专题03 整式乘法（考题猜想，易错必刷48题16种题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版2024）

专题03 整式乘法（易错必刷48题16种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 单项式乘法 · 题型二 多项式乘法（易错） · 题型三 多项式乘法的应用 · 题型四 （x+p）（x+q）型多项式乘法（易错） · 题型五 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重点） · 题型六 多项式乘法中的化简求值（重点） · 题型七 多项式乘多项式与图形面积 · 题型八 多项式乘法中的规律性问题（重点） · 题型九 整式乘法混合运算（易错） · 题型十 平方差公式进行运算（重点） · 题型十一 平方差公式与几何图形（重点） · 题型十二 完全平方公式进行运算（重点） · 题型十三 完全平方公式与几何图形（重点） · 题型十四 通过对完全平方公式变形求值（重点） · 题型十五 求完全平方公式中的字母系数 · 题型十六 整式乘法中的新定义计算（重点） 题型一 单项式乘法 1．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型二 多项式乘法 4．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 6．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 题型三 多项式乘法的应用 7．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）若一边长为，它的另一边长为，这个长方形的面积为 ． 9．（24-25七年级下·江苏南通·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1． (1)计算，商式是________，余式是________； (2)计算，结果为________； (3)已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值． 题型四 （x+p）（x+q）型多项式乘法 10．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）回答下列问题： (1)计算： ①_________； ②________； ③____________； ④_________． (2)总结公式________ (3)已知均为整数，且．求的所有可能值． 11．（23-24七年级下·江苏南通·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 12．（23-24七年级下·江苏常州·期中）先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 题型五 已知多项式乘积不含某项求字母的值 13．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知多项式与的乘积中不含项，则常数的值是（   ） A． B． C．1 D．2 14．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若的积中不含的项与的项，则代数式的值为 ． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）在学习多项式乘多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)所得多项式的一次项系数是______； (2)计算所得多项式的一次项系数； (3)如果计算所得多项式不含一次项，求的值． 题型六 多项式乘法中的化简求值 16．（23-24七年级下·江苏常州·期末）先化简，再求值：，其中． 17．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 18．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中． 题型七 多项式乘多项式与图形面积 19．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中种纸片为边长为的正方形，种纸片为边长为的正方形，种纸片为长为、宽为的长方形，现要拼出一个长为、宽为的长方形，则需要、、三种卡片共 张． 21．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C（）将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若图1中阴影部分周长______，图2中阴影部分周长______； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含a，b，c的代数式表示）． (3)若，求出b与c满足的数量关系． 题型八 多项式乘法中的规律性问题 22．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 23．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 ． 24．（23-24七年级下·江苏南京·期末）观察下列等式： … (1)根据以上等式写出______； (2)直接写出的结果（n为正整数）______； (3)计算：． 题型九 整式乘法混合运算 25．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）已知，求代数式的值． 26．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十 平方差公式进行运算 28．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．12 B．19 C．18 D．11 30．（23-24六年级下·山东烟台·期末）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ． 题型十一 平方差公式与几何图形 31．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接，若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为 ． 32．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）【理解】 （1）如图是一块边长为的正方形草坪，东西方向需要加长，南北方向缩短．改造后的草坪面积与原来相等吗？若不相等，其面积发生的什么变化？ 【应用】 （2）用长为的篱笆围成一个长方形用于种植草坪．可种植草坪的最大面积是多少平方米？为什么？ 33．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，将图中阴影部分剪裁后拼成一个长方形，如图所示． (1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式； (3)试利用此公式计算：． 题型十二 完全平方公式进行运算 34．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）运用乘法公式计算： (1)． (2)． 35．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）运用整式乘法公式简便计算： (1)； (2)． 36．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用乘法公式计算： (1) (2)． (3) (4)； 题型十三 完全平方公式与几何图形 37．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，边长为a的正方形和边长为的正方形在一起，B，C，E三点在同一直线上，设图中阴影部分的面积分别为． (1)如图①，的值与a的大小有关吗？说明理由； (2)如图②，若，求的值． 38．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）数和形是数学研究客观物体的两个方面，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】（1）探究2中_________； 【应用结论】（2）利用（1）的结论求解：已知，，求的值； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值． 39．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形． (1)选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，请在下面图①的方框中画出拼得的正方形示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），并完成填空． 你画的正方形的面积既可以表示为________，又可以表示为________，所以可得等式________． (2)请利用型，型，型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图②的方框中画出示意图．