专题07 平行线的拐点模型专项训练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题07. 平行线的拐点模型专项训练 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。1．（23-24九年级下·吉林长春·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线反射之后，反射光线，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·模拟预测）“抖空竹”是我国非物质文化遗产，某中学将此运动引人特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图1，．    (1)如图1（1）所示，说明与的位置关系，并说明理由. (2)如图1（2）所示，作与的平分线交于点F，若的余角等于的补角，求的度数．(3)在前面的条件下，如图1（3）所示，若P是上一点，Q是上任一点，平分平分，下列结论：的度数不变；的度数不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求出相应的值． 5．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 6．（2024下·湖南永州·七年级统考期末）如图所示，已知，，，则的度数是 ．    7．（2024下·辽宁铁岭·七年级统考期末）如图已知：，，平分，，有下列结论：①；②③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号）      8．（2024上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，当时，的度数为（　　）    A．55° B．70° C．60° D．35° 9．（2024下·河北邯郸·七年级校联考阶段练习）如图，将直线m按箭头所指方向平移至直线n，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， (1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 11．（2024·河南商丘·七年级统考期末）乐乐在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学模型如图所示，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·四川巴中·七年级统考期末）如图，，将含有的三角板如图放置，顶点D在直线之上，线段，分别与直线交于A，B两点，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 13．（2024·广东广州·七年级校考期中）如图，已知直线，M、N分别是直线上的点．    (1)在图①中，若，则 ． (2)在图②中，请判断之间的关系，并说明理由． (3)在图③中，平分，平分，且，求． 14．（2024·湖北孝感·七年级统考期末）在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．    (1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数； (2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数；(3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 15．（2023下·陕西西安·七年级校考期末）如图，点B在的边的延长线上，，若，，则的度数为（    ）    A．15° B．20° C．30° D．50° 16．（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）如图，，若，，则的度数为 ．    17．（2024下·辽宁鞍山·七年级统考阶段练习）已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．(1)如图，若，求的度数；(2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 18．（2024下·贵州铜仁·七年级统考阶段练习）阅读下面的材料，并完成后面提出的问题． (1)已知，如图1，，请你探究一下与、度数之间有何数量关系？并说明理由． (2)在图1中，当点向左移动到图2所示的位置时，与、的度数之间又有怎样的数量关系呢？请说明理由．(3)在图1中，当点向上移动到图3所示的位置时，请直接写出与、度数之间的数量关系． 19．（23-24下·广东·七年级校考期末）如图，直线，，则 ． 20．（2024下·安徽·九年级专题练习）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（    ）    A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线， D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧） 21．（2024下·四川广元·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 22．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．    23．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内： 解：作，（ ① ）， ，， ，， （ ② ）， （ ③ ）， ，，． 【类比应用】如图2，，，，则的度数是______； 【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．    24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    解：过点A作，∴______，， 又∵．∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07. 平行线的拐点模型专项训练 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。1．（23-24九年级下·吉林长春·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线反射之后，反射光线，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点P作，如图， ∵∴ ∵，∴∴ ∴故选：C． 2．（2024·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF， ∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=， ∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故选：C． 3．（2024·湖北·模拟预测）“抖空竹”是我国非物质文化遗产，某中学将此运动引人特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作， ， ，，， ．故选：C． 4．（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图1，．    (1)如图1（1）所示，说明与的位置关系，并说明理由. (2)如图1（2）所示，作与的平分线交于点F，若的余角等于的补角，求的度数．(3)在前面的条件下，如图1（3）所示，若P是上一点，Q是上任一点，平分平分，下列结论：的度数不变；的度数不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求出相应的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的值随的变化而变化；的度数为不变 【详解】（1）解：，理由：过B作，∴，    ∵， ∴，∴，∴； （2）解：设，∵与的平分线交于点F， ∴， 过点B作，过点F作，∵，∴，    ∴， ∴，∵的余角等于的补角， ∴，解得：，∴． （3）解：由（1）可知，∴， ∵平分，∴， ∵平分，∴， ∵点P是上一点，∴，∴； ∴的值随的变化而变化；的度数为不变． 5．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)． 【详解】（1）证明：过点P作，如图1所示： ∵，∴，∴， ∴，即； （2）解：，理由如下：如图2所示： ∵，∴，∴， 由（1）的结论得：，∴； （3）解：如图3所示：由（2）的结论得：， ∵，∴①，∵，∴， 由（2）的结论得：，∴②， 得：． 6．（2024下·湖南永州·七年级统考期末）如图所示，已知，，，则的度数是 ．    【答案】/85度 【详解】解：过点P作，如下图：    则∴， ∴，，∴ 7．（2024下·辽宁铁岭·七年级统考期末）如图已知：，，平分，，有下列结论：①；②③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号）      【答案】①③④ 【详解】解：，，，故①正确； 延长、交于点G，如图所示：    ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∴，即，故②错误； 平分，，，，∴， ∵，∴，故③正确； ∵，∴，∵平分，∴，∴， ∵，∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①③④．故答案为：①③④． 8．（2024上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，当时，的度数为（　　）    A．55° B．70° C．60° D．35° 【答案】A 【详解】解：∵，，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，故选：A． 9．（2024下·河北邯郸·七年级校联考阶段练习）如图，将直线m按箭头所指方向平移至直线n，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过B作，    由题意可得：,∴，∴， ∴，， ∴．故选：A． 10．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， (1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析；(2)或． 【详解】（1）解：①如图1：标出和，由格线平行，利用平行的性质可得： ∵∴∴故答案为：； ②，证明如下：证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和 由格线平行可得 ∵∴． （2）解：设与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为， 当射线在的内部，如图：在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出和 由格线平行可得， ∵∴即， ∴ 即 当射线在的外部，如图：∵∴ 由（1）中②知，∴ 综上所述：或． 11．（2024·河南商丘·七年级统考期末）乐乐在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学模型如图所示，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，延长交于F，如图，    ∵，，∴， 又∵，∴，故选：A． 12．（2024·四川巴中·七年级统考期末）如图，，将含有的三角板如图放置，顶点D在直线之上，线段，分别与直线交于A，B两点，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作，如图所示：    ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴．故选：B． 13．（2024·广东广州·七年级校考期中）如图，已知直线，M、N分别是直线上的点．    (1)在图①中，若，则 ． (2)在图②中，请判断之间的关系，并说明理由． (3)在图③中，平分，平分，且，求． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)． 【详解】（1）解：过点E作直线．∵，∴，       又∵，∴．∴， ∴， ∵，∴．故答案为：； （2）解：结论：． 理由：如图中，过点E作直线．∴， 又∵，∴．∴， ∴； （3）解：∵平分，∴， ∵平分，∴， 设，由（1），得， 由（2），得， 又∵，∴， ∴，即．∴． 14．（2024·湖北孝感·七年级统考期末）在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．    (1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数； (2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数；(3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，，；，；， 【详解】（1）解：，，， ，； （2）如图，过点作，    ，，，，， 平分，平分，，， ，， ； （3），，， ，，， ，，， ， ，，， 又，是正整数，存在符合要求的正整数和，分别为： 当时，，不符合题意，舍去；当时， ，符合题意； 当时，，不是整数不符合题意，舍去；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去． 15．（2023下·陕西西安·七年级校考期末）如图，点B在的边的延长线上，，若，，则的度数为（    ）    A．15° B．20° C．30° D．50° 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，∴；故选C 16．（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）如图，，若，，则的度数为 ．    【答案】/39度 【详解】解：∵，，∴， 又∵，∴．故答案为：． 17．（2024下·辽宁鞍山·七年级统考阶段练习）已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．(1)如图，若，求的度数；(2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图1，过作， ，∴，∴，， ，∴； （2）解：如图2，过作，过点P作，设， ，，，， ，，， 平分，平分，，， ，，平分，， ，，， ，，； （3）解：如图3，过作，过作，设，， 交于，平分，，， ，，，， ，，， ，平分，，， ，， ，， ，，，． 18．（2024下·贵州铜仁·七年级统考阶段练习）阅读下面的材料，并完成后面提出的问题． (1)已知，如图1，，请你探究一下与、度数之间有何数量关系？并说明理由． (2)在图1中，当点向左移动到图2所示的位置时，与、的度数之间又有怎样的数量关系呢？请说明理由．(3)在图1中，当点向上移动到图3所示的位置时，请直接写出与、度数之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解： ，理由：如图1，过点作， ，， ，，， ，；          （2），理由：如图2，过点作， ，，，，， ，； （3），理由：如图3，过点作， ，，，， ，． 19．（23-24下·广东·七年级校考期末）如图，直线，，则 ． 【答案】/200度 【详解】解：如图：过的顶点A作，， 又∵，，，，故答案为：． 20．（2024下·安徽·九年级专题练习）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（    ）    A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线， D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧） 【答案】C 【详解】解：A、如图，∵，∴， ∵∴，∴，故此选项不符合题意；       B、如图，∵，∴， ∵，∴，∴，故此选项不符合题意； C、如图，由平分，平分， 没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行， ∴此辅助线的作法不能说明与平行，故此选项符合题意；       D、如图，延长交于点， ∵，，，∴， ∴，，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意．故选：C． 21．（2024下·四川广元·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ，，故选：． 22．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．    【答案】 【详解】解：过点C作，如图：则，∴，，    ∵，∴，∴，∴． 23．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内： 解：作，（ ① ）， ，， ，， （ ② ）， （ ③ ）， ，，． 【类比应用】如图2，，，，则的度数是______； 【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．    【答案】【探究感知】①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；【类比应用】；【拓展延伸】． 【详解】探究感知解：作，（两直线平行，内错角相等）， ，， ，，（平行于同一条直线的两条直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ，，， 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补； 类比应用，解：如图，过点C作直线，，，， ，，，，，， ，，故答案为：；       拓展延伸解：如图，过点F作， ，，平分，平分， ，，，， ，，，，． 24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    解：过点A作，∴______，， 又∵．∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．    【答案】（1），；（2）；（3）． 【详解】（1）解：过点A作，∴，， 又∵，∴；故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，∵，∴，∴，，       ∴∴； （3）过E点作，如图， ∵，∴，∵平分，平分， ∴，，设，， ∵，，∴，， ∵，∴，∵， ∴，， ∵． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$