专题03 中心对称图形—平行四边形（考题猜想，易错必刷72题18种题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）

专题03 中心对称图形—平行四边形 （易错必刷72题18种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 旋转现象 · 题型二 根据旋转的性质求解（易错） · 题型三 根据旋转求点的坐标 · 题型四 中心对称与中心对称图形 · 题型五 平行四边形的判定（易错） · 题型六 平行四边形的性质（重点） · 题型七 反证法 · 题型八 矩形的判定（易错） · 题型九 矩形的性质（重点） · 题型十 矩形与折叠问题（难点） · 题型十一 菱形的判定（易错） · 题型十二 菱形的性质 · 题型十三 正方形的判定 · 题型十四 正方形的性质（重点） · 题型十五 正方形的折叠问题（难点） · 题型十六 中点四边形 · 题型十七 平行四边形动点问题（难点） · 题型十八 三角形的中位线（重点） 题型一 旋转现象 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（    ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】解：将绕点C旋转，得到，且点A的对应点D恰好在的延长线上， ， 旋转方向为顺时针时,旋转角度为； 旋转方向为逆时针时,旋转角度为． 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心． 【详解】解：连接，， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．如下图： 故选∶A． 3．（23-24·八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点，，，，连接、．将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点重合，点与点重合），则这个旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．根据图形旋转的性质即可解决问题． 【详解】解：因为线段由线段旋转得到，且点与点重合，点与点重合， 所以的垂直平分线和的垂直平分线都经过旋转中心． 如图所示，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处． (1)旋转角为______ ； (2)在图中画出旋转后的，其中、分别是、的对应点； (3)点到直线的距离是______ ． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查作图旋转变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）连接、，利用网格特点推导出旋转角； （2）依次找出、的对应点、，连接即可； （3）利用等腰三角形的性质，在等腰直角三角形计算即可． 【详解】（1）解：连接、，，交格点， 网格为正方形， ，， 旋转角， 故答案为：； （2）解：旋转后的如图所示： （3）解：如图，作，点到直线的距离为的长， 在等腰直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 题型二 根据旋转的性质求解 5．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，．将绕顶点O按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．先在直角中利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，然后根据旋转的性质得到，那么． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点D为的中点， ∴． ∵将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处， ∴， ∴． 故选：A． 6．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片绕点按逆时针方向旋转，得到三角形，则的度数为 ． 【答案】/34度 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的旋转得到，因为，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ，， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点B，D，E在同一条直线上，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质．根据旋转的性质得出，，，推出，即可推出结果． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）在中，，，点D为内一点，连接、． (1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° (2)延长交于F，交于M，求证：． 【答案】(1)C；90 (2)见解析 【分析】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，三角形的内角和定理等知识，正确理解相关的概念及性质是解决本题的关键． （1）根据图形旋转的定义求出结果即可； （2）由旋转的性质可得，对顶角，再根据三角形内角和定理推出，结论即可得证． 【详解】（1）解：由逆时针旋转得到了可知：点是的旋转中心，旋转角为． （2）证明： 由逆时针旋转得到了可知，， 在中，， 在中，， 而 ， 即． 题型三 根据旋转求点的坐标 9．（24-25八年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化——旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，垂足分别为D、E，    ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故选：D． 10．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为．将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，动2023秒后点D的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2023秒后点D的位置是解题的关键．先确定此时点D对应的位置即点所在的位置，如图，过点D，分别作轴于点E，轴于点F，证明，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转， ∴旋转4秒恰好旋转． ∵， ∴旋转2023秒，即点D旋转了505圈后，又旋转了3次． ∵， ∴此时点D对应的位置即点 所在的位置， 如图．过点D，分别作轴于点E，轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∵点D的坐标为， ∴． 又点在第二象限， ∴旋转2023秒后，点D的坐标为． 故选B． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）将一次函数的图象绕原点O逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】利用直线与两坐标轴的交点坐标，求得旋转后的对应点的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：在一次函数中， 令，则，令，则， ∴直线经过点，， 将一次函数的图象绕点O逆时针旋转， 则的对应点为，的对应点为， 设对应的函数解析式为：， 将点，代入得： ，解得， ∴旋转后对应的函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握旋转的性质是解题的关键． 12．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图1，在平面直角坐标系内，三个项点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．如图2，以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，将顺时针旋转，得到，将顺时针旋转，得到． (1)在图2中画出，； (2)若点D为边的中点，直接写出旋转后对应的点、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)、、 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——旋转： （1）利用网格特点和旋转的性质画出点，，然后连接各点即可得到，然后结合图形确定点的坐标； （2）写出旋转后对应的点的坐标，即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求； （2）解：根据题意得：旋转后对应的点、、的坐标分别为、、． 题型四 中心对称与中心对称图形 13．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 14．（23-24八年级下·江苏·单元测试）如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 【答案】①或⑥ 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此进行逐项判断即可 【详解】解：结合上图，把标有序号①或⑥的小正方形涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形； 把标有序号②的小正方形涂上阴影，是中心对称图形也是轴对称图形； 把标有序号③或④或⑤的小正方形涂上阴影，是轴对称图形； 则满足题意，该小正方形的序号是①或⑥， 故答案为：①或⑥． 