专题09 六类几何最值模型专项训练-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版）

专题09. 六类几何最值模型专项训练 本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型及代数法求几何最值。 1．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，，点E是线段BC上的动点，点F在线段上方，，且，连接FA，FD，则的最小值为 ． 2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，则的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，正方形边长为8，点在对角线上运动，为上一点，，则长的最小值为 ．    4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为8的菱形中，，为上方一点，且，则周长的最小值为 ． 5．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，且a，b满足，点C是线段上一个动点，以原点O为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求证：；(3)求的最小值． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为 ． 7．（2024·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __． 8．（2024·陕西·三模）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为______． 9．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 10．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________． 11．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）边长为4的等边的顶点O与坐标原点重合，顶点A在x轴正半轴上，顶点B在第一象限内，点C是y轴正半轴上一动点，连接，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交y轴于点E．    (1)如图1，当A，B，C三点共线时，______度；(2)如图2，当A，B，C三点不共线时，求的度数；(3)在问题（2）的条件下，取点，求的最小值． 12．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则当取得最小值时，下列结论正确的是（    ）    A．直线 B．直线平分 C．直线与直线重合 D．直线与直线重合 13．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景:如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 14．（2024·重庆·一模）在中，，于点D．    (1)如图1，过点B作，分别交于H，于M，求证：； (2)如图2，过点D作交于点F，点G为左侧一点，，，连接，，，之间存在的数量关系； (3)如图3，，，点P为内部一点的最小值． 15．（2024上·陕西西安·九年级统考期中）（1）如图1，是平面上一动点，线段的长是5，连接点与线段的两个端点，求的最小值． （2）如图2，曲江金地某社区内有一块矩形的空地，且，空地内有一个老年活动中心在点处，社区准备从点处分别向三处修建三条小路，分别是，求三条小路的长度之和的最小值．    16．（23-24八年级下·陕西西安·期末）问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，．由，，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用：(1)如图3，在中，，，为内部一点，连接、，则的最小值是__________． (2)如图4，在中，，，为内部一点，连接、，求的最小值．(3)如图5，是边长为2的正方形内一点，为边上一点，连接、，求的最小值． 17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点D是边的中点，若点P是边上一点，则的最小值为 ． 18．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使． ②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M． ③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 19．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 20．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 21．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在矩形中，，点E，G分别在边上，且，点F在边上，连接，若，则的最小值为 .    22．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，于点D，点E、F分别是线段上的动点，且，则的最小值为 ．    23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点在轴上，动点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．动点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，则的最小值是 ． 24．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是 ．    25．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ．    26．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ． 27．（2024·江苏·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，折痕分别与边，交于点E，F．当点G的位置变化时，长的最大值是 _________________．    28．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，中，，，．点是边上的动点，过点作边，的垂线，垂足分别为，．连接，则的最小值为 ．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09. 六类几何最值模型专项训练 本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型及代数法求几何最值。 1．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，，点E是线段BC上的动点，点F在线段上方，，且，连接FA，FD，则的最小值为 ． 【详解】解：如图1，作，交的延长线于点G． ∵四边形为正方形，∴，， ∵，∴，∴， ∵∴，∴，∵，∴，∴， ∵∴，∴点F总在的角平分线上． 如图2，在延长线上截取，则点D和点H关于直线对称， 连接，当点A、F、H在同一直线上时，的值最小，为长度． 在中，，即的最小值为．故答案为： 2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将线段沿翻折得到线段，过点作于，连接．    ，，由翻折可知，，，， ，又，的最小值就是线段的长， 在中，，，，则， ∴，，， 的最小值为，故答案为． 3．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，正方形边长为8，点在对角线上运动，为上一点，，则长的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接，交于，连接，∴，∴， ∴即为所求的点，∴的长即为的最小值，∵正方形，∴，，    ∵，∴，∴．