专题04 整式乘法（考题猜想，压轴必刷40题10种题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版2024）

专题04 整式乘法（压轴必刷40题10种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 整式乘法运算压轴 · 题型二 整式乘法应用压轴 · 题型三 多项式乘法中的规律性问题压轴 · 题型四 乘法公式计算压轴 · 题型五 乘法公式与几何图形压轴 · 题型六 乘法公式中的最值问题 · 题型七 完全平方公式的变形化简压轴 · 题型八 整式乘法中的新定义运算 · 题型九 整式乘法中的三种“配方法” · 题型十 乘法公式的实际应用 题型一 整式乘法运算压轴 1．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，求代数式的值． 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）说明：对于任意的正整数，代数式的值是否总能被6整除． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）观察下列式子： ①；②；③；④；… (1)猜想：第⑤个式子是______________________________． (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论； (3)应用你发现的规律计算：． 4．（2023八年级·江苏扬州·专题练习）若的乘积中不含 与 项，求的值． 题型二 整式乘法应用压轴 5．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 6．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）在矩形中，将边长分别为a和b的两张正方形纸片按图1和图2两种方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为．当时，的值为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片分别按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有重叠部分），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，当时， （用字母表示） 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，长方形的长，宽分别为米，米，，满足，一动点从出发以米/秒的速度沿运动，另一动点从出发以米/秒的速度沿运动，设、同时出发，运动的时间为． (1)求、的值； (2)用含的式子表示的面积（写出推理过程）． 题型三 多项式乘法中的规律性问题压轴 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）观察下列等式： ； ； ； ； … 从这些计算结果中，你能发现什么？ (1)利用以上规律直接写出计算结果：____； (2)更一般的，有两个两位数的因数，设它们的十位数字均为，这两个因数可以表示为和．则用含的代数式表示上述速算规律： ______； (3)善于思考的小兮通过计算得出下列等式： ， ， … 上述材料也蕴含着某种速算规律．类比题 （2），设有两个两位数的因数，其十位数字均为，个位数分别为和______（用含的式子表达），试用含，的等式表示小兮发现的速算规律，并证明该等式． 10．（24-25七年级下·江苏南通·期中）我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下图所示． (1)观察上图中的规律，填空：“★”表示的数是________，； (2)计算：． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)的展开式共有______项． (2)的展开式共有______项，的展开式各项系数和是______． (3)利用上面的规律计算：______． (4)下列说法：①展开式各项系数之和为64；②展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项；③展开式中含的项的系数是2022．④用此规律解决实际问题：今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期五；正确的有______． 12．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③． (1)模仿以上做法，尝试对进行因式分解：___________； (2)观察以上结果，猜想___________；（n为正整数，直接写结果，不用验证） (3)试求的值． 题型四 乘法公式计算压轴 13．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）已知满足，，求的值． 14．（2024七年级下·江苏·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． 15．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读下列解答过程：已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： (1)的值； (2)的值． 16．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 【解决问题】 (1)数61　 　“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 (2)已知，则　 　； (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值； 【拓展结论】 (4)已知、满足，求的最小值． 题型五 乘法公式与几何图形压轴 17．（24-25七年级下·江苏·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)请分别用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法一：______；方法二：______； (2)观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：_______ (3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知，，则的值为______； ②已知：，求的值； (4)两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 18．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）探寻规律，解决问题： 【观察探索】 (1)比较与的大小： ①当，时， ． ②当，时， ． 【猜想证明】 (2)通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明． 【问题解决】 (3)如图1，点C在线段上，以，为边，在线段的两侧分别作正方形、正方形，连接，设两个正方形的面积分别为，．若的面积为1，求的最小值． 19．（23-24七年级下·江苏常州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 20．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示） 方法： ； 方法： ． (2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ； (3)根据（）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 题型六 乘法公式中的最值问题 21．