期中真题必刷易错86题（34个考点专练）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）

期中真题必刷易错86题（34个考点专练） 考点一 普查与抽样调查（共2小题） 1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列调查中，适合采用普查方式的是（    ） A．检查北斗卫星上零部件的质量 B．了解央视“新闻联播”收视率的情况 C．了解某种型号电灯泡的使用寿命 D．调查长江的水质情况 2．（23-24八年级下·江苏·期末）某校开展“保护视力，预防近视”活动，为了解八年级600名学生的视力状况，从中随机抽取了80名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是 ． 考点二 统计图的选用（共2小题） 3．（23-24·八年级下·江苏苏州·阶段练习）某校开展了“迎新春，贺新年”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为100人，则参加“大合唱”的人数为（    ） A．80人 B．200人 C．120人 D．300人 4．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）某班同学对“开学第一课”节目评价等级的扇形图如图所示，则等级所在扇形的圆心角度数为 ． 考点三 频数和频率（共1小题） 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）国际奥委会于2001年7月13日在莫斯科举行会议，通过投票确定2008年奥运会举办城市．在第二轮投票中，北京获得总计张选票中的票，得票率超过，取得了2008年奥运会举办权．在第二轮投票中，北京得票的频数是（    ） A．50% B． C．56 D．105 考点四 频数分布表和频数分布直方图（共2小题） 6．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）某校学生健康活动中心通过调查，形成了如下调查报告(不完整)． 调查目的 1． 为配合卫生部门的“正脊行动”，提前了解全校学生脊柱健康状况 2． 为全校学生保护脊柱健康提出合理建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 本校部分学生 调查内容 该生的脊柱健康状况的检查结果是： A． 正常 B． 轻度侧弯 C． 中度侧弯 D． 重度侧弯 调查结果 学生脊柱健康状况统计表 类型 A B C D 频数(人数) 频率 85 0.85 11 0.11 3 0.03 1 0.01 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查 名学生； (2)小明用扇形统计图对统计数据进行重新整理，则在小明要画的扇形统计图中，脊柱健康结果为C所对应的扇形圆心角的度数是 °； (3)若该校共有1800名学生，请估计该校脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数是多少？ (4)假如你是学生健康中心成员，请你向该校提一条合理建议． 7．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）根据某班40名同学的体重数据，绘制了如下不完整的统计图表： 全班学生体重频数分布表 体重x（kg） 频数 1 4 a 10 9 b 2 全班学生体重频数分布直方图 请根据图表中的信息回答下列问题： (1)______，______； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)体重不低于的同学占全班同学的百分之几？ 考点五 确定事件与随机事件（共2小题） 8．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）下列事件中，是必然事件的是（   ） A．买一张电影票，座位号是3的倍数 B．掷一枚骰子，掷出点数是奇数 C．367人中有两人的生日相同 D．一名射击运动员每次射击的命中环数 9．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．那么，当 时，事件为随机事件． 考点六 可能性的大小（共2小题） 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）将5个红球和个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列3个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是3的倍数：③向上一面的点数不小于3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号） 考点七 频率与概率（共3小题） 12．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）近几年，二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ． 13．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500 摸出白球的频率 (1)请将表补充完整； (2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01） (3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球． 14．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）对某工厂生产的直径为的乒乓球进行产品质量检查，结果如下表所示： 抽取球数 优等品数 优等品频率 (1)计算各次检查中“优等品”的频率，将结果填入上表（保留两位小数）； (2)估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是多少（保留两位小数）？请简单说明理由． 考点八 图形的旋转（共2小题） 15．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则的度数是 ． 16．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答） (1)画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______； (2)将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______． 考点九 中心对称与中心对称图形（共2小题） 17．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是 ． 18．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形） (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标______； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标______． (3)计算出的面积． 考点十 平行四边形的判定与性质（共5小题） 19．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（    ） A．4 B．6 C．6或8 D．4或6 21．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）已知四边形中，、交于点O，给出条件①且，②且，③且，④且，其中能判定四边形是平行四边形的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 22．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，将沿方向平移使点B与点C重合，得到，连接，则的周长为 cm． 23．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平行四边形的边上分别截取，使得，点是线段上两点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 考点十一 反证法（共1小题） 24．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ． 考点十二 矩形的判定与性质（共5小题） 25．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（   ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 26．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，则的长不可能等于（   ） A． B．5 C． D．6 27．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 28．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 29．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 考点十三 菱形的判定与性质（共5小题） 30．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，，则纸条的宽度是（    ） A． B．5 C． D． 31．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，，且的中点是坐标原点O．固定点，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为 ． 32．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ． 33．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交、于E、F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 34．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 考点十四 正方形的判定与性质（共5小题） 35．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，则的长度是（   ） A．8 B．7.4 C．7 D．6.8 36．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．则的值为（    ）    A．4 B． C． D．不确定 37．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知如图所示，，，于P，，则四边形的面积 ．    38．（23-24八年级下·山东济南·期末）将等腰直角三角形沿折叠，得到，连接并延长于点，连接，过点作交的延长线于点，若，，则 ． 39．