15．（23-24八年级下·江苏·期中）将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移及关于点对称．根据点的平移规则：左减右加，上加下减确定，然后进行求解即可． 【详解】解：点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q， ∴，即：； ∵Q与B关于原点对称， ∴点B的坐标是 故答案为：． 16．（24-25八年级下·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点， (1)画出绕点顺时针旋转的图形，并直接写出点的坐标． (2)画出先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度的图形 (3)若与关于某点中心对称，则该点的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，平移作图， （1），将三个顶点绕点O顺时针旋转得到点，再依次连接得到三角形，然后得出坐标即可； （2），按照要求平移，作出图形即可； （3），连接三对对应点，对应点连线的交点即为答案． 【详解】（1）解：如图所示，点； （2）解：如图所示； （3）解：如图所示，点D为对称中心，其坐标为． 故答案为：． 题型五 平行四边形的判定 17．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在四边形中，，下列选项不能说明四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，利用平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意； C、，不能说明四边形是平行四边形；故该选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意； 故选C． 18．（23-24八年级下·江苏·期末）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，应添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．根据，无法判断四边形是平行四边形，故A错误； B．根据，无法判断四边形是平行四边形，故B错误； C．∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故C正确． D．∵， ∴， ∴无法判断四边形是平行四边形，故D错误； 故选：C． 19．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：添加条件，可得四边形为平行四边形， 理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 20．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 题型六 平行四边形的性质 21．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质，等边对等角，可得，证明四边形是平行四边形，进而可得结果． 【详解】解：由旋转的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，平行四边形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）如图，在中，点E，点F分别是，的中点，连结，．若平分，，，则四边形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本体主要考查了平行四边形的判定以及性质，等角对等边，由平行四边形的性质可得出，进一步得出，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，由角平分线的定义得出，由平行线的性质得出，等量代还可得出，由等角对等边可得出，再求出，最后再根据平行四边形的周长计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，点F分别是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的周长为：， 故答案为：10． 23．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E．    (1)求证：； (2)若，平行四边形的周长为44，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等角对等边，二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的性质可得，，可证； （2）由题意可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为44，   ∴，   ∵， ∴，   ∴   ， ∴． 24．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，点E、F是平行四边形对角线上两点，． (1)求证：； (2)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据平行四边形的性质可证，可得； （2）过点作，交的延长线于，根据含角的直角三角形的性质可求出的长，根据平行四边形面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图所示，过点作，交的延长线于， 在中，，， ， ， 平行四边形的面积． 题型七 反证法 25．（24-25八年级下·江苏常州·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”， 第一步应是假设， 故选：A． 26．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，则首先应该提出假设是：这个四边形中 ． 【答案】所有的角都为锐角 【分析】本题考查的是反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，则首先应该提出假设是：这个四边形中所有的角都为锐角， 故答案为：所有的角都为锐角． 27．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设 ． 【答案】假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形 【分析】反证法即假设结论的反面成立，即可得出答案． 【详解】解：根据用反证法证明应首先从命题的反面出发，假设在原命题条件下， 结论不成立即：假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形， 故答案为：假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了反证法的证明的第一步，注意从结论的反面出发假设是解题关键． 28．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，反证法．熟练掌握平行四边形的判定与性质，反证法是解题的关键． 如图，连接，假设和互相平分，则四边形是平行四边形，，由不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确，进而结论得证． 【详解】证明：如图，连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确， ∴和不可能互相平分． 题型八 矩形的判定 29．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判断，根据矩形和菱形的判定定理逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、由能判定是矩形，该选项符合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由平分能判定是菱形，该选项不合题意； 故选：． 30．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，四边形的对角线交于点O．根据图中所标示的数据，再添加下列一个条件，其中能使四边形为矩形的条件有（   ）个 ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质和矩形的判定，添加或，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可判断． 【详解】解：由题意，得，， ∴， 添加， 则， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形； 添加， 则， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形； 故选：C． 31．（2025·江苏·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 32．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，点，，分别在，，边上，，． (1)求证：； (2)添加一个条件，使四边形为矩形，直接写出这个条件． 