期中真题必刷易错100题（32个考点专练）七年级数学下学期新教材北京版

期中真题必刷易错100题（32个考点专练） 考点一 不等式的定义（共1小题） 1．（23-24七年级下·北京·阶段练习）下列式子中，不等式的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 考点二 不等式的基本性质（共1小题） 2．（23-24七年级下·北京·期末）三个非零数a，b，c，满足，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 考点三 不等式的解集（共3小题） 3．（24-25七年级下·北京·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 4．（23-24七年级下·北京·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 5．（2025七年级下·北京·专题练习）下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 考点四 求一元一次不等式的解集（共3小题） 6．（24-25七年级下·北京·阶段练习）解不等式： (1)； (2)． 7．（2025·陕西西安·二模）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 8．（24-25七年级下·北京·阶段练习）解下列不等式，并把第一题的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)； (4) 考点五 求一元一次不等式的整数解（共3小题） 9．（2025七年级下·北京·专题练习）求不等式的正整数解． 10．（2025七年级下·北京·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）不等式的自然数解是 ． 考点六 求一元一次不等式解的最值（共1小题） 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 考点七 一元一次不等式组的解集（共3小题） 13．（2025年天津市河西区九年级中考第一次模拟考试数学试题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （I）解不等式①，得 ； （II）解不等式②，得 ； （III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （IV）原不等式组的解集为 ． 14．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）解不等式组 15．（24-25七年级下·北京西城·阶段练习）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 考点八 由一元一次不等式组的解集求参数（共6小题） 16．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）若关于x的不等式的非负整数解仅有2个，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）若不等式组无解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的不等式组的解集中至少有2个整数解，则整数a的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是 ． 21．（2025七年级下·北京·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 考点九 不等式组和方程组结合的问题（共3小题） 22．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 24．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知关于x、y的方程组中，，，求m的取值范围． 考点十 不等式（组）的实际应用（共6小题） 25．（24-25七年级下·甘肃临夏·阶段练习）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围． 26．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，求学生人数． 27．（2025七年级下·北京·专题练习）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 28．（2025七年级下·北京·专题练习）已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 29．（24-25七年级下·福建三明·阶段练习）三明市某化工厂，现有种原料千克，种原料千克，现准备用这些原料去生产甲、乙两种产品共件，已知每生产件甲种产品需要种原料千克以及种原料千克；每生产件乙种产品需要种原料千克以及种原料千克，请通过计算写出有哪几种具体的生产方案． 30．（24-25七年级下·北京·阶段练习）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 考点十一 二元一次方程组的概念（共1小题） 31．（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 考点十二 二元一次方程的解（共3小题） 32．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 33．（23-24七年级下·北京·阶段练习）已知是方程的解， (1)求a的值； (2)请将方程变形为用含x的代数式表示y． 34．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 考点十三 已知二元一次方程组的解求参数（共6小题） 35．（2024七年级下·北京·专题练习）若关于的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 36．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 37．（23-24七年级下·北京·阶段练习）已知关于的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足方程，求k的值． 38．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． (1)求m的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 39．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 40．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)当时、求这个方程组的解； (2)当这个方程组的x，y的值互为相反数时，求a的值； (3)嘉淇说：“无论a取什么数，的值始终不变．”请判断嘉淇的说法正确吗？说明理由． 考点十四 消元法解二元一次方程组（共3小题） 41．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）解下列方程组： (1) (2) 42．（2024七年级下·北京·专题练习）解下列二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 43．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 考点十五 三元一次方程组（共3小题） 44．（23-24七年级下·北京·阶段练习）解下列三元一次方程组： (1) (2)． 45．（23-24七年级下·北京·阶段练习）解下列三元一次方程组： (1)； (2)． 46．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得 所以方程组的解为 （2）已知，求的值， 解：①+②，得，③ ③，得． 【类比迁移】 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 考点十六 二元一次方程组的实际应用（共9小题） 47．（23-24七年级下·北京·阶段练习）某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 48．（2025·山西·模拟预测）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 49．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）【问题情境】 如图所示，张奶奶准备在长的围墙边放花盆种花，现有两种型号的花盆，长分别是和，宽和高均相等． 【探究学习】 （1）已知购买2个型花盆，3个型花盆共需68元，购买3个型花盆比购买5个型花盆少花31元．则两种型号的花盆的单价是多少元？ （2）如果将这两种型号的花盆按长边顺次相接，个型花盆，个型花盆正好摆满围墙墙边，求正整数的值． 【灵活应用】 （3）在（1）和（2）的条件下，某商店提供了两种优惠方案： 方案一：购买6个型花盆，赠送一把铲子； 方案二：购买6个型花盆，总费用打九折． 张奶奶想要购买一些花盆（花盆正好摆满围墙墙边）和一把铲子（铲子的单价是15元），请你帮张奶奶选择一种更划算的购买方案，并说明理由． 50．（2025·吉林长春·模拟预测）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如表所示． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包种食品？ 51．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）北京时间年月日，嫦娥六号返回器准确着陆，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进，两种航天飞船模型进行销售，据了解，件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元；件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元． (1)求，两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 52．（2025七年级下·北京·专题练习）为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价； (2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 53．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元． (1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； (2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 54．（2025七年级下·北京·专题练习）如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． (1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ (2)求的长度． 