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)若，求的长； (4)如图2，在中，，高，，求的长度． 考点十五 三角形的中位线（共3小题） 40．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，连接，点N，M分别为的中点，连接若，则的长为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，并连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，点分别是线段的中点，分别是线段的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形的边满足________时，四边形是菱形． 43．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，将长方形纸片沿对角线翻折，点B落在点处，交于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点十六 平行四边形的折叠问题（共3小题） 44．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，有一张矩形纸条，，，点、分别在边、上，．现将四边形沿折叠，使点、分别落在点、上，在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点， (1)如图1，当点恰好落在边上时，求线段的长； (2)运动过程中，的面积有没有最小值，若有，求此时线段的长，若无，请说明理由； (3)求点相应运动的路径长． 45．（23-24八年级下·江苏南通·期末）在数学活动课上，老师提供了不同的矩形纸片，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【初步探究】 （1）甲小组拿到的矩形纸片中，，，如图1，进行以下操作并提出问题：操作：在边上取点E，沿折叠得，点F落在边上； 问题：求的长； 【拓展延伸】 （2）乙小组拿到的矩形纸片中，，，如图2，进行以下操作并提出问题：操作：在射线上取点E，沿折叠得，连接； 问题：当时，求的长． 考点十七 中点四边形（共1小题） 46．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 考点十八 （特殊）平行四边形的存在性问题（共3小题） 47．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点先以每秒2个单位长度的速度由向运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点以每秒2个单位长度的速度由向运动．点与点同时出发，当点到达终点时，点随之停止运动，设运动时间为秒 (1)直接写出的长是__________； (2)当点在线段上时，___________；当点在射线上时，____（用含的代数式表示） (3)连接，以中两个顶点和点、点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 48．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点从开始沿边以每秒的速度向运动；动点从点开始沿边以每秒的速度向运动，如果、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． 则： (1)当秒时，四边形的面积是______ (2)当为几秒时，四边形为矩形？ 49．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． (1)分别求出点、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点十九 分式的概念（共1小题） 50．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在 ， ， ，m+ ，－ 中分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点二十 分式有无意义的条件（共2小题） 51．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）若不论取何实数时，分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 52．（23-24八年级下·山东滨州·期末）已知分式，当x取a时，该分式的值为0；当x取b时，分式无意义，则ab的值等于 ． 考点二十一 分式值为零的条件（共1小题） 53．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）当 时，分式的值为零 考点二十二 分式的求值（共3小题） 54．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知，则的值是（　　） A． B．8 C． D．6 55．（23-24八年级下·江苏常州·期末）已知，且，则的值为 ． 56．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知：，求下列各式的值 (1)； (2)． 考点二十三 求使分式值为整数时未知数的整数值（共2小题） 57．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 58．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为 ． 考点二十四 分式的基本性质（共2小题） 59．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值缩小为原来的倍的是（    ） A． B． C． D． 60．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）下列各分式正确的是（　　） A． B． C． D． 考点二十五 最简分式与最简公分母（共2小题） 61．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）下列各分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 62．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）分式，，的最简公分母是 ． 考点二十六 约分与通分（共2小题） 63．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）（1）约分：； （2）通分：与． 64．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算． (1)约分： ； (2)通分：，． 考点二十七 分式的四则运算（共3小题） 65．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 66．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 67．（23-24八年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 考点二十八 分式的化简求值（共3小题） 68．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 69．（24-25八年级下·河北沧州·期中）先化简，再求值：，其中从中选择一个适当的数． 70．（24-25八年级下·江苏南通·期末）先化简：，再从，0，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 考点二十九 分式混合运算的实际应用（共1小题） 71．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 考点三十 解分式方程（共3小题） 72．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)． 73．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2) 74．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）解分式方程： (1)； (2)． 考点三十一 根据分式方程解的情况求值（共5小题） 75．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）关于的方程的解大于0，则实数的取值范围（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 76．（23-24八年级下·江苏常州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 77．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是__________． 78．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 79．（23-24八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的分式方程 ． (1)当时，求该分式方程的解； (2)若该分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 考点三十二 分式方程的增根问题（共3小题） 80．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 81．（23-24八年级下·山东济南·期末）若关于x的分式方程有增根，则的值是 ． 82．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知关于x的方程，若方程有增根，求m的值． 考点三十三 分式方程的无解问题（共1小题） 83．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知关于的分式方程 (1)若该方程的增根为，求的值； (2)若该方程有增根，求的值． (3)若该方程无解，求的值． 考点三十四 分式方程的实际应用（共5小题） 84．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）进入夏季用电高峰季节，市供电局维修队接到紧急通知：要到30千米远的某乡镇进行紧急抢修，维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点，已知抢修车的速度是摩托车速度的倍，求两种车的速度． 85．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求甲、乙两人每小时加工零件各多少个？ 86．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台，已知每台A型设备月处理污水量为2200吨，每台B型设备月处理污水量为1800吨，而每台A型设备的价格比每台B型设备的价格贵3万元，且用90万元购买A型设备的台数与用75万元购买B型设备的台数刚好相同． (1)求每台A型设备和每台B型设备各需要多少万元？ (2)由于受资金限制，指挥部用于购买问水处理设备的资金不超过165万元，问如何购买可使每月处理污水量的吨数最多？并求出最多吨数． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错86题（34个考点专练） 考点一 普查与抽样调查（共2小题） 1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列调查中，适合采用普查方式的是（    ） A．检查北斗卫星上零部件的质量 B．了解央视“新闻联播”收视率的情况 C．了解某种型号电灯泡的使用寿命 D．调查长江的水质情况 【答案】A 【分析】本题考查的是抽样调查和普查（全面调查）的区别，全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．根据全面调查的特点对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A． 检查北斗卫星上零部件的质量，选择普查方式，故该选项符合题意；     B． 了解央视“新闻联播”收视率的情况，选择抽样调查，故该选项不符合题意． C． 了解某种型号电灯泡的使用寿命，选择抽样调查，故该选项不符合题意．     D． 调查长江的水质情况，选择抽样调查，故该选项不符合题意． 故选：A 2．（23-24八年级下·江苏·期末）某校开展“保护视力，预防近视”活动，为了解八年级600名学生的视力状况，从中随机抽取了80名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是 ． 【答案】80 【分析】本题考查随机调查中的样本容量，解题的关键是掌握样本容量的定义．样本容量是指一个样本中所包含的个体数目，一般用n表示，据此可得答案． 【详解】解：∵抽取了80名学生进行问卷调查， ∴样本容量为80， 故答案为：80． 考点二 统计图的选用（共2小题） 3．（23-24·八年级下·江苏苏州·阶段练习）某校开展了“迎新春，贺新年”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为100人，则参加“大合唱”的人数为（    ） A．80人 B．200人 C．120人 D．300人 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形统计图，先用参加“书法”的人数除以其人数占比得到总人数，再用总人数乘以参加“大合唱”的人数即可得到答案． 【详解】解：人， ∴参加“大合唱”的人数是200人， 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）某班同学对“开学第一课”节目评价等级的扇形图如图所示，则等级所在扇形的圆心角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形统计图的知识，根据扇形统计图圆心角的度数=部分占总体的百分比，可得出答案， 【详解】解：等级所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：． 考点三 频数和频率（共1小题） 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）国际奥委会于2001年7月13日在莫斯科举行会议，通过投票确定2008年奥运会举办城市．在第二轮投票中，北京获得总计张选票中的票，得票率超过，取得了2008年奥运会举办权．在第二轮投票中，北京得票的频数是（    ） A．50% B． C．56 D．105 【答案】C 【分析】本题考查了频数的概念，根据频数的概念：频数是指每个对象出现的次数，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，频数为56． 故答案为：56． 考点四 频数分布表和频数分布直方图（共2小题） 6．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）某校学生健康活动中心通过调查，形成了如下调查报告(不完整)． 调查目的 1． 为配合卫生部门的“正脊行动”，提前了解全校学生脊柱健康状况 2． 为全校学生保护脊柱健康提出合理建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 本校部分学生 调查内容 该生的脊柱健康状况的检查结果是： A． 正常 B． 轻度侧弯 C． 中度侧弯 D． 重度侧弯 调查结果 学生脊柱健康状况统计表 类型 A B C D 频数(人数) 频率 85 0.85 11 0.11 3 0.03 1 0.01 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查 名学生； (2)小明用扇形统计图对统计数据进行重新整理，则在小明要画的扇形统计图中，脊柱健康结果为C所对应的扇形圆心角的度数是 °； (3)若该校共有1800名学生，请估计该校脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数是多少？ (4)假如你是学生健康中心成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】(1)100 (2) (3)72 (4)学生中脊柱侧弯人数占比为，建议学校通过开展脊柱健康知识讲座、举办脊柱保护科普活动等方式，提高学生对于脊柱健康的重视程度， 每天组织学生做护脊操等．让他们养成良好的脊柱保护习惯．（答案不唯一） 【分析】本题考查了频数统计表，样本估计总体． （1）根据频率等于频数除以总数即可求出抽查的学生数； （2）由脊柱健康结果为C的百分比乘以即可得对应的扇形圆心角的度数； （3）由总人数乘以脊柱侧弯程度为中度和重度的频率即可； （4）学生中脊柱侧弯人数占比为，建议学校开展脊柱宣传保护活动． 【详解】（1）本次调查共抽查学生数：， 故答案为：100． （2）脊柱健康结果为C所对应的扇形圆心角的度数是 故答案为：． （3）∴被抽查的100人中脊柱侧弯程度为中度和重度：， ∴（人）． 答：估计该校脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数是72． （4）学生中脊柱侧弯人数占比为，建议学校通过开展脊柱健康知识讲座、举办脊柱保护科普活动等方式，提高学生对于脊柱健康的重视程度， 每天组织学生做护脊操等．让他们养成良好的脊柱保护习惯．． 7．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）根据某班40名同学的体重数据，绘制了如下不完整的统计图表： 全班学生体重频数分布表 体重x（kg） 频数 1 4 a 10 9 b 2 全班学生体重频数分布直方图 请根据图表中的信息回答下列问题： (1)______，______； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)体重不低于的同学占全班同学的百分之几？ 【答案】(1) (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查分布表和直方图，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）从统计图中直接获取的值，再用总数减去其他数求出的值即可； （2）根据分布表，补全直方图即可； （3）用体重不低于的人数除以总人数即可． 【详解】（1）解：由直方图可知：， ∴； 故答案为：； （2）补全直方图，如图： （3）． 考点五 确定事件与随机事件（共2小题） 8．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）下列事件中，是必然事件的是（   ） A．买一张电影票，座位号是3的倍数 B．掷一枚骰子，掷出点数是奇数 C．367人中有两人的生日相同 D．一名射击运动员每次射击的命中环数 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，根据随机事件与必然事件的定义逐项分析即可得解，熟练掌握相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚骰子，掷出点数是奇数，是随机事件，不符合题意； C、367人中有两人的生日相同，是必然事件，符合题意； D、一名射击运动员每次射击的命中环数，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 9．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．那么，当 时，事件为随机事件． 【答案】2 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件的概念即可得出答案． 【详解】∵事件为随机事件． ∴“摸出黑球”为随机事件， ∴必须留有红球，才能使摸出黑球为随机事件， ∵， ∴m的值是2； 故答案为：2． 考点六 可能性的大小（共2小题） 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）将5个红球和个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断即可得解，熟练掌握必然事件的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵不透明的袋子中有5个红球和个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球，事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件， ∴的值可以是， 故选：A． 11．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列3个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是3的倍数：③向上一面的点数不小于3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查概率公式．比较出事件发生的可能性的大小即可． 【详解】解：①“向上一面的点数是奇数”的可能性为， ②“向上一面的点数是3的倍数”的可能性为， ③“向上一面的点数不小于”的可能性为， ， 故其中发生的可能性最小的事件是②， 故答案为：②． 考点七 频率与概率（共3小题） 12．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）近几年，二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，再根据落在黑色阴影的概率等于黑色阴影的面积除以正方形纸片的面积进行求解即可． 【详解】解：， 即估计此二维码黑色阴影部分的面积为； 故答案为：． 13．