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料：利用完全平方公式，把多项式变形为的形式，然后运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用．例如利用配方法求的最小值． 解：， 因为不论取何值，， 所以当时，的值最小． 所以的最小值为． 根据上述材料，解答下列问题： 【理解探究】 （1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是（　　） A．统计思想    B．数形结合思想    C．转化思想    D．方程思想 【类比应用】 （2）仿照上述方法，将变形为的形式，并求出最小值； 【拓展升华】 （3）王大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的长为，宽为，乙菜地的长为，宽为，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由． 22．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，即时的值最小，最小值是1． 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式______； ②配方：； 【探究问题】 （2）①已知，则______； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数、满足，当______时，最小值为______． 23．（23-24七年级下·山东东营·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 24．（24-25七年级下·山东日照·期中）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，当时，的值最小，最小值是0，   当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）当_____时，代数式有最小值；最小值是________________； 又如探求多项式的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式，因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是-22． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求： （2）多项式的最小值是多少，并写出对应的的取值． （3）多项式的最大值是多少，并写出对应的的取值． 题型七 完全平方公式的变形化简压轴 25．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读理解】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 例如：教材在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差”，即，利用了如图①的图形表示它的几何意义：深色阴影部分面积为，也可转化成一个一边长为，另一边长为的长方形，其阴影部分面积为，由于阴影部分面积相同，因此有． 【类比探究】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形．（如图③ （1）观察图③请你写出，，之间的等量关系： ； 【解决问题】 （2）若 ，直接写出代数式的值，并求的值； 【拓展应用】 （3）已知，为实数，，求的值． 26．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为， 所以， 所以． 所以． 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 27．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有_____（填序号） ①；②；③；④ (2)直接写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为4的单项式，使该单项式是对称式； (3)若关于，的代数式为对称式，求的值； (4)在（3）的条件下，已知上述对称式，且，求的值． 28．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）数和形是数学研究客观物体的两个方面，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】（1）探究2中_________； 【应用结论】（2）利用（1）的结论求解：已知，，求的值； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值． 题型八 整式乘法中的新定义运算 29．（24-25七年级下·江苏扬州·单元测试）定义：，例如，．求的值． 30．（2024七年级下·江苏扬州·专题练习）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)小丁说：“若是‘共生有理数对’，则一定是‘共生有理数对'．”小丁的说法正确吗？请说明理由； (3)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”，为 ．（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复） 31．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 32．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)把多项式配方成的形式，则________，________； (2)若多项式，． ①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． (3)已知正整数，，满足不等式，求的值． 题型九 整式乘法中的三种“配方法” 33．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 34．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即. 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)试说明无论x取什么值一定的值一定是负数； (4)已知，求的值. 35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即． 根据阅读材料解决下列问题： (1)把配成完全平方式为___________；把配成完全平方式为___________； (2)已知，求的值； (3)例如：二次三项式可以有、、这样三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项3、一次项、二次项）． ， ， ， 比照上面的例子，直接写出三种不同形式的配方． 36．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：将进行配方，有如下三种形式： ①选择二次项、一次项配方得； ②选择二次项、常数项配得或； ③选一次项、常数项配方得． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）仿照照上述例子，写出的三种不同形式的配方结果； （2）将配方（至少两种形式）； （3）已知，求的值． 题型十 乘法公式的实际应用 37．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 38．