得：， ， ， ， 是的中点， ， 在矩形中， ，，， ， ， 如图，连接， 是的中点，， ， ， 点是的中点， 是的中位线 ，， 由翻折可知：，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， ， ， ； （3）解： 如图，延长交于点， ，， ， ， 四边形为矩形， 当以为底的等腰三角形时，则， ，，， ， ， 设，则， 在中，， 则可得， 可得， ， ， ， 在中，， 即， 解得，即． 22．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图1，长方形中，，点E是射线上一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)若，则的度数是_____________； (2)若， ①在图（2）中用无刻度的直尺和圆规作出点F（不写作法，保留痕迹）． ②求此时线段的长度． (3)设直线与线段交于点G，P、O分别是线段上的两个动点，当的面积为6时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或15 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠可得，进而可以解决问题； （2）①作的垂直平分线，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交的垂直平分线于点，即为所求； ②由①作图过程和翻折的性质，设，分为当F在下方时和当F在上方时，两种情况分别求解即可解决问题； （3）作于点，由，平分，得，所以，所以的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，最小即为的值，此时与重合，与重合，与重合，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠可知：， 故答案为：； （2）解：①如图2，点即为所求； ②当F在下方时，如图， 由①作图可知：四边形是矩形， ，， ， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 线段的长度为； 当F在上方时，如图， 由①作图可知：四边形是矩形， ，， ， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 线段的长度为15； 综上所述，或15； （3）解：如图3，作于点， 的面积为6， ， ， ， 、分别是线段、上的两个动点， 时，最短， ，平分， ， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，最小即为的值， 此时与重合，与重合，与重合， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义和性质，垂线段最短、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 23．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】 如图，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图）． (1)试探究重叠部分的形状?并请说明理由． (2)求面积的最小值．      【感悟作图】 把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图，试在折痕上找一点，使得为等边三角形． (4)如图，在线段上找一点，在线段上找到一点，使得为等边三角形．      【迁移运用】 (5)若在一张钝角三角形ABC的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为 ．（直接写出答案） 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2) (3)见解析 (4)见解析 (5)或或 【分析】（1）通过折叠和平行，即可证明为等腰三角形； （2）当最小时，即最小时，的面积取得最小值，当时，的面积最小； （3）以点为圆心，为半径画弧，与的交点即为点，为等边三角形； （4）以点为圆心，为半径画弧，与的交点即为点，过点作的垂线，交于点，交于点，为等边三角形； （5）分三种情况画出图形，进行计算即可． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 纸片沿线段折叠， ， 四边形为长方形， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：由（1）得， 的面积， 当最小时，即最小时，的面积取得最小值， 当时，的面积最小； （3）解：如图，即为所求； （4）解：如图，即为所求； （5）解：第一种情况如图所示： ； 第二种情况如图所示： ； 第三种情况如图所示： ； 综上所述，三角形纸片中最大内角的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，分类讨论，尺规作图，折叠的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 24．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． (1)求△的面积，直接用表示为　　． (2)如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； (3)若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】（1）作于点，由矩形的性质及得，，，，则，而，则，于是得到问题的答案； （2）作于点，由折叠得，，，因为，且，所以，求得，则，由，求得，则此时到直线的距离为6； （3）分两种情况讨论，①，作于点，则，且，由，且，得，求得；②，由，得，求得． 【详解】（1）解：如图1，作于点， 四边形是矩形，且顶点，分别在轴和轴上，， ，，，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，作于点， 由折叠得，，， ，且， ， 解得， ， ， ， 解得， 此时到直线的距离为6； （3）解：①如图3，当时，作于点，则， ∴，且，， ∴四边形是矩形， ， ，且， ， 解得； ②当时， ，且，，， ， 解得， 综上所述，的值为或． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 题型七 菱形的判定与性质压轴题 25．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，在菱形中，，，，分别是，边上的高． (1)请直接写出的长度是______； (2)如图2，动点P，Q分别从D，B同时出发，点P由运动，点Q由运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．在运动过程中： ①若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，点P在边上，点Q在边上，且B，D，P，Q构成的四边形是平行四边形，求t的值； ②若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求y与x的函数解析式． 