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500 摸出白球的频率 (1)请将表补充完整； (2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01） (3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)66 【分析】本题考查了画折线统计图，频率估计概率，频数、频率与实验总次数的关系，掌握这些知识是关键． （1）由频数、频率与摸球次数的关系可求得摸球40次，摸出白球14的概率；也可求得摸球1000次且频率为时摸出白球的频数，因而可补充完整表格； （2）按折线统计图的画法画图即可；根据统计图即可估计出概率； （3）根据（2）中概率的近似值，即可计算出袋中白球可能的个数． 【详解】（1）解：，； 补充完整表格如下： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 332 399 500 摸出白球的频率 （2）解：折线统计图如下： 由图知，摸出白球的概率估计值是； 故答案为：． （3）解：由（2）知，摸出白球的概率估计值是， 则袋中200个球，白球可能为：（个） 故答案为：66． 14．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）对某工厂生产的直径为的乒乓球进行产品质量检查，结果如下表所示： 抽取球数 优等品数 优等品频率 (1)计算各次检查中“优等品”的频率，将结果填入上表（保留两位小数）； (2)估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是多少（保留两位小数）？请简单说明理由． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】（1）用优等品数除以抽取球数即可得出答案； （2）根据随着抽取球数的增加，频率稳定于0.90可得答案． 【详解】（1）解：完成表格如下： 抽取球数 优等品数 优等品频率 故答案为：、、． （2）估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是， 由表知，随着抽取球数的增加，频率稳定于， 所以估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 考点八 图形的旋转（共2小题） 15．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，由题意得：，推出，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故答案为： 16．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答） (1)画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______； (2)将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析，． 【分析】本题考查了作图旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出变换后的对应点． （1）延长到点，使，延长到点，使，依次连接，则即为所求； （2）作出点，，以点为旋转中心逆时针旋转的对应点，，，依次连接、、，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知，点坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． 考点九 中心对称与中心对称图形（共2小题） 17．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理，熟记中心对称图形的性质是解题关键. 根据中心对称图形的性质可得，则，再利用勾股定理即可得到答案. 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴ ∴ 故答案为：. 18．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形） (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标______； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标______． (3)计算出的面积． 【答案】(1)图见解析，点 (2)图见解析，点 (3)5 【分析】本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握网格的特征作出符合要求的图形． （1）根据中心对称的定义，分别作，，的对称点，再连成三角形即可； （2）作出将，，绕点顺时针方向旋转后得到的对应点，再连成三角形即可； （3）根据割补法即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标； 故答案为：； （2）解：如图所示，，点的坐标； 故答案为：； （3）解：的面积． 考点十 平行四边形的判定与性质（共5小题） 19．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解:如图，设，交于点，过点作于点，连接   四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为, ， ∴, ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故选：B. 20．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（    ） A．4 B．6 C．6或8 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据平行加角平分线，得到，均为等腰三角形，分点F在点E的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 如图①，当点F在点E的左侧时：， ∴； 如图②，当点F在点E的右侧时，， ∴ 综上：或； 故选：D． 21．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）已知四边形中，、交于点O，给出条件①且，②且，③且，④且，其中能判定四边形是平行四边形的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可． 【详解】解：①且不能判定四边形是平行四边形； ②且不能判定四边形是平行四边形； ③且不能判定四边形是平行四边形； ④且不能判定四边形是平行四边形； 故选：A． 22．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，将沿方向平移使点B与点C重合，得到，连接，则的周长为 cm． 【答案】16 【分析】本题主要考查了平移的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，掌握平行四边形的判定与性质成为解题的关键． 由平移的性质可得，即，进而得到可证四边形是平行四边形，则有，最后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：根据平移的性质得，， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长． 故答案为：16． 23．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平行四边形的边上分别截取，使得，点是线段上两点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行四边形的性质可得，从而证得，即可得出结论； （）由（）可得，从而可得，利用三角形外角的性质求得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点十一 反证法（共1小题） 24．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【详解】解：第一步应先假设， 故答案为：． 考点十二 矩形的判定与性质（共5小题） 25．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（   ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小， 此时， 即， 解得， ∴的最小值为2.4． 故选：A． 26．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，则的长不可能等于（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，证明四边形为矩形，进而得到，根据垂线段最短，得到时最短，勾股定理求出的长，等积法求出的最小值，进行判断即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点P为斜边上一动点， ∴当时最短， 由勾股定理，得：， 当时，则：，即：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的长不可能为； 故选A． 27．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．先推导出点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，得到当共线时，的值最小，利用勾股定理计算，从而得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵矩形，直线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，M为的中点， ∴， ∴点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点，连接，， ∵， ∴当共线时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 28．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）中的结论得，，，四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 29．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，进而得到，即可得证； （2）设，根据矩形的性质，得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）由（1）知平行四边形为矩形， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 考点十三 菱形的判定与性质（共5小题） 30．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，，则纸条的宽度是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积的两种计算方式，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 作，垂足为，作，垂足为，设与相交于点，根据菱形的判定与性质可知、，最后利用菱形面积的两种表示方法即可解答． 