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 (2)根据图2，可以得到等式：______； (3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； (4)画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 (5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． (6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 39．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)； 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； （2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的等量关系式是 ； （3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ； 【知识迁移】 （4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ． 40．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）【阅读理解】我们常将一些公式变形，以简化运算过程． 如，可以把公式“”变形成或等形式，运用于下面这个问题的解答： 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答：设，，则，，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： （1）若满足，则的值为_______； （2）若满足，则的值为______； （3）如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，.沿着、所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形的面积． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$专题04 整式乘法（压轴必刷40题10种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 整式乘法运算压轴 · 题型二 整式乘法应用压轴 · 题型三 多项式乘法中的规律性问题压轴 · 题型四 乘法公式计算压轴 · 题型五 乘法公式与几何图形压轴 · 题型六 乘法公式中的最值问题 · 题型七 完全平方公式的变形化简压轴 · 题型八 整式乘法中的新定义运算 · 题型九 整式乘法中的三种“配方法” · 题型十 乘法公式的实际应用 题型一 整式乘法运算压轴 1．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题考查多项式乘以多项式，完全平方式，熟练掌握运算规则是解题的关键．由题意可知，代入代数式，然后利用多项式乘以多项式和完全平方式即可求解． 【详解】解：， ， ． 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）说明：对于任意的正整数，代数式的值是否总能被6整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握该运算规则是解题的关键．对代数式，先计算乘法，然后去括号，接着从左到右进行计算，得到答案，从而得证． 【详解】解： 是任意的正整数， 总能被6整除 对于任意的正整数，代数式的值总能被6整除． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）观察下列式子： ①；②；③；④；… (1)猜想：第⑤个式子是______________________________． (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论； (3)应用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)1013 【分析】本题主要考查用代数式表示算式的变化规律以及整式的乘法、有理数的混合运算，找出等式的规律．是解题的关键． （1）根据题目中的式子即可得到答案； （2）根据题题干中的式子总结出规律，再通过计算证明等式的左边等于右边即可； （3）根据（2）中的规律变形，再进行约分即可得到答案． 【详解】（1）由题意可得，第⑤个式子是， 故答案为：； （2）由题意可得规律为， 证明：∵， ， ∴； （3） ． 4．（2023八年级·江苏扬州·专题练习）若的乘积中不含 与 项，求的值． 【答案】 【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，结果中不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为，建立关于，的等式，求出后再求代数式值． 【详解】解：原式， ， ∵乘积中不含 与 项， ∴，， 解得：，， ∴． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，根据不含某一项就是这一项的系数等于列式求解、的值是解题的关键． 题型二 整式乘法应用压轴 5．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式运算的实际应用，设小正方形的边长为，易得，根据阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，得到，进而求出的值，根据正方形的边长相等，得到，进行求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由题意，得： 则：， ∴ 阴影部分（四个直角三角形）的面积为：， 正方形面积的面积为， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴； 故选C． 6．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）在矩形中，将边长分别为a和b的两张正方形纸片按图1和图2两种方式放置（两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为．当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题图，得，所以．因为，所以，所以． 7．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片分别按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有重叠部分），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，当时， （用字母表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，根据图形面积之间的关系分别表示出，再根据整式的加减计算法则求出的结果，再结合即可求出答案． 【详解】解：由题意得，， ， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，长方形的长，宽分别为米，米，，满足，一动点从出发以米/秒的速度沿运动，另一动点从出发以米/秒的速度沿运动，设、同时出发，运动的时间为． (1)求、的值； (2)用含的式子表示的面积（写出推理过程）． 【答案】(1)，； (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）由绝对值非负性即可得解； （2）分三种情况分析：、、，结合不同时间点、点的运动情况即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：且， 解得：，； （2）解：当时，在上，在上，（米）． 则；． 当时，在上，在上，， ∴， 则； 当时，和都在上，在的左边，，， 则，． 