猜想03 向量的数量积高频题型归类（考题猜想，7大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

猜想03 向量的数量积高频题型归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 平面向量数量积的运算 · 题型二 利用向量的数量积判断形状 · 题型三 向量的垂直问题 · 题型四 向量的模 · 题型五 向量的夹角问题 · 题型六 投影向量 · 题型七 平面向量的最值范围 题型一 平面向量数量积的运算 1．（2024·湖北·二模）已知正方形的边长为2，若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（2023·24高一下·山东济南·期中）已知正方形的边长为，，，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 3．（2023·24高一下·江苏南通·期中）在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D． 4．（2023·24高一下·湖北武汉·期末）（多选）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，则（    ） A． B．不与垂直 C． D． 题型二 利用向量的数量积判断形状 5．（2023·24高一下·山东菏泽·阶段练习）在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 6．（2023·24高一下·河北石家庄·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 7．（2023·24高一下·湖南长沙·阶段练习）点是所在平面内的一点，当且时，的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 8．（2023·24高二下·湖南长沙·阶段练习）（多选）下列有关四边形的形状，判断正确的有（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，且，则四边形为菱形 C．若，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为正方形 题型三 向量的垂直问题 9．（2024·25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D． 10．（2023·24高一下·浙江绍兴·期中）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 11．（2023·24高一下·广东广州·期中）已知，且与互相垂直，则的关系（    ） A．共线 B．垂直 C．不垂直也不平行 D．都有可能 12．（2023·24高一下·江苏泰州·期中）在中，且，则错误的选项为（   ） A． B． C． D． 13．（2024·25高三上·湖南常德·阶段练习）已知向量，，若，则 ． 14．（2023·24高一下·湖南·期中）在平面直角坐标系中，已知向量，，，且，为非零向量． (1)若B是AD的中点，求的坐标； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 15．（2023·24高一下·北京东城·期中）已知向量的夹角为， (1)求 ； (2)若与垂直，求实数的值. 题型四 向量的模 16．（2023·24高三上·甘肃张掖·阶段练习）已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 17．（2024·25高三上·北京·阶段练习）设，向量，，且，则（   ） A． B． C． D．10 18．（2023·24高二下·云南临沧·阶段练习）已知向量两两夹角为60°，且，则 ． 19．（2024·广西来宾·模拟预测）已知平面向量满足，则（    ） A．3 B． C． D．1 20．（2023·24高三上·湖北·阶段练习）在中，，则（    ） A． B． C． D．2 21．（2024·25高三上·辽宁沈阳·期中）已知，为单位向量，若，则（   ） A． B． C． D． 22．（2023·24高三上·河南·阶段练习）若向量，满足，，则 ． 题型五 向量的夹角问题 23．（2023·24高一下·吉林长春·期中）已知的顶点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 24．（2023·24高一下·江苏淮安·期中）若两个单位向量满足，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 25．（2023·24高二下·河北·期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．（2023·24高一下·云南德宏·期中）已知，为单位向量，且，若，则 . 27．（2023·24高一下·北京·期中）向量与的夹角的大小为 . 28．（2023·24高一下·西藏山南·期中）已知向量，满足，，． (1)求的值； (2)求向量与的夹角． 29．（2023·24高一下·四川绵阳·期中）在正方形中，点，分别是，的中点，则＝ . 30．（2023·24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）在中，，为边的中点，为的中点.相交于点.则的余弦值为 . 题型六 投影向量 31．（2025·浙江温州·二模）若向量满足，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 32．（2024·25高三上·江苏镇江·期中）已知向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 33．（2023·24高一下·湖北襄阳·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 （用坐标表示）． 34．（2024·25高三上·云南保山·期中）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 35．（2023·24高一下·重庆·期中）已知是平面内的一点，若，，且向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 36．（2024·25高三上·山西吕梁·期中）已知满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D．2 题型七 平面向量的最值范围 37．（2024·25高三上·江苏南通·期中）已知向量，满足，，，若向量满足，则的最大值为（   ） A． B． C．4 D． 38．（2024·25高二上·浙江·期中）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为 ． 39．（2023·24高一下·上海嘉定·期中）已知是圆的直径上的两点，且是圆上的两个动点，且，则的最大值为 ． 40．（2024·25高三上·天津·期中）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 ；若，则的最大值为 . 41．（2023·24高一下·辽宁大连·期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为2，点满足，则 ；若点是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为 ． 42．（2023·24高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 43．