【详解】解：作，垂足为，作，垂足为，设与相交于点， ∵两张等宽的纸条，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， 故纸条的宽是； 故选：C． 31．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，，且的中点是坐标原点O．固定点，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】题考查了正方形的性质、菱形的判定与性质及勾股定理等知识点，结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据正方形的性质及题意可得，可得四边形为菱形，故点的横坐标等于的长度，其纵坐标等于点的纵坐标，由勾股定理求得的长，则可知点的纵坐标． 【详解】解：四边形为正方形，， ， 由题意可知，，，， ∴， 四边形为菱形， ∴， 点的横坐标为2， 的中点是坐标原点， ， 在中，由勾股定理得：， 点的对应点的坐标为． 故答案为：． 32．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，先根据菱形的性质得到线段的长度以及三角形的面积，然后即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的周长为20，面积为24， ∴，， ∵分别作P点到直线、的垂线段、， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 33．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交、于E、F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)20 【分析】（1）先由矩形性质得，可以通过证明，再通过对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． （2）结合菱形性质，得，再根据勾股定理列式代入数值，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ 已知 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形 ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 设菱形的边长为， 则， 在中 即 解得 ∴菱形的周长为20． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质、菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 34．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)点到线段的距离为． 【分析】（1）由菱形的性质可证，根据全等三角形的性质推得，，可证四边形是平行四边形，再结合对角线互相垂直、即可证四边形是正方形； （2）先求出正方形的边长和对角线长，结合勾股定理求出的长，再结合菱形面积计算公式即可求得点到线段的距离． 【详解】（1）证：菱形中，，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 又点、是对角线所在直线上两点， ， 平行四边形是菱形， 菱形中，平分，， ， 菱形是正方形． （2）解：正方形的面积为， 正方形的边长为，正方形的对角线长为， 、互相垂直且平分， ，， ， ， 中，， 设点到线段的距离为， 则根据菱形面积计算公式可得：， 即， 解得， 点到线段的距离为． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的判定与性质． 考点十四 正方形的判定与性质（共5小题） 35．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，则的长度是（   ） A．8 B．7.4 C．7 D．6.8 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作于，延长至，使，证明四边形为正方形，得出，，，证明以及，得出，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作于，延长至，使， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 36．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．则的值为（    ）    A．4 B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】如图，作，于点M，N，则．点E是正方形对角线上的点，证明，得出，进而证明，得出，根据即可求解； 【详解】如图，作，于点M，N，则．    点E是正方形对角线上的点， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 在和中， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键． 37．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知如图所示，，，于P，，则四边形的面积 ．    【答案】9 【分析】过点D作交的延长线于E，得到矩形，根据矩形的性质可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而求出四边形是正方形，再求出四边形的面积等于正方形的面积，然后求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于E，    ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积=正方形的面积． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键． 38．（23-24八年级下·山东济南·期末）将等腰直角三角形沿折叠，得到，连接并延长于点，连接，过点作交的延长线于点，若，，则 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点；先证明四边形为正方形，设，根据勾股定理可求得的长度；可证得，求得的长度，进而可求得答案． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点． ∵， ∴四边形为矩形． 根据轴对称图形的性质可知，． 又， ∴． 又， ∴四边形为正方形． ∴． 在和中， ∴． ∴． 又四边形为矩形， ∴四边形为正方形． ∴． 设，则，在中，得 ． 解得：， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理以及解二元一次方程．牢记全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理以及解二元一次方程的方法是解题的关键． 39．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)若，求的长； (4)如图2，在中，，高，，求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）过A点作于G，利用角平分线定义求出，可得，，得再证明四边形是矩形．得，得； （2）根据角平分线性质得，，即得． （3）根据（1）（2）小题结论得四边形是正方形，得，根据全等三角形得，设，，根据，得，解得，即得； （4）把和分别沿翻折，得到和，延长交于点N，可得四边形是正方形，得，得，，根据，即得． 【详解】（1）证明：过A点作于G， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵分别是两个外角的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：；    （2）解：过A点作于G， ∵分别是两个外角的平分线，，， ∴， ∴；    （3）解：∵， ∴， 由（1）（2）知，四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴；    （4）解：把和分别沿翻折，得到和，延长交于点N， ∴，，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴中，， ∴．    【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握角平分线定义和性质．全等三角形的判定和性质，矩形和正方形判定和性质，勾股定理，轴对称性质，作辅助线，是解题关键． 考点十五 三角形的中位线（共3小题） 40．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，连接，点N，M分别为的中点，连接若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接并延长交于点，连接，根据正方形的性质可得，，由平行线的性质和对顶角相等可得，，证得，可得，，再根据三角形中位线定理可得，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ， 点为的中点， ， 又， ， ，， 又点为的中点，点为的中点， ， 点、为边、的中点，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、对顶角相等、平行线的性质、三角形中位线定理、勾股定理，正确构造全等三角形得出是解题的关键． 41．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，并连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，中位线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 延长并延长，使，连接，，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，根据中位线的性质得出． 【详解】解：延长并延长，使，连接，，如图所示： 为的中点， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， 为的中点，， ， 故答案为：D． 42．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，点分别是线段的中点，分别是线段的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形的边满足________时，四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析； (2)，见解析． 