专题13 特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折（折叠）模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题13.特殊的平行四边形中的的图形变换模型--翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.矩形的翻折模型 2 模型2.菱形的翻折模型 30 模型3.正方形的翻折模型 54 74 【知识储备】 折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。 折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。 模型1.矩形的翻折模型 例1．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，连接，将沿翻折得到，点落在上．若，，则的长为(    )    A． B． C． D． 例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（    ）    A． B． C． D． 例3．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形沿着对角线翻折，点C落在点处，与相交于点E，若，，求的长． 例4．（2024·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长交的延长线于点．若，，则(    )    A． B． C． D． 例5．（2024·重庆九龙坡·八年级校考期中）如图，矩形中，点E、F分别为边上两动点，沿翻折矩形，使得C点恰好落在边上，记作点M，翻折后点D的对应点为点N，若，当时，线段的长度为 ．    例6．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，矩形中，，，点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形边交边于点G，连接、，则的面积的最小值为 ．    例7．（2024·成都市·九年级专题练习）在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片折四边形，，点E，G分别是边上的中点，点F，H分别是边上的点，且，连接．将，分别沿，翻折，点B的对应点为点，点D的对应点为点，当点落在线段上时，则 cm；当点在内部时，连接，若为直角三角形，则四边形的面积为 ． 例8．（2024·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 模型2.菱形的翻折模型 例1．（2023春·广西来宾·八年级校考期末）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为 ．    例2．（2023·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（    ） A．－1 B．－1 C．－1 D．2 例3．（2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点A落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的长为（   ） A． B． C． D． 例4．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为中点）所在的直线上，得到经过点的折痕．则的大小为（    ）    A． B． C． D． 例5．（2023·浙江·九年级期末）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为 ． 例6．（2024·山东九年级课时练习）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ． 模型3.正方形的翻折模型 例1．（2023·河南洛阳·统考二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（    ） A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4 例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么(    ) A． B． C． D． 例 4．（2023·天津河东·统考二模）如图，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边恰好经过点A，过点A作，垂足分别为G，若，则的长度为 ． 例5．（2023·四川广元·统考一模）如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 （填序号）． 例6．（2023·广东深圳·统考中考模拟）如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求 . 例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 1．（2024·江苏·八年级专题练习）如图，菱形的对角线相交于点O，，，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为，则五边形的周长为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·河北邢台·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，点E在边AD上，，点F在边BC上，将四边形CDEF沿EF所在的直线翻折，点D恰好落在点O处，点C落在点处．下列结论中，正确的有（    ） ①；②过点O作于点P，是等腰直角三角形；③AB的长为 A．3个 B．2个 C．0个 D．1个 3．（2024·重庆南岸·八年级校联考期中）如图，四边形是一张矩形纸片，，若沿过点的折痕将角翻折，使点落在上的处，折痕交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（2023春·广东八年级期中）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为（　　） A．12 B．15 C．10 D．15 8．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点F，连接．若点F为的中点，则的长度为 ． 9．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的处，点落在点处，折痕为，点，分别在边，上，若为直角三角形，则的长为 ． 10．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．    11．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ．    12．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 13．（2023·吉林·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    14．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．    15．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．    