∴长的最小值为；故答案为：． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为8的菱形中，，为上方一点，且，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：过A作于E，∵四边形是菱形，，∴， ∴，∴ ∴，设点P到的距离为h，∴ ， 即点P在平行于且到的距离为2的直线l上， 作点B关于直线l的对称点G，连接交直线l于点P，则此时，的值最小，最小值为的长， ∵，∴，∴， ∴，∴最小值为， ∴周长的最小值为故答案为：． 5．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，且a，b满足，点C是线段上一个动点，以原点O为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求证：；(3)求的最小值． 【答案】(1)为等腰直角三角形(2)答案见详解(3) 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴，∵，∴为等腰直角三角形． （2）解：如图所示，连接．∵，∴， 又∵，∴∴，， ∵，∴，∴为直角三角形， ∵在和中，，，，∴． （3）解：如图所示，过点B作的对称点，过作于点F，则，，则，∴的最小值即为的最小值，∴当三点共线时，最小，即长，∵，，，∴，∴，在中，，∴的最小值为 ． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，连接，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点．，，四边形是平行四边形，∴，    ∵E为边的中点，∴， F点与点G关于对称，垂直平分，， ∴，，， ∴，线段的最小值为，故答案为：． 7．（2024·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __． 【答案】     平行四边形     2 【详解】（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形． （2）如图2，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H． ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2， ∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ是矩形， ∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3， ∴， ∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″， ∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值为2，故答案为：2． 8．（2024·陕西·三模）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为______． 【答案】 【详解】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示． ∵AE=CG，BE=BE′，∴E′G′=AB=8，∵GG′=AD= BC=4，∴E′G= =4， ∴C四边形EFGH=2E′G=8．故答案为：8． 9．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：为等边三角形，，， 将沿翻折，得到，，四边形为菱形， ∴，，，∴是边上的中线， 如图，连接，交于， ∵F是的中点，∴是边上的中线，的角平分线，∴，，， ∵，∴，∵，∴，，∴， ∴当点P运动到点A时，最大，最大为，∵，∴，由勾股定理得，，∴，故答案为：． 10．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________． 【答案】     ##30度     【详解】解：①∵为等边三角形，∴，，∴， ∵是等边三角形，∵，， ∴，，∴， 在和中∴，得；故答案为：． ②（将军饮马问题）过点D作定直线CF的对称点G，连CG， ∴为等边三角形，为的中垂线，，∴， 连接，∴，又，∴为直角三角形， ∵，，∴，∴的最小值为．故答案为：． 11．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）边长为4的等边的顶点O与坐标原点重合，顶点A在x轴正半轴上，顶点B在第一象限内，点C是y轴正半轴上一动点，连接，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交y轴于点E．    (1)如图1，当A，B，C三点共线时，______度；(2)如图2，当A，B，C三点不共线时，求的度数；(3)在问题（2）的条件下，取点，求的最小值． 【答案】(1)120(2)的度数为(3)的最小值为 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）可知：， ∴点D在过点B且垂直的射线上运动， 如图，过点P作于，过点A作于H， 由垂线段最短，可得的最小值为， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∵，， ∴， ∴即的最小值为：． 12．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则当取得最小值时，下列结论正确的是（    ）    A．直线 B．直线平分 C．直线与直线重合 D．直线与直线重合 【答案】B 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵中，，，∴，， 由旋转的性质可得 ，∴， ∴，∴，∴， ∴点N在直线运动，∴当时，最小， 设当时，点N与点H重合，延长交于F， ∴，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴直线平分，故选B．    13．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景:如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短（2）5（3） 【详解】（1），，为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值．故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ，， 又，，根据旋转的性质可知：， ，即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低，将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图： 由旋转性质可知：，，，， 在中，，， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度，，，，， ， ，的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 14．（2024·重庆·一模）在中，，于点D．    (1)如图1，过点B作，分别交于H，于M，求证：； (2)如图2，过点D作交于点F，点G为左侧一点，，，连接，，，之间存在的数量关系； (3)如图3，，，点P为内部一点的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵，，∴， ∵，∴，∴； （2）解：结论：．理由如下：在上取点J，使得，连接，，延长交于点K．过点A作，交的延长线于点H，如图所示：    ∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵，，∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：如图3中，将绕点B逆时针旋转得到，连接AT、，延长，过点A作交的延长线于点K．    