专题07 平行线的拐点模型专项训练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题07. 平行线的拐点模型专项训练 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。1．（2024·河南洛阳·统考二模）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·安徽蚌埠·八年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，若，，，求的度数．（2）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间的一点，．求证：；（3）如图2，在（2）的条件下，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数． 5．（24-25八年级上·广东·期末）如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．(1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程．    6．（2024下·江西南昌·七年级校考期中）如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号） 7．（2024·河北邢台·七年级校考期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（    ）    A． B． C． D． 8．（2024下·湖北随州·七年级校联考期中）如图，，，则（    ）    A． B． C． D． 9．（2024·湖北襄阳·七年级襄阳四中校考阶段练习）如图，已知，则（   ）    A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， (1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 11．（2024·辽宁大连·七年级统考期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：把它抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是 ．    12．（2024·贵州毕节·七年级校联考期中）如图，，的顶点，分别落在直线，上，交于点，平分，若，，求的度数．    13．（2024·山东烟台·六年级统考期末）如图是螳螂的示意图，已知，则的度数为 ．    14．（2024·湖北荆门·七年级统考期中）AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点． （1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数． 15．（2024·广东东莞·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，直线和直线，分别交于点，，直线上有一动点．    (1)如图1，点在，之间运动时，，，之间有什么关系，并说明理由； (2)若点在，两点外侧运动时，如图2和图3（点与，不重合），试直接写出，，之间有什么关系，不必写理由． 16．（2023上·云南·九年级校考阶段练习）如图，，，， ．    17．（2024下·辽宁丹东·七年级统考期中）如图，若，，则 ．    18．（2024下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）综合与实践 （1）【图形探究】如图1，，点、分别在直线、上，连接、，当点在直线的左侧时，、、之间的数量关系为________；（提示：可以过点作的平行线） （2）【问题迁移】如图2，，点在的上方时，、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，则________（用含有的式子表示）.    19．（23-24七年级下·上海·期中）如图，，，，那么的度数是 ． 20．（2024·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若，，，则的度数是（） A．115° B．130° C．140° D．150° 21．（2024下·四川广元·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 22．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．    23．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内： 解：作，（ ① ）， ，， ，， （ ② ）， （ ③ ）， ，，． 【类比应用】如图2，，，，则的度数是______； 【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．    24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    解：过点A作，∴______，， 又∵．∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07. 平行线的拐点模型专项训练 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。1．（2024·河南洛阳·统考二模）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作，如图，，， ，，．故选：C． 2．（2024·安徽蚌埠·八年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知∴， ∴故选：C． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作,如图所示：∴ ∴∴ ∵，∴故选：B 4．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，若，，，求的度数．（2）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间的一点，．求证：；（3）如图2，在（2）的条件下，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数． 【答案】（1）（2）见详解（3） 【详解】解：（1）过点B作，∵，∴，       ∴，则； （2）过点B作，∴ ∵∴∴∴ （3）∵平分∴∴ ∵∴ 由（2）可知∴ ∵∴ ．答：的度数为． 5．（24-25八年级上·广东·期末）如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．(1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程．    【答案】(1)(2)(3)；(4)，求解过程见解析 【详解】（1）解：过点作，如图所示，    ∵，∴，∴，， ∵，，∴，故答案为：； （2）解：过点作，过点作，如图所示，       ∵，∴，∴，，， ∵，，，， ∴， ∵，，∴，故答案为：； （3）解：与（1）同理可得：，， ∵平分，平分，∴，， ∴，∵，，∴， 按照上述方法可知，∵，平分，平分，， ∴，同理可得， ∴，故答案为：，； （4）解：过点作，过点作，如图所示，则， ∴，，，∴， ∴， ∵，，∴，故答案为：． 6．（2024下·江西南昌·七年级校考期中）如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【详解】解：，，，故①正确； 平分，，，，（1）， ，（2），（1）（2）得，，故②正确； ，，平分，，， （3），（1），（3）（1）得，，故③正确； ，，， ，，，， ，，，故④正确． 故正确的结论有：①②③④．故答案为：①②③④． 7．（2024·河北邢台·七年级校考期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过B作，∵，则，∴，    ∵，∴，∴， ∴，故选：A． 8．（2024下·湖北随州·七年级校联考期中）如图，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，∵，∴，作， ∵，∴，∴， ∵，∴；故选：B.    9．（2024·湖北襄阳·七年级襄阳四中校考阶段练习）如图，已知，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴，， ∴．故选：B． 10．