【分析】（）根据中位线定理得，，，，然后根据平行公理推论得，，从而求证； （）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求解； 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，中位线定理，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵点分别是线段的中点，分别是线段的中点 ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形的边满足时，四边形是菱形．理由如下： ∵点分别是线段的中点，分别是线段的中点， ∴，， ∵， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故答案为：． 43．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，将长方形纸片沿对角线翻折，点B落在点处，交于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理． （1）证明，即可； （2）设，在中，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形沿对角线翻折，点B落在点处， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴． 考点十六 平行四边形的折叠问题（共3小题） 44．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，有一张矩形纸条，，，点、分别在边、上，．现将四边形沿折叠，使点、分别落在点、上，在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点， (1)如图1，当点恰好落在边上时，求线段的长； (2)运动过程中，的面积有没有最小值，若有，求此时线段的长，若无，请说明理由； (3)求点相应运动的路径长． 【答案】(1) (2)的面积有最小值2， (3)点相应运动的路径长为 【分析】（1）运用矩形性质和翻折性质得出：，再利用勾股定理即可求得答案； （2）由，可知当，即时，，取得最小值2，再利用矩形性质即可求出答案； （3）探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可． 【详解】（1）解：如图1中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：的面积有最小值2，此时． 如图2，， 当，即时，， 取得最小值2， 此时，， ∴四边形是矩形， ∴； （3）解：如图3，当点与重合时， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴， 设， 则， 在中，则有， 解得， ∴， 如图4中，当点运动到时，的值最大， ， 如图5中，当点运动到点落在时，（即）， ∴点的运动轨迹， 运动路径． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，解题的关键是探究出点E的运动轨迹，运用勾股定理解决问题． 45．（23-24八年级下·江苏南通·期末）在数学活动课上，老师提供了不同的矩形纸片，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【初步探究】 （1）甲小组拿到的矩形纸片中，，，如图1，进行以下操作并提出问题：操作：在边上取点E，沿折叠得，点F落在边上； 问题：求的长； 【拓展延伸】 （2）乙小组拿到的矩形纸片中，，，如图2，进行以下操作并提出问题：操作：在射线上取点E，沿折叠得，连接； 问题：当时，求的长． 【答案】（1）5；（2）的长为2.5或10． 【分析】（1）由折叠可知，由全等三角形的性质可得出，由矩形的性质可知，利用勾股定理求出，进而求出，设，则，在中，利用勾股定理建立关于x的方程求解即可的得出答案． （2）分两种情况，①当点E在线段上，由折叠可知，，， 当时，，进而判定为等腰三角形，过点F作于点H，延长交于点G，由等腰三角形三线合一的性质可得出，，由勾股定理求出，再求出，设，则，在中，利用勾股定理建立关于x的方程求解即可的得出答案． ②当点E在线段延长线上，由①得，则，设，则，， 在中，利用勾股定理建立关于x的方程求解即可的得出答案． 【详解】解：（1）由折叠可知， ，， ， 在中， 设， ，， ， 在中，， 即：， 解得：， 的长为 5； （2）①当点E在线段上，如图①， 由折叠可知，，， 当时，， 为等腰三角形， 过点F作于点H，延长交于点G， ，， 在中， 设，则，， 在中，， 即：， 解得：， 长为； ②当点E在线段延长线上，如图②， 由①得，则， 设，则，， 在中，， 即：， 解得：， 长为10； 综上得：的长为2.5或10． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠的问题，全等三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理的性质，分类的思想，掌握矩形的性质以及折叠的性质是解题的关键． 考点十七 中点四边形（共1小题） 46．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形和正方形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，首先根据三角形中位线的性质得到，且，，且，进而得到，且，即可证明出四边形是平行四边形； （2）连接，，同理可得，，，进而得到当时，，证明出平行四边形是菱形，然后由推理得到，进而证明出菱形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∴，且 ∴四边形是平行四边形； （2）解：当，且时，四边形是正方形． 理由如下： 如图所示，连接， ∵由（1）得， 同理可得，， ∴当时， ∴平行四边形是菱形 当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴菱形是正方形． 考点十八 （特殊）平行四边形的存在性问题（共3小题） 47．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，点先以每秒2个单位长度的速度由向运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点以每秒2个单位长度的速度由向运动．点与点同时出发，当点到达终点时，点随之停止运动，设运动时间为秒 (1)直接写出的长是__________； (2)当点在线段上时，___________；当点在射线上时，____（用含的代数式表示） (3)连接，以中两个顶点和点、点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1)10 (2)； (3)或或 【分析】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定、勾股定理、一元一次方程等知识，解题关键是发现直角三角形，运用勾股定理以及分类讨论的思想． （1）过D点作于E，求出，中，利用勾股定理求解即可； （2）根据路程、速度、时间之间的关系即可求解； （3）当时，则，当时，则，当时，则，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，D点作于E， ∵，， ∴四边形为矩形，则， ∴， 中，； （2）解：∵的长是10，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动， ∴点P从点A运动到点D需要5秒， ∴当点P在线段上时，，； ∵点P再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴当点P在射线上时，，； 故答案为：，；，； （3）如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， ∴或或． 48．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点从开始沿边以每秒的速度向运动；动点从点开始沿边以每秒的速度向运动，如果、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． 则： (1)当秒时，四边形的面积是______ (2)当为几秒时，四边形为矩形？ 【答案】(1)46 (2)当t为4时，四边形APQD是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的性质及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）先分别计算出的长，再计算四边形的面积； （2）根据矩形的对边相等得到，再列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当秒时，， ， 四边形的面积是， 故答案为：46； （2）解：由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 当四边形是矩形时，则有， ∴ 解得． ∴当t为4时，四边形是矩形． 49．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． (1)分别求出点、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有∶一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键． （1）联立两直线解析式求出点的坐标，分别令和，带入直线解析式求出点、的坐标； （2）根据在直线上，设，表示出面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （3）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑∶①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出Q坐标即可． 【详解】（1）根据，解方程组得，得， 分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，． （2）设， 且， ， ， ， 令直线解析式为， 把，代入得： ， ， ， 直线的函数表达式为． （3）存在．如图所示： ①当四边形为菱形时， ，得四边形为正方形； ， 即． ②当四边形为菱形时， 得，带入直线的解析式， 得， ． ③当四边形为菱形时， ， ， 综上得点的坐标为或或． 考点十九 分式的概念（共1小题） 50．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在 ， ， ，m+ ，－ 中分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：式子 ，－中都含有字母是分式． 故选A． 【点睛】本题考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数． 考点二十 分式有无意义的条件（共2小题） 51．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）若不论取何实数时，分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】分式总有意义，则分母永远不等于0，即的最小值大于0，据此解题即可． 【详解】解：∵分式总有意义， ∴的最小值，解得． 