专题18 翻折模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题18 翻折模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是的考查热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的，以这个性质为基础，结合相关角度来考查。（本学期受计算工具限制，本专题暂时主要对翻折中的角度问题作探究）本专题以常见图形为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.图形翻折模型 1 37 模型1.图形翻折模型 1）如图，将长方形纸片沿EF翻折，则∠1=∠2= ∠3，三角形EFG是等腰三角形。 2）如图，将△ABC沿DE翻折 （1）若A’落在线段BE上，如图1，则∠1= 2∠A； （2）若A’落在△ABC内部，如图2，则∠1+∠2= 2∠A； （3）若A’落在△ABC外部，如图3，则∠1-∠2= 2∠A。 例1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为 ． 【答案】74 【详解】解：如图，∵，∴， 又∵长方形纸片的对边平行，∴，故答案为：． 例2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，若则的度数为 ． 【答案】/40度 【详解】解：设，∴，由折叠可得：， 又∵，∴，∵，∴，解得：．故答案为：． 例3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图所示，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点处，折痕为，若，那么的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是长方形，∴，∵，∴， ∴，由折叠得：， ∵，∴，故答案为：． 例4．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，长方形ABCD中，∠ADB＝20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，当折痕AF与AB的夹角∠BAF＝________时，． A．50° B．55° C．65° D．70° 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∠ADB=20°，∴∠ABD=70°． ∵AB′∥BD，∴∠BAB′=110°．∵△AB′F由△ABF翻折而成，∴∠BAF=∠BAB′=55°．故选B． 例5．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，将长方形沿对角线折叠，B的对应点为E，与交于点F．若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【详解】∵长方形，∴，，∵，∴， ∵折叠，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 例6．（23-24七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ． 【答案】/21度 【详解】解：由折叠得：，，，， 是长方形，，，，， ，，，， 与重合，，，故答案为： 例7．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：；〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵∴，∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵∴，∴， ∵，∴， ∵，∴∴， ∴，∴； 〖任务3〗由折叠可得，∵∴，∴， ∵，∴， ∵，∴∴， ∴，∴； ∵平分，平分，∴，，∴， 过点作，∵，∴， ∴，， ∴． 例8．（2024·山东淄博·七年级统考期中）如图，将沿所在的直线翻折，点B在边上落点记为点E，已知，，那么的度数为 ． 【答案】/60度 【详解】解：根据折叠的性质可得，，， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴．故答案为：． 例9．（2024上·重庆铜梁·八年级校考期中）如图，中，，把沿线段折叠，使点B落在点F处，若，， 则的度数（结果用含的式子表示）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴， ∵由沿线段折叠所得，∴， ∴，故选：A． 例10．（2024下·江苏镇江·七年级校考期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置（点、C在直线的异侧）．已知，，若折叠后的一边与平行，则的度数为 ．    【答案】或 【详解】解：①如图，当时，，       由折叠的性质可知，，； ②如图，当时，过点D作， ，， 由折叠的性质可知，，， ，，， 综上可知，的度数为或，故答案为：或． 例11．（2024春·吉林长春·七年级统考期末）如图，是一张三角形的纸片，点、分别是边、上的点将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在边上时，若，求的大小． (2)如图②，当点落在内部时，若，，求的大小． (3)当点落在外部时，如图③，若，，则______；如图④，、和的数量关系为______． 【答案】(1)；(2)；(3)①；②． 【详解】（1）由折叠可知：， ，； （2）由折叠可知：，， ，，， ，，， ，； （3）如图，由折叠可知：，， ，，， ，，， ，，故答案为：； 如图，由折叠可知：，， ，， ， ，， ， 即．故答案为：． 1．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长，由折叠的性质，可得，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴， 根据折叠的性质得，．故选：C． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，由折叠性质可得：， ，由题意得：，， ，由折叠性质可得：， ，，由题意得：，， 故选：D 3．（22-23七年级下·广西南宁·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长，由折叠的性质得， ∴，∵，，∴，∴， 又∵，∴．故选：B． 4．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（　　）    A．58° B．59° C．60° D．61° 【答案】A 【详解】解：长方形，，，， ，由折叠得：，， ，， 在中，，故选：A． 5．（23-24七年级下·广西钦州·期中）如图，把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB′=70°，则∠OGC为（     ） A．140° B．135° C．125° D．115° 【答案】C 【详解】∵，∠AOB′=70°，∴， ∵四边形由四边形OBCG折叠而成，∴， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BOG+∠OGC=180°，∴∠OGC=180°-55°=125°，故选：C． 