55．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． (1)每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ (2)该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 考点十七 整式的加减运算（共3小题） 56．（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）已知，，关于的方程的解为，求的值． 57．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）已知，． (1)求； (2)求． 58．（24-25六年级上·山东泰安·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 考点十八 整式加减运算的实际应用（共3小题） 59．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图，两个正方形边长分别为，4，且． (1)用含的式子表示阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分的面积． 60．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的长方形小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为______平方米，种花的面积为______平方米，种草的面积为______平方米；（结果保留π） (2)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积（π取3.14，结果精确到十分位）． 61．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）李老师买了一套经济适用房，建筑平面图如图：（单位：米） (1)用含有，的代数式表示地面面积（写出必要的过程，结果保留最简形式）； (2)李老师想把所有房间的地面都铺上地砖，已知每平方米地砖费用元，求，时，铺地砖的总费用是多少元？ 考点十九 同底数幂乘法（共3小题） 62．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）若则的值为（   ） A．9 B．18 C．36 D．6 63．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知，则的值为 ． 64．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 考点二十 幂的乘方（共3小题） 65．（2025七年级下·北京·专题练习）的值是（　　） A． B． C． D． 66．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）已知，则x的值为 ． 67．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 考点二十一 积的乘方（共3小题） 68．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）等于（    ）． A． B． C． D． 69．（2025七年级下·北京·专题练习）已知． （1）计算的结果为 （2）计算的结果为 ． 70．（24-25七年级下·上海浦东新·阶段练习）计算： (1)； (2)． 考点二十二 同底数幂的除法（共3小题） 71．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 72．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 73．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二十三 科学记数法（共1小题） 74．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段练习）某软件园成功研制一项高新技术，在一块生物芯片上集成若干个探针，每个探针的单位面积约为，用科学记数法表示 ． 考点二十四 单项式乘法（共4小题） 75．（24-25七年级下·山西晋中·阶段练习）计算 ． 76．（2025七年级下·北京·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 77．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 78．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二十五 多项式乘法（共3小题） 79．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1) (2) 80．（24-25七年级下·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 81．（24-25七年级下·湖北黄冈·阶段练习）计算： (1)； (2)． 考点二十六 多项式乘法中的化简求值（共3小题） 82．（2025·陕西西安·二模）先化简，再求值：，其中． 83．（24-25七年级下·北京·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 84．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 考点二十七 多项式乘法与图形面积（共3小题） 85．（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米． (1)请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积； (2)若，，求该长方形商业街区的总面积． 86．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图1，小明用一个长为、宽为的长方形纸板，做一个有底无盖的盒子．他的方法是，把这个长方形的四个角各截掉一个边长为的小正方形，如图2，然后沿虚线折起来，便成为一个无盖的纸盒． (1)若将盒子的外表面贴上彩纸，用代数式表示小明至少需要准备多大面积的彩纸； (2)当时，求所需彩纸的面积． 87．（24-25七年级下·山西晋城·期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为，宽为．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为、（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，求市民活动区域铺设地砖的费用． 考点二十八 乘法公式运算（共3小题） 88．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用乘法公式计算： (1) (2)． (3) (4)； 89．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）运用乘法公式计算： (1) (2) (3) 90．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) 考点二十九 乘法公式与几何图形（共3小题） 91．（23-24七年级下·江苏常州·期末）如图1，已知纸片是边长为的正方形，纸片是相邻两边长分别为的长方形，且纸片的周长相等． (1)当时． ①若，求的取值范围； ②如图2，以纸片的相邻两边为边长分别向外作正方形，若纸片的面积比纸片的面积小，求的面积之和； (2)如图3，将纸片叠合在一起，记阴影部分的周长为． ①_______（用含的代数式表示）； ②若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是_______． 92．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）【问题背景】通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式是常见的办法．如图1，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图2），且在图1到图2的分割过程中，面积没有变化，由此解决下列问题． 【探索归纳】 ①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是______（用含，的式子表示）； ②图2中4个部分的面积之和是________（用含，的式子表示）； ③因此，可以得到等式：____________________． 【学以致用】简便计算： ①； ②． 【拓展应用】若图2中的长方形的长与宽的值分别为和，且满足，请求出的值． 93．（23-24七年级下·广东湛江·期末）图1在一个长为，宽为的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的正方形边长为 ． (2)如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 考点三十 乘法公式的变形求值（共3小题） 94．（24-25七年级下·四川乐山·阶段练习）已知：，，求及的值． 95．（2025七年级下·北京·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 96．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 主题：制作“回形”正方形． 素材：一张长方形纸板（长为，宽为）． 步骤1：如图1，将长方形纸板的长四等分，画出相同的小长方形，并按虚线剪开； 步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回形”大正方形纸板． （1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为__________．（用含，的式子表示） （2）根据图2，请直接写出，，之间的等量关系． （3）若，，求的值． 拓展与应用 （4）若，求的值． 考点三十一 零指数幂与负整数指数幂（共1小题） 97．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若，，，请用“”表示它们的大小关系是 ． 考点三十二 整式的除法（共3小题） 98．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：．则手掌捂住的多项式为 ． 99．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在学习整式的除法之后，小婷通过延伸发现：两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母的降幂排列，然后仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．如图，计算时，可以仿照用竖式计算．请你仿照上面的例子计算的结果为 ． 100．