故选C． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件及二次函数的最值问题，能够熟练利用条件列不等式是解题关键． 52．（23-24八年级下·山东滨州·期末）已知分式，当x取a时，该分式的值为0；当x取b时，分式无意义，则ab的值等于 ． 【答案】1 【分析】先把x=a代入分式，根据分式值为0得出a+1＝0，求出解得：a＝﹣1时，该分式的值为0；把x=b代入分式，根据分式无意义，由分母为零，求出b＝2，再求代数式的值即可． 【详解】解：分式， 当x=a时，， 当a+1＝0时， 解得：a＝﹣1时，该分式的值为0； 当x=b时，， 当2﹣b＝0时， 解得：b＝2， 即x＝2时分式无意义，此时b＝2， 则ab＝（﹣1）2＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查分式，分式的值为0的条件，分式无意的条件，代数式的值，掌握分式，分式的值为0的条件，分式无意的条件，代数式的值是解题关键． 考点二十一 分式值为零的条件（共1小题） 53．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）当 时，分式的值为零 【答案】 【分析】由分式的值为0的条件可得：，再解方程与不等式即可得到答案. 【详解】解: 分式的值为零, 由①得: 由②得:且 综上: 故答案为: 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件,利用平方根解方程，掌握“分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0”是解本题的关键. 考点二十二 分式的求值（共3小题） 54．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知，则的值是（　　） A． B．8 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值等知识点，灵活对代数式进行变形是解题的关键． 由可得进而得到，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即，则， ∴． 故选A． 55．（23-24八年级下·江苏常州·期末）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴； 故答案为：． 56．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知：，求下列各式的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，然后代入计算即可； （2）由可得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的约分、代数式求值等知识点，灵活对已知代数式进行变形是解答本题的关键． 考点二十三 求使分式值为整数时未知数的整数值（共2小题） 57．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可． 【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3， ∴a＝0或2或﹣2或4， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键． 58．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为 ． 【答案】0 【分析】根据为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出的值再求和即可． 【详解】解： ， 为整数，分式的值也为整数， 当时，分式，符合题意； 当时，分式值，符合题意； 当时，分式值，符合题意； 当时，分式值，符合题意； 满足条件的的值为、、、， 所有满足条件的数的和为， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值． 考点二十四 分式的基本性质（共2小题） 59．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值缩小为原来的倍的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质，解答即可． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 A. ，不变，不符合题意；     B. ，分式的值缩小为原来的倍，符合题意；     C. ，分式的值扩大为原来的2倍，不符合题意；     D. ，分式的值扩大为原来的2倍，不符合题意； 故选B． 60．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）下列各分式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，分别判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ＝＝，故C符合题意； ，故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 考点二十五 最简分式与最简公分母（共2小题） 61．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）下列各分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，故原式不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，故原式不是最简分式，不符合题意； D、，故原式不是最简分式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 62．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】按照求最简公分母的方法求解即可． 【详解】∵，，的最小公倍数为，的最高次幂为，的最高次幂为， ∴最简公分母为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了最简公分母，解题的关键是理解取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 考点二十六 约分与通分（共2小题） 63．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）（1）约分：； （2）通分：与． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查约分和通分： （1）原式先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可； （2）找出分母的最简公分母求解即可； 【详解】解：（1） ； （2）              64．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算． (1)约分： ； (2)通分：，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键． （1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 【详解】（1） ； （2）， ， ， 考点二十七 分式的四则运算（共3小题） 65．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）同分母相减，分母不变，分子相减； （2）先计算括号里的加法，然后计算除法． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 66．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分，以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键． （1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行约分 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式 ． 67．（23-24八年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）利用同分母分式相加法则计算即可； （2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，最后约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． ． 考点二十八 分式的化简求值（共3小题） 68．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 69．（24-25八年级下·河北沧州·期中）先化简，再求值：，其中从中选择一个适当的数． 【答案】，当时，原式的值为 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题先根据分式的加减乘除运算可进行化简，然后代入能使分式有意义的值进行求解即可． 【详解】解：原式 ． ， 当时，原式． 70．（24-25八年级下·江苏南通·期末）先化简：，再从，0，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先利用分式的运算法则化简，再取合适的x的值代入即可得出答案． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， ∴当时，原式． 考点二十九 分式混合运算的实际应用（共1小题） 71．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 【答案】(1) (2)< (3)加糖后糖水会变甜，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式的加减的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，，又，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）当时，从而可得，从而可以得解； （3）依据题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，进而可得，再结合，可得0，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 又， ， ， ， ∴； （2）由题意，结合（1）当时， ， 故答案为：． （3）由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为． ， 又， ， ， ， ∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜． 考点三十 解分式方程（共3小题） 72．