综上，当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查的知识点是绝对值非负性、列代数式、整式的乘法、整式的加减，解题关键是根据点、点的运动情况分时段讨论． 题型三 多项式乘法中的规律性问题压轴 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）观察下列等式： ； ； ； ； … 从这些计算结果中，你能发现什么？ (1)利用以上规律直接写出计算结果：____； (2)更一般的，有两个两位数的因数，设它们的十位数字均为，这两个因数可以表示为和．则用含的代数式表示上述速算规律： ______； (3)善于思考的小兮通过计算得出下列等式： ， ， … 上述材料也蕴含着某种速算规律．类比题 （2），设有两个两位数的因数，其十位数字均为，个位数分别为和______（用含的式子表达），试用含，的等式表示小兮发现的速算规律，并证明该等式． 【答案】(1)9021 (2) (3)，规律为，理由见详解 【分析】本题主要考查整式乘法的相关规律问题，解题的关键是理解题意； （1）根据题意直接写出答案即可； （2）根据题意及（1）中计算结果可得出该计算的一般规律； （3）利用代数式表示两个乘数，根据整式的运算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； ； ； ； …； ∴； 故答案为9021； （2）解：由（1）可得： ； 故答案为； （3）解：由题意可知：设有两个两位数的因数，其十位数字均为，个位数分别为和，则小兮发现的规律为，证明如下： ． 10．（24-25七年级下·江苏南通·期中）我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下图所示． (1)观察上图中的规律，填空：“★”表示的数是________，； (2)计算：． 【答案】(1)；观察上图中的规律，填空：“★”表示的数是 (2) 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究； （1）根据规律即可求解． （2）根据（1）中的规律，原式，进而即可求解． 【详解】（1）解：观察上图中的规律，填空：“★”表示的数是 ∴ （2）解： 11．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)的展开式共有______项． (2)的展开式共有______项，的展开式各项系数和是______． (3)利用上面的规律计算：______． (4)下列说法：①展开式各项系数之和为64；②展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项；③展开式中含的项的系数是2022．④用此规律解决实际问题：今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期五；正确的有______． 【答案】(1)8 (2)， (3)1 (4)①②④ 【分析】本题考查了数字类变化规律，读懂题意并根据所给的式子找到规律是解题的关键． （1）根据规律即可求解； （2）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般性规律即可； （3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （4）根据规律即可求解①②③；④得到，根据规律即可得解． 【详解】（1）解：的展开式共有8项； 故答案为：8； （2）解：由展开式可得， 当时，共有2项，系数和为， 当时，共有3项，系数和为， 当时，共有4项，系数和为， 当时，共有5项，系数和为， ， ∴的展开式共有项，系数和为， 故答案为：，； （3）解：由规律可得， ； 故答案为：1； （4）解：①展开式各项系数之和为，说法正确； ②展开式共有8项，系数最大的项是第四项和第五项，说法正确； ③展开式中含的项的系数是2023，原说法错误； ④今天是星期四，再过7天还是星期四，余1，那么再过天是星期五，说法正确； 故答案为：①②④． 12．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③． (1)模仿以上做法，尝试对进行因式分解：___________； (2)观察以上结果，猜想___________；（n为正整数，直接写结果，不用验证） (3)试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分组法进行因式分解与整式规律探究，找出因式分解的规律是解题的关键． （1）按照给定例题的方法，总结规律，进行因式分解即可； （2）依据（1）中的规律即可得到答案； （3）把代入（2）即可求出． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③， ∴； 故答案为：； （2）解：根据（1）的规律，可得， 故答案为：； （3）解：∵， ∴． 题型四 乘法公式计算压轴 13．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）已知满足，，求的值． 【答案】9或3 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，灵活运用公式将原式化简是解题的关键．利用和平方差公式可将原式化简为，然后利用完全平方公式结合已知条件可求得，代入即可求得答案． 【详解】解：，， ，，， ， ； 原式 ， 当时，原式， 当时，原式， 的值为9或3． 14．（2024七年级下·江苏·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）中括号内先根据完全平方公式与平方差公式展开，合并同类项，再做中括号外的除法，最后代入数据求值即可； （2）将拆分项变形，整体代入，再变形整体代入化简即可． 【详解】（1）原式 ， 将，代入， 则原式． （2）， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，合并同类项，多项式除以单项式，折分项，整体代入求值，是解题的关键． 15．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读下列解答过程：已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用． （1）先将整理得，再仿照阅读内容求出的值，最后再根据完全平方公式求出的值即可； （2）先求出的倒数得，再将（1）中所求得的的值整体代入即可． 熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 【详解】（1） ， 整理得：， ， ； （2）的倒数为， ， ． 16．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 【解决问题】 (1)数61　 　“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 (2)已知，则　 　； (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值； 【拓展结论】 (4)已知、满足，求的最小值． 【答案】(1)是； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）根据新定义求解； （2）先把登上的左边进行配方，再根据非负数的性质求出、的值，再求； （3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解； （4）根据条件求出的值，再进行配方求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是“完美数”， 故答案为：是； （2）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵ ， 为“完美数”， ∴ ∴； （4）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴当，时，的最小值为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 题型五 乘法公式与几何图形压轴 17．