6．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，， ∴，故选：C． 7．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）把一张对边互相平行的纸条，按如图所示折叠，是折痕，若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，∴，故正确，不符合题意； B、由折叠可得，则，故正确，不符合题意； C、∵，故正确，不符合题意； D、∵，∴，故错误，符合题意．故选：D． 8．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论：①；②；③； ④， ⑤．其中正确的结论有（    ）    A．①⑤ B．②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【详解】解：∵∴∵折叠，∴，∴，故①正确； ∵∴又∴∴，故②正确 ∵∴又∴，故③正确    ∵，,又∴∴ ∵∴，故④正确； 根据折叠的性质可得，故⑤正确，故选：D． 9．（2024上·北京丰台·八年级校联考期中）如图，把沿线段折叠，使点落在点处，；若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据折叠的性质，可得， ∵，，∴，∴， ∴．故选：B． 10．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图AB//CD，AD//BC，为上一点，将沿翻折得到，点在上，且，，那么的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵AB//CD，AD//BC∴∠EDF=∠DBC，∠A+∠ABC=180°，∠ABC+∠C=180°， ∴∠A=∠C=50°∴∠ABE+∠EDF+∠EBF=∠ABC=180°-∠A=130° 由折叠的性质可得：∠ABE=∠EBF∴2∠ABE+∠DBC=130° 又∵∠ABE=2∠EDF∴5∠EDF=130°∴∠EDF=26°故答案为：26° 11．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，＝，＝，点是边上的固定点 （＜），请在上找－点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则为 度 【答案】或或 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：，，， 当时，如图，则， ； 当时，如图，则，由折叠性质得：， 综上，的度数为或或．故答案为：或或． 12．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM=∠EFM，则∠DEF的度数为 ． 【答案】108°/108度 【详解】解：由折叠得∠CFE=∠MFE，∵∠BFM=∠EFM，∴∠EFM=2∠BFM， ∵∠BFM+∠EFM+∠CFE=180°，∴∠BFM+2∠BFM+2∠BFM=180°，解得：∠BFM=36°，∴∠CFE=72°， ∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠CFE+∠DEF=180°，∴∠DEF=108°．故答案为：108°． 13．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）将一张长方形纸片沿折叠后与的交点为，、分别在、的位置上，若，则 ． 【答案】28 【详解】解：，，，， 由折叠的性质可得，， ，．故答案为：． 14．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为，已知被分成的两个角相差，则图中 ． 【答案】或 【详解】解：①当比大时，设，则， ∵长方形沿翻折，∴， ∵，∴，，∴，解得：； ②当比大时，设，则，∴，∴解得：； 综合所得：或故答案为：或． 15．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图AB//CD，AD//BC，为上一点，将沿翻折得到，点在上，且，，那么的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵AB//CD，AD//BC∴∠EDF=∠DBC，∠A+∠ABC=180°，∠ABC+∠C=180°， ∴∠A=∠C=50°∴∠ABE+∠EDF+∠EBF=∠ABC=180°-∠A=130° 由折叠的性质可得：∠ABE=∠EBF∴2∠ABE+∠DBC=130° 又∵∠ABE=2∠EDF∴5∠EDF=130°∴∠EDF=26°故答案为：26° 16．（2024下·重庆·七年级校考期末）如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处．折痕为，若，求的度数．    【答案】 【详解】解：由题意得，， ∵，∴，∵，∴， 由折叠的性质可得，∴， ∵，∴． 17．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）证明：作，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴； （2）∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴； （3），理由： ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴． 18．（22-23七年级下·广东东莞·期末）同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．    (1)王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．①如图，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则______． ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图），再将纸片展开铺平（如图）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明； (2)李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图，连接交于点，连接，并在上找一点，使得，试判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)    王玲的说法正确，理由见解析．(2)，理由见解析． 【详解】（1）根据折叠的性质可知， 又，∴．∴．故答案为：． 王玲的说法正确．理由如下：根据折叠的性质可知， 又，∴．∴．∴． （2）．理由如下：∵，∴． 又，∴．∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 翻折模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是的考查热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的，以这个性质为基础，结合相关角度来考查。