【答案】(1)证明见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定（添一条件使四边形是矩形）等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可证得四边形是平行四边形，然后由平行四边形的性质即可得出结论； （2）由矩形的判定条件即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ； （2）解：添加条件：（答案不唯一），理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 题型九 矩形的性质 33．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等． 连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：A． 34．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，，连接，把线段绕点D逆时针方向旋转得线段．在边上取点P，使，连接交延长线于点E，则线段长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，如图，过过点Q作于点H，由旋转的性质可得，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点Q作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵把线段绕点D逆时针方向旋转得线段， ∴， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：6． 35．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）在矩形中，点是上一点，，，，垂足为F． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由勾股定理可求，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，， ． ， ． 在和中， ， ； ， ； （2）解：， ， ， ， 四边形的面积． 36．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知和的边、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)已知，，连接、、，当___________时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，然后由证明即可； （2）由勾股定理得，证明，可得，当时，，可得，则四边形是平行四边形，进而证明平行四边形是矩形，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ∴， 在和中，， ； （2）解：，，， ， 由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ，， ∴当时，， ∴， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 此时， ， ∴当时，四边形是矩形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定、平行四边形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型十 矩形与折叠问题 37．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，将长方形边沿折痕折叠，使点落在上的点处，已知的面积是30，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，翻折的性质， 先根据三角形的面积求出，再根据勾股定理求出，然后根据翻折的性质可知，进而求出，接下来设，可得，根据勾股定理列出方程，再求出解即可. 【详解】解：， ， 即． 解得：． 在中由勾股定理得： ． 由翻折的性质可知： ． ． 设，则． 在中，由勾股定理得： ． 解得：， ． 38．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查图形的翻折变换，勾股定理，注意折叠前后的对应关系是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到的度数，根据翻折变换的性质得到的度数，根据平角得到答案； （2）根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解： 由翻折的性质可知： （2）①设由题意可知：， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 ②设由题意可知：， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 39．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于，，．    (1)请说明：； (2)求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由折叠得出，根据平行线的性质得出，等量代换可得，根据等角对等边即可得证； （2）设，则，根据勾股定理得出，进而根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：是由沿直线折叠得到的， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）解：设，则， ，， ， ， ， 的面积 ． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 40．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，将长方形纸片沿对角线翻折，点B落在点处，交于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理． （1）证明，即可； （2）设，在中，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形沿对角线翻折，点B落在点处， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴． 题型十一 菱形的判定 41．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，的对角线、相交于点O，添加一个条件，使得是菱形，则下列选项不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，根据菱形的判定定理逐项判断即可解题． 【详解】解：A．添加后，可证明是矩形，不能证明它是菱形； B．添加后，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可证明是菱形； C．添加后，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可证明是菱形； D．添加后，根据“对角线平分一组对角的平行四边形是菱形”可证明是菱形． 故选：A． 42．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图所示，在中，于点分别是边的中点，连接，当满足条件 时，四边形是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可） 【答案】（或） 【分析】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论． 可根据等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当满足条件AB=AC或时，四边形是菱形． 【详解】解：要使四边形是菱形，则应有， ∵，分别为，的中点 ∴，， ∴， ∴应是等腰三角形， ∴应添加条件：或 则当△ABC满足条件或时，四边形AEDF是菱形． 故答案为：（或）． 43．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，平行四边形中，，，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接，． ①当_______时，四边形是菱形； ②当_______时，四边形是矩形； 请选择其中一个结论证明． 【答案】①4；②7 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． 由平行四边形的性质先证明，进而证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形；①根据平行四边形的性质可得，因此只需要保证是等边三角形，即可证明，从而证明平行四边形是菱形，据此求解即可；②当cm时，平行四边形是矩形，过A作于M，可证明，得到，即可证明平行四边形是矩形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ①当时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：4； ②当cm时，平行四边形是矩形，理由如下： 如图，过A作于M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：7． 44．