研究拼图发现等式________． (3)选取1张型卡片，3张型卡片按图③的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则当与满足________时，为定值________． 题型十四 通过对完全平方公式变形求值 40．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 41．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）已知实数，满足，，求的值； （2）已知实数，满足，，求的值． 42．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即： 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值； 题型十五 求完全平方公式中的字母系数 43．（24-25七年级下·广西玉林·期末）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 44．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若整式可以写成一个多项式的平方，则常数的值为 ． 45．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 题型十六 整式乘法中的新定义计算 46．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）在有理数范围内定义一种新运算，规定． (1)求； (2)求； (3)设，，试比较的大小并说明理由． 47．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，即时的值最小，最小值是1． 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式______； ②配方：； 【探究问题】 （2）①已知，则______； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数、满足，当______时，最小值为______． 48．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数的形式）______； （2）若可配方成（m，n为常数），则的值为______； 【探究问题】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （4）已知x，y满足，求的最小值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$专题03 整式乘法（易错必刷48题16种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 单项式乘法 · 题型二 多项式乘法（易错） · 题型三 多项式乘法的应用 · 题型四 （x+p）（x+q）型多项式乘法（易错） · 题型五 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重点） · 题型六 多项式乘法中的化简求值（重点） · 题型七 多项式乘多项式与图形面积 · 题型八 多项式乘法中的规律性问题（重点） · 题型九 整式乘法混合运算（易错） · 题型十 平方差公式进行运算（重点） · 题型十一 平方差公式与几何图形（重点） · 题型十二 完全平方公式进行运算（重点） · 题型十三 完全平方公式与几何图形（重点） · 题型十四 通过对完全平方公式变形求值（重点） · 题型十五 求完全平方公式中的字母系数 · 题型十六 整式乘法中的新定义计算（重点） 题型一 单项式乘法 1．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘单项式运算法则． （1）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （3）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （4）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了积的乘方和单项式乘单项式运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （3）先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （4）先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘法运算．熟练掌握单项式乘以单项式法则是解决问题的关键． （1）根据单项式乘以单项式运算法则得出即可； （2）应把与分别看成一个整体，那么此题也属于单项式的乘法，可以根据单项式乘以单项式运算法则得出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二 多项式乘法 4．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）根据单项式乘多项式的法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】（1）解： （2）解： 5．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的运算； （1）先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以多项式即可； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 6．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可． （2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 题型三 多项式乘法的应用 7．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个多项式为，根据题意可得，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设这个多项式为， ∵计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是， ∴， ∴， ∴正确的结果为， 故选． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）若一边长为，它的另一边长为，这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，根据长方形的面积边长边长计算即可． 【详解】解：根据题意可得这个长方形的面积 ． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏南通·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1． (1)计算，商式是________，余式是________； (2)计算，结果为________； (3)已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式： （1）仿照题意利用短除法求解即可； （2）仿照题意利用短除法求解即可； （3）根据题意可得的余数为0，则有，据此可得答案． 【详解】（1）解： ∴商式是，余式是， 故答案为：；； （2）解： ∴； （3）解：∵M是一个整式，m是常数，，， ∴的余数为0， ∴ ∴， ∴． 题型四 （x+p）（x+q）型多项式乘法 10．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）回答下列问题： (1)计算： ①_________； ②________； ③____________； ④_________． (2)总结公式________ (3)已知均为整数，且．求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)或6 【分析】（1）根据多项式乘多项式运算法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式求解即可； （3）运用（2）所得规律可得，再结合均为整数即可解答． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④． 故答案为：、、、． （2）解：由， 故答案为：． （3）解：∵， ∴，均为整数， ∴当，则；当，则． ∴的可能值为或6． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式、探究多项式乘以多项式的规律并应用规律等知识点，正确掌握多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． 11．