专题09 六类几何最值模型专项训练-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题09. 六类几何最值模型专项训练 本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型等。 1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，，M是边上的一动点，N是的中点，连接，则的最小值为 ． 2.（2024·广西贵港·二模）如图，正方形的边长为点是的中点，若动点在对角线上，动点在边上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·黑龙江·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________． 4．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，E，F，G，H四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 5．（2024·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】 古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，连接，则的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线上另取任一点，连结，，，∵直线是点，的对称轴，点，在上， （1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最小． 【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点为与的交点，即，，三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】（2）如图④，正方形的边长为4，为的中点，是上一动点．求的最小值． 解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点与关于直线对称，连结交于点，则的最小值就是线段的长度，则的最小值是__________． （3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_________． （4）如图⑥，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，分别连接，，，则的最小值为____________． 6．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，若x轴上有两个动点M、N（M在N的左侧），且，则当取最小值时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段（点B在点A上面）在y轴上移动，，，连接，，则的最小值为（    ）        A．5 B． C． D． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，垂直平分，则周长的最小值是 ． 9．（2024·广东·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标. 10．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 11．（2024九年级下·江苏·专题练习）等边边长为6，D是中点，E在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ． 12．（2024八年级下·广东·专题练习）如图所示，在中，，，，点为线段上的一个动点，以为腰，作一个顶角为的等腰，其中为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 13．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型． （1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______． 【问题探索】（2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D．①如图①试探究数量关系，并给予证明；②如图②，若，点F是的中点，求的长． 【灵活运用】（3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积． 14．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 绕点B顺时针旋转得到，连接，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期末）阅读下列材料：小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接PA.PB.PC,求PA+PB+PC的最小值． 小华是这样思考的：要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD.BE,则BE的长即为所求． （1）请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为 ;（2）参考小华的思考问题的方法,解决下列问题： ①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹,画出一条即可）; ②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长． 16．（23-24八年级下·陕西西安·期中）根据材料回答下列小题 (1)【操作发现】如图1，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． (2)【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，求证：以，的长为三边必能组成三角形． (3)【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，．求的面积． (4)【拓展应用】如图4是三个村子位置的平面图，经测量，，，区管委会想在内建污水处理厂，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值（污水处理厂与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）． 17．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 18．（2023·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则()的最小值是____________． 19．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 20．（2024·山东日照·二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为 ． 21．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）如图，矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为 ． 22．（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB所在直线的一个动点，点F是对角线AC上的动点，且AE＝CF，则BF＋CE的最小值为 ． 23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点在轴上，动点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．动点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，则的最小值是 ． 24．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ．    25．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）如图，点M为正方形边上一动点，，将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，若E、F分别为中点，当取到最小值时， ． 26．（2023上·河北保定·九年级校考期中）如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为（    ）    A． B．5 C． D． 27．（2024·江苏·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，折痕分别与边，交于点E，F．当点G的位置变化时，长的最大值是 _________________．    28．（2024·吉林·长春二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09. 六类几何最值模型专项训练 本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型等。 1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，，M是边上的一动点，N是的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：作点C关于的对称点D，过点D作交于点F，交于G， 则，，，， ∵，，∴，， ∵，，∴，，， ∴，∴，， ∴点重合，∴当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长， ∵，，，∴， 即的最小值为3，故答案为：3． 2.（2024·广西贵港·二模）如图，正方形的边长为点是的中点，若动点在对角线上，动点在边上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作关于的对称点， 又∵四边形为正方形，∴点即为的中点，如图：∴， ∴当时，四边形为矩形，,此时的值最小值为．故选：A． 3．