清单08 数列的通项公式与数列求和（考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）高二数学下学期人教B版

清单08 数列的通项公式与数列求和 清单01 求通项公式 一、累加法：形如且 当时. 二、累乘法：形如且 当时,.注意:不一定满足上述形式,所以需要检验. 三、取倒法：形如分式 两边同时取倒数即可 四、同除法：形如且或形如整式 第一种：两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） 第二种：两边同时除以 五、待定系数法 ①形如且 方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ② 方法：这种类型一般是等式两边取对数后得：，再进行求解。 六、前n项和与 用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 注：个别时候会消，然后得到与之间的关系，然后先求得的表达式 七、“和”型和“积”型 “和”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； “积”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； 清单02 数列求和 一、倒序相加法 如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 二、分组求和法 （1）把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 若数列的通项公式为，且为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数列的前n项和． （2）若数列的通项公式为奇偶分段数列型或者绝对值分段数列型，可采用分组求和法求数列的前n项和，注意对n进行分类讨论 （3）一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 三、倒序相加法 如果一个数列的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的． 四、裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6） 五、错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． ②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式. 【考点题型一】累加法求数列通项（） 【例1】南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（    ） A．196 B．197 C．198 D．227 【答案】D 【详解】若某个二阶等差数列的前4项为：， 即 可知，，, 累加即可得到， 则，则 故选：D. 【变式1-1】将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是 . 【答案】1275 【详解】设数列，，，，……，故， 利用叠加法：， ， 故. 故答案为：1275. 【变式1-2】南宋数学家杨辉所著《九章算法•商功》中，有如下图形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个，第三层有6个，设各层球数构成一个数列，且满足，则（    ） A． B．65 C．67 D． 【答案】A 【详解】最上层有1个球，第二层有3个，第三层有6个， ，， 当时， ，也适合该式， ， . 故选：A. 【变式1-3】已知数列满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以 ，， 显然满足上式，则，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，且， 所以当时，取最小值. 故选：B. 【变式1-4】已知数列满足，且，则 . 【答案】 【详解】由题得 ， 当时，符合题意， 所以， 故答案为：. 【考点题型二】累乘法求数列通项（） 【例2】已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 【变式2-1】在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 【变式2-2】已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，得， 所以， 所以，即①． 又因为②， ①②两式相乘，得． 故选：A． 【变式2-3】数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 【变式2-4】设为正项等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是正项等比数列，所以，公比. 因为，所以， 则，即， 则，得（舍）或， 又因为，所以，所以的通项公式为. （2）依题意得， 当时，，即. 因为，所以， 当时，符合上式，所以的通项公式为. 因为， 所以. 【考点题型三】待定系数法求数列通项（） 【例3】已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，即， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，故， ∴. 故选：D. 【变式3-1】（多选）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 【答案】AB 【详解】因为，所以，所以数列是以首项为， 公比为2的等比数列，所以，故A正确； 数列的前项和为 ，故B正确； 因为，故C错误； 令，所以数列为等差数列，故D错误. 故选：AB. 【变式3-2】已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 【变式3-3】已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 【变式3-4】已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 【答案】 【详解】，，又， 是以为公比和首项的等比数列， ， . 【考点题型四】取倒数法或同除法求数列通项（） 【例4】已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即，所以， 又因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，所以． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的证明，求等差数列中的项等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于对取倒数得，进而利用等差数列得. 【变式4-1】已知数列满足，若，则为（   ） A．等比数列 B．等差数列 C．递增数列 D．递减数列 【答案】D 【详解】根据题意，， 所以，且， 所以数列为以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，则 所以数列为递减数列. 故选：D 【变式4-2】（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．的通项公式为 C．为等比数列 D．的前n项和 【答案】AB 【详解】因为，所以，又， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，， 故A正确，C错误； 所以，故B正确； 因为，所以的前项和， 故D错误. 故选：AB. 【变式4-3】数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 【答案】． 【详解】∵，所以，即， ∴是等差数列，而， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式4-4】已知数列中，，且满足，则 . 【答案】 【详解】由可得， 故为等差数列，且公差为2，首项为2， 故，故， 故答案为： 【考点题型五】由Sn与an的关系求数列通项（） 【例5】设数列的前项和为，已知，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列为递增数列 C． D．