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式， (1)求所捂的多项式； (2)若，求所捂多项式的值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错100题（32个考点专练） 考点一 不等式的定义（共1小题） 1．（23-24七年级下·北京·阶段练习）下列式子中，不等式的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的定义：用不等号（、、、、）连接起来表示不等关系的式子叫做不等式．掌握基本定义是解决这类基础题目的关键，根据不等式的定义判断即可． 【详解】解：①，是不等式， ②是不等式， ③是代数式， ④是不等式， ⑤是等式， ⑥是不等式， ⑦是等式， ⑧是不等式， ⑨是不等式， 则不等式的有①②④⑥⑧⑨一共6个， 故选：D 考点二 不等式的基本性质（共1小题） 2．（23-24七年级下·北京·期末）三个非零数a，b，c，满足，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不一定大于b， 故本选项不符合题意； B、∵，∴， 故本选项不符合题意； C、∵，∴， 故本选项不符合题意； D、∵，∴， 故本选项符合题意； 故选：D． 考点三 不等式的解集（共3小题） 3．（24-25七年级下·北京·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 4．（23-24七年级下·北京·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 5．（2025七年级下·北京·专题练习）下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【答案】(1)是该不等式的解，不是该不等式的解 (2)是该不等式的解，5不是该不等式的解 【分析】本题考查不等式的解的意义． （1）分别将括号内的数代入不等式的左边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立； （2）分别将括号内的数代入不等式的左边和右边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立． 【详解】（1）解：当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式不成立； 当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式成立； 故是该不等式的解，不是该不等式的解． （2）解：当x取0时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得， 因为，所以原不等式成立； 当x取3时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式成立； 当x取5时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式不成立， 故是该不等式的解，5不是该不等式的解． 考点四 求一元一次不等式的解集（共3小题） 6．（24-25七年级下·北京·阶段练习）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解题步骤是解题的关键． （1）通过移项合并同类项，系数化为1进行求解即可； （2）先去分母，再移项合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项合并得， 解得：， ∴不等式的解集为：； （2）解：， 去分母得， 解得：， ∴不等式的解集为：． 7．（2025·陕西西安·二模）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的求解及在数轴上表示解集，解题的关键是依据不等式的基本性质逐步化简不等式． 按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步㡠求解不等式，再将解集在数轴上表示． 【详解】解： 去分母得：， 移项：， 合并：， 解得：； 在数轴上表示出来： 8．（24-25七年级下·北京·阶段练习）解下列不等式，并把第一题的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)，数轴见详解 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键； （1）先去括号，然后再求解不等式即可； （2）先去括号，然后再求解不等式即可； （3）先去分母，然后再进行求解不等式即可； （4）先去分母，然后再进行求解不等式即可 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：； 数轴如下： （2）解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：； （4）解： 去分母得：， 移项、合并同类项得： 考点五 求一元一次不等式的整数解（共3小题） 9．（2025七年级下·北京·专题练习）求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的正整数解；先解不等式，然后将解集表示在数轴上，根据数轴得出正整数解，即可求解． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得． 原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 由数轴可知，所求不等式的正整数解为． 10．（2025七年级下·北京·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 【答案】（）该不等式的负整数解为，；（）该不等式的正整数解为，，，． 【分析】（）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； 本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解：（）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 故该不等式的负整数解为，； （）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故该不等式的正整数解为，，，． 11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）不等式的自然数解是 ． 【答案】0，1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．先去括号，在移项，系数化为1，得到不等式的解集，然后根据不等式的解集找出自然数解即可． 【详解】解： 不等式的自然数解有：0，1，2． 故答案为：0，1，2． 考点六 求一元一次不等式解的最值（共1小题） 12．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解； （2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解． 【详解】（1）解方程，得， ∵该方程的解满足， ∴，解得． （2）解不等式，得， 则最大的整数解是． 把代入， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 考点七 一元一次不等式组的解集（共3小题） 13．（2025年天津市河西区九年级中考第一次模拟考试数学试题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （I）解不等式①，得 ； （II）解不等式②，得 ； （III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （IV）原不等式组的解集为 ． 【答案】（I）；（II）；（III）数轴见解析；（IV）． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，正确计算和掌握解一元一次不不等式组的步骤是解题的关键． （Ⅰ）通过移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可； （Ⅱ）通过移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可； （Ⅲ）把不等式的解表示在数轴上； （Ⅳ）由（Ⅲ）的结论即可得． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 数轴表示为： ∴原不等式组的解集为：， 14．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先求出两边不等式的解集，再得出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 15．（24-25七年级下·北京西城·阶段练习）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式，找到它们的公共部分，即可得出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 解集在数轴上表示如下： 所以，不等式组的解集为：； 考点八 由一元一次不等式组的解集求参数（共6小题） 16．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点．不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 17．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）若关于x的不等式的非负整数解仅有2个，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求出不等式组解集，由不等式组解集的情况求参数，先整理出关于x的不等式的解集为，再得出或，则，即可作答． 【详解】解：由得， 由得， 即关于x的不等式的解集为， ∵关于x的不等式的非负整数解仅有2个， ∴或， ∴， 故选：D 18．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）若不等式组无解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，掌握求不等式组解集的方法是解题的关键．根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进行作答即可． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故选：C 19．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的不等式组的解集中至少有2个整数解，则整数a的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．解不等式组可得，，由关于的不等式组的解集中至少有2个整数解，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∵关于的不等式组的解集中至少有2个整数解， ∴， 解得，， ∴整数a的最小值为， 故选：C． 