（2022·黑龙江·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF， ∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3， ∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，∴OB=，∴OA=， ∴点O关于AB的对称点F，∴OF⊥AB，OF=2OG=OA=，∴∠AOG=60°， ∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA=， ∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEC=∠CAE=15°， ∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°， ∴由勾股定理，得EF=, ∴PO+PE最小值=．故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，E，F，G，H四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，    由轴对称的性质可知，，，四边形是矩形， ，，， ，，，， 在和中，，，， 同理可证，，， ，，四边形是矩形，，， ，，，，  ， ，四边形周长为， 即四边形周长的最小值为26，故答案为：26． 5．（2024·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】 古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，连接，则的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线上另取任一点，连结，，，∵直线是点，的对称轴，点，在上， （1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最小． 【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点为与的交点，即，，三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】（2）如图④，正方形的边长为4，为的中点，是上一动点．求的最小值． 解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点与关于直线对称，连结交于点，则的最小值就是线段的长度，则的最小值是__________． （3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_________． （4）如图⑥，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，分别连接，，，则的最小值为____________． 【答案】（1），，；（2）；（3）17；（4） 【详解】解：（1）根据对称性知：， 故答案为：，，； （2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D，连接ED∴ED是的最小值 又∵正方形的边长为4，E是AB中点∴ ∴的最小值是； （3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为 的长度： ∵ ∴ ∴ （4）∵在边长为2的菱形ABCD中，，将沿射线的方向平移，得到 ∴ 当与垂直时，值最小 ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 6．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，若x轴上有两个动点M、N（M在N的左侧），且，则当取最小值时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点， ，，四边形是平行四边形，， ，的最小值是，此时位于位置， 设的函数解析式为，则，解得， 的函数解析式为，当时，，解得，，故选：． 7．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段（点B在点A上面）在y轴上移动，，，连接，，则的最小值为（    ）        A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将向下平移到的位置，作点关于轴的对称点，连接，，，，则，如下图：  由平移的性质知：，，    ∴四边形为平行四边形．∴，∵在轴上，∴轴， ∵与关于轴对称，∴，∴，在中，， 当、、三点共线时，，此时最小，即最小，最小值为 ∵，，∴，∴在中，， 则的最小值为．故选：D． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，垂直平分，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，，，∴， ∵垂直平分，∴关于对称，设交于， ∴当和重合时，的值最小，∴周长的最小值是，故答案为：． 9．（2024·广东·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标. 【答案】(1)(2)， 【分析】（1）解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，由模型可知的周长最小， ∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，∴D（0，2），C（3，4），， 设直线为y=kx＋b，把C（3，4），代入， 得，，解得k=2，，∴直线为， 令y=0，得x=1，∴点E的坐标为（1，0）.∴OE=1，AE=2， 利用勾股定理得，，， ∴△CDE周长的最小值为：． （2）解：如图，将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，连接，此时四边形CDEF周长最小，理由如下：∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值， ∴DE＋CF最小时，四边形CDEF周长最小，∵，且， ∴四边形为平行四边形，∴，根据轴对称可知，， ∴， 设直线的解析式为y=kx＋b，把C（3，4），代入， 得，解得，∴直线的解析式为， 令y=0，得，∴点F坐标为，∴点E坐标为． 10．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：为等边三角形，，， 将沿翻折，得到，，四边形为菱形， ∴，，，∴是边上的中线， 如图，连接，交于， ∵F是的中点，∴是边上的中线，的角平分线，∴，，， ∵，∴，∵，∴，，∴， ∴当点P运动到点A时，最大，最大为，∵，∴，由勾股定理得，，∴，故答案为：． 11．（2024九年级下·江苏·专题练习）等边边长为6，D是中点，E在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，∵都是等边三角形，∴，， ， ∴，∴，∴， ∴，如图，作点D关于的对称点G，连接，则，， ∴当B，F，G在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， ∴，∴． ∴周长：．故答案为：． 12．（2024八年级下·广东·专题练习）如图所示，在中，，，，点为线段上的一个动点，以为腰，作一个顶角为的等腰，其中为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，在等腰中，是的中点，，平分， ，，即点在的角平分线上运动， 当点在上时，，根据垂线段最短可知，此时最短， 又，，，，，， 中，，线段的最小值为．故答案为：． 13．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型． （1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______． 【问题探索】（2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D．①如图①试探究数量关系，并给予证明；②如图②，若，点F是的中点，求的长． 【灵活运用】（3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积． 【答案】（1），；（2）①，证明见解析；②；（3）． 【详解】解：（1）如图所示，连接，∵都是等边三角形， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴点E在射线上运动，∴当时，有最小值，∴此时， ∵点O为边中点，∴，∴， ∴，∴的最小值为； （2）①，证明如下：如图所示，过点C作交延长线与F，连接， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，又∵，∴，， ∴，∴， 在中， 由勾股定理得， 在中， 由勾股定理得，∴； ②如图所示，过点C作于G， ∵，∴，∴， ∵为的中点，∴，∴，在中，由勾股定理得； （3）如图所示，在延长线上截取，连接，过点A作于H， ∵，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，∵，∴， 在中，，∴，∴，∴， ∴． 14．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 绕点B顺时针旋转得到，连接，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 【答案】 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点，在中，，， ， 由旋转的性质可知：，、是等边三角形，，， ，当、、、共线时，的值最小， ，，，，， ，， ， 的最小值为，故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期末）阅读下列材料：小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接PA.PB.PC,求PA+PB+PC的最小值． 小华是这样思考的：要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD.BE,则BE的长即为所求． （1）请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为 ;（2）参考小华的思考问题的方法,解决下列问题： ①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹,画出一条即可）; ②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长． 