数列为等差数列 【答案】C 【详解】当时，得，所以. 当时，， 得，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，得，故A错误. 因为是递减数列，所以B错误. 因为，所以，故C正确. 因为，所以D错误. 故选：C. 【变式5-1】数列的前n项和为，满足，，则 . 【答案】10100 【详解】当时，，解得， 当时，， 即，则，即， ∴或， 当时，，则与矛盾，∴舍去， ∴，即数列是首项，公差的等差数列， 即， ∴数列的前项和，即. 故答案为：10111. 【变式5-2】已知正项数列的前项和满足，则 . 【答案】 【详解】由题知，即，因为，解得， 时，，即，因为，解得， 时，，即，即，因为，解得， 同理可得，. 故答案为：. 【变式5-3】已知数列的各项均不为0，其前项和为，且. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，可得， ∵，∴， ∵， ∴. （2）由题意得，. 当时，， ∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列的奇数项、偶数项均成公差为2的等差数列， ∴， ∴. 当时，，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴. 【变式5-4】已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，当时，，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，， ，则， 两式相减得， 所以. 【考点题型六】分组转化法求和（） 【例6】已知数列的前项和为，且，，则的值为（   ） A．360 B．480 C．960 D．1280 【答案】D 【详解】当n为奇数，，， 当n为偶数，，， 因此，的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列； 的偶数项是以为首项，3为公差的等差数列， 所以 . 故选：D 【变式6-1】设数列的前项和为．已知． (1)求通项公式； (2)设数列，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，当时，，，解得， 当时，由有， 所以，即，所以数列是以首项为1，公比为的等比数列， 所以； （2）因为， 当时，，， 当时，， ， 所以. 【变式6-2】已知数列满足：.则的前60项的和为 . 【答案】2760 【详解】由， 故，，，，…. 故，，，…. 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3； ，，，…. 从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列. 故. 故答案为：2760. 【变式6-3】已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意，得， 又为等比数列，所以，即， 解得或，所以或； （2）当时，， 此时； 当时，， 此时. 【变式6-4】已知是公差不为0的等差数列，成等比数列．为公比为2的等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，若，记数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）数列是等差数列，设首项为公差为 因为，所以① 因为成等比数列，所以 因为，所以② 由①②得， 所以. （2）因为数列为公比为2的等比数列， 由得，所以，则， 所以 所以 . 【考点题型七】并项法求和（） 【例7】已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【答案】D 【详解】设首项为，因为成等比数列， 所以，则， 解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除， 当时，，此时令， 而其前2025项和为， . 故选：D 【变式7-1】已知等差数列中，，，则数列的前51项和为（    ） A．26 B． C．51 D． 【答案】D 【详解】因为，即，可得， 设等差数列的公差为， 则，解得， 设， 则，且 所以数列的前51项和为 ． 故选：D． 【变式7-2】已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2025项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列公差为， 由题意可知，即， ∴，则，解得， ∴. （2）， 当为偶数时，为奇数，则，即， 当时，， 当为偶数时，，当为奇数时，， 设数列的前项和为， 则， . 【变式7-3】记是等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)4 (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，，解得， 所以. （2）由（1）可得， 由可得，解得或， 因为，故正整数的最小值为. （3）因 当为偶数时， ； 当为奇数时， . 所以数列的前项和为：. 【变式7-4】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）① 当时，，即； 当时，② ①－②得 因为时，也满足上式， 故． （2）记， 则 （常数） 数到为常数列， 【考点题型八】倒序相加法求和（） 【例8】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 故选：B. 【变式8-1】已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 【答案】C 【详解】由题意可知，，所以； 由等比数列性质可得； 又因为函数，所以， 即，所以； 令，则； 所以， 即. 故选：C 【变式8-2】高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则 . 【答案】1012 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 本题运用了类比的方法，类比高斯算法中首尾相加和相等的思路，先求出的值，再利用等比数列的性质找到其他和为1的组合.对于类似的数列求和问题，当数列具有一定的规律（如等比数列的性质）时，可以尝试通过分组的方式，将和相等的项组合在一起，简化求和过程.在计算时，运用了分式的通分运算，这是处理分式相加问题的常用方法.在解决涉及函数与数列结合的问题时，要善于根据函数的表达式和数列的性质进行运算和推理. 【变式8-3】已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ． 【答案】/ 【详解】，① 当时，，② ①-②得； 当时，，此时仍然成立，． 当时，； 当时，， 当时，上式也成立，故． 由于， 设 ， 则， ． 故答案为： 【变式8-4】已知函数，则 ；设数列满足，则此数列的前2023项的和为 ． 【答案】 【详解】解：已知，则： ， ， 所以， 则， 已知数列， ，， 数列的前2023项的和， 且， 两式相加，得， 故答案为：； 【考点题型九】裂项相消法求和（） 【例9】已知数列满足，， (1)设，证明：是等差数列； (2)设数列的前项和为，求，并判断是否为中的项，若是，是第几项？若不是，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，是中的项，是第119项. 【详解】（1）由题意，，则， 又，则， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知：，即，则， 故， 所以， 令，解得，所以是中的项，是第119项. 【变式9-1】已知等差数列为递增数列，且满足，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和的最大值，最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【详解】（1）等差数列为递增数列，且满足， ， 即，解得， 所以，， 所以通项公式为． （2）由（1）可得，， 设数列的前n项和为，则， 当n为奇数时，所以， 随着n的增大而减小，可得； 当n为偶数时，随着n的增大而增大，可得． 故的最大值为，最小值为. 