根据旋转可知，，，， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵∴，∴四边形是矩形，∴， 在中，，，，∴， ∵，∴，∵，， ∴，∴， ∴，∴的最小值为． 15．（2024上·陕西西安·九年级统考期中）（1）如图1，是平面上一动点，线段的长是5，连接点与线段的两个端点，求的最小值． （2）如图2，曲江金地某社区内有一块矩形的空地，且，空地内有一个老年活动中心在点处，社区准备从点处分别向三处修建三条小路，分别是，求三条小路的长度之和的最小值．    【答案】（1）的最小值是5；（2）三条小路的长度之和的最小值是 【详解】（1）解：由题意可得，∴，∴的最小值是5． （2）解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．    由旋转的性质可知，是等边三角形，∴，∵，∴， 当四点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长． 四边形是矩形，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴∴三条小路的长度之和的最小值是． 16．（23-24八年级下·陕西西安·期末）问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，．由，，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用：(1)如图3，在中，，，为内部一点，连接、，则的最小值是__________． (2)如图4，在中，，，为内部一点，连接、，求的最小值．(3)如图5，是边长为2的正方形内一点，为边上一点，连接、，求的最小值． 【答案】（1）5；（2）；（3）. 【详解】解：（1）如图3中，将绕点逆时针旋转得到， ∴≌，∠CAE=PAF=60°，∴AE=AC=3，AF=AP，∴是等边三角形， ∵∠BAC=30°，∴， 在中，，， ，的最小值为5．故答案为5． （2）如图4中，将绕点逆时针旋转得到， ∴AF=AP，∠FAP=90°，∴是等腰直角三角形，∴FP=， ∵∠BAC=45°，∴，，作交的延长线于． 在中，，，， 在中，， ，的最小值为． （3）如图5中，将绕点逆时针旋转得到，则易知是等边三角形， 作于，交于．， 易知，，，， 的最小值为． 17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点D是边的中点，若点P是边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，作，于，于交于， ∵是等腰直角三角形，，，，， ∵点D是边的中点，∴，，，∴， ，，，，， ∵，，，，，， ，，，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为的长，故答案为：． 18．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使． ②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M． ③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：由作图可知，是的平分线， ∴，如图，作于， ∴，∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，最小值为，故答案为：． 19．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【答案】 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ， ∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 20．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点旋转，得到，连接，则：，， ∵正方形，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴当三点共线时，取得最小值为的长， 过点作，，则四边形为矩形，∴，， ∵，，∴为等腰直角三角形，∴， ∴，， ∴， 在中，，∴的最小值为．故答案为：． 21．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在矩形中，，点E，G分别在边上，且，点F在边上，连接，若，则的最小值为 .    【答案】 【详解】解：如图，连接，作关于的对称点，连接交于，连接，    由轴对称的性质可得：，，， ∵矩形，∴，，∵，∴， ∴四边形为平行四边形，∴，∴， ∴当，，三点共线时，，此时最小， 过作于，则四边形为矩形，∴，， ∴，∴，故答案为： 22．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，于点D，点E、F分别是线段上的动点，且，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：过点作，使，连接，，    ，， ，，，，， 当、、三点共线时，的值最小，，， ，在中，，故答案为：． 23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点在轴上，动点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．动点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，连接，在上方作，使，，连接交轴于点，∵，，∴，∴， ∵，，，∴，∴， ∴，（当三点共线时最短） ∵，∴， ∴的最小值是，故答案为． 24．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是 ．    【答案】 【详解】解：连接，如图所示：    ∵M、N分别是的中点∴∵E是上的动点，∴ ∵∴∴∴长的最大值是：．故答案为：． 25．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：延长，，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示：    ∵四边形为平行四边形，∴，，， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，，∴， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， ∵为等边三角形，∴，，∴， ∴，∵，∴，∴，∴当最小时，最小， ∵垂线段最短，∴当点E与点H重合时，最小，此时最小值为， ∴最小值为．故答案为：． 26．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长，使得，连接，，如图， ∵，，∴，∴平分， ∵，∴，∴，∴点在定直线上， ∵是的中点，∴，∴当最小时，有最小值， 当时，最小，此时， ∴的最小值为，故答案为：． 27．（2024·江苏·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，折痕分别与边，交于点E，F．当点G的位置变化时，长的最大值是 _________________．    【答案】； 【详解】解：连接交于点O，过点O作于点K，交于点T，过点A作交的延长线于点M，取的中点R，连接，如图：    ∵，，∴，∴， ∴四边形是矩形，∴， ∵折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，∴，，， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴的最小值为， ∴的最大值为，故答案为：； 28．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，中，，，．点是边上的动点，过点作边，的垂线，垂足分别为，．连接，则的最小值为 ．    【答案】/2.5/ 【详解】解∶如图，连接，∵，，，∴，    ∵，，∴，∴四边形是矩形，∴， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时，，即，解得∶，∴的最小值为， 故答案为∶． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$