（2024·江苏镇江·二模）在平行四边形中，对角线交于点O，E为的中点，作，交延长于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，当 时， 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)90 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可证明结论； （2）根据矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，根据菱形的判定定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， （2）解：若，则四边形是菱形， 证明：在中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形．    故答案为：90． 题型十二 菱形的性质 45．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．根据菱形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 46．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，菱形中，，，于点，且与交于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解本题的关键．先根据菱形的性质得，再利用勾股定理计算出，然后根据菱形的面积公式得到，再解关于的方程即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， ， ∴在中，， ，， ， ． 故答案为． 47．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，菱形的顶点A，B在x轴上，，，．若将菱形绕点A逆时针旋转后得到菱形，则的坐标是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了菱形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质．利用菱形的性质及直角三角形30度角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点F，   ∵，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 48．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求四边形是菱形时的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由中心对称的性质证明，即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求即可． 【详解】（1）证明：∵和关于点对称， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵和关于点对称，四边形是平行四边形； ∴三点共线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十三 正方形的判定 49．（23-24八年级下·广东广州·期中）在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，菱形的判定与性质，根据正方形的判定可得出结论． 【详解】解：∵， ∴四边形是菱形， 若添加，则该四边形是正方形． 故选：A． 50．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了正方形的判定定理，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定定理即可得出结论． 【详解】四边形是矩形， 添加一个条件：， 四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 51．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，M是对角线上的一个动点（M与A、C点不重合），作于E，于F． (1)试说明四边形是矩形； (2)连接，当点M运动到使为何值时，矩形为正方形？请写出你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）因为矩形中，，，所以在四边形中有三个角为直角，由矩形的判定方法可得四边形是矩形； （2）当点运动到使时，矩形为正方形． 本题考查矩形和正方形的判定方法．有三个角是直角的四边形是矩形．一组邻边相等的矩形是正方形． 【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：当点运动到使时，矩形为正方形．过程如下： 如图：连接， 为矩形， ， ， ， 矩形为正方形． 52．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，在中，，D点是的中点，分别是的角平分线． (1)请直接写出之间的数量关系： ； (2)求证：四边形是矩形； (3)当满足条件 时，四边形是正方形．（直接填空即可） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等： （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到； （2）由三线合一定理得到，再由有三个角是直角的四边形是矩形即可证明结论； （3）根据有一组邻边相等的矩形是正方形，只需要满足，而由三线合一定理可得，则只需要满足即可． 【详解】（1）解：∵在中，，D点是的中点， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，分别是的角平分线， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形； （3）解：当满足条件 时，四边形是正方形，理由如下： ∵，分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）； 题型十四 正方形的性质 53．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，试求的度数． 【答案】 【分析】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，三角形外角的性质，本题的关键是求出．根据正方形的性质及等边三角形的性质求出，，再求． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又是等边三角形， ，， ， ，， ， 又， ． 54．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在正方形内有一点满足，.连接、. （1）求证：； （2）求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）15° 【分析】（1）根据PB=PC得∠PBC=∠PCB，从而可得∠ABP=∠DCP，再利用SAS证明即可； （2）由（1）得△PAD为等边三角形，可求得∠PAB=30°，∠PAC=∠PAD-∠CAD，因此可得结果． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=CD， ∵BP=PC， ∴∠PBC=∠PCB， ∴∠ABP=∠DCP， 又∵AB=CD，BP=CP， 在△APB和△DPC中， ， ∴△APB≌△DPC（SAS）； （2）由（1）得AP=DP=AB=AD， ∴△PAD为等边三角形， ∴∠PAD=60°，∠PAB=30°， 在正方形ABCD中，∠BAC=∠DAC=45°， ∴∠PAC=∠PAD-∠CAD=60°-45°=15°. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，正方形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法是解答的关键． 55．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，当四边形为正方形时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）根据四边形为正方形，根据勾股定理求出，则，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 56．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且四边形为正方形． (1)求证：； (2)已知平行四边形的面积为20，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质得出，根据正方形性质得出，根据，得出； （2）根据平行四边形的性质得出，求出，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ． 题型十五 正方形的折叠问题 57．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质．由翻折的性质得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，可得，结合计算出，从而可得． 【详解】解：由翻折的性质可知：，垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：A． 58．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质．利用翻折变换对应边关系得出，，，利用定理得出，由全等三角形的性质得出，设，则，利用勾股定理得出，进而求出即可． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， 将沿对折至， ，，， ，， ， ， 设，则， 为的中点， ， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 解得， ． 