【答案】(1)40 (2)①；② 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得，再利用勾股定理列式求出，然后根据计算即可得解； （2）①根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求解即可；②根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列方程整理即可； 【详解】（1）解：设与交于点， 四边形是菱形， ，且与互相平分， 则， 在中，根据勾股定理， ，， ． 则． （2）解：①四边形是菱形， ， ， 即， 解得． 在中，． 同理可得． ， 点在边上，点在边上，且四边形是平行四边形， 所以． 点的运动速度为每秒，运动时间为秒， 则； 点的运动速度为每秒，运动时间为秒， 则． ， 移项可得， 即， 解得． B，D，P，Q构成的四边形是平行四边形，t的值是； ②点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形，有以下三种情况： 如图，当点在上，点在上时， ，， ， ， ， ； 当点在上时，点在上时， ，， ，， ， ； 当点在上，点在上时， ，， ，， ， ； 综上所述， 点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，难度较大．熟练掌握菱形的性质是正确解答此题的关键． 26．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点为平面直角坐标系的原点，边长为的菱形的一边与轴的正半轴重合，． (1)求点的坐标； (2)过点的直线将菱形分成面积比为的两部分，求该直线的解析式． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）作于点，利用菱形的性质可得，，进而可得，即得，，即可求解； （）连接，作于点 ，于，设菱形 的面积为，可得点的坐标为，，，即得直线和均将菱形分成面积比为的两部分， 且直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：作于点，则， ∵四边形是菱形，边长为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点坐标为； （2）解：如图， 连接，作于点 ，于， 设菱形 的面积为， ∵四边形是边长为的菱形， ， ∴和都是等边三角形，点的坐标为， ∴ ，分别是 的中点， ∴，，，， ∴点的坐标为，，， ∴直线和均将菱形分成面积比为的两部分， 且直线的解析式为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 综上，该直线的解析式为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，等边三角形的性质，一次函数的几何应用，正确作出辅助线是解题的关键． 27．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【问题情境】： 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】： 当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的长． 【答案】[操作发现]，；[深入探究] ；；[迁移探究]线段的长． 【分析】[操作发现]由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； [深入探究]由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； [迁移探究]分当在上时和当在上时两种情况分析即可求解． 【详解】解：[操作发现] ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴直线与的夹角度数为， 故答案为：，； [深入探究] ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； [迁移探究] 如图，当在上时，连接，交于点， ∵，，四边形为菱形， ∴，，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点三点共线， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 如图，当在上时，延长，交延长线于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， 由（）可得三点共线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得：， 综上可知：线段的长． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 28．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)①如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长为______； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长度为______． 【答案】(1)， (2)①成立，见解析；② (3)2或 【分析】（1）如图1，连接，，证明是等边三角形，则，证明，则，，由，可得； （2）①如图2，连接，同理（1）可得，，是等边三角形，则，同理（1）可证，则，，，即；②如图3，作于，于，则，，由，，可得，，则，如图3，在上取点，连接，使，则，，设，，则，，，由，可求，由勾股定理得，则，可求，即，，由勾股定理得，，计算求解即可； （3）由题意知，分在点左侧，在点右侧两种情况求解；当在点左侧时，如图4，作于，则，，，由（1）（2）可知，，，由勾股定理得，，可求，根据，计算求解即可；当在点右侧时，如图4 ，同理求解作答即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵等边， ∴，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； （2）①解：成立，证明如下； 如图2，连接， 同理（1）可得，，是等边三角形， ∴， ∵等边， ∴，， ∴，即， 同理（1）可证， ∴，， ∴，即， ∴，； ②解：如图3，作于，于， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 如图3，在上取点，连接，使， ∴，， 设，，则，，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 解得，，即， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：； （3）解：由题意知，分在点左侧，在点右侧两种情况求解； 当在点左侧时，如图4，作于， ∵， ∴，，则， 由（1）（2）可知，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴； 当在点右侧时，如图4 ， 同理，， ∴； 综上所述，的长度为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本图考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 题型八 正方形的判定与性质压轴题 29．