精品解析：四川省攀枝花市2025届高三第二次统一考试数学试题

攀枝花市2025届高三第二次统一考试 数学 2025.3 本试题卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.并用2B铅笔将答题卡考号对应数字标号涂黑. 2.答选择题时，选出每小题答案后，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所规定的答题区域内作答，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则z的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法求出复数即可求解. 【详解】因为，所以，所以z的虚部为. 故选：A 2. 抛物线上一点P和焦点F的距离等于6，则点P的横坐标（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】计算准线方程得到，解得答案. 【详解】抛物线的准线方程为，设点的横坐标为， 到焦点的距离等于，故. 故选：B. 3. 设集合，则满足且的集合S的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合直线的包含关系以及交集的结果，利用集合元素个数，可得答案. 【详解】由，则，所以集合的个数为. 故选：D. 4. 已知平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量共线的坐标表示及充分条件，必要条件的定义即可得到答案. 【详解】若，则有，解得或， 所以“”是“”的不充分条件； 若，则，，所以， 所以“”是“”的必要条件， 综上，”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断曲线与直线是否存在交点，若存在，则最短距离为0，若不存在，则当曲线在切点处的斜率为2时，切点到直线的距离最短. 【详解】令， 因，则， 故曲线和直线无交点， ，则，令，解得， 则曲线上的点到直线的距离， 则的最小值为. 故选：A 6. 男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 【答案】B 【解析】 【分析】先求出第一排有2名男生，1名女生，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数. 同理可得，第一排有1名男生，2名女生，不同的站法种数.然后根据分类加法计数原理，相加即可得出答案. 【详解】若第一排有2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生只能站中间， 不同的排法种数为； 同理可得：若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法种数为. 根据分类加法计数原理可知，不同的排法种数为. 故选：B. 7. 已知函数的图象与y轴的交点为，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为，轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为（B位于M与N之间），若的面积为10（其中O为坐标原点），则函数的最小正周期为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由的面积求出，再通过代入，求出，再由即可求出周期. 【详解】由题意，作图如下： 因为， 所以，所以， 因为图象与y轴的交点为， 所以，即， 因为，所以， 所以， 又因为图象最靠近y轴的与x轴正半轴的交点为， 所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 8. 已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题目条件推出，再得到，即，利用与的关系计算出，即可判断A；由即可判断B，利用基本不等式即可判断C、D. 【详解】由题意知，且， 当时，，解得， 当时，， 整理可得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则. 对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为是等差数列，故B错误； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，因为， ，故D错误. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三年级共有1000名学生，为了解学生的身体发育情况，随机抽取了100名学生的体重数据，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 样本的众数估计值为55 C. 样本的第75百分位数约为61.25 D. 该校高三年级学生中体重高于65千克的学生大约为200人 【答案】AC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质、众数的估计值、百分位数的计算公式以及概率的计算，可得答案. 【详解】对于A，，解得，故A正确； 对于B，由图可知体重在的样本最多，则样本众数的估计值为，故B错误； 对于C，由， ，则设第百分位数为， ，解得，故C正确； 对于D，由图可得学生体重高于千克的概率， 则该校高三年级学生中体重高于65千克的学生大约为人，故D错误. 故选：AC. 10. 在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点P为双纽线C上任意一点，则（ ） A. C关于x轴对称 B. 点在C上 C. 直线与C有且仅有两个交点 D. C上存在点P，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】用定义法把动点的轨迹方程求出来，利用代换，可判断A；将点的坐标代入方程，看是否满足方程可判断B；将直线方程与曲线方程联立，解得有三组解，可判断C；利用原点到的距离正好是，可知满足题意，可判断D. 【详解】由题知，点到定点的距离之积为1， 可得，整理得， 即曲线的方程为， 对于A，用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，将点代入曲线的方程，等式成立，所以点在上，故B正确； 对于C，联立，解得或或， 所以直线与有三个交点，故C错误； 对于D，原点满足曲线的方程，即原点在曲线上，而， 所以曲线上存在点与原点重合时，满足，故D正确. 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为分别为的中点，P为正方体的内切球O上任意一点，则（ ） A. 与所成角的范围是 B. 