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， (1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析；(2)或． 【详解】（1）解：①如图1：标出和，由格线平行，利用平行的性质可得： ∵∴∴故答案为：； ②，证明如下：证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和 由格线平行可得 ∵∴． （2）解：设与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为， 当射线在的内部，如图：在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出和 由格线平行可得， ∵∴即， ∴ 即 当射线在的外部，如图：∵∴ 由（1）中②知，∴ 综上所述：或． 11．（2024·辽宁大连·七年级统考期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：把它抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是 ．    【答案】/度 【详解】解：如图，延长交于，，，， 又，，故答案为：．    12．（2024·贵州毕节·七年级校联考期中）如图，，的顶点，分别落在直线，上，交于点，平分，若，，求的度数．    【答案】 【详解】解：∵平分，，∴， ∵，∴，∵，∴． 13．（2024·山东烟台·六年级统考期末）如图是螳螂的示意图，已知，则的度数为 ．    【答案】14° 【详解】解：延长交于D，交于点F，∵，∴，      ∵，∴ 又∵∴∴．故答案为：． 14．（2024·湖北荆门·七年级统考期中）AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点． （1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数． 【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°． 【详解】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下： 如图1所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°， 又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°， ∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°； （2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：如图2所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ， ∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，∴∠APC＝∠A−∠C； （3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，∴∠PCD＝110°， ∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝110°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝110°， ∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝∠BEG， ∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH＝∠FEG−∠BEG＝∠BEF＝55°． 15．（2024·广东东莞·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，直线和直线，分别交于点，，直线上有一动点．    (1)如图1，点在，之间运动时，，，之间有什么关系，并说明理由； (2)若点在，两点外侧运动时，如图2和图3（点与，不重合），试直接写出，，之间有什么关系，不必写理由． 【答案】(1)；(2)或； 【详解】（1）解：． 理由如下：作，如图1，       ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）如图，作，∵， ∴， ∴，， 即，， 在图2中，， 即； 在图3中，， 即， 综上所述，或. 16．（2023上·云南·九年级校考阶段练习）如图，，，， ．    【答案】/10y度 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴．故答案为：． 17．（2024下·辽宁丹东·七年级统考期中）如图，若，，则 ．    【答案】/50度 【详解】解：设与交于点，如下图：    利用三角形外角的性质可得 ∵∴∴故答案为： 18．（2024下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）综合与实践 （1）【图形探究】如图1，，点、分别在直线、上，连接、，当点在直线的左侧时，、、之间的数量关系为________；（提示：可以过点作的平行线） （2）【问题迁移】如图2，，点在的上方时，、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，则________（用含有的式子表示）.    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图：    ∵∴∴， ∴故答案为： （2）理由如下：如图所示：过点作 ∵，∴∴， ∵，∴ （3） 过点P作，过点Q作，如图 ∵，∴， ∵，，∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线∴， ∴ ∴ 故答案为： 19．（23-24七年级下·上海·期中）如图，，，，那么的度数是 ． 【答案】/35度 【详解】解：过作，，，，， ，，，，，故答案为：． 20．（2024·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若，，，则的度数是（） A．115° B．130° C．140° D．150° 【答案】C 【详解】解：过作的平行线，如图所示； ，∴ 故选C． 21．（2024下·四川广元·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ，，故选：． 22．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．    【答案】 【详解】解：过点C作，如图：则，∴，，    ∵，∴，∴，∴． 23．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内： 解：作，（ ① ）， ，， ，， （ ② ）， （ ③ ）， ，，． 【类比应用】如图2，，，，则的度数是______； 【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．    【答案】【探究感知】①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；【类比应用】；【拓展延伸】． 【详解】探究感知解：作，（两直线平行，内错角相等）， ，， ，，（平行于同一条直线的两条直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ，，， 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补； 类比应用，解：如图，过点C作直线，，，， ，，，，，， ，，故答案为：；       拓展延伸解：如图，过点F作， ，，平分，平分， ，，，， ，，，，． 24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    解：过点A作，∴______，， 又∵．∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．    【答案】（1），；（2）；（3）． 【详解】（1）解：过点A作，∴，， 又∵，∴；故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，∵，∴，∴，，       ∴∴； （3）过E点作，如图， ∵，∴，∵平分，平分， ∴，，设，， ∵，，∴，， ∵，∴，∵， ∴，， ∵． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$