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）已知正方形的边长为3，是边上的一个动点， (1)如图1，若点关于直线的对称点为，连接，连接并延长交于点，连接．则______； (2)如图2，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，交于，若，请求出线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴对称的性质可知，利用全等三角形的性质证明即可解决问题； （2）过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点， 证明，由全等三角形的性质得出，由角平分线的性质得出，根据三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）四边形是正方形，点关于对称， ，，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点， 点关于直线的对称点为， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 平分，，， ， ，， ， ， ， ． ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 30．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）在正方形中，对角线，点E、F在上． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，求的长； (3)如图3，若，F是的中点，点P在边上从点A开始向点B运动，在此过程中设，则实数a的取值范围是 ，使a为整数时点P的个数为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由“”可证可得 （2）由“”可证可得，由“”可证 可得由勾股定理可求解； （3）当点， 点 ， 点共线时，有最小值，当点与点重合时，有最大值， 由勾股定理可求解. 【详解】（1）证明： ∵四边形是正方形， ， 又 ， ； （2）如图2， 过点作且， 连接， ， ， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴； （3）延长至， 使， 连接，取的中点， 连接交于点， ， ， ， ， ∵ 是的中点， 点是的中点， ， ∴是的垂直平分线， ， ， ∴此时有最小值为的长， ， 当点与点重合时，有最大值， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ∵为整数， ∴为， ∵点从点到点时， 的值逐渐变小， 点从点到点逐渐变大， ∴使为整数时点的个数个， 故答案为： . 【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质， 直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键. 31．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）已知，如图①，在矩形中，，，点P在边上，，点Q在边上，连接，以为边在左侧作正方形．当Q在边上运动时，点E、F也随之运动． (1)当点Q与点B重合时如图②，求的长； (2)在点Q运动的过程中，连接、，判断的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由． (3)在点Q由B向C运动的过程中，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不变，9 (3) 【分析】（1）延长交于点，利用矩形的判定与性质，正方形的性质和勾股定理解答即可； （2）过点作于点，延长交于点，利用矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，这样的底与高均为定值，则结论可求； （3）在点由向运动的过程中，当点与点重合时，的长取得最小值为；当点与点重合时，的长取得最大值，点与点重合，过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点，利用（2）中的方法解答即可得出结论． 【详解】（1）解：当点与点重合时，延长交于点，如图， 四边形为矩形，四边形为正方形，点与点重合， ，， 四边形为矩形， ，，． ，， ， ． ． （2）解：的面积不会发生变化，的面积为9．理由： 过点作于点，延长交于点，如图， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 四边形为矩形，四边形为正方形， 四边形为矩形， ， ， 的底为，边上的高为， 的面积不会发生变化，的面积为； （3）解：在点由向运动的过程中，当点与点重合时，的长取得最小值为； 当点与点重合时，的长取得最大值． 如图，点与点重合，过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，． ． ，，， 四边形为矩形， ，． ， 的长的最大值． 在点由向运动的过程中，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，动点问题的变化规律，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 32．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在正方形中： (1)如图甲，点、分别在、上，且，垂足为，求证：； (2)如图乙，如果点E、F、G在、、上，且，垂足为，那么、相等吗？证明你的结论； (3)如图丙，如果正方形的边长为6，点为的中点，点为上一点，，为上一点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)1或5 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）过点作，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，由（1）的结论可知，所以； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）． 证明：如图，过点作， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， ， 由（1）可得， ， ； （3），， ， 若点靠近点，如图，过点作于点，则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ； 若点靠近点时，如图，，同理可得． 综上所述，的长为1或5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键． 题型九 （特殊）平行四边形的存在性问题 33．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，将一块长方形纸板摆放在平面直角坐标系中，使长方形纸版的一个直角顶点与坐标原点重合，两条边与坐标轴重合，已知，．    (1)求直线的解析式； (2)将长方形纸板的一个直角沿折叠，使点恰好落在线段上的处，折痕交边于点（图），求点坐标； (3)在的条件下，直线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）根据矩形的性质得到点、的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式； （2）利用勾股定理求出线段的长度，设，则，在中，利用勾股定理得到关于的方程解方程求出的值，即可得到点的坐标； （3）由（2）可知的长度，从而可得的面积，根据可得，根据相等关系可以求出的长度，然后再分点在点右侧和点左侧两种情况求解． 【详解】（1）解：，， ，， 设的解析式为， 将点、的坐标代入，得：， 解得：， 则直线的解析式为； （2）解：在中，由勾股定理得：， 由翻折的性质可知：，，， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 点的坐标为； （3）解：如图（1）所示：过点作，垂足为，   ， ， ， ， 即， 解得：， 点的纵坐标， 将代入得：． 解得：． 点的坐标为； 如图（2）所示：过点作，垂足为，   由可知：， 点的纵坐标， 将代入， 得到：． 解得：， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、求一次函数解析式、勾股定理、折叠的性质．解决本题的关键是利用待定系数法求出函数的解析式，再综合利用矩形的性质和一次函数的解析式确定点的坐标． 34．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)点坐标为(________，________)． (2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； (3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得； （2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入直线得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入一次函数得：，解得， ∴点坐标为； 故答案为：． （2）解：将代入直线得：，即， 将点代入直线得：，解得， ∴直线的解析式为， 由题意得：点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则， ∴， 解得或， 所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． （3）解：由上已得：，， ∴， ∴， ∵点为直线上一点，且在中，， ∴分以下两种情况： ①如图，以、、、四个点构成的是矩形， 过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对角线互相平分，， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则， ∴， ∴此时点的坐标为； 综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、点坐标的中点公式等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 35．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题： (1)求为何值时，四边形是矩形? (2)求为何值时，？ (3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，的值为或或． 【分析】（1）由，，可得：四边形是矩形，只需，即，即可求解； （2）根据，有两种情况：①若四边形为平行四边形，由可得方程，即可求解；②若四边形为等腰梯形，作于，于，可得四边形和四边形都是矩形，推出，，进而得到，证明可得，得到，由列方程即可求得答案； （3）分两种情况讨论：当时，过作于；当时，过作于；根据矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，， ， ，， 要使四边形是矩形，只需，即， 解得：； （2）解：若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时，．如图： ，即， 解得：， 即当时，四边形是平行四边形，； ②当四边形是等腰梯形时，．如图： 根据题意得：，， ， 作于，于， 又，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 由得：， 解得：， 时，四边形为等腰梯形，． 综上，当或时，； （3）解：存在，理由如下： ①当时，过作于，如图： ，，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ②当时，过作于，如图： 同理可得：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 解得：或； 综上所述，存在的值，使得是以为腰的等腰三角形，的值为：或或． 【点睛】本题主要考查动点问题，涉及平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉平行四边形、矩形、等腰三角形的判定定理，灵活运用勾股定理，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 36．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在平面直角坐标系中中，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点，，点M、N分别为线段上的动点，将矩形沿直线折叠，A、C的对应点分别是、． (1)如图2，若点落在点B处，则 ； (2)如图3，折叠的某一时刻，点落在矩形的边上，且，求的长； (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是否存在点、，使得以点，M，D，E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)或或或 【分析】（1）由题意得：，，则，再根据折叠和勾股定理建立方程求解即可求得答案； （2）过点作轴于，由矩形性质得：，，由折叠得：，得出，再运用勾股定理建立方程求解即可； （3）分三种情况：当、为菱形的对角线时，当、为菱形的对角线时，当、为菱形的对角线时，分别利用菱形性质列方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图， ，， ，， 则， 由折叠得：， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于， 则， 四边形是矩形， ，， 由折叠得：， ， 在中，， ， ， 故的长为10； （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：， ， ， ， ， 又、， 当、为菱形的对角线时， 则或， 解得：或， 或； 当、为菱形的对角线时， 则， 解得：， ； 当、为菱形的对角线时， 则， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等，运用分类讨论思想结合菱形性质列出关于点坐标的方程是解题关键． 题型十 平行四边形中的最值问题 37．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．    (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________． 