（本学期受计算工具限制，本专题暂时主要对翻折中的角度问题作探究）本专题以常见图形为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.图形翻折模型 1 37 模型1.图形翻折模型 1）如图，将长方形纸片沿EF翻折，则∠1=∠2= ∠3，三角形EFG是等腰三角形。 2）如图，将△ABC沿DE翻折 （1）若A’落在线段BE上，如图1，则∠1= 2∠A； （2）若A’落在△ABC内部，如图2，则∠1+∠2= 2∠A； （3）若A’落在△ABC外部，如图3，则∠1-∠2= 2∠A。 例1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为 ． 例2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，若则的度数为 ． 例3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图所示，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点处，折痕为，若，那么的度数为 ． 例4．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，长方形ABCD中，∠ADB＝20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，当折痕AF与AB的夹角∠BAF＝________时，． A．50° B．55° C．65° D．70° 例5．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，将长方形沿对角线折叠，B的对应点为E，与交于点F．若，则的度数为 ． 例6．（23-24七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ． 例7．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：；〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 例8．（2024·山东淄博·七年级统考期中）如图，将沿所在的直线翻折，点B在边上落点记为点E，已知，，那么的度数为 ． 例9．（2024上·重庆铜梁·八年级校考期中）如图，中，，把沿线段折叠，使点B落在点F处，若，， 则的度数（结果用含的式子表示）为（    ） A． B． C． D． 例10．（2024下·江苏镇江·七年级校考期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置（点、C在直线的异侧）．已知，，若折叠后的一边与平行，则的度数为 ．    例11．（2024春·吉林长春·七年级统考期末）如图，是一张三角形的纸片，点、分别是边、上的点将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在边上时，若，求的大小． (2)如图②，当点落在内部时，若，，求的大小． (3)当点落在外部时，如图③，若，，则______；如图④，、和的数量关系为______． 1．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·广西南宁·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（　　）    A．58° B．59° C．60° D．61° 5．（23-24七年级下·广西钦州·期中）如图，把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB′=70°，则∠OGC为（     ） A．140° B．135° C．125° D．115° 6．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）把一张对边互相平行的纸条，按如图所示折叠，是折痕，若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·福建漳州·期中）如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论：①；②；③； ④， ⑤．其中正确的结论有（    ）    A．①⑤ B．②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 9．（2024上·北京丰台·八年级校联考期中）如图，把沿线段折叠，使点落在点处，；若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图AB//CD，AD//BC，为上一点，将沿翻折得到，点在上，且，，那么的度数为 ． 11．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，＝，＝，点是边上的固定点 （＜），请在上找－点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则为 度 12．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM=∠EFM，则∠DEF的度数为 ． 13．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）将一张长方形纸片沿折叠后与的交点为，、分别在、的位置上，若，则 ． 14．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为，已知被分成的两个角相差，则图中 ． 15．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图AB//CD，AD//BC，为上一点，将沿翻折得到，点在上，且，，那么的度数为 ． 16．（2024下·重庆·七年级校考期末）如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处．折痕为，若，求的度数．    17．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 18．（22-23七年级下·广东东莞·期末）同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．    (1)王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．①如图，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则______． ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图），再将纸片展开铺平（如图）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明； (2)李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图，连接交于点，连接，并在上找一点，使得，试判断线段与的位置关系，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$