16．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    17．（2023·山西临汾·统考二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接，分别将和沿翻折，的对应点分别为，且三点共线．           观察发现：（1）如图1，若为边的中点，，点与点重合，则__________，__________．问题探究：（2）如图2，若，求的长． 拓展延伸：（3），若为的三等分点，请直接写出的长． 18．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.特殊的平行四边形中的的图形变换模型--翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.矩形的翻折模型 2 模型2.菱形的翻折模型 30 模型3.正方形的翻折模型 54 74 【知识储备】 折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。 折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。 模型1.矩形的翻折模型 例1．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，连接，将沿翻折得到，点落在上．若，，则的长为(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由翻折得， ，，四边形是矩形， ，，，， ，，， ，在中，．故选：A． 例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：取的中点E，连接，∵四边形为矩形，∴，，    根据折叠的性质可得，， ∵，∴，在中，， ∵点E为的中点，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴．故选：B． 例3．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形沿着对角线翻折，点C落在点处，与相交于点E，若，，求的长． 【答案】 【详解】由翻折的性质可知，在与中，， ，，，， 长方形，，． 例4．（2024·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长交的延长线于点．若，，则(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，四边形是矩形，，，    ，，，，， 点是的中点，，由折叠得，，， ，，，， ，，，， ，且， ，解得，故选：D． 例5．（2024·重庆九龙坡·八年级校考期中）如图，矩形中，点E、F分别为边上两动点，沿翻折矩形，使得C点恰好落在边上，记作点M，翻折后点D的对应点为点N，若，当时，线段的长度为 ．    【答案】 【详解】∵四边形为矩形，，∴，    设交于点G，如图，根据折叠可知，，， ∴，在和中，∵， ∴，∴，∴，即， ∴，∴，∴， 设，则，在中，， ∴，解得，∴，故答案为：． 例6．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，矩形中，，，点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形边交边于点G，连接、，则的面积的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：在上截取，连接，    由折叠得：，又，，， 最短时，也就最短，而当时，最短， 此时，点为矩形的对称中心，，即的最小值是5， 在中，∵点O为矩形的对称中心， 长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，度数也不变，是定值， 当最小值时，面积最小．过点O作， 点为矩形的对称中心，， 中，，中，， ，面积的最小值是．答案：． 例7．（2024·成都市·九年级专题练习）在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片折四边形，，点E，G分别是边上的中点，点F，H分别是边上的点，且，连接．将，分别沿，翻折，点B的对应点为点，点D的对应点为点，当点落在线段上时，则 cm；当点在内部时，连接，若为直角三角形，则四边形的面积为 ． 【答案】 或 【详解】当点落在线段上时，如图1， 由折叠得：，∵点E，G分别是边上的中点， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∵四边形是矩形，∴， 由勾股定理得：， ∵E是的中点，∴，∴； 如图2，连接，∵， ∴，∴，由折叠得：，∴， ∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形， 当点在内部时，若为直角三角形，存在两种情况： ①如图3，， ∵，∴，∵，∴共线， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，同理得：， ∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴，由勾股定理得：， ∴四边形的面积为． ②如图4，，由图1可知此时在上，在上， ∴， ∴四边形的面积为．故答案为：，或． 例8．（2024·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 【答案】(1)45；2(2)；(3)2或 【详解】（1）∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形，∴，， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，∵，∴， ∵F为的中点，∴，∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，∴，，设，则，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：45；2； （2）如图2，延长，交于点M， ∵平分，∴，由折叠的性质可知，，， ∴，∴， ∵，，∴和均为等腰直角三角形， ∴，，∴，即，解得． （3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，∴， 在和中， ，∴，∴， 设，，，∴，解得，∴． ②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，设，，， ∵，∴，解得，∴． 综上可知，的长为2或． 模型2.菱形的翻折模型 例1．（2023春·广西来宾·八年级校考期末）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为 ．    【答案】/2.5/ 【详解】解：作于，由折叠的性质可知，，四边形是菱形，      ，，为等边三角形，， 设，则，在中，，， 在中，，即，解得，，，故答案为：． 例2．（2023·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（    ） A．－1 B．－1 C．－1 D．2 【答案】B 【详解】解：如图所示：由折叠可知M=MA，∵M为AD中点，∴2MA=2MD=AD=2，∴M= MA=1是定值，∵M+C≥MC，∴当线段长度是最小值时，在MC上， 过点M作MF⊥DC于点F，∵菱形ABCD，∴CDAB ∴∠FDM=∠A=60°， ∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FC=FD+CD=，FM=， ∴MC=，∴C=MC-M=-1．