20．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中．先求出两个不等式的解集，然后根据不等式组无解得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 21．（2025七年级下·北京·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】解； 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， ∴， 去括号：， 合并同类项：， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的解集为，且5个整数解为：2，1，0，，， ∴， ∴． 考点九 不等式组和方程组结合的问题（共3小题） 22．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了解二元一次不等式组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．首先应用加减法，求出，然后根据解一元一次不等式的方法，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ，可得， 解得：， ∵， ， 解得：， 故选：A． 23．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得是解题关键．利用加减消元法求得，再建立不等式求m即可； 【详解】解： 由①②，得：， ∴， 当时，， 解得： ， ∴， 故答案为： 24．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知关于x、y的方程组中，，，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查加减法解二元一次方程组，解一元一次不等式的综合．运用加减消元法解二元一次方程组，用含的式子表示的值，再根据，，得到一元一次不等式组，进一步计算即可求解． 【详解】解：， 得，， 把代入得，， ∴原方程组的解为， 依题意得：， 解得：． 考点十 不等式（组）的实际应用（共6小题） 25．（24-25七年级下·甘肃临夏·阶段练习）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，根据题意列出不等组，求解即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，依题意得： ， 解得：， ∴的取值范围为． 26．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，求学生人数． 【答案】11或12人 【分析】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出，且，分别求出即可．此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键． 【详解】解：假设学生有x人， 根据题意得出：， 解得：． ∵x是正整数， ∴符合条件的x的值是11或12， 即学生人数为11或12人． 27．（2025七年级下·北京·专题练习）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张 (2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． （1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程求解即可； （2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． 28．（2025七年级下·北京·专题练习）已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【答案】 【分析】根据题意可求出长方体容器的体积，根据水的高度可以求出容器里现有水的体积，再用总容积减去现有水的体积，即可求出还能注入水的体积． 【详解】解：由题意，得该长方体形状的容器的容积为． 又因为容器内原有的水的体积为， 所以容器内剩余未注水的体积为， 所以的取值范围为． 【点睛】本题主要主要考查了有理数乘法和有理数减法的计算，解决此题的关键是要读懂题意，列出式子． 29．（24-25七年级下·福建三明·阶段练习）三明市某化工厂，现有种原料千克，种原料千克，现准备用这些原料去生产甲、乙两种产品共件，已知每生产件甲种产品需要种原料千克以及种原料千克；每生产件乙种产品需要种原料千克以及种原料千克，请通过计算写出有哪几种具体的生产方案． 【答案】见详解 【分析】本题考查一元一次不等式（组）的应用、一元一次不等式的整数解正确列出不等式组是解题关键； 根据题意，列出不等式组，求解分析即可． 【详解】解：设甲的生产件数为件，则乙的生产件数为件， ， 解得：， 为整数， 可以取的值为：，，， 有三种方案， 方案：甲产品件，乙产品件， 方案：甲产品件，乙产品件， 方案：甲产品件，乙产品件； 30．（24-25七年级下·北京·阶段练习）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 (2)元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解答本题的关键． （1）根据“现有面粉，鸡蛋”列出不等式组，求出自变量的取值范围，判断出符合条件的方案即可； （2）根据一盒一般糕点和精制糕点的利润，可以看出，制作的精制糕点越多，利润越大，因此找出（1）中精制糕点最多的方案，计算出这个方案的利润即可． 【详解】（1）解：设加工一般糕点盒，则加工精制糕点盒， 根据题意，得， 解得：， 为整数， 可取，，， 因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒； 加工一般糕点盒，精制糕点盒 ； 加工一般糕点盒，精制糕点盒； （2）解：由题意知，精制糕点数量越多利润越大，故当加工一般糕点盒、精制糕点盒时，可获得最大利润，最大利润为（元）． 考点十一 二元一次方程组的概念（共1小题） 31．（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：． 考点十二 二元一次方程的解（共3小题） 32．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次次方程组的解是解题的关键． 令，，得到关于X和Y的二元一次方程组的解，再代入并求出x和y即可求解． 【详解】解：令，，则方程组可变形为： ， ∵方程组的解为， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 33．（23-24七年级下·北京·阶段练习）已知是方程的解， (1)求a的值； (2)请将方程变形为用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次一次方程的解，解一元一次方程以及等式的性质等知识． （1）把二次一次方程的解代入二元一次方程，然后得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值． （2）把a的值代入二元一次方程，再利用等式的性质用含x的代数式表示y即可． 【详解】（1）解：∵是方程的解 ∴， 解得： （2）解：把代入， 得：， 则 则 34．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． （1）根据方程的解的定义，直接把，的值代入方程，即可求出的值； （2）先把方程整理为，可知当，不论取任何一个不为0的值时，都有，从而求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得． （2）解：原方程可化为， 根据题意，当，不论取任何一个不为0的值时，都有， 解得，， 即，． 考点十三 已知二元一次方程组的解求参数（共6小题） 35．（2024七年级下·北京·专题练习）若关于的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．用整体思想①②，得，等式两边都除以6，得，再根据，从而计算出的值． 【详解】解：， ①②，得， ， ， ， ． 故选：C． 36．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程和方程中，求得，再将、代入，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解：， 得：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， ∴，解得，①结论正确； 当时，方程组为，方程为， 解得： 将代入中，得：， 方程组的解是方程的解，②结论正确； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论不正确； 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：A． 37．（23-24七年级下·北京·阶段练习）已知关于的方程组 (1)若方程组的解互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足方程，求k的值． 【答案】(1)k值为 (2)k值为1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是准确求出方程组的解． （1）解方程组得出，，根据方程组的解互为相反数，得出，即，解关于k的方程即可； （2）根据方程组的解满足，得出，解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即， 解得：； （2）解：∵方程组的解满足， ∴， 解得：． 38．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． (1)求m的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解方程组和一元一次不等式组，能根据题意求出方程组的解、准确求解不等式组的解集是解题的关键． （1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可； （2）根据， ，求出，再根据，得出，最后求出即可． 【详解】（1）解：解方程组得：， 的值为非负数，的值为正数， ， 解得：， 即的取值范围是：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 39．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组和方程组的方法，准确计算． （1）先解方程组得出，然后根据x为非正数，y为负数得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可； （2）先将不等式整理为，然后根据不等式的解集为，得出，求出，根据，得出不等式的解集，根据取整数，可得． 【详解】（1）解： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为， 为非正数，为负数， ， ， 解得， 的取值范围是． （2）解：将不等式整理，得， 其解集为， ， 解得， ． 