故选：B． 59．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是边长为6的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．由翻折的性质可知：，设，则，连接，在和中利用勾股定理构建方程求出y，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 连接， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 60．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定及性质、折叠的性质及勾股定理： （1）由折叠的性质可得到的条件是：①，②，且；由②可判定四边形是矩形，由可证得四边形是正方形； （2）设，由折叠的性质可得：（即正方形的边长为x），，；进而可用x表示出的长，即可在中，由勾股定理求得的长，进而可求出的长； 熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ； 由折叠可知，，， ，， ； ； 四边形是正方形． （2）四边形是正方形， ， 又，，， 设的长为，则，． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ，． 题型十六 中点四边形 61．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 B．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是菱形 C．顺次连接矩形各边中点的四边形是矩形 D．顺次连接菱形各边中点的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查了中点四边形，熟知平行四边形，菱形，正方形和矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，原说法正确； B、顺次连接对角线相等的四边形各边中点的四边形是菱形，原说法错误； C、顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形，原说法错误； D、顺次连接菱形各边中点，所形成的四边形是矩形，不一定是正方形，原说法错误． 故选：A． 62．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 63．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形、菱形的性质．中点四边形的性质，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．第二个矩形的面积为第一个矩形面积的，第三个矩形的面积为第一个矩形面积的，依此类推，第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． 【详解】解：如图， 由轴对称的性质可得： 第一个菱形的面积为：， 第二个矩形的面积为第一个矩形面积的； 第三个矩形的面积是第一个矩形面积的； … 故第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． ∴第n个矩形的面积为． 故答案为． 64．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）小亮把以边所在直线为对称轴翻折得到，这两个三角形组成四边形（如图1），这是一种特殊的四边形——筝形，请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形． (1)首先请你给出筝形的一种定义：______；（文字语言描述） (2)如图1，在边、角、对角线的关系方面直接写出两条对筝形性质的猜想（定义除外）； (3)如图2，在筝形中，P，Q，R，T分别为边的中点．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形” (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． （1）根据折叠的性质得出答案； （2）先判断出，即可得出结论； （3）利用三角形中位线定理证明即可． 【详解】（1）解：根据观察可得，两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 故答案为：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”； （2）解：如图2，①筝形的一条对角线平分一组对角； ②筝形的一组对角相等； 证明：①由折叠知， ， ，，； 即筝形的一条对角线平分一组对角； ②由折叠知，， ； 即筝形的一组对角相等； （3）证明：连接，． ，， ，， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 垂直平分线段， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 题型十七 平行四边形动点问题 65．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线的长度的最小值为（　　） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建直角三角形． 由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，过作的垂线，然后根据直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵最短也就是最短， ∴过点O作，即为所求， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：， 故选：A． 66．（2024·河南·模拟预测）如图①，在平行四边形中，，动点 P从A点出发，以的速度沿着A→B→C→A 的方向移动，直到点 P 到达点 A 后才停止．已知的面积y（单位： ）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图②所示，则的长为（     ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，正确识别图象信息，并根据信息作出辅助线是解题的关键．的面积变化主要分三个阶段，分别为点P在上运动，在上运动，和在上运动，根据运动的变化及的面积y与点P移动的时间x之间的函数图象，可得的长，进而可得到答案． 【详解】解：如图，过B作于点F，过C作交的延长线于点G， 在平行四边形中，，则由图②可得，点P从B到C，所用时间为， 故， 当时，点P到达点B处，因为P的运动速度是，故， 此时的面积为，，可得， 在直角三角形中，， 因为四边形是平行四边形，所以，又， 所以， ∴， 所以， 则， 在中，， 故选：C． 67．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时， ． 【答案】或2或4 【分析】本题考查平行四边形的性质、解一元一次方程，设t秒后四边形是平行四边形，由题意得，，，由列方程求解即可；当四边形是平行四边形，由题意得，，，由或列方程求解即可． 【详解】解：设t秒后四边形是平行四边形， 由题意得，，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即秒时四边形是平行四边形； 当四边形是平行四边形， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 当时，， 解得， ∴或2或4秒时，直线将四边形截出一个平行四边形， 故答案为：或2或4． 68．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． (1)求直线的表达式． (2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 【详解】（1）设直线的表达式为， ∵直线与直线，x轴分别交于点，， ∴解得 ∴直线的表达式为； （2）解：存在. ∵与x轴交于点B， ∴. 设，， ①当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴解得 ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴ 解得 ∴. 综上所述，点D的坐标为或． 题型十八 三角形的中位线 69．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，，是四边形的对角线，，，，分别是，，，的中点，连接，，，要使四边形是正方形，则需添加的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．证出、、、分别是、、、的中位线，得出，,，，证出四边形为平行四边形，当时，，得出平行四边形是菱形；当时，，即，即可得出菱形是正方形． 【详解】点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形为平行四边形， 当时，， 平行四边形是菱形； 当时，，即， 菱形是正方形； 故选：A． 70．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（   ）    A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，解答即可． 