【答案】(1) (2) (3)①，② (4) 【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识； （1）只要证明即可解决问题； （2）如图，连接，作于，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，．②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小； （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ，， ， ∴， ， ．， ， ． 故答案为：． （2）如图，连接，作于，则，，   四边形是菱形， ，， ， 矩形中，， ， ，即， ， ， ，， ． 与的函数关系式； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，    在中，， 的最大值． ②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小， 此时易证， ， ， ； 故答案为：①，②． （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段， 即点运动的路线长的长， 故答案为：． 38．（23-24八年级下·陕西西安·期中）问题提出：（1）同学们在探索求代数式的最小值的过程时，老师进行了如下的引导，如图，为线段上的一个动点，分别过点，作，，连接，已知，，，设． ①则的长为______．（用含的代数式表示） ②如图，过作交的延长线于，构造长方形，连接，此时、、三点共线，的值最小，求最小值． 问题解决：（2）请用上述的构图法求出代数式的最小值．    【答案】（1）①；②13；（2）17 【分析】（1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小； （2）可作，过点作，过点作，使，，连接交于点，则的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值． 【详解】解：（1）①由勾股定理得，， ， ， 故答案为：； ②当、、三点共线时，的值最小为； （2）如图所示，作，过点作，过点作，使，，连接交于点，设，则的长即为代数式 的最小值．    过点作交的延长线于点，得矩形， 则，，， 所以， 即的最小值17． 【点睛】本题考查了求代数式的最值，数形结合的思想，勾股定理，在求形如的式子的最小值，关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 39．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点D是边上一动点，连接．把绕点A逆时针旋转，得到，连接．    (1)求证：； (2)若，时，求的长； (3)在点D运动的过程中，线段上存在一点P，使的值最小，设的长为m，直接写出的最小值（用含m的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)的长为1或3； (3) 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转，得到，根据旋转的性质得到得到； （2）在中，求出，，根据全等三角形的性质得到，求出，设，则，利用勾股定理得到，求解即可； （3）将绕点B顺时针旋转得到 ，连接，得是等边三角形， ，当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小，连接，得垂直平分，求出，根据等腰直角三角形的性质得到，，进而求出，得到，，由此求出，得到值最小． 【详解】（1）证明：把绕点A逆时针旋转，得到， ∴ ∵ ∴， ∴ （2）在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则， ∵ ∴ 解得， ∴的长为1或3； （3）如图3-1，将绕点B顺时针旋转得到 ，连接    ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小， 此时，如图3-2，连接，      ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴ ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴ ∵ ∴垂直平分， ∵ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴值最小为． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 40．（2022八年级下·全国·专题练习）问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究 (2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决 (3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小，理由见解析 【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点，与直线交于点，点 即为所求．； （2）把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质可知是等边三角形，从而得到，由勾股定理逆定理可知，从而求得，即可求解； （3）连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到， ，由旋转的性质，、是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当时最短，从而得到最小值为的长，点为、的交点，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接点，与直线交于点，点 即为所求． （2）解：如图2，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； 故； （3）解：如图，连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，，，，， 、是等边三角形， ， ， 根据两点间线段距离最短得：当时最短， 是等边三角形， 以为一边作等边三角形， 最小值为的长，此时点在线段上， 点为、的交点． 若点与点重合，即在对角线 上， 则点为与的交点，此时点（E）与点重合， 显然不符合题意，故点不在对角线上， 即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键． 题型十一 三角形中位线压轴题 41．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）综合与探究 问题呈现： “智想”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解决，如图1，在正方形的边上任取一点E，以为边在与正方形的同侧作正方形． 探究结论： （1）连接，则与的数量关系是______，位置关系是______； 探究发现： （2）如图2，在图1的基础上连接，作的中点M，连接，判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 探究拓展： （3）“智慧”数学小组把“边上任取一点E”改成了“边的延长线上任取一点E”，其余条件不变，请在图3中补全图形，并直接写出与的数量关系和位置关系． 