结合取整数，可得， 即当时，不等式的解集为 40．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)当时、求这个方程组的解； (2)当这个方程组的x，y的值互为相反数时，求a的值； (3)嘉淇说：“无论a取什么数，的值始终不变．”请判断嘉淇的说法正确吗？说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)正确，理由见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，二次一次方程组的解法，掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入得，求解即可； （2）解方程组，再根据这个方程组的x，y的值互为相反数，即可求解； （3）将方程组的解代入中计算即可． 【详解】（1）解：将代入，得： ， 解得：； （2）解：解方程组，得： ， ∵这个方程组的x，y的值互为相反数， ∴， ∴； （3）解：∵方程组的解为， ∴， ∴无论取什么数，的值始终不变． 考点十四 消元法解二元一次方程组（共3小题） 41．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． （1）根据代入消元法求解即可； （2）先化简，根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由，得， 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 原方程组的解为； （2）解：， 化简，得， ，得， 解得：， 将代入，得， 原方程组的解为． 42．（2024七年级下·北京·专题练习）解下列二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解二元一次方程组，是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可； （3）加减消元法解方程组即可； （4）加减消元法解方程组即可； （5）加减消元法解方程组即可； （6）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得：，解得：， 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （2） ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （3） ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （4） ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （5）原方程组可化为：， ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （6）原方程组可化为： ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：． 43．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键． （1）利用加减消元法解方程即可； （2）利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解： 由得：， 将代入①得：， 解得：， 不等式组的解集为； （2）解：方程组整理得： ， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 不等式组的解集为； 考点十五 三元一次方程组（共3小题） 44．（23-24七年级下·北京·阶段练习）解下列三元一次方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解方程组较简单． （1）把三元一次方程组化为二元一次方程组，求解二元一次方程组即可得解； （2）把三元一次方程组化为二元一次方程组，求解二元一次方程组即可得解． 【详解】（1）解：， 由，得④， 由，得 把代入④，得 把，代入①，得 ， ∴， ∴原方程组的解是． （2）解： 由，得 把④和组成方程组得 ∴ 把代入①，得 ∴原方程组的解是． 45．（23-24七年级下·北京·阶段练习）解下列三元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确消元的数学思想，会解三元一次方程组． （1）将第一个式子减去第二个式子，再加上第二个式子，可以算出的值，就可以把、的值都求出来． （2）先将三元一次方程化为二元一次方程组，再化为一元一次方程即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可知： 将得 ∴ ∴， 把代入得 ∴ ∴ ∴ ∴原方程组的解为； （2）解：， ，得④， ，得⑤， ，得， 解得， 把代入④，得， 把，代入②，得． 所以原方程组的解是． 46．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得 所以方程组的解为 （2）已知，求的值， 解：①+②，得，③ ③，得． 【类比迁移】 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 【答案】（1）  （2）  （3）比不打折少花了元 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点． （1）把②代入①中即可求出答案； （2）用①②即可得出答案； （3）设打折前商品每件元，商品每件元，由题意可得关于，的二元一次方程，变形可得，用原价减现价即可得少花钱数． 【详解】解：（1）， 把②代入①中，得：， 解得：， 把代入②中，得， ∴方程组的解为； （2）， ①②得： ； （3）设打折前商品每件元，商品每件元， 根据题意得：， 两边同时乘以，得：， ∴(元)， 答：比不打折少花了元． 考点十六 二元一次方程组的实际应用（共9小题） 47．（23-24七年级下·北京·阶段练习）某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 【答案】甲种小盒40个，乙种小盒60个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个，根据将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲种小盒40个，乙种小盒60个． 48．（2025·山西·模拟预测）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)共有2种购买方案，最大利润是220元 【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 49．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）【问题情境】 如图所示，张奶奶准备在长的围墙边放花盆种花，现有两种型号的花盆，长分别是和，宽和高均相等． 【探究学习】 （1）已知购买2个型花盆，3个型花盆共需68元，购买3个型花盆比购买5个型花盆少花31元．则两种型号的花盆的单价是多少元？ （2）如果将这两种型号的花盆按长边顺次相接，个型花盆，个型花盆正好摆满围墙墙边，求正整数的值． 【灵活应用】 （3）在（1）和（2）的条件下，某商店提供了两种优惠方案： 方案一：购买6个型花盆，赠送一把铲子； 方案二：购买6个型花盆，总费用打九折． 张奶奶想要购买一些花盆（花盆正好摆满围墙墙边）和一把铲子（铲子的单价是15元），请你帮张奶奶选择一种更划算的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）两种型号的花盆的单价分别为元，元；（2）或；（3）张奶奶应选择购买2个型花盆，6个型花盆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程，有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设两种型号的花盆的单价分别为元，元，再列方程组，进行计算，即可作答． （2）理解题意，列出，再结合，均为正整数，分别得出或．即可作答． （3）结合方案一和方案二，且或，分别算出每种情况的金额，再比较，即可作答． 【详解】解：（1）设两种型号的花盆的单价分别为元，元， 依题意，得 解得， ∴两种型号的花盆的单价分别为元，元， （2）依题意，围墙长为的边放花盆种花， 两种型号的花盆的长分别是和，且个型花盆，个型花盆正好摆满围墙墙边 ∴， ∴， ∵，均为正整数， 即为正整数，且为正整数， ∴或． （3）依题意，当购买个型花盆，6个型花盆, 则（元）， 当购买6个型花盆，3个型花盆, 则（元）， ∵ ∴张奶奶应选择购买2个型花盆，6个型花盆． 50．（2025·吉林长春·模拟预测）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如表所示． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包种食品？ 【答案】(1)选用种食品4包，种食品2包 (2)3包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用种食品包，种食品包，再结合“要从这两种食品中摄入热量和蛋白质”，这个条件进行列方程组，再解出，即可作答． （2）根据“每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于”这个条件进行列不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设选用种食品包，种食品包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用种食品4包，种食品2包． （2）解：设选用种食品包，则选用种食品包， 根据题意，得． 解得． ∴最多能选用A种食品3包． 51．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）北京时间年月日，嫦娥六号返回器准确着陆，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进，两种航天飞船模型进行销售，据了解，件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元；件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元． (1)求，两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 【答案】(1)，两种航天模型飞机的进价分别为元，元． (2)一共有种方案：种模型买个，种模型买个或种模型买个，种模型买个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用、二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程或方程组是解题关键． （1）设，两种航天模型飞机的进价分别为，，根据题意可得、的二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买，两种航天模型飞机分别为个，个，根据总价=单价×数量，得到关于、的二元一次方程，结合、是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设，两种航天模型飞机的进价分别为，， 由题意可知：， 解得： 答：，两种航天模型飞机的进价分别为元，元． （2）解：设购买，两种航天模型飞机分别为个，个， 由题意可知：，则， 当时，；当时，， 所以一共有2种方案： 种模型买个，种模型买个或种模型买个，种模型买个． 