专题14 六类几何最值模型专项训练-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题14. 六类几何最值模型专项训练 本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型等。 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，P是长方形内部的动点，，，的面积等于，则点P到、C两点距离之和的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，正方形的边长为6，P为对角线上的一个动点，E是的中点，则的最小值为 ．    3．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 5．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图．直线经过第一象限内的定点，点是轴正半轴上的一个动点，连接．把线段绕点顺时针旋转至线段（且），连接、、，周长的最小值为 ． 6．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，是边长为6的等边三角形，点D在边上，且，线段在边上运动，，则的最小值为 ． 7．（2024·山东德州·校考二模）如图，矩形中，，，点，分别是，上的动点，，则最小值是（    ）    A．13 B．10 C．12 D．5 8．（2024·贵州贵阳·一模）如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是 ． 9．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 10．（2023·山东泰安·二模）如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽马鞍山·二模）已知是边长为4的等边三角形，点D为高上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接和，则下列说法错误的是（    ） A．的面积为 B．的最小值为1 C．周长的最小值为 D．为直角三角形时，的面积为 12．（2024·江苏南京·一模）如图，已知点，，点C在y轴上运动．将绕A顺时针旋转得到，则的最小值为 ． 13．（2024上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，已知，，点在内，将绕着点逆时针方向旋转得到．则的最小值为(    ) A． B． C． D． 14．（2024·陕西咸阳·模拟预测）问题提出 （1）如图1，在连接平面内A，B两点的所有线中， 号最短（从上到下依次为①，②，③，④号线）； 问题探究（2）如图2，在中，已知，以AC为边向上作等边三角形ADC，连接BD，求BD边长的最大值； 问题解决（3）如图3，某住宅区内有一块三角形空地ABC，物业公司现计划在三角形空地内部找一点P，并分别向空地的三个顶点铺设PA，PB，PC三条步行道，已知，且，为了尽可能降低施工经费，请你帮物业公司求出的最小值并找出点P的具体位置．（参考数据：，） 15．（2024·陕西·九年级开学考试）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 16．（23-24九年级下·湖北十堰·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将绕点顺时针旋转60°得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 17．（2024·江苏·一模）如图，在边长为1的等边△ABC中，AD是BC边上的高，连接BP，则BP+的最小值是 ． 18．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 19．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 20．（2024·陕西·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE，则BE+CF的最小值是 ． 21．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 22．（2023·河南南阳·模拟预测）如图，正方形边长为4，F为对角线上一个动点，过C作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ． 23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点在轴上，动点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．动点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，则的最小值是 ． 24．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，E是边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，点M、N分别是边的中点，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 25．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ． 26．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ． 27．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）在中，，，点P为边上一动点，连接，以为边作，则的最小值为 ． 28．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，连接，点关于的对称点在线段上，则的最大值为_________．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14. 六类几何最值模型专项训练 本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型等。 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，P是长方形内部的动点，，，的面积等于，则点P到、C两点距离之和的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】解：设中边上的高是． ，，，，动点在与平行且与的距离是3的直线上， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， 则，的最小值就是的长， 与关于直线对称，，四边形是矩形，， ，，，故选：C． 2．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，正方形的边长为6，P为对角线上的一个动点，E是的中点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：连接，正方形的边长为6，，是的中点，    ，点、关于直线对称，， 即是的最小值，，故答案为： 3．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线AB于P，连接，则，此时，最小，最小值，   ， ∵正方形，，∴，，，，， ∴点O关于的对称点F，∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， 又∴，∴，∴，∴最小值为．