【答案】（1），；（2），；（3），． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，三角形中位线的性质等，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据“”证明≌，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）延长，使，再根据“”证明，可得，，然后根据三角形内角和定理判断，再根据三角形中位线的性质得出答案； （3）仿照（2）解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：，， 证明：如图：延长到N，使，连接交于点Q，交于点P． ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点M是的中点，． ∴是的中位线． ∴， ∴，， 故答案为：，； （3）解：补全如图： 结论为：，， 延长到N，使，连接交于点Q，交于点P． ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点M是的中点，． ∴是的中位线． ∴， ， ∴，． 42．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在直角三角形纸片中，，，．点是射线上的动点（点不与点重合）.现将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕； 第二步：将△沿折痕展开，连接，然后将△沿直线翻折得到△，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点． (1)折痕的长为 ； (2)△沿直线翻折至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)△翻折至图2所示位置，直线经过点时，求的长． (4)在点的运动过程中，连接，则的取值范围是 ． 【答案】(1)6 (2)相等，见解析 (3) (4) 【分析】（1）由折叠可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）连接，由折叠知，，，再证，即可得出结论； （3）由折叠的性质和等腰三角形的性质得，则，设，然后在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； （4）连接，则，当、、三点共线，且点F在线段上时，，此时最小，由直角三角形的性质得，即可求得最小值为4；当、、三点共线，且点F在延长线上时，，此时最大，即可求得最大值为16；即可解决问题． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：，， ， ， 又，， ， ， ， 是的中位线， （2）解：，证明如下： 如图，连接， 由折叠的性质得：，， 在和中， ， ∴， ； （3）解：如图，连接， 由折叠知：，， ， ， 又， ， ， ， 设， 在中，， 即， 解得：， ； （4）解：∵，，， ∴ 如图， 则， 当、、三点共线，且点F在线段上时，， 此时的值最小，最小， ，， ， ， 的最小值， 当、、三点共线，且点F在延长线上时， ， 此时，最大， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 43．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图（1），在等腰直角三角形纸片中，，，点D，E分别为边上的动点． (1)将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，且点D，E分别是边的中点，线段_________． (2)如图2，将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）．当的重合部分（即阴影部分）为直角三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、三角形中位线、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得，再根据折叠的性质以及中位线的性质可得以及四边形是菱形，再证明四边形是矩形，最后根据矩形的性质即可解答； （2）先分、两种情况画出图形，再分别根据折叠的性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解： ∵在等腰直角三角形纸片中，，， ∴， ∵将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∵点D，E分别是边的中点， ∴，即； ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． （2）解：由翻折可知：要使的重合部分为直角三角形，则分两种情况画图： ①当时， 由翻折可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由翻折可知：， ； ②当， 由翻折可知：， ∴点E在的平分线上， 设，则， 在中，， ， ， ，解得， ． 综上所述：的长为或． 44．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，于点，点是的中点．          【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）2.5；（4） 【分析】（1）利用证明，得出，，然后利用三角形中位线定理求解即可； （2）延长、相交于D，类似（1）的方法探究线段、、之间关系即可； （3）延长、相交于F，利用证明，得出，利用平行线的性质，等角对等边以及余角的性质可证明，利用三角形中位线定理求，利用勾股定理求出即可； （4）过D作于N，交的延长线于M，利用等腰直角三角形的判断与性质可得出，利用证明，得出，利用证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴； （2）延长、相交于D， 由（1）同理可证， ∴， ∵点是的中点， ∴； 故答案为：； （3）延长、相交于F， 由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2.5； （4）过D作于N，交的延长线于M， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判断等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造三角形的中位线是解题的关键． 题型十二 平行四边形综合 45．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形中，点O为对角线的中点，连接．点E在边上，且，线段的延长线交于点F． 猜想证明： （1）“笃学”小组发现与的数量关系是：______； 操作探究： （2）“勤思”小组将图1中的绕B点顺时针旋转（设点O，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； ②若，当线段所在直线与所在直线垂直时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①菱形，理由见解析；②41或137 【分析】（1）根据矩形性质得和，结合直角三角形的性质可证明，有．