（2023·24高一下·天津河北·期中）如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.    (1)若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； (2)求的取值范围. 44．（2023·24高一下·江苏宿迁·期中）如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.    (1)若，用，表示，； (2)求的取值范围. $$猜想03 向量的数量积高频题型归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 平面向量数量积的运算 · 题型二 利用向量的数量积判断形状 · 题型三 向量的垂直问题 · 题型四 向量的模 · 题型五 向量的夹角问题 · 题型六 投影向量 · 题型七 平面向量的最值范围 题型一 平面向量数量积的运算 1．（2024·湖北·二模）已知正方形的边长为2，若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 由可得为的中点，所以， 易知，可得， 所以. 故选：B 2．（2023·24高一下·山东济南·期中）已知正方形的边长为，，，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】如图建立平面直角坐标，则，，，， ，， ． 故选：C．    3．（2023·24高一下·江苏南通·期中）在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】如图建立平面直角坐标系，，设， 则， 所以，得， 所以， 所以. 故选：C. 4．（2023·24高一下·湖北武汉·期末）（多选）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，则（    ） A． B．不与垂直 C． D． 【答案】ACD 【详解】根据向量数量积的分配律可知A正确； 对于B，因为，所以与垂直，故B错误； 对于C，因为不共线，所以组成三角形三边，则成立，故C正确； 根据向量数量积的运算律可知D正确. 故选：ACD. 题型二 利用向量的数量积判断形状 5．（2023·24高一下·山东菏泽·阶段练习）在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】D 【详解】由题意， ，又， 为锐角，但另外两角不能确定，故的形状不能确定. 故选：D. 6．（2023·24高一下·河北石家庄·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】在中，由，得， 即，因此，即， 所以是等腰三角形. 故选：C 7．（2023·24高一下·湖南长沙·阶段练习）点是所在平面内的一点，当且时，的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】因为，所以是的重心， 又， 所以垂直平分，所以为等腰三角形. 故选：A 8．（2023·24高二下·湖南长沙·阶段练习）（多选）下列有关四边形的形状，判断正确的有（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，且，则四边形为菱形 C．若，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为正方形 【答案】AB 【详解】选项 A，若，则 ，，则四边形为平行四边形，故A正确； 选项B，若，则 ，，则四边形为平行四边形， 又，则，则四边形一定是菱形，故B正确； 选项C，若，则，则，则，仅由不能判定四边形为矩形，故C错误； 选项D，若，则，，则四边形为平行四边形，又由，可得，所以对角线，则平行四边形为菱形，故D错误， 故选：AB． 题型三 向量的垂直问题 9．（2024·25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由可得，即， 也即，解得. 故选：D 10．（2023·24高一下·浙江绍兴·期中）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为，所以， 又因为O是BC的中点，所以直线MO是BC的中垂线， 故动点M的轨迹必通过的外心. 故选：B. 11．（2023·24高一下·广东广州·期中）已知，且与互相垂直，则的关系（    ） A．共线 B．垂直 C．不垂直也不平行 D．都有可能 【答案】B 【详解】向量，由，得， 则，解得，所以垂直. 故选：B 12．（2023·24高一下·江苏泰州·期中）在中，且，则错误的选项为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知,又由可得， 故得为等腰直角三角形. 如图，作正方形，设边长为1，连接.    对于A项，，故A项正确； 对于B项，，而，故B项正确； 对于C项，，而，故C项错误； 对于D项，，而，故D项正确. 故选：C. 13．（2024·25高三上·湖南常德·阶段练习）已知向量，，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以. 所以. 故答案为：. 14．（2023·24高一下·湖南·期中）在平面直角坐标系中，已知向量，，，且，为非零向量． (1)若B是AD的中点，求的坐标； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，因为是的中点， 所以有，即， 即，解得，所以. （2）由得，即①， 由得，即有② 由①②解得，或（舍去）， 所以， 所以四边形的面积. 15．（2023·24高一下·北京东城·期中）已知向量的夹角为， (1)求 ； (2)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1)1 (2)2 【详解】（1）因为向量的夹角为，， 所以； （2）因为与垂直， 所以， 所以， 所以，解得. 题型四 向量的模 16．（2023·24高三上·甘肃张掖·阶段练习）已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：因为向量与的夹角为， 所以， 所以， 故选：A. 17．（2024·25高三上·北京·阶段练习）设，向量，，且，则（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【详解】因为，所以，即，所以， 则，所以， 故选：C 18．（2023·24高二下·云南临沧·阶段练习）已知向量两两夹角为60°，且，则 ． 【答案】． 【详解】. 故答案为：. 19．（2024·广西来宾·模拟预测）已知平面向量满足，则（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【详解】由于，所以， 又因为所以 所以， 所以. 故选：C. 20．（2023·24高三上·湖北·阶段练习）在中，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：C. 21．（2024·25高三上·辽宁沈阳·期中）已知，为单位向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，为单位向量，则有， ，则，得， 解得，又，舍去，故. 故选：C. 22．（2023·24高三上·河南·阶段练习）若向量，满足，，则 ． 【答案】7 【详解】由已知条件得，，且， 两式相减可得， 所以． 故答案为：7. 题型五 向量的夹角问题 23．