52．（2025七年级下·北京·专题练习）为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价； (2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 【答案】(1)每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元 (2)5辆 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式； （1）设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，根据“B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售B型车m辆，则销售A型车辆，利用销售总额=每辆A型车的售价×销售A型车的数量+每辆B型车的售价×销售B型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元； （2）解：设销售B型车m辆，则销售A型车辆， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为5． 答：B型车至少销售5辆． 53．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元． (1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； (2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 【答案】(1)一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元 (2)全部售出后共可获利1480元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个，根据题意列出方程组，解出的值，再计算获利即可解答． 【详解】（1）解：设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元， 由题意得，， 解得：， 答：一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元． （2）解：设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个， 由题意得，， 解得：， 购进干粉灭火器60个，购进消防自救呼吸器40个， 全部售出后共可获利（元）， 答：全部售出后共可获利1480元． 54．（2025七年级下·北京·专题练习）如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． (1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ (2)求的长度． 【答案】(1) (2)的长度分别是 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用； （1）根据路程除以速度等于时间列式计算即可； （2）设的长度是的长度是，根据题意列出二元一次方程组计算求解即可． 【详解】（1）解： ． 故小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要． （2）解：∵骑行一圈需要，沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 又∵沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 设的长度是的长度是． 根据题意，得， 解得， 故的长度分别是． 55．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． (1)每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ (2)该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 【答案】(1)每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元 (2)最多购进A种奖品40个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列二元一次方程组，列一元一次不等式，是解题的关键． （1）设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，根据购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，根据总费用不超过3120元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元， 由题意得：， 解得：， 答：每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元； （2）解：购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，由题意得： ， 解得：， 答：最多购进A种奖品40个． 考点十七 整式的加减运算（共3小题） 56．（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）已知，，关于的方程的解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，一元一次方程的解以及解一元一次方程，掌握方程的解使原方程等式左右两边相等是解题关键．先根据整式加减运算法则求出，进而得到关于的方程，再将方程的解代入，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即 ∵该方程的解为， ∴， 解得：，即m的值是． 57．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）已知，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键； （1）把，代入进行整式的加减运算即可； （2）把，代入进行整式的加减运算即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 58．（24-25六年级上·山东泰安·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算 （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 （3）原式 考点十八 整式加减运算的实际应用（共3小题） 59．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图，两个正方形边长分别为，4，且． (1)用含的式子表示阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查代数式表示图形面积，掌握整式的运算，代入求值是解题的关键． （1）根据题意，代入计算即可； （2）把代入（1）中的代数式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，， ∴ ； （2）解： ． 60．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的长方形小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为______平方米，种花的面积为______平方米，种草的面积为______平方米；（结果保留π） (2)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积（π取3.14，结果精确到十分位）． 【答案】(1)，， (2)长方形场地上种草的面积为27.4平方米 【分析】本题考查整式加减的应用，列代数式，代数式求值，准确识图，弄清题意是解题的关键； （1）根据长方形的面积公式求小路的面积，根据图形可知，种花的面积为半径为a的圆的面积，种草的面积等于两个小长方形的面积和减去圆的面积，列出代数式即可； （2）把当，代入（1）中的代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：小路的面积为平方米，种花的面积为平方米，种草的面积为平方米， 故答案为：，，； （2）解：当，时， 平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为27.4平方米． 61．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）李老师买了一套经济适用房，建筑平面图如图：（单位：米） (1)用含有，的代数式表示地面面积（写出必要的过程，结果保留最简形式）； (2)李老师想把所有房间的地面都铺上地砖，已知每平方米地砖费用元，求，时，铺地砖的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减混合运算，熟练掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键； （1）根据题意，结合图形列得代数式即可； （2）将已知数值代入（1）中求得的代数式中计算，将结果与相乘计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： （平方米）， 即地面面积为平方米； （2）解：当，时， ， （元）， 即铺地砖的总费用是元． 考点十九 同底数幂乘法（共3小题） 62．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）若则的值为（   ） A．9 B．18 C．36 D．6 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加这一运算法则． 利用同底数幂乘法法则，将变形为，再代入已知值计算． 【详解】已知，将其代入可得： ， 即， 故选：B． 63．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】81 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据已知得到，进而得到，求出结果即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：81． 64．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法进行计算即可； （2）根据题意得到，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点二十 幂的乘方（共3小题） 65．