结合即可； （2） ①由旋转得，结合矩形的性质可证，有．由 (1) 得 ，则，即可判定四边形是菱形； ②在中求得，结合中点可得，分两种情况：当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转．将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N，作于点P，可得，可求得，利用勾股定理即可；将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H，作于点P，则，得，可求得，利用勾股定理即可． 【详解】解：（1），理由如下：如图， ∵四边形 是矩形； ∴， ∴． ∵点O为的中点， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2） ①四边形为菱形， 理由如下： ∵旋转得到， ∴，． ∵四边形为矩形； ∴． ∴， ∴， ； ∴． ， ， ∴． ∴． 由（1）得 ， ∴， ∴四边形是菱形． ②在中， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， 当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转， 如图，将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N，作于点P， 则， ∴， ， ， ， ， ， ， ； 如图，将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H，作于点P， 则， ， 同上， ， ∴， ∴， 故或41． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性、菱形的判定、旋转的性质、勾股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉旋转的性质和解直角三角形． 46．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，已知矩形，点是上一点，点是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若点是上一点，且，求的长； (3)如图3，若点是的中点，连结交于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）连接，证明，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可解答； （3）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再证明即可求得，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 矩形是正方形； （2）解：如图，连接， ， ， 根据（1）中可得， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， 则， 在中，， 即可得， 解得， 故； （3）解：如图，取的中点，连接， 点是的中点， ，， 四边形为平行四边形， ， 在中，， ， ， 根据（1）中可得， ， ， ． 47．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）综合与实践课上，者师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图①，当与垂直时，判断与的数量关系，并证明． (2)探究：如图②，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不变，证明见解析 (3)的度数为或 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点作于点，作于点．由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，．进而有，从而，进而证得，得证； （3）分情况讨论：过点作于点，作，交的延长线于点，证得，得到，根据角平分线的判定得到平分；连接，过点作于点，过点作交延长线于点，，矩形是正方形，即可作答． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ，平分， ，， ， 四边形是矩形， ； （2）解：的结论不变，理由如下： 过点作于点，作于点， ， 四边形是正方形， ，平分， 四边形是矩形，， ， ， ， 即， ， ； （3）解：过点作于点，作，交的延长线于点， 则， 由（2）有，且四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 在四边形中，， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 平分， 四边形是正方形， ， ， ， 的度数为； 如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ， 四边形是矩形， 又， ， ， ， 又，， ， ， 矩形是正方形， 是对角线， ， 的度数为或． 【点睛】本题是正方形综合题，考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用相关知识． 48．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，P为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． 【分析探究】 （1）如图1，若，当点恰好落在边上时，的形状为 ． 【问题解决】 （2）如图2，当P，Q为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点E．若的面积为18，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，再证明四边形是菱形，可知，即可求解； （2）利用四边形是平行四边形，可得，，再由，为边的三等分点，可得，由折叠可知：，，则，可得，再由三角形外角性质可得，则，可得，可证明四边形是平行四边形，则有，再证明可得结论； （3）延长交于，过点A作，先求得，由折叠可得，，得到，则为等腰直角三角形，从而得出，则，再由四边形是平行四边形，可得，得到，，即，得出，再由的面积为18，，即：，求出，再求解可得结果． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ，，， 由折叠可知：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： 四边形是平行四边形， ，， 又，为边的三等分点， ， 由折叠可知：，， 则， ， 由三角形外角性质可知：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ； （3）延长交于，过点A作， 的面积为18，， ， ， 设则， ， ， （负值舍去）， ， ， ， ， ， 由折叠可知：，， ，则为等腰直角三角形， ， 则， 四边形是平行四边形， ， ，，即， ， 的面积为18，，即：， ， 则， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． $$