（2023·24高一下·吉林长春·期中）已知的顶点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 的三个顶点的坐标分别为， 可得，则且， 所以. 故选：C. 24．（2023·24高一下·江苏淮安·期中）若两个单位向量满足，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是两个单位向量，所以， 所以向量与的夹角是. 故选：C. 25．（2023·24高二下·河北·期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则，解得． ∵与的夹角为锐角，∴． 又，与的夹角为锐角， ∴，即，解得． 又∵，∴． 故选：B 26．（2023·24高一下·云南德宏·期中）已知，为单位向量，且，若，则 . 【答案】/ 【详解】根据题意知，为单位向量，且，若. 所以，，， ， 则，所以. 故答案为： 27．（2023·24高一下·北京·期中）向量与的夹角的大小为 . 【答案】 【详解】因为、， 所以，， ， 设向量与的夹角为， 则， 又，所以. 故答案为： 28．（2023·24高一下·西藏山南·期中）已知向量，满足，，． (1)求的值； (2)求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，, 由可得， ，即 于是，； （2）设向量与的夹角为， 则， 因， ，， 即与的夹角为． 29．（2023·24高一下·四川绵阳·期中）在正方形中，点，分别是，的中点，则＝ . 【答案】/ 【详解】    设正方形的边长为2，以为原点，所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 所以，，故， 所以， 又， 所以. 故答案为： 30．（2023·24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）在中，，为边的中点，为的中点.相交于点.则的余弦值为 . 【答案】/ 【详解】，， 则 ， ， ， 故. 故答案为：. 题型六 投影向量 31．（2025·浙江温州·二模）若向量满足，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设投影向量是，则，所以， 即在上的投影向量是． 故选：D. 32．（2024·25高三上·江苏镇江·期中）已知向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为. 故选：D. 33．（2023·24高一下·湖北襄阳·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 （用坐标表示）． 【答案】 【详解】由向量，，可得，且，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 34．（2024·25高三上·云南保山·期中）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】向量在向量上的投影向量为，则，即， 又是夹角为的两个单位向量，则，即，解得. 故选：B. 35．（2023·24高一下·重庆·期中）已知是平面内的一点，若，，且向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，则为中点，有， 向量在向量上的投影向量为，则， 由，得，，则， 所以. 故选：C 36．（2024·25高三上·山西吕梁·期中）已知满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】在中，令，过作于，， 由向量在向量上的投影向量为，得， 解得，则，由，得 ，解得，由， 得，即，因此， 在中，. 故选：C    题型七 平面向量的最值范围 37．（2024·25高三上·江苏南通·期中）已知向量，满足，，，若向量满足，则的最大值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】根据题意， ，∴ ， 设为的夹角， . 故选：A. 38．（2024·25高二上·浙江·期中）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】/ 【详解】 因为，所以取最大同时在上投影最大，则取得最大值， 如图所示，当 分别是最大的正三角形底边的端点， B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， 最大，且在向量上的投影也达到最大值, 所以此时取得最大值，最大值为； 因为，取最大同时在上投影最小，则取得最小值， 当 分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时， ，此时 达到最小值． 综上所述的最大值与最小值的和为. 故答案为：. 39．（2023·24高一下·上海嘉定·期中）已知是圆的直径上的两点，且是圆上的两个动点，且，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】 由题意可得，，则， 由可得， ， 当时，取得最大值为. 故答案为： 40．（2024·25高三上·天津·期中）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 ；若，则的最大值为 . 【答案】 ； 【详解】（1）(1)因为点D为AB的中点，所以. 又因为，根据向量加法，可得. 因为点E为CD的中点，所以，即. 再根据向量加法，可得. （2）因为，，所以. . ， 在中，，根据向量数量积公式， 可得.由， 根据余弦定理， 即. 根据基本不等式，可得，即. 将代入的表达式： 因为，，取得最大值，最大值为. 故答案为：；. 41．（2023·24高一下·辽宁大连·期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为2，点满足，则 ；若点是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为 ． 【答案】 2 6 【详解】由题意得，， ∴， ∴， 又以及正六边形的几何特征可知为的中点， 则 ， 要使最大，可知当在处时，最大，此时最大， 即. 故答案为：；． 42．（2023·24高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 43．（2023·24高一下·天津河北·期中）如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.    (1)若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)（i），；（ii）3，；；. (2). 【详解】（1）（i）由点为的中点，点为的中点， 可得，； （ii）由，，， 则，， 可得 ； 由， 可得； 由， 可得； ； （2）， 设，由题意可知，， 由此得到， 由，，可得， 即的取值范围为. 44．（2023·24高一下·江苏宿迁·期中）如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.    (1)若，用，表示，； (2)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形.    所以， 因为，，所以， 所以， . （2）因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ， 所以， 设，则，. 所以， ， 所以 ， 因为， 所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为. 所以的取值范围. $$