（23-24七年级下·江苏南通·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】(1)，，，， (2)①；② (3)19，11，9，，， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 【详解】（1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 12．（23-24七年级下·江苏常州·期中）先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【答案】(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答； （2）根据（1）中呈现的规律，列出公式； （3）根据（2）中的公式代入计算． 【详解】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为： 两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项； （2）解：公式为： （3）解：① ； ② ． 题型五 已知多项式乘积不含某项求字母的值 13．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知多项式与的乘积中不含项，则常数的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握运算法则和不含某项就让这一项的系数为零是解本题的关键． 先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项系数等于零列式求解即可． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项， ∴， 解得：， 故选：C． 14．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若的积中不含的项与的项，则代数式的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查多项式的乘法中不含某项问题， 首先根据多项式的乘法法则将多项式进行展开，然后进行合并同类项．根据不含哪一项，则哪一项的系数为零，从而得出答案． 【详解】解： ∵的展开式中不含和项， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）在学习多项式乘多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)所得多项式的一次项系数是______； (2)计算所得多项式的一次项系数； (3)如果计算所得多项式不含一次项，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式运算，涉及解一元一次方程，读懂题意，理解材料中求多项式乘以多项式后一次项系数的方法是解决问题的关键． （1）读懂题意，按照题中解题方法从中选、从选相乘；再从选、从选相乘，两者求和即可得到一次项，即可得到答案； （2）读懂题意，按照题中解题方法从选、从选、从选相乘；从选、从选、从选相乘；从选、从选、从选相乘；三者求和即可得到一次项，即可得到答案； （3）读懂题意，类比（2）题中解题方法求解得到一次项系数为，进而列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数是， 故答案为：； （2）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数为； （3）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数为， 多项式不含一次项， ，解得． 题型六 多项式乘法中的化简求值 16．（23-24七年级下·江苏常州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的化简求值，利用单项式乘以多项式和多项式乘以多项式法则展开，合并同类项得到化简结果，把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 17．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式的化简求值： （1）先去括号，再合并可化简，再将代入原式即可求解； （2）先去括号，再合并可化简，再将，代入原式即可求解； 熟练掌握多项式乘多项式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）原式 2， 当，时， 原式． 18．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式及化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可先根据多项式乘以多项式进行化简，然后代值求解即可 【详解】解：原式 ； ， ∴原式 题型七 多项式乘多项式与图形面积 19．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，可得出说法③正确；④由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积之和为，代入可得出说法④正确． 【详解】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为， 小长方形的长为，说法①正确； ②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， 阴影的较短边为，阴影的较短边为， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的周长为，阴影的周长为， 阴影和阴影的周长之和为， 阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确； ④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的面积为，阴影的面积为 ， 阴影和阴影的面积之和为， 当时，，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 故选：A． 20．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中种纸片为边长为的正方形，种纸片为边长为的正方形，种纸片为长为、宽为的长方形，现要拼出一个长为、宽为的长方形，则需要、、三种卡片共 张． 【答案】15 【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题．先计算长为，宽为的矩形面积为，根据A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：长为长为、宽为的矩形面积为， ∵A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为， ∴可知需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张， ∴需要A类、B类、C类卡片共张． 故答案为：15． 21．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C（）将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若图1中阴影部分周长______，图2中阴影部分周长______； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含a，b，c的代数式表示）． (3)若，求出b与c满足的数量关系． 【答案】(1)20，28 (2) (3) 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含a，b，c的代数式表示出，，，是解题的关键． （1）先分别用含a，b，c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将代入计算，即可求解； （2）先分别用含a，b，c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差，即可获得但； （3）结合（1）（2）可得，，再代入进行运算，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，长方形的长为，宽为， 则， ， 当时， ，． 故答案为：20，28； （2）由图形可知，长方形的长为，宽为， 则， ， ∴； （3）由（1）（2）可知，，，， ∴， 将，代入， 可得，整理可得， 即， ∴b与c满足的数量关系为． 题型八 多项式乘法中的规律性问题 22．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法相关的规律、数字类规律探索等知识点．由题意可发现规律，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律，即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 把代入得：， ∴， ∵， ∴的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的， ∵， ∴的末位数字为1． 故选D． 23．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题的关键是数形结合．