（24-25七年级下·江苏·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)请分别用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法一：______；方法二：______； (2)观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：_______ (3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知，，则的值为______； ②已知：，求的值； (4)两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1)； (2) (3)①25；②25 (4)8 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）方法一：直接求小正方形面积即可；方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算即可； （2）根据大正方形的面积减4个长方形的面积等于阴影部分的面积解答即可； （3）①根据（2）所求关系解答即可；②将（2）所求关系变形为，再求解即可； （4）由题意可知，，，即可求出．结合，可求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：方法一：直接计算阴影部分的面积为； 方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算为； （2）解：由图2可知； （3）解：①由（2）可知； ②∵， ∴． ∵， ∴ ； （4）解：∵， ∴． 由图可知的底为x，高为2， ∴． 的底为2，高为， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 18．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）探寻规律，解决问题： 【观察探索】 (1)比较与的大小： ①当，时， ． ②当，时， ． 【猜想证明】 (2)通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明． 【问题解决】 (3)如图1，点C在线段上，以，为边，在线段的两侧分别作正方形、正方形，连接，设两个正方形的面积分别为，．若的面积为1，求的最小值． 【答案】(1)①，② (2)，证明见解析 (3)4 【分析】（1）代入计算即可得到答案； （2）根据（1）的结果，得出猜想，然后利用完全平方公式证明即可； （3）由题意可知，，结合，从而得出答案； 【详解】（1）解：①把，代入，得 ， 故答案为：； ②把，代入，得 ， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，猜想：，理由如下： ，即 （3）解：由题意可知， 的面积为1，即 的最小值为4． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，代数式求值，有理数比较大小，练掌握以上知识点是解题的关键． 19．（23-24七年级下·江苏常州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9；（2）见解析，32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． 20．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示） 方法： ； 方法： ． (2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ； (3)根据（）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)；；． 【分析】（）方法可根据正方形面积等于边长的平方求出，方法可根据各个部分面积相加之和求出； （）由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和即可求解； （）根据题（）公式计算即可；令，从而得到，代入计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，列代数式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】（1）解：方法：大正方形的边长为， ∴； 方法：大正方形面积各个部分面积之和， ∴； 故答案为：；； （2）解：由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和， 即， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴； 令， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 题型六 乘法公式中的最值问题 21．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料：利用完全平方公式，把多项式变形为的形式，然后运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用．例如利用配方法求的最小值． 解：， 因为不论取何值，， 所以当时，的值最小． 所以的最小值为． 根据上述材料，解答下列问题： 【理解探究】 （1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是（　　） A．统计思想    B．数形结合思想    C．转化思想    D．方程思想 【类比应用】 （2）仿照上述方法，将变形为的形式，并求出最小值； 【拓展升华】 （3）王大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的长为，宽为，乙菜地的长为，宽为，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由． 【答案】（1）C；（2）1；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查完全平方式的应用及整式乘法的应用，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键． （1）根据材料即可解答； （2）利用材料中方法求最小值即可； （3）先表示出甲、乙两块长方形菜地的面积，再作差，对式子进行配方化成完全平方式，求出最大值即可． 【详解】（1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是转化思想， 故选：C； （2）解：， 因为不论取何值，， 所以当时，的值最小． 所以的最小值为1； （3）解：，理由如下： 根据题意：甲块长方形菜地的面积为：； 乙长方形菜地的面积为：； 因为 ； 因为不论取何值，， 所以， 所以． 22．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，即时的值最小，最小值是1． 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式______； ②配方：； 【探究问题】 （2）①已知，则______； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数、满足，当______时，最小值为______． 