（2025七年级下·北京·专题练习）的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，根据积的乘方法则计算：等于把积中的每个因式乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：． 故选：C． 66．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）已知，则x的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先将化为，再根据同底数幂的乘法运算得到，再解方程即可． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：8． 67．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据幂的乘方进行计算，然后根据同底数幂乘法进行计算即可； （2）将看作一个整体，先根据幂的乘方进行计算，然后根据同底数幂乘法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点二十一 积的乘方（共3小题） 68．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，能正确根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算是解此题的关键． 根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】 ， 故选：C． 69．（2025七年级下·北京·专题练习）已知． （1）计算的结果为 （2）计算的结果为 ． 【答案】 6 108 【分析】本题考查积的乘方及幂的乘方的性质，熟练掌握相关运算性质并灵活运用是解题的关键． （1）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可． （2）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，再用幂的乘方的逆运算法则计算即可． 【详解】解：（1）， （2）． 故答案为：（1）6；（2）108． 70．（24-25七年级下·上海浦东新·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的加减，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算公式是解题的关键． （1）先利用同底数幂的乘法和幂的乘方，结合整体法进行计算，再进行整式的加减； （2）先合并同类项，同底数幂的乘法和积的乘方，再进行整式的加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点二十二 同底数幂的除法（共3小题） 71．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的除法运算、乘方运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （2）由奇次方的性质及同底数幂的除法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 72．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）由同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （2）由同底数幂的除法运算、同底数幂的乘法运算法则求解即可得到答案； （3）由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （4）先由同底数幂的除法运算化简，再由乘方运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 73．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂的除法运算、积的乘方运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （2）先由同底数幂的除法运算化简，再由乘方运算求解即可得到答案； （3）先由同底数幂的除法运算化简，再由积的乘方运算求解即可得到答案； （4）先由偶次方的性质恒等变形，再由同底数幂的除法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点二十三 科学记数法（共1小题） 74．（24-25七年级下·四川宜宾·阶段练习）某软件园成功研制一项高新技术，在一块生物芯片上集成若干个探针，每个探针的单位面积约为，用科学记数法表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为正整数，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．根据科学记数法表示绝对值小于的数的方法写出即可． 【详解】解：， 故答案为：． 考点二十四 单项式乘法（共4小题） 75．（24-25七年级下·山西晋中·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式运算法则求解即可． 【详解】． 故答案为：． 76．（2025七年级下·北京·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答． （2）先运算积的乘方，幂的乘方，再合并同类项，即可作答． （3）先运算单项式乘单项式，再合并同类项，即可作答． 本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 77．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）先算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； 本题考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 78．（24-25七年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方运算，合并同类项等知识，正确运用法则是解题的关键． （1）运用幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的法则即可求解； （2）运用幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的法则即可求解； （3）运用幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的法则，合并同类项法则即可求解； （4）运用幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的法则，合并同类项法则即可求解． 【详解】（1）解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 考点二十五 多项式乘法（共3小题） 79．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了单项式的乘以多项式、整式的混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘以多项式的每一项即可； （2）利用多项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 80．（24-25七年级下·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的法则进行计算，即可作答． （2）根据多项式乘多项式的法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 81．（24-25七年级下·湖北黄冈·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法，掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）先利用积的乘方将原式化简，再根据单项式乘多项式的运算法则进行运算即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点二十六 多项式乘法中的化简求值（共3小题） 82．（2025·陕西西安·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，原式根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并，得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 83．（24-25七年级下·北京·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 84．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查了学生运用法则进行计算和化简的能力．先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 考点二十七 多项式乘法与图形面积（共3小题） 85．（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米． (1)请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积； (2)若，，求该长方形商业街区的总面积． 【答案】(1) (2)1500平方米 【分析】本题考查整式的运算以及代数式求值知识点， （1）先求出长方形商业街的长和宽，再根据长方形面积公式列出式子，并化简； （2）将，代入（1）所求的面积的式子进行计算求值。 【详解】（1）长方形区域的长为（米）， 宽为（米）， 该长方形商业街区的长为（米）， 宽为（米）， 该长方形商业街区的总面积为： ． （2）当，时， （平方米）． 当，时，该长方形商业街区的总面积为1500平方米． 86．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图1，小明用一个长为、宽为的长方形纸板，做一个有底无盖的盒子．他的方法是，把这个长方形的四个角各截掉一个边长为的小正方形，如图2，然后沿虚线折起来，便成为一个无盖的纸盒． (1)若将盒子的外表面贴上彩纸，用代数式表示小明至少需要准备多大面积的彩纸； (2)当时，求所需彩纸的面积． 【答案】(1) (2)所需彩纸的面积为 【分析】本题考查了整式的运算和代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据图形表示出彩纸的面积即可； （2）把a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：当时， 所以，所需彩纸的面积为． 87．（24-25七年级下·山西晋城·期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为，宽为．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为、（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，求市民活动区域铺设地砖的费用． 