故选：B． 例3．（2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点A落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接、，四边形为菱形，， ，，是等边三角形， 是中点，，，，， ∵CD∥AB，，由折叠可得， ，，．故选：A． 例4．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为中点）所在的直线上，得到经过点的折痕．则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，四边形为菱形，，为等边三角形，，，为的中点，为的平分线，即，    ，由折叠的性质得到， 在中，．故选：B． 例5．（2023·浙江·九年级期末）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为 ． 【答案】4 【详解】解：连接、，如图， 点为菱形的对角线的交点，，，， 在中，，，， 在和中，，， 过点折叠菱形，使，两点重合，是折痕，， ，，故答案为：4． 例6．（2024·山东九年级课时练习）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ． 【答案】30°/30度 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°， 由折叠的性质得：∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD， ∵∠MON=80°，∴∠AOM=∠AON=(360°-80°)=140°， ∴∠B=∠AOM=140°,∴∠BAD=40°,∴∠OAM=10°, ∴∠AMO=180°-140°-10°=30°,故答案为:30°． 模型3.正方形的翻折模型 例1．（2023·河南洛阳·统考二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接BF，则EF≥BF－BE，当点B、E、F在同一条直线上时，EF的长度有最小值，如图 由翻折的性质，BE=AB=4，在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°， ∵点F为边的中点，∴CF=2，∴，∴；故选：B． 例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（    ） A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4 【答案】D 【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°， 设正方形的边长为x，∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx， 在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，解得x＝22，∴FC＝x﹣x＝2， ∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG，∴BG2， 在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4，故选：D． 例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，， ∵、分别为、的中点，∴，∴四边形是矩形， ∴，，根据折叠的性质：， 在中，，∴，∴， ∴．故选：A． 例 4．（2023·天津河东·统考二模）如图，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边恰好经过点A，过点A作，垂足分别为G，若，则的长度为 ． 【答案】 【详解】延长AG交BC于点E，则， ． ∵正方形ABCD边长为10，． 在中，， ， 由折叠的性质得，，故答案为：． 例5．（2023·四川广元·统考一模）如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④⑤ 【详解】解：∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG = 90°，∴，故①正确； ∵，∴，∴， 设，则，在中，由勾股定理得：， 即：，解得：，∴，∴，故②正确； ∵，∴，∵是等腰三角形，， ∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴， ∴， ∴，∴，故③正确； ∵，，∴，故④正确； ∵，又∵，∴， ∴，故⑤正确；故答案为：①②③④⑤． 例6．（2023·广东深圳·统考中考模拟）如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求 . 【答案】 【详解】作于点，由折叠可知：，， ∴正方形边长 ∴.故答案为. 例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析．(3) 【详解】（1）根据折叠的性质可知，，∴． ∵，∴为等腰直角三角形．∴． ∴．∴．∴． ∴．∴． （2），理由如下：如图所示，连接，交于点．       根据题意可知为线段的垂直平分线，∴． ∵为中点，∴，即． （3）如图所示，在线段上取一点，使，连接，． 在和中，∴．∴．∴． 观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为． ∴． 1．（2024·江苏·八年级专题练习）如图，菱形的对角线相交于点O，，，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为，则五边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，， ∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， ∵折叠，∴，，∴，， ∴，， ∴，，∴和是等边三角形， ∴，，∵，， ∴是的中位线，∴， ∴五边形AEFCD的周长：，故选：A． 2．（2024·河北邢台·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，点E在边AD上，，点F在边BC上，将四边形CDEF沿EF所在的直线翻折，点D恰好落在点O处，点C落在点处．下列结论中，正确的有（    ） ①；②过点O作于点P，是等腰直角三角形；③AB的长为 A．3个 B．2个 C．0个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①四边形是矩形，，， ，，， 四边形沿所在的直线翻折，点恰好落在点处，，， 是的外角，，①错误，不符合题意； ②过点作于点，如图所示：，，由①得，，， 是等腰直角三角形．故②正确，符合题意；③在中，设，则由②得， 是等腰直角三角形，即，解得，， 过点作，如图所示：，，， ，，，四边形是矩形， ，，故③错误，不符合题意； 正确的结论只有②．即一个正确的结论，故选：D． 3．（2024·重庆南岸·八年级校联考期中）如图，四边形是一张矩形纸片，，若沿过点的折痕将角翻折，使点落在上的处，折痕交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形为矩形，，，， 根据折叠可得，，，，，， ，，．故选：． 4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的边长为2， ∴，∴， ∵与关于直线对称，∴，， ∴，，∴， ∴，∴， ∴的周长是，故选：A． 