故选：C． 4．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长． 过点作的垂线，交的延长线于点，∴， ∵为的中点，，∴，， ∴，∴．∴的最小值是． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图．直线经过第一象限内的定点，点是轴正半轴上的一个动点，连接．把线段绕点顺时针旋转至线段（且），连接、、，周长的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】如图，设点，点，而点，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，∵，∴而, ∴，而，∴ ∴，即，，解得：，，则， 即点在直线上，如图，设直线交轴交于点， 作点作直线的对称点，当点、、 三点共线时，最小，即周长最小，由直线 的表达式知，该直线与轴的夹角为 ，则为等腰直角三角形，则，故点，∴，， 则周长的最小值为，故答案为：． 6．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，是边长为6的等边三角形，点D在边上，且，线段在边上运动，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点D关于的对称点M， 交于点T，连接，以为邻边在的外面作平行四边形，过点C作，垂足为G，的延长线与的延长线交于H， 根据轴对称的性质可知：，∵四边形为平行四边形，∴， ∴，∴，根据“两点之间线段最短”可知：当C，F，N在同一条直线上时，为最短，即：为最小，此时的最小值即为线段的长， ∵是边长为6的等边三角形，∴，∵点D、M关于对称， 在中，，∴，，∴， ，，∴四边形为矩形，∴， ∵是边长为6的等边三角形，，，， ∵四边形为平行四边形，， 在中，，∴，∴， 在中，，∴，故答案为：． 7．（2024·山东德州·校考二模）如图，矩形中，，，点，分别是，上的动点，，则最小值是（    ）    A．13 B．10 C．12 D．5 【答案】B 【详解】延长，取点，使得，连接，如图    ∵，四边形是矩形∴四边形和四边形是矩形 ∵，，∴∴∴ ∵点，分别是，上的动点 故当，，三点共线时，的值最小，且的值等于的值 在中， 故选：B． 8．（2024·贵州贵阳·一模）如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作关于点的对称点，交于点，连接， 由题意可知，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到， 的周长的最小值转化为周长的最小值，当三点共线时，最小为的长， 均为等边三角形，，四边形是菱形， ，，， 在中，， 周长的最小值为，故的周长的最小值为．故答案为：． 9．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：为等边三角形，，， 将沿翻折，得到，，四边形为菱形， ∴，，，∴是边上的中线， 如图，连接，交于， ∵F是的中点，∴是边上的中线，的角平分线，∴，，， ∵，∴，∵，∴，，∴， ∴当点P运动到点A时，最大，最大为，∵，∴，由勾股定理得，，∴，故答案为：． 10．（2023·山东泰安·二模）如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，在的下方作等边，作射线． ，，，， 在和中，，，， ，，点在射线上运动点是定点，是定值， 当时，的值最小，最小值，故选：B． 11．（2024·安徽马鞍山·二模）已知是边长为4的等边三角形，点D为高上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接和，则下列说法错误的是（    ） A．的面积为 B．的最小值为1 C．周长的最小值为 D．为直角三角形时，的面积为 【答案】D 【详解】解：由题意得： ∵∴ ∴的面积，故A正确； 当点与点重合时，将绕点A顺时针旋转得到，作如图所示：          由题意可知：点在线段上运动∴当时，有最小值 ∵∴， ∵∴,∴ ∵∴∴ ∵，为中点∴，故B正确； 作点关于的对称点，连接，如图所示： ∵ 又∴ ∵∴ ∵∴是等边三角形∴∴，故C正确； 由以上分析可知：,若，如图所示： 则，∴的面积 若，如图所示：则 ∴的面积故D错误；故选：D 12．（2024·江苏南京·一模）如图，已知点，，点C在y轴上运动．将绕A顺时针旋转得到，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】以为边作等边三角形，连接． 点，，，，是等边三角形， ，， 将绕A顺时针旋转得到，，，， ，，点D在过点H且垂直于的直线上运动， 当时，有最小值，此时，如图，过点A作于N， ，，，四边形是矩形，， ， ，，，故答案为：3． 13．（2024上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，已知，，点在内，将绕着点逆时针方向旋转得到．则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到，∴， ∴是等边三角形，∴，∴当点共线时，最小，最小值为的长， ∵，∴， ∴，∴，，∴， 在Rt△BFH中，由勾股定理得，，∴AE+PB+PC的最小值为，故答案为：B． 14．（2024·陕西咸阳·模拟预测）问题提出 （1）如图1，在连接平面内A，B两点的所有线中， 号最短（从上到下依次为①，②，③，④号线）； 问题探究（2）如图2，在中，已知，以AC为边向上作等边三角形ADC，连接BD，求BD边长的最大值； 问题解决（3）如图3，某住宅区内有一块三角形空地ABC，物业公司现计划在三角形空地内部找一点P，并分别向空地的三个顶点铺设PA，PB，PC三条步行道，已知，且，为了尽可能降低施工经费，请你帮物业公司求出的最小值并找出点P的具体位置．（参考数据：，） 【答案】（1）③；（2）5；（3）的最小值为82，分别以为边作等边三角形,连接,则与的交点P是具体位置,理由见解析． 【详解】解：（1）根据两点之间、线段最短可得③号最短．故答案为：③． （2）如图：以为边向左作等边,连接，∴， ∵,,∴， ∵等边三角形ADC，∴，∵,∴, ∴,,∵,∴的最大值为5，即BD边长的最大值为5． （3）如图：将绕B点顺时针旋转至的位置，连接,则, ∴是等边三角形，∴,∴, 当在同一条直线上时，有最小值， 如图：过E作交延长线于N，过C作于M， 在中，,∴,∴,∴, 在中，,∴, 在中，, ∴,∴,∴, ∴,∴的最小值为82； 这时,∵，∴， ∴,如图：分别以为边作等边三角形,连接,则与的交点P是具体位置,理由如下： ∵,,∴,∴, ∵，∴,∴， 如图：连接,分别作，垂足为, 根据全等三角形对应边上的高相等可得：,∴平分, ∴,即,∴,即点P符合题意． 15．（2024·陕西·九年级开学考试）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB=， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，， ∵，∴，即，∴，即BC的最小值为； （3）解：如图3，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，∴△EBE'为等边三角形， ∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小，此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 16．