【答案】（1）①；②9，3；（2）①；②当时，为“完美数”，理由见解析；（3）3，1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①把13分为两个整数的平方即可； ②原式利用完全平方公式即可求解； （2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （3）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】解：（1）①根据题意得：； 故答案为：； ②根据题意得：， 故答案为：9，3； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 故答案为：3，1． 23．（23-24七年级下·山东东营·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)有最大值，当时，有最大值 (3) 【分析】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案； （2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案； （3）移项可得然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值3； 故答案为：3，3； （2）解：， 当时，有最大值． 即有最大值，此时； （3）解：， 当时，的最小值为． 24．（24-25七年级下·山东日照·期中）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，当时，的值最小，最小值是0，   当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）当_____时，代数式有最小值；最小值是________________； 又如探求多项式的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式，因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是-22． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求： （2）多项式的最小值是多少，并写出对应的的取值． （3）多项式的最大值是多少，并写出对应的的取值． 【答案】（1）3，1；（2）当时，原多项式的最小值是15（3）时，原多项式的最大值是4 【分析】本题考查配方法、非负数的性质，能够类比题中的例子运用配方法将多项式变形，同时利用平方的非负性确定最大值或最小值，是解题的关键． （1）用配方法把多项式变形成，然后利用是非负数，从而得出原多项式的最小值及对应的取值． （2）先把变形为，然后利用是非负数，从而得出原多项式的最小值及对应的取值． （3）先把变形为，然后利用是非负数，从而得出原多项式的最大值及对应的取值． 【详解】解：（1）， ，当时，的值最小，最小值是0， ，当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1， 故答案为：3，1； （2）原式， 因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是15； （3）原式， 因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最大值是，所以当时，原多项式的最大值是4． 题型七 完全平方公式的变形化简压轴 25．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读理解】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 例如：教材在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差”，即，利用了如图①的图形表示它的几何意义：深色阴影部分面积为，也可转化成一个一边长为，另一边长为的长方形，其阴影部分面积为，由于阴影部分面积相同，因此有． 【类比探究】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形．（如图③ （1）观察图③请你写出，，之间的等量关系： ； 【解决问题】 （2）若 ，直接写出代数式的值，并求的值； 【拓展应用】 （3）已知，为实数，，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）2 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图③中各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系即可； （2）根据等式的性质将的两边都除以即可得到的值；再根据代入计算即可； （3）设，，则，，由题意可得，，由代入计算即可． 【详解】解：（1）图③中大正方形的边长为，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个空白的小长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2），，两边都除以得， ， ； （3）设，，则，， ，， ． 26．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为， 所以， 所以． 所以． 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)12 (2)4052 【分析】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活应用，掌握完全平方公式的结构特点是解题关键． （1）利用完全平方公式的变形计算求解； （2）设，然后利用完全平方公式的变形计算求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， 解得：， 答：的值是12； （2）解：设，则． ∵， ∴， 把，代入， ， ， ， ， ． 27．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有_____（填序号） ①；②；③；④ (2)直接写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为4的单项式，使该单项式是对称式； (3)若关于，的代数式为对称式，求的值； (4)在（3）的条件下，已知上述对称式，且，求的值． 【答案】(1)①②④ (2) (3) (4) 【分析】本题是新定义问题，主要考查的是整式的运算和完全平方公式的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据对称式的含义即可做出判断； （2）根据对称式的含义即可求解； （3）根据对称式的含义即可求解； （4）由（2）可得，再根据，通过，即可求解得到的值； 【详解】（1）解：①， ∵， ∴是对称式； ②， ∵， ∴是对称式； ③， ∵， ∴不是对称式； ④， ∵， ∴是对称式； 综上所述：对称式有①②④， 故答案为：①②④； （2）解：由题意得：， 故是对称式； （3）解：∵是对称式， ∴，， 即， 解得：， 故答案为：； （4）解：由（2）得，即可化简为：， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：； 28．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）数和形是数学研究客观物体的两个方面，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】（1）探究2中_________； 【应用结论】（2）利用（1）的结论求解：已知，，求的值； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）；（2）； （3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据大正方形的面积为大正方形边长的平方，也可以表示为几个小正方形和长方形的面积之和，由此即可得出答案； （2）结合（1）中的公式进行计算即可； （3）先求出，再结合，进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由图可得： 大正方形的边长为，故大正方形的面积为， 大正方形的面积还可以表示为， ， 故答案为：； （2），， ， ； （3） ， ， ， ， ， ，即， ， ． 