通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解． 【详解】解展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， ， 展开式的系数和是， 故答案为：． 24．（23-24七年级下·江苏南京·期末）观察下列等式： … (1)根据以上等式写出______； (2)直接写出的结果（n为正整数）______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的除法、有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字变化规律． （1）根据观察可写出结果； （2）根据题目中的式子，可以写出的结果； （3）根据（2）中的结论可以解答本题． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得， 故答案为：； （3）由题意得， 题型九 整式乘法混合运算 25．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算，先求出，然后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 26．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的乘法运算，掌握整式的乘法运算的运算顺序非常关键． （1）先运用积的乘方运算，然后利用单项式乘以单项式的法则计算解题； （2）运用单项式乘以单项式的运算法则解题即可； （3）运用多项式乘以多项式的法则解题即可； （4）运用多项式乘以多项式的法则解题即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 27．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式乘除法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算加减，即可求解； （2）根据单项式的乘除法法则计算即可； （3）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可； （4）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 题型十 平方差公式进行运算 28．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 29．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．12 B．19 C．18 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值、平方差公式、多项式乘以多项式等知识，熟练运用相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据多项式乘以多项式法则，易得，再计算并将代入，然后利用平方差公式变形求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ． 故选：C． 30．（23-24六年级下·山东烟台·期末）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以之后，连续使用平方差公式进而得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：2． 题型十一 平方差公式与几何图形 31．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接，若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； 设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则、，可得，再由阴影部分的面积为9，可得，然后整理即可解答． 【详解】解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则、， ∴， ∵阴影部分的面积为9， ∴，即， ∴，即大正方形的面积与小正方形的面积之差为18． 故答案为18． 32．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）【理解】 （1）如图是一块边长为的正方形草坪，东西方向需要加长，南北方向缩短．改造后的草坪面积与原来相等吗？若不相等，其面积发生的什么变化？ 【应用】 （2）用长为的篱笆围成一个长方形用于种植草坪．可种植草坪的最大面积是多少平方米？为什么？ 【答案】（1）改造后的草坪面积与原来不相等，改造后面积减少了 （2），见解析 【分析】此题主要考查了平方差公式． （1）根据正方形和长方形的面积公式求出原来正方形草坪面积和改造后的长方形草坪面积，比较即得结论； （2）设种植草坪的一边长为，另一边长为，进而得种植草坪的面积为，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵正方形草坪的边长为， ∴正方形草坪的面积； 将正方形草坪的东西方向需要加长，南北方向缩短，边长为，， ∴改造后的草坪面积， 故改造后的草坪面积与原来不相等，改造后面积减少了； （2）最大面积是，理由如下： 设种植草坪的一边长为，另一边长为， ∴种植草坪的面积， ∴，种植草坪的面积最大，最大面积为． 33．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，将图中阴影部分剪裁后拼成一个长方形，如图所示． (1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式； (3)试利用此公式计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据正方形、长方形的面积公式即可求解； （2）根据题目已知，两图形面积相等即可写出公式； （3）根据任何数（或式）乘以，仍得这个数（或式），即可将原式变形为，然后反复运用平方差公式，即可求出结果． 【详解】（1）解：依题意得，； （2）解：依据阴影部分的面积相等，可得； （3）解：原式， ， ， ， ， ． 题型十二 完全平方公式进行运算 34．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）运用乘法公式计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是完全平方公式与平方差公式的应用； （1）直接利用完全平方公式进行计算即可； （2）直接利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； 35．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）运用整式乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)810000； (2)400． 【分析】本题主要考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用是解答本题的关键． （1）将转化为，再利用平方差公式计算即可； （2）将转化为，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用乘法公式计算： (1) (2)． (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法计算问题，掌握多项式乘法公式，会巧妙利用乘法公式计算解决问题是关键． （1）用平方差公式进行计算，去括号合并同类项即可； （2）用平方差公式与两数差完全平方公式展开，去括号合并同类项即可； （3）用平方差公式进行计算，去括号合并同类项即可； （4）用完全平方公式展开，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型十三 完全平方公式与几何图形 37．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，边长为a的正方形和边长为的正方形在一起，B，C，E三点在同一直线上，设图中阴影部分的面积分别为． (1)如图①，的值与a的大小有关吗？说明理由； (2)如图②，若，求的值． 【答案】(1)S的值与a的大小无关，见解析 (2)10 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式； （1）阴影部分面积等于两个正方形的面积和减去空白部分三个三角形的面积，据此列式整理，即可得出结论； （2）根据图形列式求出，表示出，然后利用完全平方公式求出，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：S的值与a的大小无关， 理由：由题意知：， ∴S的值与a的大小无关； （2）， ， ， ， ， ， ， ． 38．