球O被截得的弦长为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】截取截面可知，当与球相切时，与所成的最大角满足，可得，可判断A；利用对称性以及球心到端点的距离，再结合余弦定理可计算得弦长为，可判断B；求出球心到平面的距离，即可求出到面的距离的最大值，可判断C；利用向量运算可得，即可求得其范围为，可判断D. 【详解】因为正方体的棱长为2，所以面对角线为，体对角线， 对于A，易知当三点共线时，与所成的角最小为， 取截面如下图所示，    易知，当与球相切时，与所成的角最大，设最大角为， 则，所以，得到，故A错误； 对于B，易知内切球的半径，且球心在正方体的中心，易得， 设球被截得的弦长为， 在中，易得， 如下图所示，在中，    由对称性可知，，且， 由余弦定理知，， 在中，， 解得或（舍）， 则弦长，所以B正确； 对于C，因为到面的距离为， 所以正方体的中心到面的距离为， 所以点到面的距离的最大值为， 因为， 所以，故C正确； 对于D，不妨设的中点为， 则， 由选项B知，，， 所以，， ， 当共线且同向时，， 当共线且反向时，， 所以，的范围为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列的前n项和为，，则_______. 【答案】7 【解析】 【分析】由题意，根据等差数列的通项公式及前项和公式，列出关于和方程组，求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，可得， 解得， 所以. 故答案为：7 13. 已知，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系求出、的值，再利用两角差的正切公式计算即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出得到，得到关于直线对称，对求导，判断当时的单调性，根据得到恒成立，即可求解. 【详解】因为，定义域为， ， 即，所以关于直线对称， 又， 当时，，，，所以， 所以在单调递增，在单调递减， 因为不等式对任意恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，为的中点，E为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）    取中点，连接，因为，所以， 为的中点，所以为的中位线，所以， 因为为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，则， 由于平面，所以平面， 又因为，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由线面垂直得到线线垂直，再得到线面垂直，进而得证； （2）建系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：两两垂直，如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 在中，由余弦定理可得：， 则，， 于是， 则， 设平面的一个法向量为 于是，即， 令，则，所以则， 设平面的一个法向量为， 于是，即， 令，则，所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 16. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1）极小值为3，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域和导函数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极值即可； （2）求导得到，根据在恒成立，讨论的范围以判断导函数的符号，从而得到函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，， ， 令，得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在处取得极小值，，无极大值； 【小问2详解】 ， 因为函数在区间上单调递增，所以在恒成立， 当时，，符合题意； 当时，令，得或， 若，则，所以当时恒成立，符合题意； 若，则，则当时，，不合题意； 若，则当时恒成立，符合题意； 若，则当时，，不合题意， 综上，实数a的取值范围为. 17. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求A. （2）已知. （i）若的面积为，求c； （ii）若边上一点P满足，点Q是的中点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）通过三角函数的辅助角公式化简已知等式，借助于三角函数的性质求角； （2）（i）利用三角形面积公式求出,再由余弦定理得，再解即可；（ii）在中使用余弦定理，结合，令换元，将问题转化为函数最值问题，再利用导数求最值即可. 【小问1详解】 由，可得：，所以. 因为，所以，则，解得. 【小问2详解】 （i）根据三角形面积公式，可得，即，得. 再根据余弦定理，可得，即. 由可得，代入得，即， 解得，则. （ii），且，点Q是的中点， 在中，由余弦定理，可得， 即， 如图，在中，设，则，，， 令，则代入得， 解得，代入， 设，， 则，令解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，，又， 故的最小值为. 18. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》凭借其独特的艺术魅力与深刻的故事情节吸引了无数观众的目光，电影中的人物哪吒也深得观众喜爱.某公司适时推出20种款式不同的哪吒玩偶随机购活动，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式是等可能的.小王特别喜欢20种款式中的一种. （1）若20种款式的玩偶各有一个. （ⅰ）求小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率； （ⅱ）设小王买到特别喜欢的款式所需次数为X，求X的数学期望. （2）若每种款式的玩偶数量足够多，每次玩偶被买后公司都会补充被买走的款式.为了满足客户的需求，引进了保底机制：在购买前指定一个款式，若前6次未买到指定款式，则第7次必定买到指定款式.设Y为小王买到某指定款式所需的次数，求Y的数学期望. （参考数据：，结果保留整数） 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据条件，利用全概率公式，即可求解；（ii）由题知的可能取值为，利用古典概率公式求出相应取值对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解； （2）根据条件，求出的分布列，进而求出，再利用错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 （i）设小王第次买到特别喜欢的款式为事件. 