21.4 一次函数的应用（第2课时）（分层作业，6大题型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（冀教版）

21.4 一次函数的应用（第2课时） 题型一 一次方程的解与坐标轴交点问题 1．若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．如图是一次函数的图象，则方程的解为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为 ．    题型二 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ．    3．如图是函数的图象，则不等式的解集是（ 　　 ） A． B． C． D． 题型三 根据两条直线的交点求不等式（组）的解集 1．如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．若函数和函数的图像如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．一次函数与的图象如图，则不等式的解集是 4．直线：与直线：在同一坐标系里的图像如图所示，当时，x的取值范围是： ． 5．如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)请直接写出时自变量的取值范围； (3)点到的距离为 ． 题型四 一次函数图像过定点问题 1．已知直线，下列说法不正确的是（　　） A．直线必经过点 B．直线与函数的图象至少有1个交点 C．若点在直线上，，则 题型五 一次函数情境问题与学科整合 1．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交x轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则b的值是（   ） A．2 B． C． D．1 2．某航空公司的行李托运费按行李的质量大小收取：以下免费，及以上按如图所示的关系式计算．若某人的行李质量x为，则他需要付托运费y为（   ） A．60元 B．80元 C．40元 D．0元 3．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格： 0 1 2 3 … 8 … 若秤跎到秤纽的水平距离是，则所挂物重为（   ） A． B． C． D． 4．一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数关系如图所示，则图中的值为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 5．在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与铁块下降的高度（）之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（    ） A．当铁块下降时，此时铁块在水里 B．当时，（N）与（）之间的函数表达式为 C．当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离水底 D．当铁块下降高度为时，此时弹簧测力计的示数是 6．如图(单位)，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x个，盘子摞在一起的厚度为ycm，则y与x满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 题型六 一次函数与线段或图形交点问题，整点问题 1．如图，已知线段端点的坐标分别为，，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）恰有三个整点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．与直线关于y轴对称的直线经过点，则m的值为（     ） A． B．2 C． D．4 4．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是，，，当直线与△ABC有交点时，b的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 1．已知一次函数的图象如图，则下列说法：①；②是方程的解；③若点）是这个函数的图象上的两点，且，则；④当时，，则．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 3．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）的值为 ； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则k的取值范围为 ． 4．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，且与的图象交于点．    (1)求的值； (2)若，求的取值范围． (3)求四边形的面积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.4 一次函数的应用（第2课时） 题型一 一次方程的解与坐标轴交点问题 1．若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由直线向右平移8个单位得到直线，从而可得直线与x轴交点坐标，进而求解． 【详解】解：直线是由直线向右平移8个单位所得， ∵与x轴交点为， ∴直线与x轴交点坐标为， ∴的解为， 故选：A． 2．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴结合图象，关于的方程的解是． 故选：B． 3．如图是一次函数的图象，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的解，根据直线与轴的交点的横坐标即为一次函数对应的一元一次方程的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，直线过点， ∴方程的解为； 故答案为： 4．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．根据题意，可知当时，，即可关于x的方程的解为． 【详解】解：∵直线经过点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：4． 题型二 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．由一次函数的图象经过，可得关于x的不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴，即时，， ∴关于x的不等式的解集为． 故选：A． 2．函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一元一次函数与不等式，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据一次函数图象确定不等式的解集，即可解答． 【详解】由函数的图象可知，当时，， 当时，函数图象在x轴上方， 当时，即， ∴， 答案为：． 3．如图是函数的图象，则不等式的解集是（ 　　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，正确理解图象，函数图象在x轴上方，即函数值大于0；在下方时，函数值小于0；图象在y轴左侧的部分函数的自变量x小于0，在右侧则自变量x大于0．从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点，且函数值y随x的增大而增大， ∴不等式的解集是． 故选：A． 题型三 根据两条直线的交点求不等式（组）的解集 1．如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集， 先将代入关系式求出x，从交点向左一次函数的图象在一次函数的图象上方，即可得出不等式的解集． 【详解】解：当时，， 解得． 当时，两个函数值相等， ∴当时，． 故选：B． 2．若函数和函数的图像如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数与不等式，先求出，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴， 由图象可得，关于的不等式的解集是， 故选：B． 3．一次函数与的图象如图，则不等式的解集是 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与不等式，直接根据图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解集是； 故答案为：． 4．直线：与直线：在同一坐标系里的图像如图所示，当时，x的取值范围是： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象知，两个函数的图象的交点是，由图象可以直接写出当时所对应的x的取值范围． 【详解】解：根据图象知，一次函数与的交点是， ∴当直线在直线上方，且都在x轴上方时， ∴当时，x的取值范围是：． 故答案为：． 5．如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)请直接写出时自变量的取值范围； (3)点到的距离为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，勾股定理： （1）先求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）等积法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴，解得：， ∴； （2）由图象可知：的自变量的取值范围：； （3）∵，， ∴ 设点到的距离为，则：， ∴， ∴． 题型四 一次函数图像过定点问题 1．已知直线，下列说法不正确的是（　　） A．直线必经过点 B．直线与函数的图象至少有1个交点 C．若点在直线上，，则 D．