题型八 整式乘法中的新定义运算 29．（24-25七年级下·江苏扬州·单元测试）定义：，例如，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键． 根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴的值为． 30．（2024七年级下·江苏扬州·专题练习）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)小丁说：“若是‘共生有理数对’，则一定是‘共生有理数对'．”小丁的说法正确吗？请说明理由； (3)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”，为 ．（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复） 【答案】(1)不是“共生有理数对”； (2)正确，理由见解析； (3)（答案不唯一）． 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减—化简求值，解一元一次方程，解题关键在于理解“共生有理数对”的定义，根据定义进行计算． 根据“共生有理数对”的定义进行计算，根据计算的结果进行判断； 根据“共生有理数对”的定义进行计算，可知，所以可得：是“共生有理数对”； 设是一对“共生有理数对”，根据“共生有理数对”的定义得到方程：，解方程求出的值，即可得到一组“共生有理数对”． 【详解】（1）解：，， 但是， 不是共生有理数对； （2）解：是“共生有理数对”， 理由如下： 是共生有理数对， ， ，， ， ， 是“共生有理数对”； （3）解：设是一对“共生有理数对”， 根据题意可得：， 解得：， 是一对“共生有理数对”． 31．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可． 【详解】（1）解：， ∴该多项式关于对称， 故答案为：； （2）解：∵， ∵关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴该多项式关于对称， 故答案为：． 32．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)把多项式配方成的形式，则________，________； (2)若多项式，． ①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． (3)已知正整数，，满足不等式，求的值． 【答案】(1)2，1； (2)①见解析，②9 (3)1 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． （1）根据配方法的定义配方即可； （2）①根据平方具有非负性，即可得证；②将配方成，即可确定最小值； （3）根据原式可变形得，再配方可得，再根据平方的非负性质求解即可． 【详解】（1）解： ， ，， 故答案为：2，1； （2）①证明：， 多项式的值一定恒为正数； ②解： ， 的最小值为9； （3）， ， ， ，，为正整数，所以，即， 或1或，即或5或3， 当时，或1或，则或2.5或1.5，且，，为正整数， ，，， ； 当时，，即，与题意不符，舍去； 当时，，即，与题意不符，舍去． 综上所述，． 题型九 整式乘法中的三种“配方法” 33．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；；； (2)；；； (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的逆写，熟练掌握完全平方式的结构是解题关键． （1）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （2）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （3）利用完全平方公式，将等式化为，进而求出，，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：； ； （3）解： ， ， ，，， ，，， 34．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即. 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)试说明无论x取什么值一定的值一定是负数； (4)已知，求的值. 【答案】(1)      (2)    (3) (4) 【分析】（1）根据阅读材料可以得到可以把三项式中的两项作为完全平方式的两项，从而确定第三项即可； （2）根据阅读材料可以得到可以把三项式中的两项作为完全平方式的两项，从而确定第三项即可； （3）将即可判断； （4）首先分组利用完全平方公式分解因式，利用非负数的性质求得、、的数值，进一步求得的值即可． 【详解】（1）解：的三种配方分别为： ； ； （2）解：； ． （3）解：； （4）解：， ， ， ，，， ，，， 则． 【点睛】本题考查了完全平方式，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键．另外，注意分组的技巧和方法． 35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即． 根据阅读材料解决下列问题： (1)把配成完全平方式为___________；把配成完全平方式为___________； (2)已知，求的值； (3)例如：二次三项式可以有、、这样三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项3、一次项、二次项）． ， ， ， 比照上面的例子，直接写出三种不同形式的配方． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式的形式进行求解即可； （2）利用完全平方公式对已知条件进行整理，再由非负数性质求得的值，代入运算即可； （3）根据所给的例子的形式进行求解即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）， ， 则， ，， 解得：，， ； （3）， ， ． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，非负数性质，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 36．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：将进行配方，有如下三种形式： ①选择二次项、一次项配方得； ②选择二次项、常数项配得或； ③选一次项、常数项配方得． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）仿照照上述例子，写出的三种不同形式的配方结果； （2）将配方（至少两种形式）； （3）已知，求的值． 【答案】（1）①；②；③（2x-1）2-3x2；（2）或或（a-b）2+3ab；（3）5 【分析】（1）直接利用完全平方公式结合已知变形得出答案； （2）利用完全平方公式分解因式即可； （3）首先分组利用完全平方公式分解因式，利用非负数的性质求得a、b、c的数值，进一步求得a+b+c的值即可． 【详解】解：（1）①选择二次项、一次项配方得x2-4x+1=（x-2）2-3； ②选择二次项、常数项配得x2-4x+1=（x-1）2-2x； ③选一次项、常数项配方得x2-4x+1=（2x-1）2-3x2； （2）（2）a2+ab+b2=（a+b）2-ab； 或a2+ab+b2=（a+b）2+b2； 或a2+ab+b2=（a-b）2+3ab； （3）a2+b2+c2-ab-3b-4c+7=0， a2-ab+b2+（b2-4b+4）+c2-4c+4=0， （a-b）2+（b-2）2+（c-2）2=0， ∴a-b=0，（b-2）=0，c-2=0， ∴a=1，b=2，c=2， 则a+b+c=5． 