【答案】(1)PA+PB+PC的最小值为；(2)①图形见解析；②当PA+PB+PC值最小时PB的长为． 【详解】解：（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△EDC, ∴△APC≌△EDC,∴∠ACP=∠ECD,AC=EC=5,∠PCD=60°,∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB, ∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°,∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°． 在Rt△BCE中,∵∠BCE=90°,BC=6,CE=5,∴, 即PA+PB+PC的最小值为; （2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,连接PE.DE,则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段; ②当B.P.E.D四点共线时,PA+PB+PC值最小,最小值为BD． ∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,∴△APC≌△DEC, ∴CP=CE,∠PCE=60°,∴△PCE是等边三角形,∴PE=CE=CP,∠EPC=∠CEP=60°． ∵菱形ABCD中,∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°,∴∠PCB=∠EPC﹣∠CBP=60°﹣∠30°=30°, ∴∠PCB=∠CBP=30°,∴BP=CP,同理,DE=CE,∴BP=PE=ED．连接AC,交BD于点O,则AC⊥BD． 在Rt△BOC中,∵∠BOC=90°,∠OBC=30°,BC=4,∴BO=BC•cos∠OBC=, ∴BD=2BO=,∴BP=BD=．即当PA+PB+PC值最小时PB的长为． 16．（23-24八年级下·陕西西安·期中）根据材料回答下列小题 (1)【操作发现】如图1，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． (2)【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，求证：以，的长为三边必能组成三角形． (3)【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，．求的面积． (4)【拓展应用】如图4是三个村子位置的平面图，经测量，，，区管委会想在内建污水处理厂，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值（污水处理厂与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）． 【答案】(1)等边(2)证明见解析(3)(4) 【详解】（1）解：等边三角形，理由： ∵绕点A顺时针旋转，得到， ∴，∴是等边三角形； （2）证明：如图，以为边长作等边，使 P，D分别在，的两侧，连接， ∵∴， ∵， ∴，∴  ， 在中，∵， 又∵，∴， ∴以的长为三边必能组成三角形． （3）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴   ， ∴，∴，即， ∵，∴，即， ∴（舍负），∴，∴； （4）如图，将绕点M顺时针旋转，得到，连接， ∵将绕点M顺时针旋转，得到， ∴ ∴是等边三角形，∴， 过点E作，交延长线于点F， 当点N、O、D、E四点共线时，有最小值，最小值为的长，最小值为． 17．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案为：． 18．（2023·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则()的最小值是____________． 【答案】 【详解】解：如图，作DE⊥AB于E点，连接BD ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120° ∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形∴∠PAE=30°∴AP=2PE ∵PD=PB∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小 ∵菱形的边长为4∴AB=4，AE=2∴DE= ∴2DE= ∴PA+PB+PD最小值为故答案为： 19．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H． 与x轴交于点C，与y轴变于点A， 令x=0，y=，令y=0,得x= ∴A（0，），C（，0）， ∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°， ∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四边形DBB′E是平行四边形，∴BD＝B′E， ∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3， ∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝， ∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥， ∴BD＋EC的最小值为，故答案为． 20．（2024·山东日照·二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图：过点C作使，连接， 在和中，，∴， ∴，，∴最小值可转化成最小值， 当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度； ∵，∴，∴ 设表达式为:，由题意可得：，解得：， ∴表达式为:，将代入得: ， 解得：，∴D点坐标为．故答案为：． 21．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）如图，矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，在矩形中，，， ∵，∴，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∴，∴的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵，∴是的垂直平分线，∴，∴， 连接，则， ∵，，∴． ∴的最小值为，即的最小值为．故答案为：． 22．（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB所在直线的一个动点，点F是对角线AC上的动点，且AE＝CF，则BF＋CE的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长CD至G使得CG=AC，连接BG，GF， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，即AB//CG，∴∠EAC=∠FCG， 在△AEC与△CFG中，，∴△AEC≌△CFG (SAS)， ∴CE=FG，∴BF+CE=BF+FG≥BG，即BF+CE的最小值为BG的长． ∵在Rt△ABC中，AB＝4，AD＝6，∴，∴CG． ∵在Rt△BCG中，BC=6，CG，∴， ∴BF+CE 的最小值为．故答案为：． 23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点在轴上，动点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．动点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，连接，在上方作，使，，连接交轴于点，∵，，∴，∴， ∵，，，∴，∴， ∴，（当三点共线时最短） ∵，∴， ∴的最小值是，故答案为． 24．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ．    【答案】// 【详解】解：∵四边形为矩形，∴，． ∵，∴． 延长，使得，连接，，如图，    ∵，，∴，∴平分． ∵，∴，∴，∴点Q在定直线上． ∵BP中点为E，∴，∴当最小时，有最小值． ∵当时，最小，此时，∴的最小值为．故答案为：． 25．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）如图，点M为正方形边上一动点，，将点M绕点P顺时针旋转90°到点N，若E、F分别为中点，当取到最小值时， ． 【答案】2 【详解】解：如图：过点P作，使，连接， 将点M绕点P顺时针旋转90°到点N， ，， 在和中，， ,， E、F分别为PN、PC中点，，当取最小值时，有最小值， 即取最小值时，有最小值，当时，取最小值， 此时，，，，四边形是矩形， ， 当EF取到最小值时，，故答案为：2． 26．（2023上·河北保定·九年级校考期中）如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为（    ）    A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，    ，且，，， ，，， 四边形是矩形，，，当时，的值最小， 此时，，，的最小值为，故选：C． 27．（2024·江苏·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，折痕分别与边，交于点E，F．当点G的位置变化时，长的最大值是 _________________．    【答案】； 【详解】解：连接交于点O，过点O作于点K，交于点T，过点A作交的延长线于点M，取的中点R，连接，如图：    ∵，，∴，∴， ∴四边形是矩形，∴， ∵折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，∴，，， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴的最小值为， ∴的最大值为，故答案为：； 28．（2024·吉林·长春二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过作于， ，，是等腰直角三角形，， 四边形是平行四边形，， 当时，的最小值等于的长，对角线的最小值为，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$