【变式9-2】已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设为的前项和，，求的前项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得， 则有，所以的通项公式为. （2）由（1）知，，， 所以 . 【变式9-3】已知为等差数列，前项和为，是首项为且公比大于的等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，且数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则， 因为，，可得，解得， 故数列的通项公式为， 因为，， 即，解得 故数列的通项公式为. （2）由题得：， 所以，， 因为，故数列单调递增， 所以，，且， 因此，对任意的，. 【变式9-4】已知数列 的前 项和 满足 ，且 . (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式; (2)设 为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②可得：， 化简可得，， 即，， 又，当时，，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 且. （2） 因为 所以， 则 ， 由可得，化简可得，解得， 所以使成立的最小正整数的值为. 【考点题型十】错位相减法求和（） 【例10】已知数列满足，且，设. (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由数列满足，且， 可得，解得. （2）因为，所以， 所以， 整理得，可得，即， 又因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 可得，所以. （3）由（2）知：，则， 所以， 设， 则， 所以， 即. 故. 【变式10-1】已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； （2），设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 【变式10-2】已知数列中，是与的等差中项，数列中，，点在直线上. (1)求数列，的通项和； (2)设，求数列的前n项和，. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为是与的等差中项， 所以，所以， 因为在直线上，所以，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）知，，所以， 所以， 所以， 两式相减，， 所以，所以. 【变式10-3】已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设数列的公比为q， 由，，成等差数列可得， 故，解得， 由可得，解得， 故，即数列的通项公式为，. （2）由（1）知，所以，则， 所以①， ②， 由①－②得： ，所以. 【变式10-4】已知数列的前项和为，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）因为数列的前项和为， 所以当，； 当，； 显然满足， 所以. （2）因为数列满足，，， 所以， 数列的通项公式. （3）由（1）（2）得， 所以数列的前项和， 所以， 所以. 所以. 【考点题型十一】数列求和与不等式成立问题（） 【例11】已知数列满足：，且对于任意正整数，均有． (1)设，证明：为等差数列； (2)设，为数列的前项和，为数列的前项和，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）数列满足：，且对于任意正整数，均有． 等式两边同时除以可得， 因为，则，且， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）可得，所以，， ， ， 则， 上述两个等式作差可得 ， 所以，， 因为对任意的恒成立，即， 参变分离可得，令，则， ， 当时，，即， 当且时，，即数列从第二项开始单调递减， 所以，数列的最大项的值为，故， 因此，实数的取值范围是. 【变式11-1】已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意知，则数列是首项为的常数列， ，∴ ， ， ∵，∴，当且仅当，即时取等号， ∴， 则k的最小值为. 故答案为：. 【变式11-2】已知函数，数列满足 (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使不等式成立，求实数k的最大值． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【详解】（1）因为函数，所以， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则有，即， 故数列的通项公式为； （2）由（1）可知：， 所以 （3）由（2）可知：，所以化简为， 因为，所以由，得， 设，则， 由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，于是有时，， 所以，因此， 存在，使得成立， 则有，因此实数k的最大值． 【变式11-3】已知数列中，. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，设的前项和为. ①求； ②若都有不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【详解】（1）由题可得， 又，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）①由(1)知，则 ， 则， ， 两式相减得，， 所以， ②等价于， ， 因为， 当时，，当时，， 当时，，即， 所以，所以. 【变式11-4】设正项数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，所以； 当时，且， 两式相减并整理可得． 因为为正项数列，所以，所以为等差数列，所以． （2）由（1）可知， ， ， 故，可化为， 因为恒成立，所以. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单08 数列的通项公式与数列求和 清单01 求通项公式 一、累加法：形如且 当时. 二、累乘法：形如且 当时,.注意:不一定满足上述形式,所以需要检验. 三、取倒法：形如分式 两边同时取倒数即可 四、同除法：形如且或形如整式 第一种：两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） 第二种：两边同时除以 五、待定系数法 ①形如且 方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ② 方法：这种类型一般是等式两边取对数后得：，再进行求解。 六、前n项和与 用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 注：个别时候会消，然后得到与之间的关系，然后先求得的表达式 七、“和”型和“积”型 “和”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； “积”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； 清单02 数列求和 一、倒序相加法 如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 二、分组求和法 （1）把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 若数列的通项公式为，且为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数列的前n项和． （2）若数列的通项公式为奇偶分段数列型或者绝对值分段数列型，可采用分组求和法求数列的前n项和，注意对n进行分类讨论 （3）一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 三、倒序相加法 如果一个数列的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的． 