5．（2024·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.由折叠可知和分别是和的平分线． 又，，故选项A正确． B.又点与点关于对称，，又，，故选项B正确． C和D.如答图，过点作于点．，， ，易知，，设，，，    点是的中点，折叠后点落到上，点与点重合，． 易知点共线，． ，，解得． ，， ，故选项C正确，选项D错误．综上，故选：D． 6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由翻折变换可知，AB=FB，∠A=∠EFB=65°， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=65°，∴BF=BC， ∴∠BFC=∠C=65°，∴∠DFE=180°-∠EFB-∠BFC =180°-65°-65° =50°，故选：D． 7．（2023春·广东八年级期中）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为（　　） A．12 B．15 C．10 D．15 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形，，， 由翻折不变性可知：，，是等边三角形， ，，∴， ∴，，故选：C． 8．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点F，连接．若点F为的中点，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点C'作C'H⊥AD于点H， ∵点F为AD的中点，AD＝BC＝ ，∴AF＝DF＝， ∵将△DEC沿DE翻折，∴CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°， 在Rt△DC'F中，C'F＝＝1，∵S△C'DF＝×DF×C'H＝×C'F×C'D， ∴×C'H＝1×3，∴C'H＝，∴FH＝， ∴AH＝AF+FH＝，在Rt△AC'H中，AC'＝．故答案为：． 9．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的处，点落在点处，折痕为，点，分别在边，上，若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】或/或 【详解】解：菱形中，，， 分两种情况讨论，（1）当时，如图所示： 则，为等腰直角三角形， 设，则，由，可得， 解得，即，； （2）当时，如图所示：则，为等腰直角三角形， ，， ，综上可知，的长为或．故答案为：或． 10．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，    ∵在中，，，， ∴，∴， 在中， ∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时，∴ 又∴∴∴ 设，∴在中， ∴解得：（负整数）故答案为：． 11．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ．    【答案】 【详解】如图，过作于点，于点，∴    ∵四边形是矩形，∴，，∴四边形是矩形， ∵平分，∴，，∴四边形是正方形， 由折叠性质可知：，，∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，故答案为：． 12．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 【答案】 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，， ∴，， 设，则，在中，，即， 解得：，故答案为． 13．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    【答案】 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，，故答案为：． 14．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，    ∵在中，，，， ∴，∴， 在中， ∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时，∴ 又∴∴∴ 设，∴在中， ∴解得：（负整数）故答案为：． 15．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．    【答案】 【详解】解：过点A作于点Q，∵四边形为菱形，， ∴，，∴， ∵由沿折叠所得，∴，∴， ∵，，∴，则， ∴，∴，故答案为：．    16．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，∴，在中， ∴，∴设，则， ∵折叠，∴，在中，， ∴，解得：，∴，∴的坐标为，故答案为：． 17．（2023·山西临汾·统考二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接，分别将和沿翻折，的对应点分别为，且三点共线．           观察发现：（1）如图1，若为边的中点，，点与点重合，则__________，__________．问题探究：（2）如图2，若，求的长． 拓展延伸：（3），若为的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）；（3）6或 【详解】解：（1）在矩形中，为边的中点，， ∴，，∵折叠后点与点重合， ∴，， ∴，， ∴ 在中，， ∴，解得；故答案为:；． （2）如图1，延长交于点，          由折叠的性质可知，．∵， 和均为等腰直角三角形，． ，即，解得，． （3）6或．分两种情况：①当时，如图2，过点作交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，由折叠的性质可知，．． 在和中，，∴,∴． 设，，解得．∴，； ②当时，如图3，过点作交的延长线于点，连接， 则四边形为矩形，．由折叠的性质可知， ．．设，则． ，， 解得，．综上，的长为6或． 18．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 【答案】(1)45；2(2)；(3)2或 【详解】（1）∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形，∴，， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，∵，∴， ∵F为的中点，∴， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，设，则，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：45；2； （2）如图2，延长，交于点M， ∵平分，∴，由折叠的性质可知，，， ∴，∴， ∵，，∴和均为等腰直角三角形， ∴，，∴，即，解得． （3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，∴， 在和中， ，∴，∴， 设，，，∴，解得，∴． ②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，设，，， ∵，∴，解得，∴． 综上可知，的长为2或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$