【点睛】本题考查了完全平方式，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键．另外，注意分组的技巧和方法． 题型十 乘法公式的实际应用 37．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)它们的“对消值”为； (3)代数式的最小值是． 【分析】此题考查了求代数式值的能力， ()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； ()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解； ()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解． 【详解】（1）∵， , ， ∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：； （2），， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； （3），， ， ∵与互为“对消多项式”且“对消值”为， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴代数式的最小值是． 38．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 (2)根据图2，可以得到等式：______； (3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； (4)画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 (5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． (6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 【答案】(1)D (2) (3)①；②29 (4)见解析 (5)①；②35 (6) 【分析】（1）体现的数学思想是数形结合； （2）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式； （3）①先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论； ②利用①中的等式直接代入求得答案即可； （4）根据长方形的长和宽即可画出图形，将展开即可； （5）①如图3，由图形体积的两种不同表示方法可得等式； ②由等式利用代入法即可求解； （6）根据两个图形体积相等即可列出恒等式． 【详解】（1）解：这体现的数学思想是数形结合； 故选：D； （2）解：由题意得阴影部分的面积． 故答案为：； （3）解：①∵正方形面积为， 小块四边形面积总和为， ∴由面积相等可得：； 故答案为：； ②由①可知， ∵，， ∴， 故答案为：29； （4）解：面积为的长方形如图所示： ∴； （5）解：①用不同的方法表示这个大正方体的体积， 得到的等式为； ②∵，， ∴ ． 故答案为：；35； （6）解：左边体积大正方体的体积小长方体的体积； 右边体积长方体的体积； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方式的几何背景，掌握完全平方公式的几个特征是正确判断的前提，用代数式表示图形的面积、体积是解决问题的关键．注意应用数形结合思想． 39．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)； 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； （2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的等量关系式是 ； （3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ； 【知识迁移】 （4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ． 【答案】（1）（a-b）2，（a+b）2-4ab；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）80；（4）x3-x=x（x+1）（x-1） 【分析】（1）利用直接和间接的方法表示出阴影部分面积； （2）由阴影部分面积相等可得结果； （3）直接根据（2）的结论代入求值即可； （4）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可． 【详解】解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2， 方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab； （2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2； （3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2， 可得：102-4×5=（a-b）2， ∴（a-b）2=80； （4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1）， ∴恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． 40．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）【阅读理解】我们常将一些公式变形，以简化运算过程． 如，可以把公式“”变形成或等形式，运用于下面这个问题的解答： 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答：设，，则，，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： （1）若满足，则的值为_______； （2）若满足，则的值为______； （3）如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，.沿着、所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形的面积． 【答案】（1）120；（2）2021；（3）长方形NDMH的面积为192． 【分析】（1）根据题中提供方法进行计算即可； （2）设a=2020-x，b=2017-x，计算出a-b的值，利用2ab=a2+b2-（a-b）2，进行计算即可； （3）由题意知，a2+b2=400，a-b=4．利用（a-b）2+2ab=a2+b2计算ab的值即可； 【详解】解：（1）设a=80-x，b=x-70，则ab=-10，a+b=80-x+x-70=10， ∴（80-x）2+（x-70）2的值=a2+b2=（a+b）2-2ab=100+20=120， 故答案为：120； （2）设a=2020-x，b=2017-x，则a-b=2020-x-2017+x=3， ∴（2020-x）（2017-x）=ab=[a2+b2-（a-b）2]= （4051-9）=2021， 故答案为：2021； （3）设LD=a，DK=b，则AD=8+a，DC=b+12． 由题意知，8+a=b+12，a2+b2=400， ∴a-b=4． ∴（a-b）2+2ab=a2+b2 ∴42+2ab=400， 所以ab=192． 所以长方形NDMH的面积为ab=192． 即：S矩形NDMH=ab=192． 【点睛】考查完全平方公式的意义和应用，理解公式的变形和结构特征是正确应用的前提． $$