猜想04 三角恒等变换高频题型归类（考题猜想，9大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

猜想04 三角恒等变换高频题型归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 和差公式的正用和逆用 · 题型二 二倍角公式的正用和逆用 · 题型三 给值求值问题 · 题型四 给值求角问题 · 题型五 积化和差、和差化积 · 题型六 三角函数式化简、求值 · 题型七 应用三角恒等变换判断三角形形状 · 题型八 三角恒等变换与三角函数 · 题型九 三角恒等变换的实际应用 · 题型一 和差公式的正用和逆用 1．（2023·24高一下·北京顺义·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（2023·24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知锐角的终边过点，则 （ ） A． B． C． D． 3．（2023·24高一上·山东菏泽·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·24高二上·贵州六盘水·期中）（多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 5．（2023·24高一下·上海静安·期末）已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 . 6．（2023·24高三上·山东济宁·期中）如图，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则 .    题型二 二倍角公式的正用和逆用 7．（2024·25高三上·江苏南京·期中）已知，是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 8．（2023·24高三下·江苏扬州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·24高一下·云南昭通·期中）已知角终边经过点，则 ． 10．（2024·25高二上·云南玉溪·期中）若，则 . 11．（2023·24高一下·山西·期中）已知，则（    ） A． B．4 C． D．2 12．（2024·25高二下·湖南长沙·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 题型三 给值求值问题 13．（2024·25高一下·山东烟台·阶段练习）已知，均为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知，则（   ） A．4 B．2 C． D． 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，则的值为 ． 17．（2024·25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知，，，，则 . 18．（2024·25高三上·江苏南通·阶段练习）若和都为锐角，，则 . 19．（2024·25高一下·广东佛山·阶段练习）已知，其中 (1)求； (2)求． 题型四 给值求角问题 20．（2024·25高三下·广东深圳·阶段练习）设，是方程的两根，且，，则（   ） A． B． C． D． 21．（2024·25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 22．（2023·24高一下·陕西西安·期中）已知，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·25高一下·山东淄博·阶段练习）（多选）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·25高一下·上海松江·阶段练习）若，且均为锐角，，则 25．（2023·24高一下·北京朝阳·阶段练习）定义运算.若，，，则 . 题型五 积化和差、和差化积 26．（2023·24高一下·辽宁抚顺·期中）（    ） A．0 B． C． D． 27．（2023·24高三上·江西萍乡·期中）求值： . 28．（2023·24高一下·广东汕头·阶段练习）已知，，则 . 题型六 三角函数式化简、求值 29．（2023·24高一下·广东广州·期中）函数的最大值为 . 30．（2023·24高一下·甘肃白银·期中）化简： . 31．（2023·24高一下·上海·期中）求下列函数的最大值和最小值，以及取最大值最小值时x的值 (1) (2) 32．（2023·24高三上·浙江金华·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的值. 题型七 应用三角恒等变换判断三角形形状 33．（2023·24高一下·浙江宁波·期中）已知角，，为的内角，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 34．（2023·24高一下·江苏扬州·期中）中若有，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 35．（2023·24高一下·河北邢台·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为(    ) A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 36．（2023·24高一下·福建厦门·阶段练习）（多选）在中，若，则的形状（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 37．（2023·24高一下·江苏南京·阶段练习）在中，若，则该三角形的形状是 . 题型八 三角恒等变换与三角函数 38．（2023·24高一下·云南昭通·期中）已知函数，. (1)若，求在上的值域； (2)若在内恰有两个的值，使得函数关于点对称，求的取值范围. 39．（2023·24高一下·河北邢台·期中）已知函数的最大值为1， (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合. 40．（2024·25高三上·北京·期中）已知函数，且满足_____________. （在下列三个条件中任选一个填入，并解答问题）. ①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ②函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③已知，，且的最小值为. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数在上的单调递减区间. 41．（2024·25高三上·湖北·期中）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后于单位圆交于点，，. (1)若，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，当函数的最大值是时，求的值. 42．（2024·25高三上·山西·阶段练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数. (1)若，求的值域； (2)若，求的值. 43．（2024·25高三上·辽宁·期中）已知函数. (1)化简:； (2)求函数的最小正周期和图象的对称中心; (3)求函数在上的单调递增区间. 题型九 三角恒等变换的实际应用 44．（2023·24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口（阴影部分）是一块景点水域．为了进一步发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形建成停车场，另一块为直角三角形建成休闲区（），它们的面积分别记为、；同时，为了保护景点水域，限定扇形必须为四分之一圆，不作其它开发．已知为圆心，直径为，点、分别在弧、上（均不含端点），且点、分别在、上，点和在上，，，记． (1)求的最大值，并指出相应的值； (2)为了给旅游主管部门提供决策依据，求的取值范围． 45．（2023·24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角 来截. 46．（2023·24高一上·安徽·期末）某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. (1)求扇形空地AOB的半径和圆心角； (2)取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 47．（2023·24高一下·上海闵行·期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.    (1)若，求此红旗图案的面积；（精确到） (2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到） 48．（2023·24高三上·福建福州·阶段练习）如图所示，是一块边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场． (1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式； (2)当为多少时，S最大，并求最大值． $$猜想04 三角恒等变换高频题型归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 和差公式的正用和逆用 · 题型二 二倍角公式的正用和逆用 · 题型三 给值求值问题 · 题型四 给值求角问题 · 题型五 积化和差、和差化积 · 题型六 三角函数式化简、求值 · 题型七 应用三角恒等变换判断三角形形状 · 题型八 三角恒等变换与三角函数 · 题型九 三角恒等变换的实际应用 · 题型一 和差公式的正用和逆用 1．（2023·24高一下·北京顺义·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 故选：C. 2．（2023·24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知锐角的终边过点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得，故. 故选：B. 3．（2023·24高一上·山东菏泽·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得，解得， 所以，， 故. 故选：D. 4．（2023·24高二上·贵州六盘水·期中）（多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对A，，A错误； 对B，，B正确； 对C，，C正确； 对D， ，D错误. 故选：BC 5．（2023·24高一下·上海静安·期末）已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 . 【答案】 【详解】设以为中终边的角为，则由三角函数的定义可知，， 由题意，以为终边的角为， 且， ， 且， 则点的横坐标为，纵坐标为. 即点的坐标为. 故答案为： 6．（2023·24高三上·山东济宁·期中）如图，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则 .    【答案】 【详解】由图得：，所以，又因为为锐角，从而. 故答案为：. 题型二 二倍角公式的正用和逆用 7．（2024·25高三上·江苏南京·期中）已知，是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是方程的两根， 所以， 所以， 则. 故选：D. 8．（2023·24高三下·江苏扬州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， 所以，，， 所以. 故选：A. 9．（2023·24高一下·云南昭通·期中）已知角终边经过点，则 ． 【答案】2 【详解】因为的终边经过点，所以， 所以，解得或， 又，所以，， 所以，， 故答案为：2 10．（2024·25高二上·云南玉溪·期中）若，则 . 【答案】2 【详解】已知，则. 则，即，即， 则. 故答案为：2. 11．（2023·24高一下·山西·期中）已知，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【详解】因为，则， 所以． 故选：D． 12．（2024·25高二下·湖南长沙·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，，在这个区间内，所以. 将代入可得：. （2）根据二倍角公式，，则. 将，代入上式可得： . 题型三 给值求值问题 13．（2024·25高一下·山东烟台·阶段练习）已知，均为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 又因为，均为锐角，则，所以，， 所以， 故选：C 14．（2024·25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以 . 