关于的方程的解为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】当时，， ∴直线l必经过点， 故A正确； ∵直线经过点，，画出大致图象如下： 由图象可知，直线l与函数的图象最少有1个交点，故B正确； ∴y随x的增大而减小， ， 故C正确； 当时， 解得： 这与相矛盾， 故D不正确 故选：D 题型五 一次函数情境问题与学科整合 1．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交x轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则b的值是（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质和光的反射定律是解题的关键． 延长，与x轴相交，根据平行线的性质及光的反射定律，利用证明，从而求得延长线与x轴的交点坐标，将它代入函数的函数关系式即可； 【详解】解：延长交x轴于点D， 入射角等于反射角， ， ，， ， ， ， 即， ， 将代入得 ， 解得：， 故选：D． 2．某航空公司的行李托运费按行李的质量大小收取：以下免费，及以上按如图所示的关系式计算．若某人的行李质量x为，则他需要付托运费y为（   ） A．60元 B．80元 C．40元 D．0元 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的应用和求一次函数值，将代入求解即可． 【详解】解：根据题意得， 将代入． ∴他需要付托运费y为60元． 故选：A． 3．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格： 0 1 2 3 … 8 … 若秤跎到秤纽的水平距离是，则所挂物重为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的计算是解题的关键． 根据题意，运用待定系数法可得一次函数解析式，再令，代入计算即可． 【详解】解：秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， 设一次函数解析式为，当时，， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， 当时，得， 解得，， ∴所挂物重为， 故选：B ． 4．一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数关系如图所示，则图中的值为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，正确应用函数与方程的关系是解题关键． 设一次函数的解析式：，用待定系数法求出解析式，再把代入计算即可． 【详解】解：设一次函数的解析式：， 把代入，得， 解得：， ， 把代入， 解得：． 故， 故选：B． 5．在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与铁块下降的高度（）之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（    ） A．当铁块下降时，此时铁块在水里 B．当时，（N）与（）之间的函数表达式为 C．当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离水底 D．当铁块下降高度为时，此时弹簧测力计的示数是 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象和一次函数的应用，求出函数解析式，数形结合是解题的关键． 根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、由题图可知，铁块下降到时，铁块正好接触水面，故选项A错误； B、当时，设所在直线的函数表达式为：F＝kh+b， 则， 解得， ∴，故选项B错误； C、当时，， 解得， ∴， ∴当弹簧测力计的示数为时，铁块底面距离水底，故C正确； D、当铁块下降的高度为时，即时， ∴当铁块下降高度为时，此时弹簧测力计的示数是，故D错误． 故选：C． 6．如图(单位)，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x个，盘子摞在一起的厚度为ycm，则y与x满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用以及求一次函数表达式，解答本题的关键是读懂题意，根据图示找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】解∶设解析式为 由题意得∶ 解得∶ ∴解析式为 故选：C 题型六 一次函数与线段或图形交点问题，整点问题 1．如图，已知线段端点的坐标分别为，，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数图象的性质，平移的性质是解题的关键． 一次函数的图象与的图象平行，当一次函数的图象经过点时，有最小值；当一次函数的图象经过点时，有最大值；由此即可求解． 【详解】解：将代入中， 解得； 将代入中， 解得； ∴若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围为， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）恰有三个整点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与系数之间的关系，直线，与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有且只有三个整点，则这三个点是(1,-1)，(1,-2)，(2,-1)，因此此时的的取值范围应介于两直线的两个值之间． 【详解】解：如图：直线，当时，，则一定过点， 把代入得，； 把代入得， ， 直线，与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有且只有三个整点，则的取值范围为， 故选：A． 3．与直线关于y轴对称的直线经过点，则m的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数的轴对称变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得直线关于y轴对称的解析式是解题的关键． 根据直线关于轴对称，得出轴对称的解析式，再将代入即可求解； 【详解】解：直线关于轴对称的直线为， 把代入，得． 故选：C． 4．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是，，，当直线与△ABC有交点时，b的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，，的坐标分别代入直线中求得b的值，即可得到b的取值范围． 【详解】解：直线经过点B时，将代入直线中，可得，解得； 直线经过点A时：将代入直线中，可得，解得； 直线经过点C时：将代入直线中，可得，解得． 故b的取值范围是． +   故选：B． 【点睛】考查了一次函数的综合应用．利用数形结合的思想，确定边界点的值，是解题的关键． 1．已知一次函数的图象如图，则下列说法：①；②是方程的解；③若点）是这个函数的图象上的两点，且，则；④当时，，则．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，关键是灵活运用一次函数的性质．图象过第一，二，四象限，可得，可判定①；根据增减性，可判断③④，由图象与x轴的交点可判定②． 【详解】解：∵图象过第一，二，四象限， ∴，故①正确； ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵一次函数与轴的交点坐标为， ∴是方程的解，故②正确； 当时，， ∴当时，；时，， 代入得， 解得，故④正确； 综上，正确的个数有4个， 故选：D． 2．如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图知：当直线的图象在直线的下方时，不等式成立； 由于两直线的交点横坐标为：， 观察图象可知，当时，，即不等式的解集为． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）的值为 ； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条直线相交或平行的问题，涉及待定系数法求函数解析式，掌握数形结合法是解题的关键． 先将点分别代入函数解析式即可求出，则，此时两条直线的函数解析式分别为与，数形结合找出平行的临界状态即可求解． 【详解】解：（1）∵函数与的图象交于点， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； （2）∵当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，如图： ∵直线与交于点， 由图可知当时，函数的值大于函数的值， ∴要满足题意，只需函数的值大于函数的值即可， ∵当直线平行于直线时，符合题意，此时 ∴满足题意，， 故答案为：． 4．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，且与的图象交于点．    (1)求的值； (2)若，求的取值范围． (3)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）将代入，求出的值，再将点代入即可求出的值； （）求出点坐标，再根据图象解答即可求解； （）连接，求出点坐标，再根据计算即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，待定系数法求函数的解析式，一次函数与不等式，利用数形结合的思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； （2）解：把代入，得， ∴， ∴， 由函数图象可得，当时，的取值范围为； （3）解：连接，    ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$