本题考查了三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】证明：∵P、M、N分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵,， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴． ∴是等边三角形， ∴ ∴的周长是， 故选B． 71．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，为边上的中线，为的角平分线，过点B作于点F，连接，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．如图，延长交于，先证得得出，再由中位线定理即可得解． 【详解】解：如图，延长交于， 是角平分线，， ， ， ， ，， ， 又是中线， 是的中位线， ， 故答案为：． 72．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，，，，分别是四边形各边的中点，我们称四边形是四边形的中点四边形． (1)若四边形中，，确定中点四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，则的最小值为___________ 【答案】(1)中点四边形是矩形，见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据中位线定理，得出，，，进而得出，，结合推出，即可得出结论； （2）过点D作，且，连接，则四边形是平行四边形，可得，可推出当C、B、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，再证明，则由勾股定理得到，则的最小值为． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下， 如图所示，连接，， ∵点E、F、G、H是四边形各边中点， ∴，分别是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示，过点D作，且，连接，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当C、B、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中点四边形，矩形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． $$ 专题03 中心对称图形—平行四边形 （易错必刷72题18种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 旋转现象 · 题型二 根据旋转的性质求解（易错） · 题型三 根据旋转求点的坐标 · 题型四 中心对称与中心对称图形 · 题型五 平行四边形的判定（易错） · 题型六 平行四边形的性质（重点） · 题型七 反证法 · 题型八 矩形的判定（易错） · 题型九 矩形的性质（重点） · 题型十 矩形与折叠问题（难点） · 题型十一 菱形的判定（易错） · 题型十二 菱形的性质 · 题型十三 正方形的判定 · 题型十四 正方形的性质（重点） · 题型十五 正方形的折叠问题（难点） · 题型十六 中点四边形 · 题型十七 平行四边形动点问题（难点） · 题型十八 三角形的中位线（重点） 题型一 旋转现象 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（    ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（23-24·八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点，，，，连接、．将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点重合，点与点重合），则这个旋转中心的坐标为 ． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处． (1)旋转角为______ ； (2)在图中画出旋转后的，其中、分别是、的对应点； (3)点到直线的距离是______ ． 题型二 根据旋转的性质求解 5．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，．将绕顶点O按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 6．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片绕点按逆时针方向旋转，得到三角形，则的度数为 ． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点B，D，E在同一条直线上，，则的度数为 ． 8．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）在中，，，点D为内一点，连接、． (1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° (2)延长交于F，交于M，求证：． 题型三 根据旋转求点的坐标 9．（24-25八年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为．将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，动2023秒后点D的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）将一次函数的图象绕原点O逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 12．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图1，在平面直角坐标系内，三个项点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．如图2，以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，将顺时针旋转，得到，将顺时针旋转，得到． (1)在图2中画出，； (2)若点D为边的中点，直接写出旋转后对应的点、、的坐标． 题型四 中心对称与中心对称图形 13．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   14．（23-24八年级下·江苏·单元测试）如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 15．（23-24八年级下·江苏·期中）将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 16．（24-25八年级下·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点， (1)画出绕点顺时针旋转的图形，并直接写出点的坐标． (2)画出先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度的图形 (3)若与关于某点中心对称，则该点的坐标为______． 题型五 平行四边形的判定 17．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在四边形中，，下列选项不能说明四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·江苏·期末）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，应添加的条件是（　　） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 20．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 题型六 平行四边形的性质 21．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（  　） A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）如图，在中，点E，点F分别是，的中点，连结，．若平分，，，则四边形的周长为 ． 23．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E．    (1)求证：； (2)若，平行四边形的周长为44，求的长． 24．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，点E、F是平行四边形对角线上两点，． (1)求证：； (2)若，，，求平行四边形的面积． 题型七 反证法 25．（24-25八年级下·江苏常州·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（　　） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，则首先应该提出假设是：这个四边形中 ． 27．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设 ． 28．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 题型八 矩形的判定 29．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 30．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，四边形的对角线交于点O．根据图中所标示的数据，再添加下列一个条件，其中能使四边形为矩形的条件有（   ）个 ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 31．