则小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率为； （ii）的可能取值为， 则， 所以的分布列为 1 2 19 20 则； 【小问2详解】 记的可能取值为. 因为前6次（包含第6次）没有保底， 则，其中， ， 所以的分布列为 1 2 6 7 则. 记， 则， 两式相减，得 ， 所以. 19. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的上顶点为，线段的中垂线交C于两点，且. （1）求椭圆C的标准方程； （2）点E为椭圆C上位于直线上方（不与点重合）的动点，过点B作直线的平行线交椭圆C于点F，点M为直线与的交点，点N为直线与的交点. （i）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （ii）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （i）由题意可知，则直线与直线的斜率相等， 由点位于直线上方，则可设斜率为， 设直线，代入椭圆， 整理可得， ， 则当时，直线与椭圆相切，可得， 设，，， 同理可得：设，，， 由为直线与的交点，则设， 当直线的斜率不存在时，， 整理可得，解得，则， 直线的斜率，所以； 当直线的斜率存在时，，解得， 直线的斜率，所以； 综上所述，直线与直线的斜率之积为定值，即为. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据半短轴长的概念以及椭圆的对称性，可得点的坐标，设出椭圆方程，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，表示出点的坐标，根据共线解得点与直线斜率之间的等量关系，可得答案；（ii）设出直线方程，求得交点，利用两点距离公式，结合不等式性质，可得答案. 【小问1详解】 由题意可设椭圆， 由椭圆的上定点为，则， 易知的中垂线为直线，由，则， 将代入椭圆，可得，解得， 所以椭圆. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）易得直线，，， 直线的斜率，则直线， 将代入上式，可得， 解得，，则，， ， 由，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 攀枝花市2025届高三第二次统一考试 数学 2025.3 本试题卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.并用2B铅笔将答题卡考号对应数字标号涂黑. 2.答选择题时，选出每小题答案后，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所规定的答题区域内作答，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则z的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 2. 抛物线上一点P和焦点F的距离等于6，则点P的横坐标（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 3. 设集合，则满足且的集合S的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 7. 已知函数的图象与y轴的交点为，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为，轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为（B位于M与N之间），若的面积为10（其中O为坐标原点），则函数的最小正周期为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 8. 已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三年级共有1000名学生，为了解学生的身体发育情况，随机抽取了100名学生的体重数据，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 样本的众数估计值为55 C. 样本的第75百分位数约为61.25 D. 该校高三年级学生中体重高于65千克的学生大约为200人 10. 在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点P为双纽线C上任意一点，则（ ） A. C关于x轴对称 B. 点在C上 C. 直线与C有且仅有两个交点 D. C上存在点P，使得 11. 已知正方体的棱长为分别为的中点，P为正方体的内切球O上任意一点，则（ ） A. 与所成角的范围是 B. 球O被截得的弦长为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等差数列的前n项和为，，则_______. 13. 已知，则____________. 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，为的中点，E为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 17. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求A. （2）已知. （i）若的面积为，求c； （ii）若边上一点P满足，点Q是的中点，求的最小值. 18. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》凭借其独特的艺术魅力与深刻的故事情节吸引了无数观众的目光，电影中的人物哪吒也深得观众喜爱.某公司适时推出20种款式不同的哪吒玩偶随机购活动，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式是等可能的.小王特别喜欢20种款式中的一种. （1）若20种款式的玩偶各有一个. （ⅰ）求小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率； （ⅱ）设小王买到特别喜欢的款式所需次数为X，求X的数学期望. （2）若每种款式的玩偶数量足够多，每次玩偶被买后公司都会补充被买走的款式.为了满足客户的需求，引进了保底机制：在购买前指定一个款式，若前6次未买到指定款式，则第7次必定买到指定款式.设Y为小王买到某指定款式所需的次数，求Y的数学期望. （参考数据：，结果保留整数） 19. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的上顶点为，线段的中垂线交C于两点，且. （1）求椭圆C的标准方程； （2）点E为椭圆C上位于直线上方（不与点重合）的动点，过点B作直线的平行线交椭圆C于点F，点M为直线与的交点，点N为直线与的交点. （i）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （ii）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $