专题19 平行线的拐点模型专项训练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题19 平行线的拐点模型专项训练 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。1．（2024·辽宁·模拟预测）汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面(如图)，明亮的光束是由位于抛物线反射镜焦点 F 上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射出，若，则光线与形成的的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图，直线，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，，点在和之间，，是上的动点，连接，当的长度最短时，的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，直线，点E、F分别在、上，点M为两平行线内部一点．(1)如图1，探究、、的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若和的角平分线交于点N，且，直接利用（1）中的结论，求的度数；(3)如图3，点G为直线上一点，连接并延长交直线于点Q，在线段上取一点P，连接，使，在射线取一点H，连接，使，设，求的度数（用含的代数式表示）．    5．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）已知直线，点E在直线，之间，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，F为直线，之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系；(3)当点E，F，G在直线，之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________． 6．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，已知，平分，，，有下列结论：①；②；③；④，结论正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．（2024·辽宁·模拟预测）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·北京·期中）如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， (1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 10．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，点在上，点在上，点在直线之间， 分别连接． (1)如图1， 求的度数；(2)如图2， 若的角平分线与的角平分线交于点， 求的度数；(3)如图3， 延长至点， 点为内一点， 连接交于点， 求的度数． 11．（2024·陕西渭南·七年级统考期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 12．（2024·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，，的直角顶点C在直线b上，若，，则等于（   ）    A． B． C． D． 13．（2024·海南省直辖县级单位·八年级校考期末）如图，已知，的顶点、分别落在直线、上，交于点，平分，如果，，求的度数．    解：因为（三角形的三个内角和等于）， 又因为，（__________），所以__________． 因为平分（已知），所以__________（角平分线的意义）． 因为（已知），所以__________（两直线平行，同位角相等）． 所以（等量代换）．所以． 因为__________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为（已知），所以__________． 14．（2024·湖南常德·七年级期末）已知直线，点P为直线，所确定的平面内的一点． 问题提出：（1）如图1，，，求的度数； 问题迁移：（2）如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 问题应用：（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数，不用写出计算过程．    15．（2023上·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，，，，求的度数．    16．（2024上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图直线，，，则（    ）    A． B． C． D． 17．（2024下·山东济南·七年级统考期末）在同一平面内，两条直线有平行和相交两种位置关系．    (1)如图所示，，点为直线下方的一点，连接、，线段与直线相交于点，试探究、、之间的数量关系． 小明的解答过程如下 解：，理由如下： （已知） （ ） 又 （ ）即 ； 在中，（ ） 即 （等量代换） (2)如图所示，，当点移动到、之间时，中结论是否仍成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并证明． 针对这个问题，小明、小亮、小颖三位同学各自提出了自己的解题思路： 小明：可以连接，利用平行线的性质和三角形内角和和定理解决问题； 小亮：可以延长，交于点 ，同样利用平行线的性质和三角形内角和定理也可解决问题； 小颖：我过点做了一条与平行的直线，也能做出来． 请从上述三种思路中选择一种，完成解答． (3)如图所示，与相交干点，点为内部一点，连接、，请直接写出、、与间的数量关系． 18．（2024下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知．    (1)如图1，求证：；(2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C．①如图2，若，且，求的度数；②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ． 19．（2024·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 20．（2024下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 21．（2024下·河南郑州·七年级统考期中）如图，如果，那么（   ） A． B． C． D． 22．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．    23．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内： 解：作，（ ① ）， ，， ，， （ ② ）， （ ③ ）， ，，． 【类比应用】如图2，，，，则的度数是______； 【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．    24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    解：过点A作，∴______，， 又∵．∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 平行线的拐点模型专项训练 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。1．（2024·辽宁·模拟预测）汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面(如图)，明亮的光束是由位于抛物线反射镜焦点 F 上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射出，若，则光线与形成的的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，，∴， ∴故选：C 2．（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图，直线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点A作的平行线，过点B作的平行线，如图所示． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴． 故选：C． 3．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，，点在和之间，，是上的动点，连接，当的长度最短时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，即，的长度最短， 如图，作，， ，，， ，故选：A． 4．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，直线，点E、F分别在、上，点M为两平行线内部一点．(1)如图1，探究、、的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若和的角平分线交于点N，且，直接利用（1）中的结论，求的度数；(3)如图3，点G为直线上一点，连接并延长交直线于点Q，在线段上取一点P，连接，使，在射线取一点H，连接，使，设，求的度数（用含的代数式表示）．    【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1），理由如下：如图，过点作，       ，，，，， ，； （2）由（1）中的结论可得：，， ，， ，分别平分和，，， ， ， 即； （3）设，，则，，设交于，如图： ，，，，， ，，，． 5．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）已知直线，点E在直线，之间，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，F为直线，之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系；(3)当点E，F，G在直线，之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________． 【答案】(1)，理由见详解(2)(3) 【详解】（1）解： ． 理由：∵，，∴，∴，． ∵，∴． （2）解：由（1）得，同理可得． ∵，，∴，． ∵，，∴，， ∴， 则． （3）解：．如图，过点E，F，G分别作的平行线，，， 则，∴，，，． ∵，，， ∴， ∴，即。 6．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，已知，平分，，，有下列结论：①；②；③；④，结论正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：如下图，延长至，∵平分，∴， ∵，∴，， ∴，∴， ∵，∴，∴，故结论①正确； ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，故结论②正确； ∵，，∴，∴， ∵，∴，故结论③不正确； ∵，，∴， 又∵，∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①②④．故选：B． 7．（2024·辽宁·模拟预测）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵，∴，∴， ．故选：D． 8．（23-24七年级下·北京·期中）如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB    观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则故选D 9．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， (1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析；(2)或． 【详解】（1）解：①如图1：标出和，由格线平行，利用平行的性质可得： ∵∴∴故答案为：； ②，证明如下：证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和 由格线平行可得 ∵∴． （2）解：设与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为， 当射线在的内部，如图：在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出和 由格线平行可得， ∵∴即， ∴ 即 当射线在的外部，如图：∵∴ 由（1）中②知，∴ 综上所述：或． 10．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，点在上，点在上，点在直线之间， 分别连接． (1)如图1， 求的度数；(2)如图2， 若的角平分线与的角平分线交于点， 求的度数；(3)如图3， 延长至点， 点为内一点， 连接交于点， 求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：过点作，如图所示：∴， ∵，∴，， ， ，，； （2）解：∵，∴， ∵平分平分，，， 过点作，如图所示：， ∵，，； （3）解：过点作交于点，如图所示： ，，设，则， ∵，， ，，， ，，， ，，，，． 11．（2024·陕西渭南·七年级统考期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作，如图2，∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴；故选：D．    12．（2024·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，，的直角顶点C在直线b上，若，，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作，，，在中，， ，，，，，故选C． 13．（2024·海南省直辖县级单位·八年级校考期末）如图，已知，的顶点、分别落在直线、上，交于点，平分，如果，，求的度数．    解：因为（三角形的三个内角和等于）， 又因为，（__________），所以__________． 因为平分（已知），所以__________（角平分线的意义）． 因为（已知），所以__________（两直线平行，同位角相等）． 所以（等量代换）．所以． 因为__________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为（已知），所以__________． 【答案】见解析 【详解】解：因为（三角形的三个内角和等于）， 又因为，（已知），所以． 因为平分（已知），所以（角平分线的意义）． 因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）． 所以（等量代换）．所以． 因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为（已知），所以． 14．（2024·湖南常德·七年级期末）已知直线，点P为直线，所确定的平面内的一点． 问题提出：（1）如图1，，，求的度数； 问题迁移：（2）如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 问题应用：（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数，不用写出计算过程．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）如图1所示，过点P作，∴，       ∵，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴∴； （2）结论：；理由如下：如图2，过点P作，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴； （3）∵，，∴， ∵，∴，设， ∴，∴， ∵平分，∴，∴． 15．（2023上·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，，，，求的度数．    【答案】 【详解】∵，∴， ∵，，∴，∴． 16．（2024上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图直线，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，∵，，∴，    ∵，∴，故选：C． 17．（2024下·山东济南·七年级统考期末）在同一平面内，两条直线有平行和相交两种位置关系．    (1)如图所示，，点为直线下方的一点，连接、，线段与直线相交于点，试探究、、之间的数量关系． 小明的解答过程如下 解：，理由如下： （已知） （ ） 又 （ ）即 ； 在中，（ ） 即 （等量代换） (2)如图所示，，当点移动到、之间时，中结论是否仍成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并证明． 针对这个问题，小明、小亮、小颖三位同学各自提出了自己的解题思路： 小明：可以连接，利用平行线的性质和三角形内角和和定理解决问题； 小亮：可以延长，交于点 ，同样利用平行线的性质和三角形内角和定理也可解决问题； 小颖：我过点做了一条与平行的直线，也能做出来． 请从上述三种思路中选择一种，完成解答． (3)如图所示，与相交干点，点为内部一点，连接、，请直接写出、、与间的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；等量代换；；三角形的内角和为 (2)（）中结论是不成立，，证明见解析(3) 【详解】（1），理由如下：（已知），（两直线平行，内错角相等）， 又，（等量代换），即． 在中，（三角形内角和定理）， 即．（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换，，三角形内角和定理； （2）（）中结论是不成立，，证明如下： 选择小明的思路，连接，如图，          ，，即， ，； 选择小亮的思路，延长，交于点，如图， ，，，； 选择小颖的思路，过点作，如图， 则，，， ，； （3），理由如下：延长交于点，如图，    ，，． 18．（2024下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知．    (1)如图1，求证：；(2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C．①如图2，若，且，求的度数；②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ． 【答案】(1)见解析(2)①；②或 【详解】（1）解：如图，过E作，∴，        又∵，∴，∴， 即； （2）①如图，过F作，交于H点，过点作，则，， ∵，∴，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∵，即，∴， ∵，∴， ∴，即，∴； ②如图，过点F作，则，作， 设，则，∵，∴， ∵∴，， ∵，∴ ∴，即 ∴，，当K在上，， 同推出的道理可证： ∴， ∵平分，∴，即，∴； 当K在延长线上时，同推出的道理可证：    ∴∵∴， ∵平分，∴，即，∴； 综上所述，或．故答案是：或． 19．（2024·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作，则，    ，，，， ，故选D． 20．（2024下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长交于F，如图所示：∵，，∴，    ∵，∴，∴，故选：C． 21．（2024下·河南郑州·七年级统考期中）如图，如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作，，，，， 得，，即．故选：D． 22．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．    【答案】 【详解】解：过点C作，如图：则，∴，，    ∵，∴，∴，∴． 23．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内： 解：作，（ ① ）， ，， ，， （ ② ）， （ ③ ）， ，，． 【类比应用】如图2，，，，则的度数是______； 【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．    【答案】【探究感知】①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；【类比应用】；【拓展延伸】． 【详解】探究感知解：作，（两直线平行，内错角相等）， ，， ，，（平行于同一条直线的两条直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ，，， 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补； 类比应用，解：如图，过点C作直线，，，， ，，，，，， ，，故答案为：；       拓展延伸解：如图，过点F作， ，，平分，平分， ，，，， ，，，，． 24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    解：过点A作，∴______，， 又∵．∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．    【答案】（1），；（2）；（3）． 【详解】（1）解：过点A作，∴，， 又∵，∴；故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，∵，∴，∴，，       ∴∴； （3）过E点作，如图， ∵，∴，∵平分，平分， ∴，，设，， ∵，，∴，， ∵，∴，∵， ∴，， ∵． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$