故选：B 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C 另解：， 所以. 故选：C 16．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：因为， 即，解得， 所以 . 故答案为： 17．（2024·25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知，，，，则 . 【答案】/ 【详解】因为，，，， 所以，，即，. 故. 故答案为：. 18．（2024·25高三上·江苏南通·阶段练习）若和都为锐角，，则 . 【答案】 【详解】因为和都为锐角，则， 且，可得， 所以. 故答案为：. 19．（2024·25高一下·广东佛山·阶段练习）已知，其中 (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得： ，， ， （2），， ， . 题型四 给值求角问题 20．（2024·25高三下·广东深圳·阶段练习）设，是方程的两根，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由是方程的两根，得， 且，而，则，， 则，所以. 故选：D 21．（2024·25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 22．（2023·24高一下·陕西西安·期中）已知，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 则， 可知，，则， 又因为， 可得， 所以. 故选：D. 23．（2024·25高一下·山东淄博·阶段练习）（多选）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，所以，且因为， 所以，则， 则，所以正确； 由可得，又因为， 利用不等式的性质可得，， 所以， 则， 又因为，所以，所以正确. 故选: 24．（2024·25高一下·上海松江·阶段练习）若，且均为锐角，，则 【答案】 【详解】因为、为锐角，且，所以,, 所以,, 所以, 且因为，所以. 故答案为：. 25．（2023·24高一下·北京朝阳·阶段练习）定义运算.若，，，则 . 【答案】/ 【详解】由题意可得， 因为，则， 所以，， 因为，则， 所以， ， 因此，. 故答案为：. 题型五 积化和差、和差化积 26．（2023·24高一下·辽宁抚顺·期中）（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】 , 故选：C 27．（2023·24高三上·江西萍乡·期中）求值： . 【答案】 【详解】， ， 代入原式得， 故答案为：. 28．（2023·24高一下·广东汕头·阶段练习）已知，，则 . 【答案】 【详解】 故答案为： 题型六 三角函数式化简、求值 29．（2023·24高一下·广东广州·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【详解】由 当时，即 所以的最大值为： 故答案为： 30．（2023·24高一下·甘肃白银·期中）化简： . 【答案】 【详解】原式， 故答案为：. 31．（2023·24高一下·上海·期中）求下列函数的最大值和最小值，以及取最大值最小值时x的值 (1) (2) 【答案】(1)最大值为1，此时；最小值为，此时. (2)最大值为1，此时；最小值为，此时. 【详解】（1）因为函数， 所以当时，函数有最大值为1， 此时即； 当时，函数有最小值为， 此时即. （2）因为函数为， 所以当时，函数有最大值为， 此时即； 当时，函数有最小值为， 此时即. 32．（2023·24高三上·浙江金华·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ，令， 解得， 故的单调递增区间为； （2）因为，所以， ，即， 所以，， 所以 . 题型七 应用三角恒等变换判断三角形形状 33．（2023·24高一下·浙江宁波·期中）已知角，，为的内角，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【详解】在中，，则，所以， 又， ，， ，则，为直角三角形. 故选：B 34．（2023·24高一下·江苏扬州·期中）中若有，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以为直角三角形， 故选：B 35．（2023·24高一下·河北邢台·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为(    ) A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】由知，， ∴＝， ，， ， ∴， ∵在△ABC中，， ∴， ∵，∴， 即△ABC为直角三角形． 故选：C． 36．（2023·24高一下·福建厦门·阶段练习）（多选）在中，若，则的形状（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】AB 【解析】首先根据题意化简得到，，或，即可得到三角形的形状. 【详解】， . . ， 或. ，， ，或. 为直角三角形或等腰三角形. 故选：AB 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查了三角形形状的判定，属于中档题. 37．（2023·24高一下·江苏南京·阶段练习）在中，若，则该三角形的形状是 . 【答案】等腰三角形 【解析】利用，结合两角和的余弦公式化简得出，可得出角与角的关系，从而判断出该三角形的形状. 【详解】， ，即， ，，，， 因此，为等腰三角形. 故答案为：等腰三角形. 【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 题型八 三角恒等变换与三角函数 38．（2023·24高一下·云南昭通·期中）已知函数，. (1)若，求在上的值域； (2)若在内恰有两个的值，使得函数关于点对称，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为 ， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以在上的值域为. （2）因为在内恰有两个的值，使得函数关于点对称， 所以在内有且仅有2个对称中心， 当时，因为，所以， 所以，解得，即的取值范围为. 39．（2023·24高一下·河北邢台·期中）已知函数的最大值为1， (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合. 