（2025·江苏·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 32．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，点，，分别在，，边上，，． (1)求证：； (2)添加一个条件，使四边形为矩形，直接写出这个条件． 题型九 矩形的性质 33．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，，连接，把线段绕点D逆时针方向旋转得线段．在边上取点P，使，连接交延长线于点E，则线段长为 ． 35．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）在矩形中，点是上一点，，，，垂足为F． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 36．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知和的边、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)已知，，连接、、，当___________时，四边形是矩形． 题型十 矩形与折叠问题 37．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，将长方形边沿折痕折叠，使点落在上的点处，已知的面积是30，求的长． 38．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 39．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于，，．    (1)请说明：； (2)求的面积． 40．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，将长方形纸片沿对角线翻折，点B落在点处，交于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型十一 菱形的判定 41．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，的对角线、相交于点O，添加一个条件，使得是菱形，则下列选项不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图所示，在中，于点分别是边的中点，连接，当满足条件 时，四边形是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可） 43．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，平行四边形中，，，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接，． ①当_______时，四边形是菱形； ②当_______时，四边形是矩形； 请选择其中一个结论证明． 44．（2024·江苏镇江·二模）在平行四边形中，对角线交于点O，E为的中点，作，交延长于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，当 时， 四边形是菱形． 题型十二 菱形的性质 45．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 46．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，菱形中，，，于点，且与交于，则 ． 47．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，菱形的顶点A，B在x轴上，，，．若将菱形绕点A逆时针旋转后得到菱形，则的坐标是 ． 48．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求四边形是菱形时的长． 题型十三 正方形的判定 49．（23-24八年级下·广东广州·期中）在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）． 51．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，M是对角线上的一个动点（M与A、C点不重合），作于E，于F． (1)试说明四边形是矩形； (2)连接，当点M运动到使为何值时，矩形为正方形？请写出你的结论． 52．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，在中，，D点是的中点，分别是的角平分线． (1)请直接写出之间的数量关系： ； (2)求证：四边形是矩形； (3)当满足条件 时，四边形是正方形．（直接填空即可） 题型十四 正方形的性质 53．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，试求的度数． 54．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在正方形内有一点满足，.连接、. （1）求证：； （2）求的度数. 55．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，当四边形为正方形时，求的长． 56．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且四边形为正方形． (1)求证：； (2)已知平行四边形的面积为20，，求的长． 题型十五 正方形的折叠问题 57．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 58．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 59．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是边长为6的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长为 ． 60．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 题型十六 中点四边形 61．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 B．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是菱形 C．顺次连接矩形各边中点的四边形是矩形 D．顺次连接菱形各边中点的四边形是正方形 62．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 63．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 64．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）小亮把以边所在直线为对称轴翻折得到，这两个三角形组成四边形（如图1），这是一种特殊的四边形——筝形，请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形． (1)首先请你给出筝形的一种定义：______；（文字语言描述） (2)如图1，在边、角、对角线的关系方面直接写出两条对筝形性质的猜想（定义除外）； (3)如图2，在筝形中，P，Q，R，T分别为边的中点．求证：四边形是矩形． 题型十七 平行四边形动点问题 65．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线的长度的最小值为（　　） A．6 B．12 C． D． 66．（2024·河南·模拟预测）如图①，在平行四边形中，，动点 P从A点出发，以的速度沿着A→B→C→A 的方向移动，直到点 P 到达点 A 后才停止．已知的面积y（单位： ）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图②所示，则的长为（     ） A．15 B．16 C．17 D．18 67．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时， ． 68．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． (1)求直线的表达式． (2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十八 三角形的中位线 69．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，，是四边形的对角线，，，，分别是，，，的中点，连接，，，要使四边形是正方形，则需添加的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 70．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（   ）    A．5 B．6 C．8 D．9 71．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，为边上的中线，为的角平分线，过点B作于点F，连接，则线段的长为 ． 72．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，，，，分别是四边形各边的中点，我们称四边形是四边形的中点四边形． (1)若四边形中，，确定中点四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，则的最小值为___________ 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$