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）数和形是数学研究客观物体的两个方面，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】（1）探究2中_________； 【应用结论】（2）利用（1）的结论求解：已知，，求的值； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）；（2）； （3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据大正方形的面积为大正方形边长的平方，也可以表示为几个小正方形和长方形的面积之和，由此即可得出答案； （2）结合（1）中的公式进行计算即可； （3）先求出，再结合，进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由图可得： 大正方形的边长为，故大正方形的面积为， 大正方形的面积还可以表示为， ， 故答案为：； （2），， ， ； （3） ， ， ， ， ， ，即， ， ． 39．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形． (1)选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，请在下面图①的方框中画出拼得的正方形示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），并完成填空． 你画的正方形的面积既可以表示为________，又可以表示为________，所以可得等式________． (2)请利用型，型，型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图②的方框中画出示意图．研究拼图发现等式________． (3)选取1张型卡片，3张型卡片按图③的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则当与满足________时，为定值________． 【答案】(1)图见解析，，， (2)图见解析， (3)， 【分析】本题考查完全平方公式． （1）先画出正方形，再用两种方法表示所画正方形的面积，即可得出等式； （2）先根据题意画出方长形，再用两种方法表示出长方形的面积，即可得出等式； （3）设长为x，先表示出，即可得，再根据为定值，得，即可解决问题． 【详解】（1）解：所画正方形如图所示： 正方形的面积既可以表示为，又可以表示为， 所以可得等式， 故答案为：，，； （2）解：利用型，型，型若干张拼出一个面积为的长方形，如图所示： 研究拼图发现等式， 故答案为：； （3）解：设长为x， ∵，， ∴， 由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化， 可知当时，即时，为定值， 故答案为：，． 题型十四 通过对完全平方公式变形求值 40．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． （1）将两边平方，利用完全平方公式化简，得出，把，的值代入求出的值； （2）把变形为，把，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ． ． ； （2）（2）， ． 41．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）已知实数，满足，，求的值； （2）已知实数，满足，，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值问题，熟练掌握是解题的关键． （1）将展开，即可求解； （2）由平方差公式展开，再由完全平方公式展开进行整体代换求值，即可求解； 【详解】（1）展开得： ，将带入得： ． （2）由平方差公式展开得： ，即， ， ，两边同时减去得： ， ． 42．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即： 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值； 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题考查对于配完全平方公式的理解，偶次方的非负性，对已知式子进行正确的变形，根据题中给出的例子理解配完全平方公式要先找到平方项和中间项，是本题的解题关键，然后根据平方的非负性，得出几个非负数或者式子的和为0，那么这几个数或者式子分别为0． （1）先将原式进行配方可得，然后解得和，代入即可得出答案； （2）先将原式中的化成，然后进行配方，可得，然后可得和，代入即可得出答案； （3）由可得，然后代入，再将等式左边整理成两个整式的平方和，然后根据偶次方的非负性求出b，c的值，然后可得a的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 即：； （2）解：∵， ∴， 可得：， ∴，， ∴， 则； （3）解：∵， ∴， 把代入得：， 整理得：， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴， 则． 题型十五 求完全平方公式中的字母系数 43．（24-25七年级下·广西玉林·期末）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴或． 故选：D ． 44．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若整式可以写成一个多项式的平方，则常数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，先根据完全平方式得出，再求出答案即可． 【详解】解：， ∵整式可以写成一个多项式的平方， ∴， ∴． 故答案为：． 45．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)3或27 【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可； （2）先根据完全平方式的定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）是一个完全平方式， ， ． 当时，； 当时，． 故所求的值为3或27． 【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键． 题型十六 整式乘法中的新定义计算 46．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）在有理数范围内定义一种新运算，规定． (1)求； (2)求； (3)设，，试比较的大小并说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算和整式的运算，正确理解新定义法则是解题的关键． （1）根据新运算代入计算即可． （2）根据新运算代入计算即可． （3）先根据定义，化简，，再根据结果比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵， ∴； （3）∵，且，， ∴，， ∵， ∴． 47．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，即时的值最小，最小值是1． 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式______； ②配方：； 【探究问题】 （2）①已知，则______； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数、满足，当______时，最小值为______． 【答案】（1）①；②9，3；（2）①；②当时，为“完美数”，理由见解析；（3）3，1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①把13分为两个整数的平方即可； ②原式利用完全平方公式即可求解； （2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （3）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】解：（1）①根据题意得：； 故答案为：； ②根据题意得：， 故答案为：9，3； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 故答案为：3，1． 48．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数的形式）______； （2）若可配方成（m，n为常数），则的值为______； 【探究问题】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （4）已知x，y满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）2；（3）当时，为“完美数”，理由见解析；（4）4 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案； （4）由条件可得，再结合非负数的性质可得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； （3）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时， 有最小值，最小值为4． $$