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答本题的关键． （1）根据解分式方程的方法解答即可； （2）根据解分式方程的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，当时，， 是原方程的根； （2）解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 当时，， 是原方程的增根，原方程无解． 73．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的基本思路方法，是解题的关键．基本方法是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）分式方程两边乘以，化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． （2）分式方程两边乘以，化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根； （2）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 74．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查了解分式方程，关键是利用了转化的思想，把分式方程化为整式方程，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验，该方程无解； 【详解】（1）解：去分母得： 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入，可得， 故该方程无解； 考点三十一 根据分式方程解的情况求值（共5小题） 75．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）关于的方程的解大于0，则实数的取值范围（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出方程的解，再根据方程的解的情况以及分式有意义的条件，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵方程的解大于0，且， ∴，且， 解得：且； 故选B． 76．（23-24八年级下·江苏常州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查解含有字母的分式方程，解题的关键是注意最后得到的结果，一定要考虑增根的情况．先将m视为常数，求解出分式方程的解(包含m)，然后根据解的条件判断m的取值范围． 【详解】解∶去分母，得， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， 解得且， 故选∶C． 77．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，首先根据解分式方程的步骤，求出关于的分式方程解是多少，然后根据分式方程的解为负数，求出的取值范围即可，掌握相应的运算法则是关键． 【详解】解：化简分式方程可得，， 解得：， 且， 且 故答案为：且． 78．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：去括号得， 解得， ∵方程有正整数解，即且， ∴，即，且为整数， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，此时，原分式方程的分母为0，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴或， 故答案为：或． 79．（23-24八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的分式方程 ． (1)当时，求该分式方程的解； (2)若该分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)且． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解分式方程，解题的关键是准确熟练地进行计算． （1）把代入原方程中，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答； （2）先解分式方程可得，然后根据题意可得且，从而可得答案． 【详解】（1）解：当时，原方程即为：， ∴， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； （2）解：， ∴， 解得：， 该分式方程的解为非负数， 且， 且， 解得：且， 的取值范围为：且． 考点三十二 分式方程的增根问题（共3小题） 80．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得x=1，然后代入整式方程中进行计算，即可解答． 【详解】解：， m-2=3（x-1）， 解得：x=， ∵分式方程有增根， ∴x=1， 把x=1代入x=中， 1=， 解得：m=2， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键． 81．（23-24八年级下·山东济南·期末）若关于x的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握分式方程的增根的解题思路是关键． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入整式方程，算出的值． 【详解】解：， 方程两边都乘， 得， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，， 故答案为：． 82．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知关于x的方程，若方程有增根，求m的值． 【答案】0 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到或， 即或， 把代入整式方程得：，即； 把代入整式方程得：，无解， 综上，m的值为0． 考点三十三 分式方程的无解问题（共1小题） 83．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知关于的分式方程 (1)若该方程的增根为，求的值； (2)若该方程有增根，求的值． (3)若该方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据分式方程解法，去分母得到方程，再由增根的定义得到方程求解即可得到答案； （2）根据分式方程增根的定义，得到增根为或，根据分式方程解法去分母，将增根代入求解即可得到答案； （3）根据解分式方程的方法，当有增根时，方程无解；当，方程无解；从而得到答案． 【详解】（1）解：， 去分母得，即， 该方程的增根为， ，解得； （2）解：若分式方程有增根，则增根为或， 由（1）去分母得， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，或； （3）解：由（2）知当或，方程有增根，则分式方程无解； 由（1）可知，原分式方程去分母后得到， 当，即时，方程无解； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查解分式方程，涉及分式方程有增根、分式方程无解的条件、增根定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 考点三十四 分式方程的实际应用（共5小题） 84．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）进入夏季用电高峰季节，市供电局维修队接到紧急通知：要到30千米远的某乡镇进行紧急抢修，维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点，已知抢修车的速度是摩托车速度的倍，求两种车的速度． 【答案】摩托车的速度是，抢修车的速度是 【分析】本题主要考查建立分式方程模型解决简单实际问题的能力，考查基本的代数式计算推理能力．找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设摩托车速度是千米/时，则抢修车的速度是千米/时；路程都是30千米；由时间路程除以速度，两车同时到达抢修点，所用时间等量关系，列方程． 【详解】解：设摩托车的是， 根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解． ． 答：摩托车的速度是，抢修车的速度是． 85．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求甲、乙两人每小时加工零件各多少个？ 【答案】甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意可以得到相等关系：乙用的时间-甲用的时间，据此列出方程，解方程，求出方程的解并检验即可得到答案． 【详解】解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工个零件，根据题意得 ， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件． 86．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台，已知每台A型设备月处理污水量为2200吨，每台B型设备月处理污水量为1800吨，而每台A型设备的价格比每台B型设备的价格贵3万元，且用90万元购买A型设备的台数与用75万元购买B型设备的台数刚好相同． (1)求每台A型设备和每台B型设备各需要多少万元？ (2)由于受资金限制，指挥部用于购买问水处理设备的资金不超过165万元，问如何购买可使每月处理污水量的吨数最多？并求出最多吨数． 【答案】(1)18万元；15万元 (2)购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元，利用数量总价单价，结合用90万元购买型设备的台数与用75万元购买型设备的台数刚好相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值(即每台型设备的价格），再将其代入中，即可求出每台型设备的价格； （2）设购买台型设备，则购买台型设备，利用总价单价数量，结合总价不超过165万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买的10台设备每月处理污水量为吨，利用每月处理污水的总量每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量十每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：每台型设备需要18万元，每台型设备需要15万元； （2）解：设购买台型设备，则购买台型设备， 根据题意得：， 解得：． 设购买的10台设备每月处理污水量为吨，则， ， ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时． 答：购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$