四、裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6） 五、错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． ②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式. 【考点题型一】累加法求数列通项（） 【例1】南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（    ） A．196 B．197 C．198 D．227 【变式1-1】将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是 . 【变式1-2】南宋数学家杨辉所著《九章算法•商功》中，有如下图形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个，第三层有6个，设各层球数构成一个数列，且满足，则（    ） A． B．65 C．67 D． 【变式1-3】已知数列满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知数列满足，且，则 . 【考点题型二】累乘法求数列通项（） 【例2】已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【变式2-1】在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【变式2-2】已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【变式2-4】设为正项等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，，求的前项和. 【考点题型三】待定系数法求数列通项（） 【例3】已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 【变式3-2】已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【变式3-3】已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【变式3-4】已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 【考点题型四】取倒数法或同除法求数列通项（） 【例4】已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知数列满足，若，则为（   ） A．等比数列 B．等差数列 C．递增数列 D．递减数列 【变式4-2】（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．的通项公式为 C．为等比数列 D．的前n项和 【变式4-3】数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 【变式4-4】已知数列中，，且满足，则 . 【考点题型五】由Sn与an的关系求数列通项（） 【例5】设数列的前项和为，已知，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列为递增数列 C． D．数列为等差数列 【变式5-1】数列的前n项和为，满足，，则 . 【变式5-2】已知正项数列的前项和满足，则 . 【变式5-3】已知数列的各项均不为0，其前项和为，且. (1)若，求； (2)若，求. 【变式5-4】已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【考点题型六】分组转化法求和（） 【例6】已知数列的前项和为，且，，则的值为（   ） A．360 B．480 C．960 D．1280 【变式6-1】设数列的前项和为．已知． (1)求通项公式； (2)设数列，求的前项和． 【变式6-2】已知数列满足：.则的前60项的和为 . 【变式6-3】已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式6-4】已知是公差不为0的等差数列，成等比数列．为公比为2的等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，若，记数列满足，求数列的前项和． 【考点题型七】并项法求和（） 【例7】已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【变式7-1】已知等差数列中，，，则数列的前51项和为（    ） A．26 B． C．51 D． 【变式7-2】已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2025项和. 【变式7-3】记是等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 【变式7-4】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 【考点题型八】倒序相加法求和（） 【例8】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 【变式8-2】高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则 . 【变式8-3】已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ． 【变式8-4】已知函数，则 ；设数列满足，则此数列的前2023项的和为 ． 【考点题型九】裂项相消法求和（） 【例9】已知数列满足，， (1)设，证明：是等差数列； (2)设数列的前项和为，求，并判断是否为中的项，若是，是第几项？若不是，说明理由． 【变式9-1】已知等差数列为递增数列，且满足，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和的最大值，最小值． 【变式9-2】已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设为的前项和，，求的前项和． 【变式9-3】已知为等差数列，前项和为，是首项为且公比大于的等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，且数列的前项和为，求证：． 【变式9-4】已知数列 的前 项和 满足 ，且 . (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式; (2)设 为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值. 【考点题型十】错位相减法求和（） 【例10】已知数列满足，且，设. (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【变式10-1】已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式10-2】已知数列中，是与的等差中项，数列中，，点在直线上. (1)求数列，的通项和； (2)设，求数列的前n项和，. 【变式10-3】已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 【变式10-4】已知数列的前项和为，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【考点题型十一】数列求和与不等式成立问题（） 【例11】已知数列满足：，且对于任意正整数，均有． (1)设，证明：为等差数列； (2)设，为数列的前项和，为数列的前项和，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【变式11-1】已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为 . 【变式11-2】已知函数，数列满足 (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使不等式成立，求实数k的最大值． 【变式11-3】已知数列中，. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，设的前项和为. ①求； ②若都有不等式成立，求的取值范围. 【变式11-4】设正项数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$