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1） ， 因为的最大值为1，且函数的最大值为1， 所以，解得. （2）由（1）可知. 由， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，； （3）由，得，即. 所以，. 解得. 因此，成立的的取值范围是. 40．（2024·25高三上·北京·期中）已知函数，且满足_____________. （在下列三个条件中任选一个填入，并解答问题）. ①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ②函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③已知，，且的最小值为. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数在上的单调递减区间. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）因为 若选择①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择② 函数的图象相邻两个最大值之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择③ 已知，，即可得有2个根且的最小值为,可得函数周期为，所以，， 所以,令,即 函数的对称中心坐标. （2）因为, 令,可得, 又因为,令,得, 令,得, 所以函数在上的单调递减区间为， 41．（2024·25高三上·湖北·期中）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后于单位圆交于点，，. (1)若，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，当函数的最大值是时，求的值. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）由三角函数定义，得，， ， 由，得，则， 因此，的取值范围是. （2）由（1）及已知，得，， 令 ，， ①当时，在上单调递减，，则； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， ，不符合题意； ③当时，在单调递增，，则， 所以或. 42．（2024·25高三上·山西·阶段练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数. (1)若，求的值域； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 设将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为， 则， 由题意得为偶函数，所以， 解得， 又，所以，所以. 当时，， 所以， 所以，即的值域为. （2）因为， 所以，即， 所以，即， 又， 所以. 所以. 43．（2024·25高三上·辽宁·期中）已知函数. (1)化简:； (2)求函数的最小正周期和图象的对称中心; (3)求函数在上的单调递增区间. 【答案】(1)1 (2)， (3) 【详解】（1） ； （2）， 所以的最小正周期； 令，得， 即图象的对称中心为. （3）令，得， 令，得；令，得， 所以函数在上的单调递增区间为. 题型九 三角恒等变换的实际应用 44．（2023·24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口（阴影部分）是一块景点水域．为了进一步发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形建成停车场，另一块为直角三角形建成休闲区（），它们的面积分别记为、；同时，为了保护景点水域，限定扇形必须为四分之一圆，不作其它开发．已知为圆心，直径为，点、分别在弧、上（均不含端点），且点、分别在、上，点和在上，，，记． (1)求的最大值，并指出相应的值； (2)为了给旅游主管部门提供决策依据，求的取值范围． 【答案】(1)当时，取得最大值 (2) 【详解】（1）解：在中，，，则，其中， 在中，，，， 则， 所以， ， 因为，则，故当时，即当时， 取得最大值. （2）解：因为，，则， 因为，则，， 所以，， 所以，. 45．（2023·24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角 来截. 【答案】或 【详解】设正方形的边长为，则正方形的边长为， 由题意可得，即，可得， 因为，则，所以，或，解得或. 故答案为：或. 46．（2023·24高一上·安徽·期末）某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. (1)求扇形空地AOB的半径和圆心角； (2)取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 【答案】(1)扇形空地AOB的半径为10，圆心角为； (2)（i），；（ii），. 【详解】（1）设扇形空地所在圆半径为，扇形弧长为，依题意，， 解得或，当时，圆心角，不符合题意， 当时，圆心角，符合题意， 所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为. （2）（i）由（1）知，，则， 在中，，则， 在中，，， 于是， 所以 ，. （ii）由（i）知，当时，， 则当，即时，， 所以当时，运动场馆的面积最大，最大面积为. 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得. 47．（2023·24高一下·上海闵行·期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.    (1)若，求此红旗图案的面积；（精确到） (2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，则，，， ， ； （2）设，则，， ， ， ， 故当时，即时，取得最大值． 48．（2023·24高三上·福建福州·阶段练习）如图所示，是一块边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场． (1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式； (2)当为多少时，S最大，并求最大值． 【答案】(1)，． (2)时，面积最大为 【详解】（1）延长交于，设， 则，， ，． ，． （2）设， ，知，，， ． 当，即时，有最大值． 答：长方形停车场面积的最大值为平方米． $$