（23-24九年级下·湖北十堰·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将绕点顺时针旋转60°得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 【答案】 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于点， 在中，∵，，∴， 由旋转的性质可知：，、是等边三角形，∴，∴， ∵，∴当共线时，的值最小， ∵，，∴， ∵，∴，， ∴，∴的最小值为，故答案为：． 17．（2024·江苏·一模）如图，在边长为1的等边△ABC中，AD是BC边上的高，连接BP，则BP+的最小值是 ． 【答案】． 【详解】过B作BH⊥AC于H，交AD于P'，过P作PQ⊥AC于点Q，如图： ∵等边△ABC，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝30°， 在Rt△APQ中，PQ＝AP•sin∠DAC＝AP•sin30° ，∴BP+AP=BP+PQ， BP+AP最小即是BP+PQ最小，当B、P、Q共线，Q与H重合时，BP+AP的最小值即是BH的长度， ∵边长为1的等边△ABC，BH⊥AC，∴∠BHC＝90°，∠C＝60°， ∴BH＝BC•sinC＝1×sin60°＝，∴BP+AP的最小值是，故答案为：． 18．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【答案】 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ， ∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 19．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 【答案】6 【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P， ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD）， ， 此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6． 20．（2024·陕西·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE，则BE+CF的最小值是 ． 【答案】4 【详解】解：过A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝4，连接BF、FG、BG， ∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∵BA⊥AG，∴∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠GAF＝90°，∴∠GAF＝∠ABD，∴∠GAF＝∠BCE， 又∵AF＝CE，AG＝CB，∴△AGF≌△CBE（SAS），∴GF＝BE， ∵FB＝FC，∴BE+CF＝GF+BF，∵当点B、F、G三点共线时，GF+BF最小， ∴GF+BF的最小值时线段BG的长，∵∠BAG＝90°，AB＝8，AG＝4， ∴BG＝＝4即BE+CF的最小值为4，故答案为：4． 21．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点旋转，得到，连接，则：，， ∵正方形，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴当三点共线时，取得最小值为的长， 过点作，，则四边形为矩形，∴，， ∵，，∴为等腰直角三角形，∴， ∴，， ∴， 在中，，∴的最小值为．故答案为：． 22．（2023·河南南阳·模拟预测）如图，正方形边长为4，F为对角线上一个动点，过C作的垂线并截取，连接，周长的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过作交于，连接、， ，，，， ，，，，，四边形为平行四边形， ，四边形为矩形，， ，在中，， ，当时，取得最小值，此时， 周长的最小值，故答案为：． 23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点在轴上，动点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．动点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，连接，在上方作，使，，连接交轴于点，∵，，∴，∴， ∵，，，∴，∴， ∴，（当三点共线时最短） ∵，∴， ∴的最小值是，故答案为． 24．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，E是边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，点M、N分别是边的中点，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，过点C作交延长线于点G，如图所示： ∵E是边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，∴点F的运动轨迹为线段， ∵边长为的正方形，∴，，， 过点D作，此时最小，∴， ∵点M、N分别是边的中点，∴的最小值为，故选：B 25．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】10 【详解】解：如图，连接，∵点是的角平分线上一动点，则 ， 又∵，，∴，∴，∴， ∴当，，在同一直线上时，的最小值为线段长， 又∵是等边三角形，，∴的最小值为10，故答案为：10． 26．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接OP． 由已知可得：．∴四边形ONPM是矩形．∴， 在中，当时OP最短，即MN最小．∵即 根据勾股定理可得：． ∵∴∴ 即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为 在中，根据勾股定理可得：∴ ∵∴∴ 在中∴ ∴故答案为： 27．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）在中，，，点P为边上一动点，连接，以为边作，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图所示，设交于O，过点O作于D， ∵在中，，，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，在中，， 由垂线段最短可知，当点P与点D重合时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， 故答案为：3． 28．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，连接，点关于的对称点在线段上，则的最大值为_________．    【答案】/ 【详解】如图，过点B作于点，连接      根据菱形的性质可得，根据轴对称的性质可得， 要使最大，则需最小，∴根据垂线段最短这个定理，当时，此时最短， ∴四边形是矩形，，在中，， ∴，即最小值为，最大值为，故填：．   1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$