【答案】(1)音乐喷泉池的占地面积为 (2)市民活动区域铺设地砖的费用为元 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可； （2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可． 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为 ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：由题可得市民活动区域的面积为 ． 市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元， ． 答：市民活动区域铺设地砖的费用为元． 考点二十八 乘法公式运算（共3小题） 88．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用乘法公式计算： (1) (2)． (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法计算问题，掌握多项式乘法公式，会巧妙利用乘法公式计算解决问题是关键． （1）用平方差公式进行计算，去括号合并同类项即可； （2）用平方差公式与两数差完全平方公式展开，去括号合并同类项即可； （3）用平方差公式进行计算，去括号合并同类项即可； （4）用完全平方公式展开，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 89．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）运用乘法公式计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的混合运算和乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1 ）利用平方差公式进行计算即可； （2 ）利用完全平方公式计算即可； （3 ）利用平方差公式和完全平方公式展开后，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 90．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是乘法公式的应用； （1）先利用完全平方公式，平方差公式计算乘法运算，再合并同类项即可； （2）把原式化为，再结合平方差公式与完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点二十九 乘法公式与几何图形（共3小题） 91．（23-24七年级下·江苏常州·期末）如图1，已知纸片是边长为的正方形，纸片是相邻两边长分别为的长方形，且纸片的周长相等． (1)当时． ①若，求的取值范围； ②如图2，以纸片的相邻两边为边长分别向外作正方形，若纸片的面积比纸片的面积小，求的面积之和； (2)如图3，将纸片叠合在一起，记阴影部分的周长为． ①_______（用含的代数式表示）； ②若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是_______． 【答案】(1)；370 (2)； 【分析】本题主要考查了代数式表示数，不等式的应用，对于（1）①，根据A，B的周长相等，可得，再结合可得答案；②，由题意可得，再结合可得解； 对于（2）①，先表示阴影部分周长，可得解； ②，由①得，再结合不等式有3个正整数解可得答案． 【详解】（1）①∵A，B的周长相等，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； ②由题意，得． ∵， ∴， ∴C，D的面积之和为70； （2）①由题意，阴影部分周长． 故答案为：； ②由①得，， ∴， ∴． 又不等式恰好有3个正整数解， ∴恰好有3个正整数解， ∴， ∴． 故答案为：． 92．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）【问题背景】通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式是常见的办法．如图1，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图2），且在图1到图2的分割过程中，面积没有变化，由此解决下列问题． 【探索归纳】 ①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是______（用含，的式子表示）； ②图2中4个部分的面积之和是________（用含，的式子表示）； ③因此，可以得到等式：____________________． 【学以致用】简便计算： ①； ②． 【拓展应用】若图2中的长方形的长与宽的值分别为和，且满足，请求出的值． 【答案】探索归纳：①；②；③；学以致用：①；②100；拓展应用：45 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 探索归纳：①根据图形列式即可； ②根据图形列式即可； ③结合①和②以及图形列式计算即可； 学以致用： ①运用完全平方公式简便运算即可； ②运用完全平方公式简便运算即可； 拓展应用：逆用完全平方公式即可解答． 【详解】解：探索归纳：①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是， 故答案为：； ②； 故答案为：； ③， 故答案为：； 学以致用： ① ②； 拓展应用：由，，则，， 所以． 93．（23-24七年级下·广东湛江·期末）图1在一个长为，宽为的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的正方形边长为 ． (2)如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景： （1）根据大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得答案； （2）设两个正方形的边长为，可得，出即可． 【详解】（1）由大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得， 阴影部分是边长为的正方形， 故答案为：； （2）设大正方形的边长为、小正方形的边长， 则，， 由得， ， 即， 因此阴影部分的面积为 答：阴影部分的面积为． 考点三十 乘法公式的变形求值（共3小题） 94．（24-25七年级下·四川乐山·阶段练习）已知：，，求及的值． 【答案】， 【分析】本题考查了完全平方公式，由题意可得，，由可得出的值，由可得出的值． 【详解】解：∵，， ∴得：， ∴， 由可得：， ∴． 95．（2025七年级下·北京·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)0 【分析】本题考查的是利用完全平方公式求解代数式的值； （1）把代入，再计算即可； （2）把代入，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 96．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 主题：制作“回形”正方形． 素材：一张长方形纸板（长为，宽为）． 步骤1：如图1，将长方形纸板的长四等分，画出相同的小长方形，并按虚线剪开； 步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回形”大正方形纸板． （1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为__________．（用含，的式子表示） （2）根据图2，请直接写出，，之间的等量关系． （3）若，，求的值． 拓展与应用 （4）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）16；（4） 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式在几何图形中的应用，能正确运用完全平方公式变形是解题的关键． （1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为大长方形的长减去宽，即可表示； （2）根据图2 阴影部分面积为正方形，则可用正方形面积公式表示，也可通过大正方形面积减去4个长方形面积表示，即可得到，，之间的等量关系； （3）由即可求解； （4）先求得，则利用求解即可． 【详解】解：（1）由图2可得小正方形（阴影部分）的边长为， 故答案为：； （2）可得阴影部分面积为：，而阴影部分面积又可表示为， ∴， ∴； （3）∵，， ∴； （4）∵， ∴， ∴． 考点三十一 零指数幂与负整数指数幂（共1小题） 97．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若，，，请用“”表示它们的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂，有理数大小比较等知识点，熟练掌握有理数的乘方法则及负整数指数幂的定义是解题的关键． 利用有理数的乘方法则及负整数指数幂的定义求出、、的值，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 考点三十二 整式的除法（共3小题） 98．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：．则手掌捂住的多项式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，多项式除以单项式．根据题意可得捂住的部分为，利用整式的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：由题意得，手掌捂住的多项式为 ， 故答案为：． 99．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在学习整式的除法之后，小婷通过延伸发现：两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母的降幂排列，然后仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．如图，计算时，可以仿照用竖式计算．请你仿照上面的例子计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式与多项式的除法计算，根据所给例子计算即可． 【详解】解：用竖式计算，如图， ∴． 故答案为；：． 100．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式， (1)求所捂的多项式； (2)若，求所捂多项式的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式除以单项式： （1）根据乘除法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案； （2）把代入（1）所求结果中计算求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴所捂的多项式为； （2）解：当时， ． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$